高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì)考點(diǎn)
在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，大家對(duì)知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該都不陌生吧？知識(shí)點(diǎn)是傳遞信息的基本單位，知識(shí)點(diǎn)對(duì)提高學(xué)習(xí)導(dǎo)航具有重要的作用。相信很多人都在為知識(shí)點(diǎn)發(fā)愁，以下是小編幫大家整理的高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì)考點(diǎn)，希望能夠幫助到大家。
定義：
形如y=x^a（a為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域：
當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：
在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域
性質(zhì)：
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^（p/q）=q次根號(hào)（x的p次方），如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞）。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/（x^k），顯然x≠0，函數(shù)的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x>；0，則a可以是任意實(shí)數(shù)；
排除了為0這種可能，即對(duì)于x<；0和x>；0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù)；
排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。
在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的'，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況。
可以看到：
�。�1）所有的圖形都通過（1，1）這點(diǎn)。
�。�2）當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。
�。�3）當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹；當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。
�。�4）當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。
�。�5）a大于0，函數(shù)過（0，0）；a小于0，函數(shù)不過（0，0）點(diǎn)。
（6）顯然冪函數(shù)無界。
1、函數(shù)性質(zhì)
冪函數(shù)的、圖象一定會(huì)出現(xiàn)在、第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在、第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的、奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi);如果冪函數(shù)圖象與、坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是、原點(diǎn).
正值性質(zhì)
當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)y=x、α有下列性質(zhì)：
a、圖像都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)(0,0);
b、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0,+∞)上是、增函數(shù);
c、在第一象限內(nèi)，α>1時(shí)，、導(dǎo)數(shù)值逐漸增大;α=1時(shí)，導(dǎo)數(shù)為、常數(shù);0<α<1時(shí)，導(dǎo)數(shù)值逐漸減小，趨近于0;
負(fù)值性質(zhì)
當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y=x、α有下列性質(zhì)：
a、圖像都通過點(diǎn)(1,1);
b、圖像在區(qū)間(0，+∞)上是、減函數(shù);(內(nèi)容補(bǔ)充：若為X、-2，易得到其為、偶函數(shù)。利用對(duì)稱性，對(duì)稱軸是y軸，可得其圖像在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞增。其余偶函數(shù)亦是如此)
c、在、第一象限內(nèi)，有兩條漸近線(即坐標(biāo)軸)，、自變量趨近0，函數(shù)值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數(shù)值趨近0。
零值性質(zhì)
當(dāng)α=0時(shí)，冪函數(shù)y=x、a有下列性質(zhì)：
a、y=x、0的圖像是直線y=1去掉一點(diǎn)(0,1)。它的圖像不是直線。
2、函數(shù)特性
對(duì)于α的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
α為約分?jǐn)?shù)
如果α=p/q，且p/q為、既約分?jǐn)?shù)(即p，q、互質(zhì))，q和p都是、整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)下(x的p次方)。如果q是、奇數(shù)，函數(shù)的、定義域是R;如果q是、偶數(shù)，函數(shù)的、定義域是[0,+∞)。
α為負(fù)整數(shù)
當(dāng)指數(shù)α是、負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)α=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在、偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
α小于0時(shí)，x不等于0;
α的分母為偶數(shù)時(shí)，x不小于0;
α的分母為奇數(shù)時(shí)，x取R。
3、函數(shù)判定
冪函數(shù)的一般形式是y=x，其中，n可為任何實(shí)數(shù)，但中學(xué)階段僅研究n為有理數(shù)的情形，這時(shí)可表示為y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互質(zhì)。特別，當(dāng)k=1時(shí)為整數(shù)指數(shù)冪。
(1)當(dāng)m，k都為正奇數(shù)時(shí)，如y=x，y=x，y=x^(3/5)等，定義域、值域均為R，為奇函數(shù);
(2)當(dāng)m為負(fù)奇數(shù)，k為正奇數(shù)時(shí)，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x，y=x^(-3/5)等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數(shù);
(3)當(dāng)m為正奇數(shù)，k為正偶數(shù)時(shí)，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數(shù);
(4)當(dāng)m為負(fù)奇數(shù)，k為正偶數(shù)時(shí)，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數(shù);
(5)當(dāng)m為正偶數(shù)，k為正奇數(shù)時(shí)，如y=x，y=x^(2/3)等，定義域?yàn)镽、值域?yàn)閇0，+∞)，為偶函數(shù);
(6)當(dāng)m為負(fù)偶數(shù)，k為正奇數(shù)時(shí)，如y=x^(-2)=1/x，y=x^(-2/3)等，定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域?yàn)?0，+∞)，為偶函數(shù)。、[1]
4、討論分析
由于x大于0是對(duì)α的、任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在各、象限的各自情況。可以看到：
(1)所有的圖像都通過(1，1)這點(diǎn).(α≠0)、α>0時(shí)、圖象過點(diǎn)(、0，0)和(1，1)。
(2)、單調(diào)區(qū)間：
當(dāng)α為整數(shù)時(shí)，α的正負(fù)性和奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：
①當(dāng)α為正奇數(shù)時(shí)，圖像在定義域?yàn)镽內(nèi)單調(diào)遞增;
�、诋�(dāng)α為正偶數(shù)時(shí)，圖像在定義域?yàn)榈诙笙迌?nèi)單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增;
�、郛�(dāng)α為負(fù)奇數(shù)時(shí)，圖像在第一三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減(但不能說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減);
�、墚�(dāng)α為負(fù)偶數(shù)時(shí)，圖像在第二象限上單調(diào)遞增，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減。
當(dāng)α為分?jǐn)?shù)時(shí)，α的正負(fù)性和分母的奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：
�、佼�(dāng)α>0，分母為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增;
�、诋�(dāng)α>0，分母為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)在第一、三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞增;
�、郛�(dāng)α<0，分母為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減;
④當(dāng)α<0，分母為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)在第一、三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減(但不能說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減);
(3)當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹(豎拋);
當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸(橫拋);
當(dāng)α<0時(shí)，圖像為雙曲線。
(4)在(0,1)上，冪函數(shù)中α越大，函數(shù)圖像越靠近x軸;在(1，﹢∞)上冪函數(shù)中α越大，函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離x軸。
(5)當(dāng)α<0時(shí)，α越小，圖形傾斜程度越大。
(6)顯然冪函數(shù)無界限。
(7)α=2n(n為整數(shù)),該函數(shù)為偶函數(shù)、{x|x≠0}。
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