數(shù)學(xué)思想方法聚焦
巧用整體思想求面積
化零為整，化分散為集中的整體策略是數(shù)學(xué)解題的重要方法，利用整體思想，把一些看似彼此獨(dú)立，實(shí)質(zhì)上緊密相連的量作為整體進(jìn)行處理，不僅會(huì)使問題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.
例1 如圖1，⊙A、⊙B、⊙C兩兩不相交，且半徑都為 ，則圖中陰影部分的面積之和為（ ）.
A． B． C． D．
析解：圖中陰影部分為三個(gè)扇形，所以只要求出扇形的面積即可。但求扇形的面積必須知道圓心角的度數(shù)，如何求出這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)呢？顯然是比較困難的，因?yàn)檫@是一個(gè)普通的三角形。我們觀察到三個(gè)圓的半徑相同，于是考慮將三個(gè)圓心角拼在一起，這樣就可以利用三角形的內(nèi)角和定理來解決了。三個(gè)扇形圓心角的度數(shù)之和為三個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)周角的度數(shù)之和減去三角形的內(nèi)角和，即 ，所以陰影部分的面積之和為： = ，
故選B.
例2 如圖2所示，已知⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)四個(gè)圓心得到四邊形ABCD，則圖形中四個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和為（ ）.
A． B． C． D．
析解：利用整體思想的方法，四個(gè)扇形的圓心角之和為四邊形ABCD的內(nèi)角之和，又因?yàn)樗膫�(gè)圓的半徑都是1，所以陰影部分的面積之和為： 故選B.
例3 有六個(gè)等圓拼成甲、乙、丙三種形狀擺放，使相鄰兩圓均互相外切，如圖3所示的圓心的連線（虛線）分別構(gòu)成正六邊形、平行四邊形和正三角形，將圓心連線外側(cè)的6個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和依次記為S、P、Q，則（ ）.
A．S>P>Q B．S>Q>P C．S>P且P=Q D．S=P=Q
分析：要想比較各個(gè)圖形中陰影部分的面積，由于若逐一計(jì)算，顯然有些麻煩，但考慮將六個(gè)扇形的圓心角合為一個(gè)整體，則可以利用多邊形內(nèi)角和定理，分別求得六個(gè)圓心角之和，這樣就可以通過扇形面積公式從整體上求解。
解：因?yàn)閳D甲是六邊形，即六個(gè)圓心角之和為 =720°；圖乙六個(gè)圓心角之和為平行四邊形的內(nèi)角和加上兩個(gè)半圓的圓心角，即 ；圖丙中六個(gè)圓心角之和為三角形內(nèi)角和加上三個(gè)半圓的圓心角，即： 。因此可見，這三個(gè)圖形中的`六個(gè)扇形的面積之和是相等的，即陰影部分的面積為： .故外側(cè)扇形面積S=P=Q，應(yīng)選D.
由以上三道例題我可以明顯地感悟到：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。因此，我們?cè)谌粘５臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解題時(shí)要細(xì)心觀察給出的圖形,探尋進(jìn)行轉(zhuǎn)化的途徑和方法是解決此類問題的關(guān)鍵,而扇形的面積應(yīng)用在其中的作用是不可低估的。
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