2017年昆明市高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案
高考數(shù)學(xué)主要考察考生,基本計(jì)算的準(zhǔn)確與速度、思考問(wèn)題的全面與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)确矫鎯?nèi)容,以下是百分網(wǎng)小編為你整理的2017年昆明市高考數(shù)學(xué)模擬試卷，希望能幫到你。
2017年昆明市高考數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、選擇題
1.設(shè)集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x<6}，則A∩B=( )
A.{x|2≤x<6} B.{x|0≤x<6} C.{0，1，2，3，4，5} D.{2，3，4，5}
2. =( )
A.﹣i B.i C.1 D.﹣1
3.一個(gè)四棱柱的三視圖如圖所示，若該四棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積為( )
A.25π B.50π C.100π D.200π
4.AQI(Air Quality Index，空氣質(zhì)量指數(shù))是報(bào)告每日空氣質(zhì)量的參數(shù)，描述了空氣清潔或者污染的程度.AQI共分六級(jí)，從一級(jí)優(yōu)(0～50)，二級(jí)良(51～100，)，三級(jí)輕度污染，四級(jí)重度污染，直至無(wú)極重度污染，六級(jí)嚴(yán)重污染(大于300).下面是昆明市2017年4月份隨機(jī)抽取的10天的AQI莖葉圖，利用該樣本估計(jì)昆明市2018年4月份質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)(按這個(gè)月共30天計(jì)算)為( )
A.3 B.4 C.12 D.21
5.已知非零向量 ，滿足•=0，||=3，且與+的夾角為，則||=( )
A.6 B.3 C.2 D.3
6.若tanθ=﹣2，則sin2θ+cos2θ=( )
A. B.﹣ C. D.﹣
7.已知F1、F2為雙曲線C：﹣=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的漸進(jìn)線上，PF1⊥x軸，若△PF1F2為等腰直角三角形，則C的離心率為( )
A. B. C. +1 D.
8.在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，則BC邊上的高等于( )
A.1 B. C. D.2
9.定義n!=1×2×3×…×n，例如1!=1，2!=1×2=2，執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸入ɛ=0.01，則輸出的e精確到e的近似值為( )
A.2.69 B.2.70 C.2.71 D.2.72
10.我國(guó)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了下面的體積計(jì)算的原理(祖暅原理)：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“勢(shì)”是幾何體的高，“冪”是截面面積.意思是，若兩等高的幾何體在同高處截面面積總相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有一旋轉(zhuǎn)體D，它是由拋物線y=x2(x≥0)，直線y=4及y軸圍成的封閉圖形如圖1所示繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，利用祖暅原理，以長(zhǎng)方體的一半為參照體(如圖2所示)則旋轉(zhuǎn)體D的體積是( )
A. B.6π C.8π D.16π
11.已知函數(shù)f(x)=，若方程f(x)﹣ax=0恰有兩個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0，) B.[，) C.(，] D.(﹣∞，0]∪[，+∞)
12.設(shè)F為拋物線C：y2=8x，曲線y=(k>0)與C交于點(diǎn)A，直線FA恰與曲線y=(k>0)相切于點(diǎn)A，直線FA于C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)B，則等于( )
A. B. C. D.
二、填空題
13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=x+y的最大值為 .
14.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0)，A、B是函數(shù)y=f(x)圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，若|AB|=2，則f(1)= .
15.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an=4n，若不等式Sn+8≥λn對(duì)任意的n∈N*都成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 .
16.若關(guān)于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好為[a，b]，那么b﹣a= .
三、解答題
17.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2an+2n+1.
(Ⅰ)證明數(shù)列{}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.
18.某校為了解高一學(xué)生周末的“閱讀時(shí)間”，從高一年級(jí)中隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲得了每人的周末“閱讀時(shí)間”(單位：小時(shí))，按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求圖中a的值;
(Ⅱ)估計(jì)該校高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”的中位數(shù);
(Ⅲ)在[1，1.5)，[1.5，2)這兩組中采用分層抽樣抽取7人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的兩人恰好都在一組的概率.
19.如圖，已知三棱錐P﹣ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分別是AB、PB、PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明：PD⊥平面ABC;
(Ⅱ)若M為BC中點(diǎn)，且PM⊥平面EFD，求三棱錐P﹣ABC的體積.
20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)滿足： +=2，M的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F(1，0)作直線l交曲線E于P，Q兩點(diǎn)，交y軸于R點(diǎn)，若=λ1， =λ2，求證：λ1+λ2為定值.
21.已知函數(shù)f(x)=(2x2+x)lnx﹣(2a+1)x2﹣(a+1)x+b(a，b∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求b﹣a的最小值.
請(qǐng)考生在22、23二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為(x﹣2)2+y2=4，直線l的方程為x+y﹣12=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)分別寫(xiě)出曲線C與直線l的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)在極坐標(biāo)中，極角為θ(θ∈(0，))的射線m與曲線C，直線l分別交于A、B兩點(diǎn)(A異于極點(diǎn)O)，求的最大值.
[選修4-5：不等式選講]
23.已知a，b，c，m，n，p都是實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1.
(Ⅰ)證明|am+bn+cp|≤1;
(Ⅱ)若abc≠0，證明++≥1
2017年昆明市高考數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、選擇題
1.設(shè)集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x<6}，則A∩B=( )
A.{x|2≤x<6} B.{x|0≤x<6} C.{0，1，2，3，4，5} D.{2，3，4，5}
【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算.
【分析】由A與B，求出兩集合的交集即可.
【解答】解：∵集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x<6}，
∴A∩B={2，3，4，5}，
故選：D
2. =( )
A.﹣i B.i C.1 D.﹣1
【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.
【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.
【解答】解： =，
故選：A.
3.一個(gè)四棱柱的三視圖如圖所示，若該四棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積為( )
A.25π B.50π C.100π D.200π
【考點(diǎn)】LR：球內(nèi)接多面體;LG：球的體積和表面積.
【分析】由題意，四棱柱為長(zhǎng)方體，其對(duì)角線長(zhǎng)為=5，可得球的半徑為，即可求出這個(gè)球的表面積.
【解答】解：由題意，四棱柱為長(zhǎng)方體，其對(duì)角線長(zhǎng)為 =5 ，
∴球的半徑為 ，
∴這個(gè)球的表面積為 =50π，
故選：B.
4.AQI(Air Quality Index，空氣質(zhì)量指數(shù))是報(bào)告每日空氣質(zhì)量的參數(shù)，描述了空氣清潔或者污染的程度.AQI共分六級(jí)，從一級(jí)優(yōu)(0～50)，二級(jí)良(51～100，)，三級(jí)輕度污染，四級(jí)重度污染，直至無(wú)極重度污染，六級(jí)嚴(yán)重污染(大于300).下面是昆明市2017年4月份隨機(jī)抽取的10天的AQI莖葉圖，利用該樣本估計(jì)昆明市2018年4月份質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)(按這個(gè)月共30天計(jì)算)為( )
A.3 B.4 C.12 D.21
【考點(diǎn)】BA：莖葉圖.
【分析】通過(guò)讀莖葉圖求出空氣質(zhì)量是優(yōu)的概率，從而求出30天空氣質(zhì)量是優(yōu)的天數(shù)即可.
【解答】解：由莖葉圖10天中有4天空氣質(zhì)量是優(yōu)，
即空氣優(yōu)的概率是p= = ，
故30天中有 ×30=12天是優(yōu)，
故選：C.
5.已知非零向量 ， 滿足 • =0，| |=3，且 與 + 的夾角為 ，則| |=( )
A.6 B.3 C.2 D.3
【考點(diǎn)】9V：向量在幾何中的應(yīng)用;9S：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.
【分析】利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結(jié)果即可.
【解答】解：非零向量 ， 滿足 • =0，可知兩個(gè)向量垂直，| |=3，且 與 + 的夾角為 ，
說(shuō)明以向量 ， 為鄰邊， + 為對(duì)角線的平行四邊形是正方形，所以則| |=3.
故選：D.
6.若tanθ=﹣2，則sin2θ+cos2θ=( )
A. B.﹣ C. D.﹣
【考點(diǎn)】GI：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值.
【分析】利用二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得要求式子的值.
【解答】解：sin2θ+cos2θ= = = =﹣ ，
故選：D.
7.已知F1、F2為雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的漸進(jìn)線上，PF1⊥x軸，若△PF1F2為等腰直角三角形，則C的離心率為( )
A. B. C. +1 D.
【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，通過(guò)三角形是等腰直角三角形，列出方程求解即可.
【解答】解：F1、F2為雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，
點(diǎn)P在C的漸近線上，PF1⊥x軸，若△PF1F2為等腰直角三角形，
可得： ，即：b=2a，可得c2﹣a2=4a2，
即e2=5，e>1，
解得e= ，
則C的離心率為 .
故選：A.
8.在△ABC中，已知AB= ，AC= ，tan∠BAC=﹣3，則BC邊上的高等于( )
A.1 B. C. D.2
【考點(diǎn)】HS：余弦定理的應(yīng)用;HT：三角形中的幾何計(jì)算.
【分析】求出∠BAC的余弦函數(shù)值，然后求解BC的距離，通過(guò)求解三角形求解即可.
【解答】解：在△ABC中，已知AB= ，AC= ，tan∠BAC=﹣3，
可得cos∠BAC=﹣ =﹣ ，sin∠BAC= .
由余弦定理可得：BC= = =3，
設(shè)BC邊上的高為h，
三角形面積為： = BC•h，
h= =1.
故選：A.
9.定義n!=1×2×3×…×n，例如1!=1，2!=1×2=2，執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸入ɛ=0.01，則輸出的e精確到e的近似值為( )
A.2.69 B.2.70 C.2.71 D.2.72
【考點(diǎn)】EF：程序框圖.
【分析】模擬程序的運(yùn)行，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的e，n的值，當(dāng)n=5時(shí)滿足條件退出循環(huán)，輸出e的值即可得解.
【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得
ɛ=0.01，e=1，n=1
執(zhí)行循環(huán)體，e=2，n=2
不滿足條件 <ɛ，執(zhí)行循環(huán)體，e=2+0.5=2.5，n=3
不滿足條件 <ɛ，執(zhí)行循環(huán)體，e=2.5+ ，n=4
不滿足條件 <ɛ，執(zhí)行循環(huán)體，e=2.5+ + ，n=5
由于 ≈0.008<ɛ=0.01，滿足條件 <ɛ，退出循環(huán)，輸出e的值為2.5+ + =2.71.
故選：C.
10.我國(guó)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了下面的體積計(jì)算的原理(祖暅原理)：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“勢(shì)”是幾何體的高，“冪”是截面面積.意思是，若兩等高的幾何體在同高處截面面積總相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有一旋轉(zhuǎn)體D，它是由拋物線y=x2(x≥0)，直線y=4及y軸圍成的封閉圖形如圖1所示繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，利用祖暅原理，以長(zhǎng)方體的一半為參照體(如圖2所示)則旋轉(zhuǎn)體D的體積是( )
A. B.6π C.8π D.16π
【考點(diǎn)】L5：旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái)).
【分析】由題意，4x=π•22，求出x=π，再求出長(zhǎng)方體的一半的體積即可.
【解答】解：由題意，4x=π•22，∴x=π，
∴旋轉(zhuǎn)體D的體積是 =8π，
故選C.
11.已知函數(shù)f(x)= ，若方程f(x)﹣ax=0恰有兩個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0， ) B.[ ， ) C.( ， ] D.(﹣∞，0]∪[ ，+∞)
【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.
【分析】由題意，方程f(x)=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f(x)與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍.
【解答】解：∵方程f(x)﹣ax=0恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
∴y=f(x)與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，
又∵a表示直線y=ax的斜率，
∴x>1時(shí)，y′= ，
設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，k= ，
∴切線方程為y﹣y0= (x﹣x0)，
而切線過(guò)原點(diǎn)，∴y0=1，x0=e，k= ，
∴直線l1的斜率為 ，
又∵直線l2與y= x+1平行，
∴直線l2的斜率為 ，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[ ， )
故選：B.
12.設(shè)F為拋物線C：y2=8x，曲線y= (k>0)與C交于點(diǎn)A，直線FA恰與曲線y= (k>0)相切于點(diǎn)A，直線FA于C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)B，則 等于( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】先根據(jù)拋物線的定義求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)A(x0，y0)，根據(jù)題意可求出A(1，2 )，繼而求出答案.
【解答】解：F為拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，則F(2，0)，其準(zhǔn)線方程為x=﹣2，
設(shè)A(x0，y0)
∵y= ，
∴k=x0y0=2x0
∴y′=﹣ ，
∴直線AF的斜率為﹣ =﹣
∵kAF= =，
∴﹣ = ，
解得x0=1，
∴A(1，2 )，
∴AC=1+2=3，F(xiàn)D=4，
∴ = = ，
∴ = ，
∴AB=3，
∴ = ，
故選：B.
二、填空題
13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足 ，則z=x+y的最大值為 3 .
【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.
【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.
【解答】解：由約束條件 作出可行域如圖，
A(0，3)，
化目標(biāo)函數(shù)z=x+y為y=﹣x+z，
由圖可知，當(dāng)直線y=﹣x+z過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為3.
故答案為：3.
14.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)，A、B是函數(shù)y=f(x)圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，若|AB|=2 ，則f(1)= .
【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值.
【分析】由圖象上的兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為2 求出ω，可得函數(shù)的解析式，即可求出f(1).
【解答】解：由題意可得 =2 ，∴ω= ，
∴函數(shù)f(x)=sin( x+ )，
∴f(1)= ，
故答案為： .
15.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an=4n，若不等式Sn+8≥λn對(duì)任意的n∈N*都成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 (﹣∞，10] .
【考點(diǎn)】8I：數(shù)列與函數(shù)的綜合.
【分析】先根據(jù)an=4n得到數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得到Sn=2n+2n2，原不等式轉(zhuǎn)化為λ≤2(n+ )+2，根據(jù)基本不等式即可求出答案.
【解答】解：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an=4n，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=4，
∵an﹣an﹣1=4n﹣4(n﹣1)=4，
∴數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，
∴Sn= =2n+2n2，
∵不等式Sn+8≥λn對(duì)任意的n∈N*都成立，
∴2n+2n2+8≥λn對(duì)任意的n∈N*都成立，
即λ≤2(n+ )+2，
∵n+ ≥2 =4，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào)，
∴λ≤2×4+2=10，
故實(shí)數(shù)λ的'取值范圍為(﹣∞，10]，
故答案為：(﹣∞，10].
16.若關(guān)于x的不等式a≤ x2﹣3x+4≤b的解集恰好為[a，b]，那么b﹣a= 4 .
【考點(diǎn)】74：一元二次不等式的解法.
【分析】畫(huà)出函數(shù)f(x)= x2﹣3x+4的圖象，可知f(x)min=1;分類討論：a>1時(shí)，不等式a≤ x2﹣3x+4≤b的解集分為兩段區(qū)域，不符合題意;
有a≤1
【解答】解：畫(huà)出函數(shù)f(x)= x2﹣3x+4= (x﹣2)2+1的圖象，
可得f(x)min=f(2)=1，
由圖象可知：若a>1，則不等式a≤ x2﹣3x+4≤b的解集分兩段區(qū)域，不符合已知條件，
因此a≤1，此時(shí)a≤x2﹣3x+4恒成立;
又∵不等式a≤ x2﹣3x+4≤b的解集為[a，b]，
∴a≤1
由 b2﹣3b+4=b，化為3b2﹣16b+16=0，解得b= 或b=4;
當(dāng)b= 時(shí)，由 a2﹣3a+4﹣ =0，解得a= 或a= ，不符合題意，舍去;
∴b=4，此時(shí)a=0;
∴b﹣a=4.
故答案為：4.
三、解答題
17.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2an+2n+1.
(Ⅰ)證明數(shù)列{ }是等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和.
【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式;8E：數(shù)列的求和.
【分析】(Ⅰ)根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列{ }是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得數(shù)列{ }是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，再根據(jù)求和公式計(jì)算即可.
【解答】解：(1)∵a1=2，an+1=2an+2n+1，
∴ ﹣ = ﹣ = +1﹣ =1，
∵ =1，
∴數(shù)列{ }是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 =n，
∴ =2n，
∴數(shù)列{ }是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
故數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Sn= =2n+1﹣2
18.某校為了解高一學(xué)生周末的“閱讀時(shí)間”，從高一年級(jí)中隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲得了每人的周末“閱讀時(shí)間”(單位：小時(shí))，按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求圖中a的值;
(Ⅱ)估計(jì)該校高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”的中位數(shù);
(Ⅲ)在[1，1.5)，[1.5，2)這兩組中采用分層抽樣抽取7人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的兩人恰好都在一組的概率.
【考點(diǎn)】B3：分層抽樣方法;CB：古典概型及其概率計(jì)算公式.
【分析】(Ⅰ)求出高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”在[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]的概率，即可求圖中a的值;
(Ⅱ)確定2≤m<2.5，由0.50(m﹣2)=0.5﹣0.47，得m的值，即可估計(jì)該校高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”的中位數(shù);
(Ⅲ)確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論.
【解答】解：(Ⅰ)由題意，高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”在[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]的概率分別為0.04，0.08，0.20.0.25.0.07，0.04.0.02，
由1﹣(0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02)=0.5a+0.5a，∴a=0.30;
(Ⅱ)設(shè)該校高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”的中位數(shù)為m小時(shí)，
因?yàn)榍?組頻率和為0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5，前4組頻率和為0.47<0.5，
所以2≤m<2.5，
由0.50(m﹣2)=0.5﹣0.47，得m=2.06;
(Ⅲ)在[1，1.5)，[1.5，2)這兩組中的人分別有15人、20人，采用分層抽樣抽取7人，分別為3人、4人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取2人，有 =21種，抽取的兩人恰好都在一組，有 =9種，故所求概率為 .
19.如圖，已知三棱錐P﹣ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分別是AB、PB、PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明：PD⊥平面ABC;
(Ⅱ)若M為BC中點(diǎn)，且PM⊥平面EFD，求三棱錐P﹣ABC的體積.
【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積;LW：直線與平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)由PA=PB，D為AB中點(diǎn)，可得PD⊥AB，再由面面垂直的性質(zhì)可得PD⊥平面ABC;
(Ⅱ)設(shè)PM交EF于N，連接DM，DN，由線面垂直的性質(zhì)得到PM⊥DN，由已知可得DN垂直平分PM，故PD=DM，求出DM，進(jìn)一步求得PD.即三棱錐P﹣ABC的高，然后由三棱錐體積公式求得三棱錐P﹣ABC的體積.
【解答】(Ⅰ)證明：∵PA=PB，D為AB中點(diǎn)，∴PD⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABC，交線為AB，PD⊂平面PAB，
∴PD⊥平面ABC;
(Ⅱ)解：設(shè)PM交EF于N，連接DM，DN，
∵PM⊥平面EFD，DN⊂平面DEF，
∴PM⊥DN，
又E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，
∴N為EF的中點(diǎn)，也是PM的中點(diǎn)，
∴DN垂直平分PM，故PD=DM，
又DM為△ABC的中位線，則DM= =1，∴PD=1.
∵BC⊥AC，則 .
∴三棱錐P﹣ABC的體積
20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)滿足： + =2 ，M的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F(1，0)作直線l交曲線E于P，Q兩點(diǎn)，交y軸于R點(diǎn)，若 =λ1 ， =λ2 ，求證：λ1+λ2為定值.
【考點(diǎn)】KQ：圓錐曲線的定值問(wèn)題;J3：軌跡方程.
【分析】(Ⅰ)由已知，可得動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以C(﹣1，0)，A(1，0)為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)定義可得，a、c，可得曲線E的方程;
(Ⅱ)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(0，y0)，由 =λ1 ， ，點(diǎn)P在曲線E上可得 …①，同理可得： …②
由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的兩個(gè)根，λ1+λ2為定值﹣4.
【解答】解：(Ⅰ)由 + =2 ，可得點(diǎn)M(x，y)到定點(diǎn)A(﹣1，0)，B(1，0)的距離等于之和等于2 .
且AB ，所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以C(﹣1，0)，A(1，0)為焦點(diǎn)的橢圓，
且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 ，焦距2c=2，所以，c=1，b=1，
曲線E的方程為： ;
(Ⅱ)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(0，y0)，
由 =λ1 ，(x1，y1﹣y0)=λ1(1﹣x1，﹣y1)，∴ ，
∵過(guò)點(diǎn)F(1，0)作直線l交曲線E于P，∴ ，
∴ …①
同理可得： …②
由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的兩個(gè)根，
∴λ1+λ2為定值﹣4.
21.已知函數(shù)f(x)=(2x2+x)lnx﹣(2a+1)x2﹣(a+1)x+b(a，b∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求b﹣a的最小值.
【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.
【分析】(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=(4x+1)(lnx﹣1)=0，得x=e.x∈(0，e)時(shí)，f′(x)<0，∈(e，+∞)時(shí)，f′(x)>0.即可得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)由題意得f′(x)=(4x+1)(lnx﹣a)，(x>0).可得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(ea，+∞)，減區(qū)間為(0，ea)即f(x)≥0恒成立，b≥e2a+ea.即b﹣a≥e2a+ea﹣a，構(gòu)造函數(shù)g(t)=t2+t﹣lnt，(t>0)，g′(t)= .可得g(t)min=g( )= .即可得b﹣a的最小值.
【解答】解：(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=(2x2+x)lnx﹣3x2﹣2x+b(x>0).
f′(x)=(4x+1)(lnx﹣1)，令f′(x)=0，得x=e.
x∈(0，e)時(shí)，f′(x)<0，∈(e，+∞)時(shí)，f′(x)>0.
函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(e，+∞)，減區(qū)間為(0，e);
(Ⅱ)由題意得f′(x)=(4x+1)(lnx﹣a)，(x>0).
令f′(x)=0，得x=ea.
x∈(0，e a)時(shí)，f′(x)<0，∈(ea ，+∞)時(shí)，f′(x)>0.
函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(ea，+∞)，減區(qū)間為(0，ea)
∴f(x)min=f(ea)=﹣e2a﹣ea+b，
∵f(x)≥0恒成立，∴f(ea)=﹣e2a﹣ea+b≥0，則b≥e2a+ea.
∴b﹣a≥e2a+ea﹣a
令ea=t，(t>0)，∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt，
設(shè)g(t)=t2+t﹣lnt，(t>0)，g′(t)= .
當(dāng)t∈(0， )時(shí)，g′(t)<0，當(dāng)t 時(shí)，g′(t)>0.
∴g(t)在(0， )上遞減，在( ，+∞)遞增.
∴g(t)min=g( )= .
f(x)≥0恒成立，b﹣a的最小值為 .
請(qǐng)考生在22、23二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為(x﹣2)2+y2=4，直線l的方程為x+ y﹣12=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)分別寫(xiě)出曲線C與直線l的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)在極坐標(biāo)中，極角為θ(θ∈(0， ))的射線m與曲線C，直線l分別交于A、B兩點(diǎn)(A異于極點(diǎn)O)，求 的最大值.
【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程;H9：余弦函數(shù)的定義域和值域.
【分析】(Ⅰ)利用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化方法，分別寫(xiě)出曲線C與直線l的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)由題意|OA|=4cosθ，|OB|= ，利用三角函數(shù)知識(shí)，可得結(jié)論.
【解答】解：(Ⅰ)曲線C的方程為(x﹣2)2+y2=4，即x2+y2=4x，極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ;
直線l的方程為x+ y﹣12=0，極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ ρsinθ﹣12=0;
(Ⅱ)由題意|OA|=4cosθ，|OB|= ，
∴ = = + sin(2θ+ )，
∵θ∈(0， )，∴2θ+ ∈( ， π)，
∴sin(2θ+ )∈(﹣ 1]，
∴ 的最大值為 ，此時(shí) .
[選修4-5：不等式選講]
23.已知a，b，c，m，n，p都是實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1.
(Ⅰ)證明|am+bn+cp|≤1;
(Ⅱ)若abc≠0，證明 + + ≥1.
【考點(diǎn)】R6：不等式的證明.
【分析】利用柯西不等式，即可證明結(jié)論.
【解答】證明：(Ⅰ)由柯西不等式，可得(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)≥(am+bn+cp)2，
∵a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1，
∴1≥(am+bn+cp)2，
∴|am+bn+cp|≤1;
(Ⅱ)由柯西不等式，可得 + + =( + + )(a2+b2+c2)≥(m2+n2+p2)2=1，
∴ + + ≥1.
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