2018屆上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案
高考數(shù)學(xué)的知識(shí)覆蓋面廣,我們可以通過(guò)多做高考數(shù)學(xué)模擬試卷來(lái)擴(kuò)展知識(shí)面,下面是小編為大家精心推薦的2018屆上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷,希望能夠?qū)δ兴鶐椭?/p>
2018屆上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、填空題(第1題到第6題每題4分,第7題到第12題每題5分,滿(mǎn)分54分)
1.函數(shù)f(x)=cos( ﹣x)的最小正周期是 .
2.若關(guān)于x,y的方程組 無(wú)解,則a= .
3.已知{an}為等差數(shù)列,若a1=6,a3+a5=0,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 .
4.設(shè)集合A={x||x﹣2|≤3},B={x|x
5.設(shè)點(diǎn)(9,3)在函數(shù)f(x)=loga(x﹣1)(a>0,a≠1)的圖象上,則f(x)的反函數(shù)f﹣1(x)= .
6.若x,y滿(mǎn)足 ,則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為 .
7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l的方程為x+y﹣6=0,圓C的參數(shù)方程為 ,則圓心C到直線(xiàn)l的距離為 .
8.雙曲線(xiàn) =1的左右兩焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,若點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上,且∠F1PF2為銳角,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 .
9.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為 .
10.已知數(shù)列{an}是無(wú)窮等比數(shù)列,它的前n項(xiàng)的和為Sn,該數(shù)列的首項(xiàng)是二項(xiàng)式 展開(kāi)式中的x的系數(shù),公比是復(fù)數(shù) 的模,其中i是虛數(shù)單位,則 = .
11.已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足方程(x﹣a+1)2+(y﹣1)2=1,當(dāng)0≤y≤b(b∈R)時(shí),由此方程可以確定一個(gè)偶函數(shù)y=f(x),則拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)F到點(diǎn)(a,b)的軌跡上點(diǎn)的距離最大值為 .
12.設(shè)x1、x2、x3、x4為自然數(shù)1、2、3、4的一個(gè)全排列,且滿(mǎn)足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6,則這樣的排列有 個(gè).
二、選擇題(單項(xiàng)選擇題,每題5分,滿(mǎn)分20分)
13.已知x,y∈R,且x>y>0,則( )
A. ﹣ >0 B.sinx﹣siny>0 C.( )x﹣( )y<0 D.lnx+lny>0
14.若f(x)為奇函數(shù),且x0是y=f(x)﹣ex的一個(gè)零點(diǎn),則﹣x0一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)( )
A.y=f(x)ex+1 B.y=f(﹣x)e﹣x﹣1 C.y=f(x)ex﹣1 D.y=f(﹣x)ex+1
15.矩形紙片ABCD中,AB=10cm,BC=8cm.將其按圖(1)的方法分割,并按圖(2)的方法焊接成扇形;按圖(3)的方法將寬BC 2等分,把圖(3)中的每個(gè)小矩形按圖(1)分割并把4個(gè)小扇形焊接成一個(gè)大扇形;按圖(4)的方法將寬BC 3等分,把圖(4)中的每個(gè)小矩形按圖(1)分割并把6個(gè)小扇形焊接成一個(gè)大扇形;…;依次將寬BC n等分,每個(gè)小矩形按圖(1)分割并把2n個(gè)小扇形焊接成一個(gè)大扇形.當(dāng)n→∞時(shí),最后拼成的大扇形的圓心角的大小為( )
A.小于 B.等于 C.大于 D.大于1.6
16.如圖,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.O是△ABC的外心,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F,則OD:OE:OF等于( )
A.a:b:c B.
C.sinA:sinB:sinC D.cosA:cosB:cosC
三、解答題(第17-19題每題14分,第20題16分,第21題18分,滿(mǎn)分76分)
17.如圖,圓錐的底面圓心為O,直徑為AB,C為半圓弧AB的中點(diǎn),E為劣弧CB的中點(diǎn),且AB=2PO=2 .
(1)求異面直線(xiàn)PC與OE所成的角的大小;
(2)求二面角P﹣AC﹣E的大小.
18.已知美國(guó)蘋(píng)果公司生產(chǎn)某款iphone手機(jī)的年固定成本為40萬(wàn)美元,每生產(chǎn)1只還需另投入16美元.設(shè)蘋(píng)果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iphone手機(jī)x萬(wàn)只并全部銷(xiāo)售完,每萬(wàn)只的銷(xiāo)售收入為R(x)萬(wàn)美元,且R(x)=
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)只)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)只時(shí),蘋(píng)果公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).
19.如圖,半徑為1的半圓O上有一動(dòng)點(diǎn)B,MN為直徑,A為半徑ON延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn),且OA=2,∠AOB的角平分線(xiàn)交半圓于點(diǎn)C.
(1)若 ,求cos∠AOC的值;
(2)若A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),求線(xiàn)段AC的長(zhǎng).
20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an﹣2(n∈N*).
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ,b1=8,Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求正整數(shù)k,使得對(duì)任意n∈N*均有Tk≥Tn恒成立;
(3)設(shè) ,Rn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,若對(duì)任意n∈N*均有Rn<λ恒成立,求λ的最小值.
21.已知橢圓E: ,左焦點(diǎn)是F1.
(1)若左焦點(diǎn)F1與橢圓E的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn) 在橢圓E上.求橢圓E的方程;
(2)過(guò)原點(diǎn)且斜率為t(t>0)的直線(xiàn)l1與(1)中的橢圓E交于不同的兩點(diǎn)G,H,設(shè)B1(0,1),A1(2,0),求四邊形A1GB1H的面積取得最大值時(shí)直線(xiàn)l1的方程;
(3)過(guò)左焦點(diǎn)F1的直線(xiàn)l2交橢圓E于M,N兩點(diǎn),直線(xiàn)l2交直線(xiàn)x=﹣p(p>0)于點(diǎn)P,其中p是常數(shù),設(shè) , ,計(jì)算λ+μ的值(用p,a,b的代數(shù)式表示).
2018屆上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、填空題(第1題到第6題每題4分,第7題到第12題每題5分,滿(mǎn)分54分)
1.函數(shù)f(x)=cos( ﹣x)的最小正周期是 2π .
【考點(diǎn)】H1:三角函數(shù)的周期性及其求法.
【分析】化函數(shù)f(x)=cos( ﹣x)=sinx,寫(xiě)出它的最小正周期.
【解答】解:函數(shù)f(x)=cos( ﹣x)=sinx
∴f(x)的最小正周期是2π.
故答案為:2π.
2.若關(guān)于x,y的方程組 無(wú)解,則a= 1 .
【考點(diǎn)】II:直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的平行關(guān)系.
【分析】根據(jù)題意,分析可得:若方程組無(wú)解,則直線(xiàn)ax+y=1與直線(xiàn)x+y=2平行,由直線(xiàn)平行的判定方法分析可得 = ≠ ,解可得a的值,即可得答案.
【解答】解:根據(jù)題意,關(guān)于x,y的方程組 無(wú)解,
則直線(xiàn)ax+y=1與直線(xiàn)x+y=2平行,
則有 = ≠ ,
解可得a=1,
故答案為:1.
3.已知{an}為等差數(shù)列,若a1=6,a3+a5=0,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an=8﹣2n .
【考點(diǎn)】84:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
【解答】解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a1=6,a3+a5=0,
∴2×6+6d=0,解得d=﹣2.
∴an=6﹣2(n﹣1)=8﹣2n.
故答案為:an=8﹣2n.
4.設(shè)集合A={x||x﹣2|≤3},B={x|x
【考點(diǎn)】1E:交集及其運(yùn)算.
【分析】求出關(guān)于A的不等式,根據(jù)集合的關(guān)系求出t的范圍即可.
【解答】解:A={x||x﹣2|≤3}={x|﹣1≤x≤5},
B={x|x
若A∩B=∅,
則實(shí)數(shù)t的取值范是:t≤﹣1;
故答案為:(﹣∞,﹣1].
5.設(shè)點(diǎn)(9,3)在函數(shù)f(x)=loga(x﹣1)(a>0,a≠1)的圖象上,則f(x)的反函數(shù)f﹣1(x)= 2x+1 .
【考點(diǎn)】4R:反函數(shù).
【分析】根據(jù)點(diǎn)(9,3)在函數(shù)f(x)=loga(x﹣1)(a>0,a≠1)的圖象上,求解出a,把x用y表示出來(lái),把x與y互換可得f(x)的反函數(shù)f﹣1(x).
【解答】解:點(diǎn)(9,3)在函數(shù)f(x)=loga(x﹣1)(a>0,a≠1)的圖象上,
∴loga(9﹣1)=3,
可得:a=2,
則函數(shù)f(x)=y=log2(x﹣1)
那么:x=2y+1.
把x與y互換可得:y=2x+1
∴f(x)的反函數(shù)f﹣1(x)=2x+1.
故答案為:2x+1.
6.若x,y滿(mǎn)足 ,則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為 3 .
【考點(diǎn)】7C:簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.
【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí),通過(guò)平移即可求z的最大值.
【解答】解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:(陰影部分).
由z=x+2y得y=﹣ x+ z,
平移直線(xiàn)y=﹣ x+ z,
由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)y=﹣ x+ z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),直線(xiàn)y=﹣ x+ z的截距最大,
此時(shí)z最大.
由 ,解得 ,即B(1,1),
代入目標(biāo)函數(shù)z=x+2y得z=2×1+1=3
故答案為:3.
7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l的方程為x+y﹣6=0,圓C的參數(shù)方程為 ,則圓心C到直線(xiàn)l的距離為 .
【考點(diǎn)】QK:圓的參數(shù)方程.
【分析】求出圓的普通方程,利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,可得結(jié)論.
【解答】解:圓C的參數(shù)方程為 ,普通方程為x2+(y﹣2)2=4,圓心為(0,2),半徑為2,
∴圓心C到直線(xiàn)l的距離為 = ,
故答案為 .
8.雙曲線(xiàn) =1的左右兩焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,若點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上,且∠F1PF2為銳角,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ( ,+∞)∪(﹣∞,﹣ ) .
【考點(diǎn)】KC:雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】由題意畫(huà)出圖形,以P在雙曲線(xiàn)右支為例,求出∠F1PF2為直角時(shí)P的坐標(biāo),可得∠F1PF2為銳角時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍
【解答】解:不妨以P在雙曲線(xiàn)右支為例
由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,
又|PF1|﹣|PF2|=2,①
兩邊平方得:|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4,
∴|PF1||PF2|=6,②
聯(lián)立①②解得:|PF2|= ,
由焦半徑公式得|PF2|= =ex﹣a,即可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 ,
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是( ) ).
故答案為:是( ) )
9.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為 28π .
【考點(diǎn)】L!:由三視圖求面積、體積.
【分析】由題意可知,該幾何體是由圓柱與圓錐組合而成,其表面積等于圓柱+圓錐在減去重疊或者多余的部分.
【解答】解:由題意可知,該幾何體是由圓柱與圓錐組合而成:其表面積等于圓錐側(cè)面積+圓柱側(cè)面+圓柱底面積.
圓錐S側(cè)=πrl=8π,圓柱側(cè)面+圓柱底面積=4×2πr+πr2=16π+4π=20π,
∴該幾何體的表面積為28π.
故答案為28π.
10.已知數(shù)列{an}是無(wú)窮等比數(shù)列,它的前n項(xiàng)的和為Sn,該數(shù)列的首項(xiàng)是二項(xiàng)式 展開(kāi)式中的x的系數(shù),公比是復(fù)數(shù) 的模,其中i是虛數(shù)單位,則 = 70 .
【考點(diǎn)】8J:數(shù)列的極限.
【分析】由題意,該數(shù)列的首項(xiàng)是二項(xiàng)式 展開(kāi)式中的x的系數(shù) =35,公比是復(fù)數(shù) 的模 ,即可求出極限.
【解答】解:由題意,該數(shù)列的首項(xiàng)是二項(xiàng)式 展開(kāi)式中的x的系數(shù) =35,
公比是復(fù)數(shù) 的模 ,
∴ = =70,
故答案為70.
11.已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足方程(x﹣a+1)2+(y﹣1)2=1,當(dāng)0≤y≤b(b∈R)時(shí),由此方程可以確定一個(gè)偶函數(shù)y=f(x),則拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)F到點(diǎn)(a,b)的軌跡上點(diǎn)的距離最大值為 .
【考點(diǎn)】K8:拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì);3J:偶函數(shù);IR:兩點(diǎn)間的距離公式.
【分析】由題設(shè)條件當(dāng)0≤y≤b(b∈R)時(shí),由此方程可以確定一個(gè)偶函數(shù)y=f(x),可知方程(x﹣a+1)2+(y﹣1)2=1,關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng),故有﹣a+1=0,又由圓的幾何特征及確定一個(gè)偶函數(shù)y=f(x)知,y的取值范圍是,由此可以求出b的取值范圍,由此點(diǎn)(a,b)的軌跡求知,再由拋物線(xiàn)的性質(zhì)求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣ ),最大距離可求
【解答】解:由題意可得圓的方程一定關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),故由﹣a+1=0,求得a=1
由圓的幾何性質(zhì)知,只有當(dāng)y≤1時(shí),才能保證此圓的方程確定的函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù),故0
由此知點(diǎn)(a,b)的軌跡是一個(gè)線(xiàn)段,其橫坐標(biāo)是1,縱坐標(biāo)屬于(0,1]
又拋物線(xiàn) 故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣ )
由此可以判斷出焦點(diǎn)F到點(diǎn)(a,b)的軌跡上點(diǎn)的距離最大距離是 =
故答案為
12.設(shè)x1、x2、x3、x4為自然數(shù)1、2、3、4的一個(gè)全排列,且滿(mǎn)足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6,則這樣的排列有 9 個(gè).
【考點(diǎn)】D8:排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.
【分析】利用和值為6,分解為4個(gè)非負(fù)數(shù)的和,最大值為3,最小值為0,列出所有情況即可.
【解答】解:x1、x2、x3、x4為自然數(shù)1、2、3、4的一個(gè)全排列,且滿(mǎn)足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6,
可得4個(gè)數(shù)的和為6,共有,0+0+3+3=6;1+1+1+3=6;0+1+2+3=6;1+1+2+2=6;
所有x1、x2、x3、x4分別為:
0+0+3+3=6;類(lèi)型有:
4,2,3,1;
1+1+1+3=6;類(lèi)型有:
2,3,4,1;
4,1,2,3;
0+1+2+3=6;類(lèi)型有:
4,1,3,2;
4,2,1,3;
3,2,4,1;
2,4,3,1;
1+1+2+2=6;類(lèi)型有:
2,4,1,3;
3,1,4,2;
共9種.
故答案為:9.
二、選擇題(單項(xiàng)選擇題,每題5分,滿(mǎn)分20分)
13.已知x,y∈R,且x>y>0,則( )
A. ﹣ >0 B.sinx﹣siny>0 C.( )x﹣( )y<0 D.lnx+lny>0
【考點(diǎn)】71:不等關(guān)系與不等式.
【分析】x,y∈R,且x>y>0,可得: ,sinx與siny的大小關(guān)系不確定, < ,lnx+lny與0的大小關(guān)系不確定,即可判斷出結(jié)論.
【解答】解:∵x,y∈R,且x>y>0,則 ,sinx與siny的大小關(guān)系不確定, < ,即 ﹣ <0,lnx+lny與0的大小關(guān)系不確定.
故選:C.
14.若f(x)為奇函數(shù),且x0是y=f(x)﹣ex的一個(gè)零點(diǎn),則﹣x0一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)( )
A.y=f(x)ex+1 B.y=f(﹣x)e﹣x﹣1 C.y=f(x)ex﹣1 D.y=f(﹣x)ex+1
【考點(diǎn)】52:函數(shù)零點(diǎn)的判定定理;3L:函數(shù)奇偶性的性質(zhì).
【分析】由x0是y=f(x)﹣ex的一個(gè)零點(diǎn)知f(x0)﹣ =0,再結(jié)合f(x)為奇函數(shù)知f(﹣x0)+ =0,從而可得f(﹣x0) +1= =0.
【解答】解:∵x0是y=f(x)﹣ex的一個(gè)零點(diǎn),
∴f(x0)﹣ =0,
又∵f(x)為奇函數(shù),
∴f(﹣x0)=﹣f(x0),
∴﹣f(﹣x0)﹣ =0,
即f(﹣x0)+ =0,
故f(﹣x0) +1= =0;
故﹣x0一定是y=f(x)ex+1的零點(diǎn),
故選:A.
15.矩形紙片ABCD中,AB=10cm,BC=8cm.將其按圖(1)的方法分割,并按圖(2)的方法焊接成扇形;按圖(3)的方法將寬BC 2等分,把圖(3)中的每個(gè)小矩形按圖(1)分割并把4個(gè)小扇形焊接成一個(gè)大扇形;按圖(4)的方法將寬BC 3等分,把圖(4)中的每個(gè)小矩形按圖(1)分割并把6個(gè)小扇形焊接成一個(gè)大扇形;…;依次將寬BC n等分,每個(gè)小矩形按圖(1)分割并把2n個(gè)小扇形焊接成一個(gè)大扇形.當(dāng)n→∞時(shí),最后拼成的大扇形的圓心角的大小為( )
A.小于 B.等于 C.大于 D.大于1.6
【考點(diǎn)】F4:進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.
【分析】當(dāng)n無(wú)限大時(shí),扇形的半徑應(yīng)該無(wú)限接近10,而扇形的弧長(zhǎng)應(yīng)該無(wú)限接近8+8=16,那么圓心角=16×180÷π÷10≈92°,即可得出結(jié)論.
【解答】解:將寬BC n等分,當(dāng)n無(wú)限大時(shí),扇形的半徑應(yīng)該無(wú)限接近10,而扇形的弧長(zhǎng)應(yīng)該無(wú)限接近8+8=16,那么圓心角=16×180÷π÷10≈92°,因此n無(wú)限大時(shí),大扇形的圓心角應(yīng)該大于90°.
故選C.
16.如圖,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.O是△ABC的外心,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F,則OD:OE:OF等于( )
A.a:b:c B.
C.sinA:sinB:sinC D.cosA:cosB:cosC
【考點(diǎn)】HT:三角形中的幾何計(jì)算.
【分析】作出△ABC的外接圓,連接OA、OB、OC,由垂徑定理和圓周角定理可得∠B= ∠AOC=∠AOE,同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF,若設(shè)⊙O的半徑為R,可用R分別表示出OD、OE、OF,進(jìn)而可得到它們的比例關(guān)系.
【解答】解:如圖,連接OA、OB、OC;
∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD,
∴∠BAC=∠BOD;
同理可得:∠BOF=∠BCA,∠AOE=∠ABC;
設(shè)⊙O的半徑為R,則:
OD=R•cos∠BOD=R•cos∠A,
OE=R•cos∠AOE=R•cos∠B,
OF=R•cos∠BOF=R•cos∠C,
故OD:OE:OF=cos∠A:cos∠B:cos∠C,
故選D.
三、解答題(第17-19題每題14分,第20題16分,第21題18分,滿(mǎn)分76分)
17.如圖,圓錐的底面圓心為O,直徑為AB,C為半圓弧AB的中點(diǎn),E為劣弧CB的中點(diǎn),且AB=2PO=2 .
(1)求異面直線(xiàn)PC與OE所成的角的大小;
(2)求二面角P﹣AC﹣E的大小.
【考點(diǎn)】MT:二面角的平面角及求法;LM:異面直線(xiàn)及其所成的角.
【分析】(1)方法(1)根據(jù)中點(diǎn)條件可以證明OE∥AC,∠PCA或其補(bǔ)角是異面直線(xiàn)PC與OE所成的角;
解△PCA可得異面直線(xiàn)PC與OE所成的角
方法(2)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系, ,E(1,1,0)
利用向量的夾角公式可得異面直線(xiàn)PC與OE所成的角
(2)、方法(1)、求出平面APC的法向量,平面ACE的法向量,利用向量法求解.
方法(2)、取AC中點(diǎn)為D,連接PD,OD,可得二面角P﹣AC﹣E的平面角即為∠PDO
解Rt△PDO,可得二面角P﹣AC﹣E的大小
【解答】解:(1)證明:方法(1)∵PO是圓錐的高,∴PO⊥底面圓O,
根據(jù)中點(diǎn)條件可以證明OE∥AC,得∠PCA或其補(bǔ)角是異面直線(xiàn)PC與OE所成的角;
所以
異面直線(xiàn)PC與OE所成的角是
(1)方法(2)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系, ,E(1,1,0)
∴ , , ,
設(shè) 與 夾角θ,
異面直線(xiàn)PC與OE所成的角 .
(2)、方法(1)、設(shè)平面APC的法向量 ,∴ ,
平面ACE的法向量 ,
設(shè)兩平面的夾角α,則 ,
所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos .
方法(2)、取AC中點(diǎn)為D,連接PD,OD,又圓錐母線(xiàn)PA=AC,∴PD⊥AC,
∵底面圓O上OA=OC∴OD⊥AC,
又E為劣弧CB的中點(diǎn),即有E∈底面圓O,
∴二面角P﹣AC﹣E的平面角即為∠PDO,
∵C為半圓弧AB的中點(diǎn),∴∠AOC=90°又直徑 ,
∴ ,
∵PO⊥底面圓O且OD⊂底面圓O,∴PO⊥OD,
又 ∴△Rt△PDO中, ,
∴ 所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos .
18.已知美國(guó)蘋(píng)果公司生產(chǎn)某款iphone手機(jī)的年固定成本為40萬(wàn)美元,每生產(chǎn)1只還需另投入16美元.設(shè)蘋(píng)果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iphone手機(jī)x萬(wàn)只并全部銷(xiāo)售完,每萬(wàn)只的銷(xiāo)售收入為R(x)萬(wàn)美元,且R(x)=
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)只)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)只時(shí),蘋(píng)果公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).
【考點(diǎn)】57:函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用.
【分析】(1)利用利潤(rùn)等于收入減去成本,可得分段函數(shù)解析式;
(2)分段求出函數(shù)的最大值,比較可得結(jié)論.
【解答】解:(1)利用利潤(rùn)等于收入減去成本,可得
當(dāng)0
∴W= ;
(2)當(dāng)0
當(dāng)x>40時(shí),W= ≤﹣2 +7360,
當(dāng)且僅當(dāng) ,即x=50時(shí),Wmax=W(50)=5760
∵6104>5760
∴x=32時(shí),W的最大值為6104萬(wàn)美元.
19.如圖,半徑為1的半圓O上有一動(dòng)點(diǎn)B,MN為直徑,A為半徑ON延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn),且OA=2,∠AOB的角平分線(xiàn)交半圓于點(diǎn)C.
(1)若 ,求cos∠AOC的值;
(2)若A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),求線(xiàn)段AC的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】HT:三角形中的幾何計(jì)算.
【分析】(1)若 ,利用向量的數(shù)量積公式,即可求cos∠AOC的值;
(2)若A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),可得 ,利用余弦定理,即可求線(xiàn)段AC的長(zhǎng).
【解答】解:(1)設(shè)∠AOC=θ, , ∴
=4+1×2×cos(π﹣2θ)+1×2×cos(π﹣θ)+cosθ
=﹣4cos2θ﹣cosθ+6
∴﹣4cos2θ﹣cosθ+6=3,∴ (舍去)
(2)A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),
所以 ∴
∴AC2=1+4﹣2×1×2×cosθ=2,∴ .
20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an﹣2(n∈N*).
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ,b1=8,Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求正整數(shù)k,使得對(duì)任意n∈N*均有Tk≥Tn恒成立;
(3)設(shè) ,Rn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,若對(duì)任意n∈N*均有Rn<λ恒成立,求λ的最小值.
【考點(diǎn)】8H:數(shù)列遞推式;8E:數(shù)列的求和.
【分析】(1)利用已知條件推出an+1=2an,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比q=2,求出通項(xiàng)公式.
(2)推出 ,方法一:通過(guò)T1
綜上,當(dāng)且僅當(dāng)k=4或5時(shí),均有Tk≥Tn.
(3)利用裂項(xiàng)求和,通過(guò)對(duì)任意n∈N*均有 成立,求解即可.
【解答】(本小題滿(mǎn)分13分)
解:(1)由Sn=2an﹣2,得Sn+1=2an+1﹣2兩式相減,得an+1=2an+1﹣2an
∴an+1=2an
數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比q=2
又S1=2a1﹣2,得a1=2a1﹣2,a1=2∴
(2)
,
方法一當(dāng)n≤5時(shí), ≥0
因此,T1
∴對(duì)任意n∈N*均有T4=T5≥Tn,故k=4或5.
方法二(
兩式相減,得 ,
=(6﹣n)•2n+1﹣12, ,
當(dāng)1≤n<4,Tn+1>Tn,當(dāng)n=4,T4=T5,當(dāng)n>4時(shí),Tn+1
綜上,當(dāng)且僅當(dāng)k=4或5時(shí),均有Tk≥Tn
(3)∵
∴ =
∵對(duì)任意n∈N*均有 成立,
∴ ,
所以λ的最小值為 .
21.已知橢圓E: ,左焦點(diǎn)是F1.
(1)若左焦點(diǎn)F1與橢圓E的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn) 在橢圓E上.求橢圓E的方程;
(2)過(guò)原點(diǎn)且斜率為t(t>0)的直線(xiàn)l1與(1)中的橢圓E交于不同的兩點(diǎn)G,H,設(shè)B1(0,1),A1(2,0),求四邊形A1GB1H的面積取得最大值時(shí)直線(xiàn)l1的方程;
(3)過(guò)左焦點(diǎn)F1的直線(xiàn)l2交橢圓E于M,N兩點(diǎn),直線(xiàn)l2交直線(xiàn)x=﹣p(p>0)于點(diǎn)P,其中p是常數(shù),設(shè) , ,計(jì)算λ+μ的值(用p,a,b的代數(shù)式表示).
【考點(diǎn)】KQ:圓錐曲線(xiàn)的定值問(wèn)題;K3:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;KL:直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系.
【分析】(1)利用左焦點(diǎn)F1與橢圓E的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn) 在橢圓E上.列出方程組求解a,b可得橢圓方程.
(2)設(shè)直線(xiàn)l1的方程y=tx,聯(lián)立 ,求解 , , ,推出四邊形A1GB1H的面積,求出最大值,然后求解直線(xiàn)方程.
(3)設(shè)直線(xiàn)l2的方程y=k(x+c)交橢圓b2x2+a2y2﹣a2b2=0于M(x1,y1),N(x2,y2),利用韋達(dá)定理,結(jié)合
題設(shè) , ,求解λ+μ即可.
【解答】(本小題滿(mǎn)分13分)
解:(1)左焦點(diǎn)F1與橢圓E的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn) 在橢圓E上.
∴ ,所以橢圓方程
(2)設(shè)直線(xiàn)l1的方程y=tx
聯(lián)立 ,可以計(jì)算
∴ ,
所以直線(xiàn)l1的方程是
(3)設(shè)直線(xiàn)l2的方程y=k(x+c)交橢圓b2x2+a2y2﹣a2b2=0于M(x1,y1),N(x2,y2),
(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2k2c2﹣a2b2=0,
直線(xiàn)l2交直線(xiàn)x=﹣p(p>0)于點(diǎn)P,根據(jù)題設(shè) , ,
得到(x1+p,yp)=λ(﹣c﹣x1,0﹣y1),(x1+p,yp)=λ(﹣c﹣x2,0﹣y2),
得 ,
=
=
λ+μ的值為: 結(jié)論
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