高考專屬數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
出入相補(bǔ)原理
我國古代幾何學(xué)不僅有悠久的歷史，豐富的內(nèi)容，重大的成就，而且有一個具有我國自己的獨(dú)特風(fēng)格的體系，和西方的歐幾里得體系不同。這一幾何體系的全貌還有待于發(fā)掘清理，本文僅就出入相補(bǔ)原理這一局部方面，就所知提出幾點(diǎn)，主要根據(jù)是流傳至今的以下各經(jīng)典著作：
《周髀算經(jīng)》（簡稱《周髀》），
《九章算術(shù)》（簡稱《九章》），
劉徽《九章算術(shù)注》（簡稱《劉注》），
《海島算經(jīng)》（簡稱《海島》），
趙爽《日高圖說》和《勾股圓方圖說》（簡稱《日高說》和《勾股說》）。
田畝丈量和天文觀測是我國幾何學(xué)的主要起源，這和外國沒有什么不同，二者導(dǎo)出面積問題和勾股測量問題。稍后的計(jì)算容器容積、土建工程又導(dǎo)出體積問題。
我國古代幾何學(xué)的特色之一是，依據(jù)這些方面的經(jīng)驗(yàn)成果，總結(jié)提高成一個簡單明白、看起來似乎極不足道的一般原理──出入相補(bǔ)原理，并且把它應(yīng)用到形形色色多種多樣的不同問題上去。
以下將列舉這些不同的應(yīng)用。
簡單應(yīng)用和比例理論
所謂出入相補(bǔ)原理，用現(xiàn)代語言來說，就是指這樣的明顯事實(shí)：一個平面圖形從一處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡單的相等關(guān)系。立體的情形也是這樣。
應(yīng)用這一原理，容易得出三角形面積等于高底相乘積的一半這一通常的公式，由此以定任意多角形的面積。作為另一簡單實(shí)例，可以觀察左圖，如果看作把△ACD移置△ACB處，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ＇、Ⅱ＇，那么依出入相補(bǔ)原理有：
�、螅舰螅�，□PC＝□RC，……（指面積相等）
由此得
PO×OS＝RO×OQ，PO×QC＝RB×BC，……
而 PO＝AR，OS＝QC，PQ＝AB，RB＝OQ，……
因而 AR∶OQ＝RO∶QC，AB∶OQ＝BC∶QC，……
就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相應(yīng)勾股成比例。并且可以導(dǎo)出其他相應(yīng)部分的比例關(guān)系。
以上這些極簡單的結(jié)果雖然沒有在《九章》中明白說出，但是曾經(jīng)多處用這些關(guān)系來解決各種具體問題，參看《劉注》。
測望術(shù)和重差理論
在《周髀》中，就有用兩表測日影以求日高的方法，計(jì)算的公式是：
見上圖，其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后兩表，DH和FI是日影�！逗u》改測日高為測海島的高，同圖AB是海島，H、I是人目望島頂和兩表上端相參合的地方，于是日高公式成為：
劉徽證明和所用的圖都已經(jīng)失傳，但是據(jù)現(xiàn)存《日高說》和殘圖以及其他佐證，原證當(dāng)大致如下：
由出入相補(bǔ)原理，得
□JG＝□GB，（1）
□KE＝□EB，（2）
相減得 □JG－□KE＝□GD，
所以 （FI－DH）×AC＝ED×DF，
即 表目距的差×（島高－表高）＝表高×表距。
這就得到上述公式。
按《海島》共九題都屬測望之類，所得公式分母上都有兩測的差，“重差”這一名稱可能由此而來。其余八題公式都可依出入相補(bǔ)原理用和上面類似的方法證明，現(xiàn)在從略。
元朱世杰《四元玉鑒》中有和《海島》完全類似的幾個題，朱世杰對這些題的解法應(yīng)該有古代相傳下來的一定來歷。依據(jù)朱對海島一題的解法，我們認(rèn)為原證比上面所示的可能稍復(fù)雜一些。如下圖，現(xiàn)在重作證明如下：
由出入相補(bǔ)原理，除（1）、（2）外又有
□PG＝□GD，（3）
由（1）、（2）、（3）得
□JN＝□EB＝□KE，
所以MI＝DH，（4）
FM＝FI－MI＝FI－DH＝表目距的差。
由（3）式就得到海島公式。
如果依照歐幾里得幾何體系的習(xí)慣證法，那就自然應(yīng)該添一平行線GM＇‖AH，如下圖，再利用相似三角形和比例理論作證。清代李璜以及近代中外數(shù)學(xué)史家大都依這一方法補(bǔ)作海島公式的證明，這當(dāng)然不是劉徽的原意，也和我國古代幾何的傳統(tǒng)相違背。注意作平行線的時候應(yīng)有FM＇＝DH，和前面（4）式相比，M和M＇的位置完全不同。
明末耶穌會傳教士利瑪竇（1552—1610）來我國，他的主要學(xué)術(shù)工作之一是介紹歐幾里得幾何體系。他曾口授《測量法義》一書，其中載有和海島題完全類似的一題。在他所作的證明中，需要在FI上取一點(diǎn)M使（4）式成立，再用比例理論作證，見本頁上圖。按常理來說，利瑪竇應(yīng)該作平行線而取M＇使FM＇＝DH，但是他一反歐幾里得慣例而和我國古代傳統(tǒng)不謀而合，頗使人迷惑不解�，F(xiàn)在提出這一問題，希望大家共同探討。
勾股定理
在《周髀》和《九章》中，都已經(jīng)明確給出了勾股定理的一般形式：勾2＋股2＝弦2。雖然原證不傳，但是據(jù)《勾股說》以及《劉注》，都依出入相補(bǔ)原理證明，并且有遺留到現(xiàn)在可以用來作證的趙爽殘圖，這幾方面互相參照，原證應(yīng)該大致如下：
如下圖所示，勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG＝弦2，由此就得到勾股定理。
歐幾里得《幾何原本》中勾股定理的證明如下圖所示，其中要先證有關(guān)三角形全等形以及三角形面積的一些定理，為此要作不少準(zhǔn)備工作，因而在《幾何原本》中直到卷一之末出現(xiàn)這一定理，而在整個《幾何原本》中幾乎沒有用到。而在我國，勾股定理在《九章》中已經(jīng)有多種多樣的應(yīng)用，成為兩千來年數(shù)學(xué)發(fā)展的一個重要出發(fā)點(diǎn)，參閱以下各節(jié)和文末附表。
在東西方的古代幾何體系中，勾股定理所占的地位是頗不相同的。
勾、股、弦和它們的和差互求
勾、股、弦和它們之間的和差共九個數(shù)，只須知道其中的二個就可以求得其他幾個。
除勾、股、弦互求就是開平方之外，《九章》勾股章中有不少這方面的問題：
第一，知股弦差、勾，求股、弦（五題）；
第二，知勾股差、弦，求勾、股（一題）；
第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一題）；
第四，知股弦和、勾，求股、弦（一題）。
各題都列出了一般公式，《勾股說》的許多命題也屬這一類，《劉注》還給出了證明，公式的來歷和證明的方法都依據(jù)出入相補(bǔ)原理，有的也用比例原理作別證。
試以勾股章第十三折竹題為例。題設(shè)竹高已知，竹在某處折斷，竹梢著地，著地處和竹根距離也已知。求折斷處的高度，見上圖。如果以竹梢著地處和竹根的距離作為勾，就是從股弦和、勾求股的問題，《九章》原文給出的公式是：
股弦差＝勾2/股弦和，
《劉注》又給出了另一公式：
為了證明前一公式，可以考慮上圖，其中正方形ABCD和AEFG的邊各是勾股形的弦和股。依勾股定理曲尺形EBCDGF的面積應(yīng)該等于勾2�，F(xiàn)在把□FD如圖移到□CH，那么依出入相補(bǔ)原理，□BH的面積是勾2，而它的邊長各是股弦和、股弦差，就得到上面的前一公式。
另一公式的劉徽證明也相類似。試考察下圖，其中右下角曲尺部分的面積依勾股定理等于勾2，所以粗黑線圍成部分的面積等于股弦和2－勾2。把長方形Ⅰ移到Ⅱ，依出入相補(bǔ)原理，這一面積是斜線部分面積的兩倍，就是2×股×股弦和，由此就得到另一公式。
秦九韶公式
秦九韶《數(shù)書九章》中有一題是已知不等邊三角形田地三邊的長（稱大斜、中斜、小斜，以下簡記為大、中、�。�，求田地面積。秦九韶的解法相當(dāng)于下面的一般公式：
秦的公式來歷不明，證明也失傳了。
現(xiàn)在補(bǔ)作一證如下：
作大斜上的高分大斜成兩部分，作為勾股形的股和弦，見上圖。由
求高，或怎樣求股。由于
股弦和＝大，
勾2＝弦2－股2＝中2－小2，
所以問題歸結(jié)為怎樣從股弦和、勾求股。
依上節(jié)的劉徽公式，得
由此就得到秦的公式。
按秦公式的形式十分古怪，當(dāng)是依某種思路自然引導(dǎo)到這一形式的。
上面的證法頗為自然，也符合我國古代幾何的傳統(tǒng)特色，說它是原證，也是不無可能的。
在西方有所謂海倫公式（a、b、c是三角形三邊的長）：
三角形面積＝
這一公式形式十分漂亮。正因?yàn)檫@樣，如果已知海倫公式而再來推出秦的公式，將是不可思議的。相反，從秦的公式化簡成海倫的公式，卻是比較自然的發(fā)展。
據(jù)此我們至少可以斷言，秦的公式是獨(dú)立于海倫公式而得來的。
關(guān)于海倫的生平，從公元前二世紀(jì)到公元后十世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)史家聚訟紛紜。至于海倫留傳到現(xiàn)在的著作，也已經(jīng)人指出，歷代都經(jīng)過重新編纂，有所增改，已經(jīng)不是本來面目。這是熟悉希臘數(shù)學(xué)史的應(yīng)予澄清的事，這里就不考慮了。
開平、立方
從勾、股求弦，先把勾、股平方后相加，再開平方就得弦。因而勾股定理的應(yīng)用自然導(dǎo)致開平方的問題。
事實(shí)上，《周髀》中已經(jīng)給出了若干具體數(shù)目的平方根，而在《九章》中，更詳細(xì)說明了開平方的具體方法步驟。這一方法的根據(jù)是幾何的，就是出入相補(bǔ)原理。
試以求55225的平方根為例。這相當(dāng)于已知正方形ABCD的面積是55225，求邊AB的長，見上圖。按我國記數(shù)用十進(jìn)位位值制。因AB顯然是一個百位數(shù)，所以求AB的方法就是依次求出百位數(shù)字、十位數(shù)字和個位數(shù)字。先估計(jì)（《九章》中用“議”字）百位數(shù)字是2，因而在AB上截取AE＝200，并且作正方形AEFG，它的邊EF的兩倍稱為“定法”。把AEFG從ABCD中除去，所余曲尺形EBCDGF的面積是55225－2002＝15225。其次估計(jì)十位數(shù)字是3，在EB上截取EH＝30，并且補(bǔ)成正方形AHIJ。從AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以分解成三部分：□FH，□FJ，□FI，面積依次是30×EF，30×FG，302，其中EF＝FG＝200，所以從ABCD中除去AHIJ，所余曲尺形HBCDJI的面積是
15225－（2×30×200＋302）＝2325。
現(xiàn)在再估計(jì)個位數(shù)字是5，在HB上截取HK＝5，并補(bǔ)作正方形AKLM，從ABCD中除去AKLM后所余曲尺形面積和前同法應(yīng)該是
2325－（2×5×230＋522）＝0。
由此知K和B重合而55225的平方根恰好是235。
求立方根的方法步驟和這相似，但是要把一立方體逐步進(jìn)行分解，比平方根求法稍復(fù)雜，所依據(jù)的仍是出入相補(bǔ)原理，這在《九章》中也有詳細(xì)敘述。
我國開平立方法來源很古，它的幾何本質(zhì)十分清晰，而且方法上可以看出我國獨(dú)有而世界古代其他民族所無的位值制記數(shù)法的高度優(yōu)越性。不僅這樣，至遲到十一世紀(jì)中葉，我國就已經(jīng)把開平立方法推廣到開任何高次冪，就是所謂“增乘開方法”，并且出現(xiàn)了有關(guān)的二項(xiàng)式定理系數(shù)表，就是所謂“開方作法本源圖”。從這一方法的幾何淵源看來，如果說當(dāng)時我國數(shù)學(xué)家已經(jīng)有高維方體和高維幾何的稚影，似乎不是全無根據(jù)的。
解二次方程
在開平方的過程中，曾經(jīng)出現(xiàn)像第84頁下圖中黑線部分那樣的圖形，其中2×EF稱定法。開平方在求得AE以后，其次幾步在于從曲尺形EBCDGF的已知面積求得EB�，F(xiàn)在把□DF移到□CH，那么依出入相補(bǔ)原理，□BH面積已知，此外□BH的兩邊EH和EB的差就是定法2×EF，也有已知數(shù)值。因而求EB的問題可以轉(zhuǎn)化為下面的問題：
�。ˋ）已知一長方形（□BH）的面積、長闊差，求長闊。
反過來，這一問題的解法，可依開平方中第二步以下的方法求得，稱為“開帶從平方”。這在《九章》以來是用下面的語句來表達(dá)的。
�。˙）“以‘長方形面積’為實(shí)，‘長闊差’為從法，開方除之，得‘闊’”。
以上“從法”一名，當(dāng)來自開平方過程中的“定法”，“開方”一詞也說明了它的來歷。
下面的例取自《九章》，見下圖。圖中ABCD是一方城，出北門北行若干步到G有木，出南門南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望見木G，問題是求方城每邊的長。據(jù)《劉注》的方法是依出入相補(bǔ)原理得
□EJ＝2□EG＝2□KG＝2×北步×西步。
□EJ的長闊差是“南步＋北步”，所以解法是以“2×北步×西步”為實(shí)，以“南步＋北步”為從法，開平方除之，得EI，也就是方城邊長。
不僅應(yīng)用開平方法可得問題（A）的數(shù)值解，而且應(yīng)用出入相補(bǔ)原理，還可以求得解答的精確表達(dá)式。如果以長方形的闊作為勾，長作為股，那么問題（A）相當(dāng)于：
�。–）已知勾股積、勾股差，求勾、股。
為此考趙爽殘圖如附圖。圖中大小兩正方形的邊長各是勾股和、勾股差，所以得
勾股和2＝4×勾股積＋勾股差2。
由此得勾股和，因而得勾和股。同樣也可從勾股和、勾股積求得勾和股，這一方法可以參閱《勾股說》的末一命題。
宋元時期明確引入了未知數(shù)的概念。如果以X（當(dāng)時稱為天元一）表長方形闊，那么問題（A）相當(dāng)于解一個二次方程
x2+ax=b，
其中a相當(dāng)于從法，b相當(dāng)于實(shí)。所以在古代實(shí)質(zhì)上已經(jīng)給出了這一形式二次方程（a，b都是正數(shù)）的近似解和精確解，前者在宋元時期發(fā)展為求任意高次方程的數(shù)值解法，后者雖文獻(xiàn)散佚不可查考，但是據(jù)唐初王孝通的著作以及史書關(guān)于祖沖之的引述看來，不能排除我國曾經(jīng)對三次方程用幾何方法求得精確表達(dá)式的可能性。
在其他各國，公元九世紀(jì)的時候，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花刺子模（約780—約850）的代數(shù)學(xué)名著中列舉了各種類型二次方程的精確解法，它的方法是幾何的，它的精神實(shí)質(zhì)和出入相補(bǔ)原理頗相類似。公元十六世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家關(guān)于三次方程的解法，也完全是幾何的。
體積理論和劉徽原理
如果規(guī)定長方形的面積是長闊的積，那么依據(jù)出入相補(bǔ)原理，容易得到：
由此可以完全奠定平面多角形的面積理論。但是在空間情形，如果規(guī)定長方體的體積是長、廣、深的積，是否依據(jù)出入相補(bǔ)原理，可以推得。
由此以建立多面體的體積理論，就不是那么明顯而是極其困難的問題。歐洲直到十九世紀(jì)末，才把它作為一個難題明確地提了出來。公元1900年德國數(shù)學(xué)家希耳伯特（1862—1943）在國際數(shù)學(xué)會上所作著名講演中，把體積理論列為二十三個問題之一。這一問題立即為德恩（1878—1952）所解決，答案是否定的：兩個多面體要分割成彼此重合的若干多面體，必須滿足某些條件，通稱德恩條件。自此以后直到1965年，一位瑞士數(shù)學(xué)家西德勒才證明了德恩條件也是充分的。但是問題決不能認(rèn)為已經(jīng)徹底解決。從希耳伯特直到晚近，多面體體積理論仍不斷成為一些知名數(shù)學(xué)家研討的課題。德恩條件敘述復(fù)雜，也難認(rèn)為是合宜的最后形式。
在這種情勢下，看看中國古代對這一問題的處理方式是不無有啟發(fā)性的。
《九章》以至《劉注》解決體積問題的出發(fā)點(diǎn)是把一般的多面體分解為一些基本的立體。先把一長方體斜剖為二，如下圖（1），得兩塹堵（塹堵是兩底面是直角三角形的正柱體）。再把塹堵斜剖為二，如上圖（2）；一個是陽馬（陽馬是直角四棱錐體），如上圖（3）；一個是鱉?（鱉?是四面都是勾股形的四面體），如上圖（4）。其中鱉?的特征是AB和平面BFG垂直，F(xiàn)G和平面ABF垂直。由于任一多面體可以分割為四面體，而任一四面體可以分割為六個鱉?，如下圖，所以問題歸結(jié)為求鱉?（以及陽馬）的體積。依劉徽原話，就是所謂陽馬、鱉?，“功實(shí)之主也�！�
其次的問題是怎樣求得陽馬和鱉?的體積。如果長方體成為立方體，那么分解所得的陽馬的體積是鱉?的兩倍。劉徽作了長篇的分析，得出結(jié)論是：這個論斷普遍成立。用劉的原話是：“陽馬居二，鱉?居一，不易之率也�！蔽覀儼阉Q作：
劉徽原理 斜解一長方體，所得陽馬和鱉?的體積的比恒是二比一。
從這一原理容易得到鱉?和陽馬的體積公式。由此又容易得到（2）式，因而整個多面體的體積理論可奠基于劉徽以及出入相補(bǔ)這兩個原理之上。
劉徽對他的原理有詳細(xì)的分析說明，實(shí)際上就是這一原理的證明。按希耳伯特和他的后繼者的研究指出，體積理論和面積理論不同，出入相補(bǔ)原理之外，必須輔以連續(xù)一類公理。也有人（例如沙頓諾斯基，1903年）提出排除連續(xù)公理，直接應(yīng)用（2）式作為建立體積理論的基礎(chǔ)。但是這樣就要先證明（2）式中高和底面積的乘積凡四都彼此相等，這既不明顯也不簡單，似不如劉徽原理和出入相補(bǔ)原理的顯豁自然。
總之，多面體的體積理論到現(xiàn)在還余蘊(yùn)未盡，估計(jì)中國古代幾何中的思想和方法或許對進(jìn)一步的探討還不無幫助。
羨除公式
《九章》中列舉了各種多面體的體積，依據(jù)的就是出入相補(bǔ)原理和陽馬、鱉?公式。現(xiàn)在以羨除即隧道（羨除是三個側(cè)面不是長方形而是梯形的楔形體，見上圖）為例，圖中ABCD是地面，成一梯形，CDEF是隧道的一端，成垂直平面中的梯形。整個隧道依剖面IJK對稱。EG、FH都和CD垂直是隧道的深，IJ是隧道地面的長，CD、EF、AB各稱上廣、下廣、末廣�！毒耪隆方o出的公式是：
《劉注》的證法是先把羨除分解，如在上圖中CD＞AB＞EF的情形，分解成一個塹堵EFGHLM，兩個小鱉?AGEL和BHFM，兩個不正規(guī)大鱉?ACEG和BDFH，再應(yīng)用塹堵、鱉?公式和上一節(jié)公式（2），就得到這一公式。這一方法在《九章》中用來求得例如芻甍（楔形體）、芻童、盤池、冥谷（是各種棱臺）等多面體的體積公式。
如果依IJK剖面取羨除的一半，所得IJKACE如下圖是一斜截直柱體，是把一個以勾股形為底面的直柱體斜截而成，它的體積是三高平均值和底面面積的積。因由任意曲面所圍成的立體可以看作近似地由這樣的斜截直柱體構(gòu)成，所以據(jù)此可以得出函數(shù)f（x，y）的積分近似公式，猶之微積分中求曲線下面積的辛普森積分近似公式。因而羨除公式具有重要意義。
在西方，斜截直柱體的體積公式最早見于1794年勒讓德（1752—1833）所著《幾何原理》一書，因此也稱為勒讓德公式。按勒讓德的書是從歐幾里得《幾何原本》以后最早可以代替《原本》的名著，它的有關(guān)公式的證明同樣依據(jù)四面體體積公式，但是它的分解方法和《劉注》不同。
此外某些多面體西方也有不同的分解法和證法，不妨中外參照，加以比較。
球體積和祖暅原理
從《九章》到《劉注》，我國對多面體的體積已經(jīng)建立了相當(dāng)完整的理論體系。但是對于曲面圍成的立體，特別是球的體積問題，卻遇到了困難。
這一球體積問題，直到南北朝時期祖暅才完全解決，為此并且提出了所謂祖暅原理 冪勢既同，則積不容異。
這一原理在公元十七世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（1598—1647）提出卡瓦列里原理重見于歐洲，成為微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵性的一步。
祖暅關(guān)于球體積公式的證明見于《九章》的唐李淳風(fēng)注，論證極其詳細(xì)清晰。證明分三步：
第一，在一立方體中依兩不同方向作兩內(nèi)切圓柱體，它的共同部分稱“牟棋”。依祖暅原理可得：
高處截面積的和跟陽馬同高處的截面積相等。
第三，再應(yīng)用祖暅原理，知三外棋體積的和跟陽馬體積相等。
由陽馬的體積公式，就可從上述三步得球體積公式。
按牟合方蓋是劉徽所引入的，第一步的結(jié)果實(shí)質(zhì)上也已經(jīng)為劉徽所求得。事實(shí)上，在《劉注》中，他已經(jīng)多次應(yīng)用了祖暅原理來求曲面圍成立體的體積，例如從方堡?（長方體）求圓堡?（圓柱），從方錐求圓錐，從方亭（正方臺）求圓亭（圓臺），都已經(jīng)使用這方法。祖暅的功績，不僅在于具體求出了牟合方蓋因而求出球的體積，更在于把實(shí)際上已知并且已經(jīng)廣泛應(yīng)用的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)總結(jié)提高到一般原理的形式。是否應(yīng)該把祖暅原理改稱為劉祖原理，是可以商討的。
從祖暅原理可以立即得出前面講到的劉徽原理，因而多面體的體積理論也可以建立在出入相補(bǔ)原理和祖暅原理這兩個淺顯易明的基本原理之上。在歐洲，直到希耳伯特的《幾何基礎(chǔ)》問世以后，二十世紀(jì)初年，才有人（例如緒思）考慮依卡瓦列里原理以建立體積理論的問題。
其 他
《九章》中有豐富的幾何學(xué)內(nèi)容，即使局限于出入相補(bǔ)原理，除了已經(jīng)見于前面各節(jié)的以外，也還有一些成果為我國數(shù)學(xué)以后發(fā)展的重要出發(fā)點(diǎn)。例如所謂勾股容圓問題，在李冶的《測圓海鏡》中已經(jīng)有了很大的發(fā)展。又如前面提到過的所謂方城問題，在秦九韶、李冶等的著作中已經(jīng)把方城改成了圓城，就是舊有方法所不能解的。為此宋元時期創(chuàng)立了所謂天元術(shù)一類新的理論和方法，不僅可以用來解決許多新問題，對老的問題（所謂古問）也提供了新的有力工具，和老的方法（所謂古法）相比可以“省功數(shù)倍”。這些新理論新方法的實(shí)質(zhì)在于幾何的代數(shù)化，乃是解析幾何的前奏，也是近代代數(shù)學(xué)的前驅(qū)。
總 結(jié)
出入相補(bǔ)、劉徽、祖暅等一般原理的建立，說明我國古代學(xué)者具有高度的抽象概括能力，善于在深入廣泛的實(shí)踐基礎(chǔ)上往高里提。這些原理之簡單易明正可和它們應(yīng)用之廣互相輝映。這是我國古代數(shù)學(xué)的一種獨(dú)特風(fēng)格，著重在問題的解決以及解決的一般方法和一般原理原則，同樣的風(fēng)格也可見之于幾何的代數(shù)化、位值制記數(shù)法等等。這和西方數(shù)學(xué)之偏重于概念和概念之間的相互邏輯關(guān)系，是異其旨趣的。
我國數(shù)學(xué)經(jīng)典著作散佚的多而保存的少，就像祖暅原理，也只靠李淳風(fēng)一注才得以留傳下來。像這一類重要成果而失傳無從查考的，當(dāng)不在少數(shù)。盡管如此，只從留傳至今的典籍看來，我國數(shù)學(xué)的生產(chǎn)實(shí)踐方面的淵源和發(fā)展演變的線索，仍舊很分明，參見下頁兩個附表。
漫談有理數(shù)
在小學(xué)里，同學(xué)們學(xué)習(xí)了自然數(shù)、零和分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在，又學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)。這些數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。但是，你想過沒有，有理數(shù)是怎么產(chǎn)生的？
很久很久以前，人類的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是獸皮和樹葉，吃的是山上的野獸、樹上的野果和水里的魚，終年靠狩獵為生。那時候，雖然每天獵取的食物不多，但仍然有一個記數(shù)的問題。開始，人們只是以”多”和“少來區(qū)分。漸漸地，有人想到可以扳著手指頭來數(shù)（shu）數(shù)，因?yàn)槟菚r每天狩獵的結(jié)果也只是“屈指可數(shù)”的水平。再后來，狩獵的工具改進(jìn)了，水平也提高了，當(dāng)獵物超過十個以后，“屈指”已不可數(shù)，于是又想到在一條繩子上打結(jié)來記數(shù)。周代（公元前10世紀(jì)前后）《易經(jīng)·系辭》中記載的“上古結(jié)繩而治”，指的就是那個遠(yuǎn)古的時代。又過了不知多少年代，人們漸漸感到“結(jié)繩’不但麻煩，而且時間一長往往記不清這些“結(jié)”指的是什么了，終于想到要用一些符號來表示各種不同的東西和各種東西的數(shù)目，出現(xiàn)了最早的數(shù)字。例如，公元前三、四千年我國西安的半坡遺址和公元前近二千年的二里頭遺址的陶文中，就有| || ||| ||||× 或X ∧ 或個 + 八 + |等符號，它們分別表示
1 2 3 4 5 6 7 8 70。
在殷墟的甲骨文卜辭中，也有許多數(shù)字（參見《中國數(shù)學(xué)的世界之最》一文）。在國外，大約在公元八世紀(jì)有一種印度的數(shù)字傳入阿拉伯，它們是：
? ∧ ∨ 10。等等，它們分別表示l：2、工4、5、5、7：8、9、10．這種數(shù)字后來由阿拉伯傳人歐洲，被歐洲人稱作阿拉伯拉字。這些數(shù)字符號，在使用過程中經(jīng)人們不斷的改進(jìn)，最后演變成現(xiàn)在我們所使用的數(shù)字。
數(shù)字的出現(xiàn)，給人們的生產(chǎn)和生活帶來了極大的方便。但如何用盡量少的數(shù)字來表示那么多的數(shù)呢？這個問題，在中國人首先創(chuàng)法了十進(jìn)位置制記數(shù)法以后，才最終得到圓滿的解決。
打獵有時兩人合作才能獵獲一只兔子，有時五人合作一共獵獲二頭羊。如何分配這些食物呢？起初，人們只知道“二分一”、”五分二’；后來，才逐漸形成了分?jǐn)?shù)的概念，記錄下來，就是“二分之一”、“五分之二”、... ...，這也是中國人首創(chuàng)的�！吨荀滤憬�(jīng)》中已大量使用分?jǐn)?shù)，《九章算術(shù)》（約公元前100～50年）給出了相當(dāng)完整的分?jǐn)?shù)理論，比歐洲同類著作大約早1400年。我們現(xiàn)在所說的分?jǐn)?shù)除法把除數(shù)“顛倒相乘”，就是我國古代教學(xué)家劉徽（公元前三世紀(jì)）的原話。
人類對零的認(rèn)識比較晚。打不到野獸，空手而歸，這是最初對“零”的印象──空虛、饑餓、一無所有。在記錄這種情況時，各民族大多不約而同地用空位來表示。后來，又用符號“□”表示空位（有人推測這是個空無一物的牲畜欄），慢慢地就演化成現(xiàn)的“0”了。
正如偉大導(dǎo)師恩格斯所精辟論斷的那樣“數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實(shí)世界中得來的”。
在小學(xué)教學(xué)中，算式“2-3”給我們的印象是“不夠減”。但學(xué)習(xí)了《有理教》的知識以后，我們就能解決這個問題了。有理數(shù)包括正數(shù)、負(fù)數(shù)和0。正負(fù)效的概念也是從生產(chǎn)實(shí)際的需要中產(chǎn)生的。生產(chǎn)發(fā)展了，一方面，人們的“財(cái)富”多起來，同時也促使人們“互通有無”，進(jìn)行交換。于是，人們把私有財(cái)產(chǎn)記為正，欠債記為負(fù)；收入記為正，支出記為負(fù)；運(yùn)進(jìn)記為正，運(yùn)出記為負(fù)；超出記為正，不足記為負(fù)... ...人們從這些具有相反意義的量中抽象出了正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念。負(fù)數(shù)是相對于正數(shù)而言的。正數(shù)和負(fù)數(shù)既相互對立，又相互依存。我們的祖先不僅最早認(rèn)識到負(fù)數(shù)的存在，而且總結(jié)出正負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則（如《九章算術(shù)》），這在當(dāng)時也是一件具有世界意義的重大創(chuàng)造。
由于生產(chǎn)實(shí)踐的需要，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)的概念一直在不斷地?cái)U(kuò)充。目前，對于人類已經(jīng)掌握的數(shù)的概念，其關(guān)系可綜述為：
高考數(shù)學(xué)沖刺輔導(dǎo)：導(dǎo)數(shù)中檔題是拿分點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)中檔題是拿分點(diǎn)
近幾年導(dǎo)數(shù)的高考試題主要有下面幾種類型：
1.單調(diào)性問題
研究函數(shù)的單調(diào)性問題是導(dǎo)數(shù)的一個主要應(yīng)用，解決單調(diào)性、參數(shù)的范圍等問題，需要解導(dǎo)函數(shù)不等式，這類問題常常涉及解含參數(shù)的不等式或含參數(shù)的不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解。由于函數(shù)的表達(dá)式常常含有參數(shù)，所以在研究函數(shù)的單調(diào)性時要注意對參數(shù)的分類討論和函數(shù)的定義域。
2.極值問題
求函數(shù)y=f(x)的極值時，要特別注意f'(x0)=0只是函數(shù)在x=x0有極值的必要條件，只有當(dāng)f'(x0)=0且在xx0時，f'(x0)異號，才是函數(shù)y=f(x)有極值的充要條件，此外，當(dāng)函數(shù)在x=x0處沒有導(dǎo)數(shù)時， 在x=x0處也可能有極值，例如函數(shù)f(x)=x在x=0時沒有導(dǎo)數(shù)，但是，在x=0處，函數(shù)f(x)=x有極小值。
還要注意的是， 函數(shù)在x=x0有極值，必須是x=x0是方程f'(x)=0的根，但不是二重根(或2k重根)，此外，在確定極值點(diǎn)時，要注意，由f'(x)=0所求的駐點(diǎn)是否在函數(shù)的定義域內(nèi)。
3.切線問題
曲線y=f(x)在x=x0處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，切線與曲線的綜合，可以出現(xiàn)多種變化，在解題時，要抓住切線方程的建立，切線與曲線的位置關(guān)系展開推理，發(fā)展理性思維。關(guān)于切線方程問題有下列幾點(diǎn)要注意：
(1)求切線方程時，要注意直線在某點(diǎn)相切還是切線過某點(diǎn)，因此在求切線方程時，除明確指出某點(diǎn)是切點(diǎn)之外，一定要設(shè)出切點(diǎn)，再求切線方程;
(2)和曲線只有一個公共點(diǎn)的直線不一定是切線，反之，切線不一定和曲線只有一個公共點(diǎn)，因此，切線不一定在曲線的同側(cè)，也可能有的切線穿過曲線;
(3)兩條曲線的公切線有兩種可能，一種是有公共切點(diǎn)，這類公切線的特點(diǎn)是在切點(diǎn)的函數(shù)值相等，導(dǎo)數(shù)值相等;另一種是沒有公共切點(diǎn)，這類公切線的特點(diǎn)是分別求出兩條曲線的各自切線，這兩條切線重合。
4.函數(shù)零點(diǎn)問題
函數(shù)的零點(diǎn)即曲線與x軸的交點(diǎn)，零點(diǎn)的個數(shù)常常與函數(shù)的單調(diào)性與極值有關(guān)，解題時要用圖像幫助思考，研究函數(shù)的極值點(diǎn)相對于x軸的位置，和函數(shù)的單調(diào)性。
5.不等式的證明問題
證明不等式f(x)≥g(x)在區(qū)間D上成立，等價于函數(shù)f(x)-g(x)在區(qū)間D上的最小值等于零;而證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上成立，等價于函數(shù)f(x)-g(x)在區(qū)間D上的最小值大于零，或者證明f(x)min≥g(x)max、f(x)min>g(x)max。因此不等式的證明問題可以轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值或最大(小)值問題。
高考數(shù)學(xué)易考易錯點(diǎn)總結(jié)
1.指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的限制條件你注意了嗎?(真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1)它們的函數(shù)值分布情況是如何的?
2.利用換元法證明或求解時，是否注意“新元”的范圍變化?是否保證等價轉(zhuǎn)化?
3.利用放縮法證明或求解時，是否注意放縮的尺度及方向的統(tǒng)一?
4.圖像變換的時候是否清楚任何變換都是對“變量本身”進(jìn)行的?
5.對于集合，你是否清楚集合中的元素(數(shù)、點(diǎn)、符號、圖形等)是什么及元素的特性(確定性、互異性、無序性)?在集合運(yùn)算時是否注意空集和全集?
6.命題的否定(只否結(jié)論)與否命題(條件、結(jié)論全否)的區(qū)別你知道嗎?
7.求一個函數(shù)或其反函數(shù)的解析式的時候你標(biāo)明函數(shù)的定義域了嗎?
8.映射的概念你了解嗎?對于映射f:A→B，是否注意到集合A中元素的任意性和集合B中與它對應(yīng)元素的唯一性(B中可有多余元素)?
9.根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性時的一般步驟是什么(取值規(guī)定大小、作差化連乘積、判斷符號下結(jié)論)?
10.判斷一個函數(shù)的奇偶性時是否注意到定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱這個必要非充分條件了?
11.“三個二次”的關(guān)系你清楚嗎?(二次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即二次方程的根;不等式的解集為二次函數(shù)圖像上方或下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合)含有參數(shù)的二次型你是否注意對二次項(xiàng)系數(shù)、對稱軸、定義域、判別式、根的大小等的討論?
12.數(shù)列也是一種特殊的函數(shù)你忽視了嗎?是否能利用數(shù)列性質(zhì)解題?
13.你還記得三角變換化簡的通性通法嗎(“角”的變換、“名”的變換、“冪”的變換、“形”的變換等)?
14.利用“均值不等式”證明或求最值的時候是否注意“一正、二定、三相等”的條件?如果等號取不到經(jīng)常采用哪些辦法(利用單調(diào)性、配湊、圖像法等)?
15.分式不等式的一般解法是什么(移項(xiàng)、通分、合并同類項(xiàng)、分式化整式)?
16.理解直線的傾斜角和斜率的概念了嗎?在設(shè)直線方程解題時是否忽略斜率不存在的情況?
17.直線的'截距概念如何理解(截距可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零)?
18.會求球面距離嗎?它的基本類型有哪些?你能把它們轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形嗎(經(jīng)度同緯度不同轉(zhuǎn)化為線面角、緯度同經(jīng)度不同轉(zhuǎn)化為二面角)?
19.排列、組合應(yīng)用問題的解題策略有哪些?(特殊元素優(yōu)先安排、合理分類準(zhǔn)確分步、混合問題先選后排、正難則反等價轉(zhuǎn)化、相鄰捆綁不鄰插空、分排問題直排處理、定序問題除法處理、分配問題列表隔板、取與不取用組合數(shù)、分堆問題沒有順序)
20.過定點(diǎn)的圓切線方程的求法你清楚嗎(首先判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，如果在圓上，直接利用公式;如果在圓外，可由代數(shù)法列方程組求解，也可由幾何法圓心到直線的距離等于半徑列等式求解)?
21.圓的弦長的求法你清楚嗎(代數(shù)法、幾何法)?
22.能區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件(事件A或B是否發(fā)生對于事件B或A發(fā)生的概率沒有影響)嗎?
23.解答選擇題、填空題的特殊方法是什么?(數(shù)形結(jié)合、特值<含特殊值、特殊位置、特殊圖形>、排除、驗(yàn)證、轉(zhuǎn)化、分析、估算、極限等)
24.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義，在它們的統(tǒng)一定義里清楚常數(shù)e的含義。掌握一些常用的求軌跡方程的方法并注意驗(yàn)證，會用定義法判斷動點(diǎn)軌跡是什么曲線嗎?
25.能盡量多地記住圓錐曲線中的一些重要的點(diǎn)(如焦點(diǎn)、頂點(diǎn))、線段(如長<實(shí)>半軸、短<虛>半軸、半焦距、焦準(zhǔn)距、焦半徑、通徑)、線(如準(zhǔn)線、漸近線)、圖形(如a,b,c的直角關(guān)系三角形、焦點(diǎn)三角形、直角梯形)及結(jié)論(如焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形的面積公式)的含義并加以靈活運(yùn)用嗎?
26.在直線與圓錐曲線的存在性或范圍問題的處理時，是否注意對聯(lián)立消去參數(shù)之后的方程的二次項(xiàng)系數(shù)、判別式等進(jìn)行討論?是否也能想到利用曲線變量本身的范圍進(jìn)行求解(如橢圓的有界性)?
27.采用不同的抽樣方法從總體中抽取相同容量的樣本各個體被抽到的概率相同嗎?(相同，可自行證明)
28.會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題嗎?證明的一般步驟是什么(歸納、猜想、證明<先設(shè)n=c時，命題成立;再設(shè)n=k,k≥c時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立>)?
29.能用定義說明函數(shù)是否連續(xù)嗎?
30.兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，不能比較大小。會用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件解題嗎(實(shí)部和實(shí)部相等、虛部和虛部相等)?
31.清楚導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義嗎?函數(shù)連續(xù)與函數(shù)可導(dǎo)有什么聯(lián)系(可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo))?
32.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義。能區(qū)分好復(fù)平面與平面直角坐標(biāo)系嗎?
33.高中階段都遇到了哪些角的范圍，你能分清楚嗎?(1)直線與直線平行時為0;(2)直線與直線相交時夾角的范圍是(0,π/2]，到角的范圍是(0,π);(3)兩異面直線(含垂直)所成角的范圍是(0,π/2];(4)兩非零向量所成角的范圍是[0,π];(5)直線與平面所成角的范圍是[0,π/2];(6)斜線與平面所成角的范圍是(0,π/2);(7)二面角的平面角的范圍是[0,π]。
34.在證明空間位置關(guān)系和求距離的時候除了直接法以外是否能利用轉(zhuǎn)化法或向量法?
35.反三角函數(shù)表示角只能是特定區(qū)間上的角，你能用反三角函數(shù)表示任意區(qū)間上的角嗎?
36.向量是既有大小又有方向的量，不可比較大小。如何進(jìn)行向量運(yùn)算?
37.數(shù)量積的幾何意義是什么?數(shù)量積的運(yùn)算率你清楚嗎(交換率、分配率)?
38.在解三角問題時，你是否注意到三角函數(shù)的定義域、有界性、周期性等，是否能利用圖像對三角函數(shù)問題進(jìn)行分析?在條件求值問題中是否注意角的范圍討論?
39.圖像按向量平移的本質(zhì)是什么(實(shí)際上就是點(diǎn)的平移，簡言之向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)<目標(biāo)函數(shù)>坐標(biāo)減去起點(diǎn)<原函數(shù)>坐標(biāo))?
40.不等式有哪些重要性質(zhì)?其中哪些性質(zhì)在應(yīng)用的時候要注意限制條件(可乘、累乘、乘方、開方)?
41.能區(qū)分互斥事件(A,B兩事件不可能同時發(fā)生)和對立事件(A,B兩事件不可能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生)嗎?
42.解答探索性問題時要注意思維的廣度，注重知識間的聯(lián)系，善于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題，一般分猜想歸納型、存在型問題、分類討論型幾種基本題型。
43.求數(shù)列通項(xiàng)公式的技巧有哪些(觀察、公式、作差、作積、構(gòu)造等)，是否驗(yàn)證每一項(xiàng)都滿足所求因式了?數(shù)列求和時是否先對通項(xiàng)公式加以分析?
高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：學(xué)數(shù)學(xué)就像吃牛軋花生糖
為了幫助學(xué)生們更好地學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)，精心為大家搜集整理了“高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：學(xué)數(shù)學(xué)就像吃牛軋花生糖”，希望對大家的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所幫助！
高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：學(xué)數(shù)學(xué)就像吃牛軋花生糖
高三數(shù)學(xué)怎么學(xué)？其實(shí)，這是一個吃“牛軋花生糖”的過程。我想借用這5個字“牛、軋(同音“扎”，即扎實(shí))、花生(諧音“化生”，即數(shù)學(xué)解題中的“化生為熟”策略)糖(甜蜜)”，來談?wù)勎覍Υ蠹覍W(xué)習(xí)高三數(shù)學(xué)的建議。
提起“�！�，人們會說牛氣沖天、老黃牛、牛勁。是的，我們學(xué)習(xí)就是要一股牛氣，要有一股初生牛犢的精神，要有牛氣沖天的干勁，要不畏難、不怕苦，要勤于思考、敢于實(shí)踐，要把自卑心理一掃而光，代之而起的是高漲而持續(xù)的學(xué)習(xí)熱情。
牛在緊要關(guān)頭不僅有沖勁，在平時耕田拉車中還特有韌勁，我們特別需要能長久維持的韌勁，它是我們成功的必要條件，有了這股韌勁，就能克服一切困難，集中精力，發(fā)奮讀書，即使身體小有不適，也能盡量堅(jiān)持學(xué)習(xí)，這是對自己意志的考驗(yàn)。
“軋”音同 “扎”，寓意是學(xué)習(xí)要扎實(shí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的扎實(shí)表現(xiàn)在：
(1)不滿足于聽懂、看懂，關(guān)鍵要能準(zhǔn)確地書寫表達(dá)出來，還要能舉一反三，否則，沒有真懂。
(2)運(yùn)算要既快又準(zhǔn)。速度慢了不行，但算錯了更不行！
要做到這兩條，必須在課堂上認(rèn)真聽講、用心思考、勤于演算、善于筆記。在課后還要通過一定數(shù)量模仿性練習(xí)、提高性練習(xí)等高質(zhì)量作業(yè)才能牢固掌握，做作業(yè)不互相對答案，不抄襲，遇到不懂問題可以相互討論，但懂了以后自己再獨(dú)立做。還要自覺學(xué)會歸納解題成功的經(jīng)驗(yàn)和總結(jié)失敗的教訓(xùn)，做到吃一塹，長一智。
花生的果實(shí)生長在地下，默默地被大地滋潤著，直到成熟才離開土地，營養(yǎng)價值極高。滋潤著學(xué)生成長的是國家以及你們的父母和老師。
“花生”的“生”單獨(dú)字面有陌生、生疏的意思，“花”有相間的意思，此處借用“花生”是想說在學(xué)習(xí)過程中會時常出現(xiàn)一些新的問題和困難，這需要我們正確的態(tài)度去對待，是強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)差、問題難，還是知難而進(jìn)，用心思考，不恥下問，是對每個同學(xué)學(xué)習(xí)毅力的考驗(yàn)。
“花生”的諧音是“化生”，借指數(shù)學(xué)中常用的方法——化生為熟。這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問題的一條重要途徑，是學(xué)會分析問題和解決問題的重要方法。
糖是大家喜歡的食品，它給我們辛苦的學(xué)習(xí)帶來一絲甜意，我希望大家在繁重的學(xué)習(xí)間隙，可以唱支歌、跳曲舞來調(diào)節(jié)生活，來體驗(yàn)學(xué)習(xí)的甜蜜，預(yù)示同學(xué)們?nèi)旮咧猩钣幸粋�甜美的結(jié)果。但是大家知道，葡萄在成熟之前是不甜的，這預(yù)示著，在我們最后幾個月的學(xué)習(xí)中可能會有很多感觸，那種時而忽然開朗，眼前一片光明，時而百思不解，眼前一片黑暗，那種糾結(jié)、煩躁、甚至憤怒，沒有親身經(jīng)歷的人是難以體會的！這樣的經(jīng)歷是一個人成長、成熟所必須經(jīng)歷的，我們只能面對，沒有逃避的余地，這或許是“先苦后甜”的深刻含義吧。
吃了今天的“牛軋花生糖”，我相信今后你們學(xué)習(xí)信心更大，克服困難的意志更堅(jiān)強(qiáng)，解決問題方法更多，成績提高得更快，明天的日子會更甜！
經(jīng)過精心的整理，有關(guān)“高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：學(xué)數(shù)學(xué)就像吃牛軋花生糖”的內(nèi)容已經(jīng)呈現(xiàn)給大家，祝大家學(xué)習(xí)愉快！
父與子
阿諾德、巴頓、克勞德和丹尼斯都是股票經(jīng)紀(jì)人，其中有一人是其余三人中某一人的父親。一天，他們在證券交易所購買股票的情況是：
�。╨）阿諾德購買的都是每股3美元的股票，巴頓購買的都是每股4美元的股票，克勞德購買的都是每股6美元的股票，丹尼斯購買的都是每股8美元的股票。
�。�2）父親所購的股數(shù)最多，他花了72美元。
�。�3）兒子所購的股數(shù)最少，他花了24美元。
（4）這四個人買股票總共花了161美元。
在這四個人當(dāng)中，誰是那位父親？誰是那位兒子？
（提示：根據(jù)（1）和（4）列出一個方程。依次假定某個人是那位父親或者是那位兒子，則這個人買了多少股？如果一個數(shù)是方程中五項(xiàng)中四項(xiàng)的因數(shù)，則它必定也是第五項(xiàng)的因數(shù)。)
答 案
設(shè)
a為阿諾德所購的股數(shù)，
b為巴頓所購的股數(shù)，
c為克勞德所購的股數(shù)，
d為丹尼斯所購的股數(shù)。
于是，根據(jù)（1）和（4），就這四人購買股票總共所花的錢可寫出方程：
3a+4b+6c+8d=161。
假定阿諾德是那位父親，則根據(jù)（1）和（2），他買了24股；假定巴頓是那位兒子，則根據(jù)（1）和（3），他買了6股。如此等等，共有十二種可能，列表于下。
父親（花了72美元）
兒子（花了24美元）
a=24
b=6
a=24
c=4
a=24
d=3
b=18
a=8
b=18
c=4
b=18
d=3
c=12
a=8
c=12
b=6
c=12
d=3
d=9
a=8
d=9
b=6
d=9
c=4
注意：（A）a、b、c、d都是正整數(shù)，（B）如果一個整數(shù)能整除一個具有五個項(xiàng)的方程中的四項(xiàng)，則它也一定能整除其中的第五項(xiàng)。
根據(jù)上述的（B），a不能等于24或8，因?yàn)?61不能被2整除。如果d等于3則b不能等于18，如果b等于6則d不能等于9，因?yàn)?61不能被3整除。因此，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅹ、和Ⅺ都被排除。
如果d＝9，c＝4．則3a+4b=65.這樣，a或b要大于9，從而與（2）矛盾。如果c=12，b＝6則3a+8d=65。這樣，a或d要小于6,從而與（3）矛盾。因此，Ⅷ和Ⅻ被排除。
如果b＝18，c＝4．則3a+8d=65。3a必須是奇數(shù)，因?yàn)?d是偶數(shù)而65是奇數(shù)（偶數(shù)乘以任何整數(shù)總得偶數(shù)，偶數(shù)加上奇數(shù)總得奇數(shù)）。
于是，a必須是4和18之間的一個奇數(shù)（奇數(shù)乘以奇數(shù)總得奇數(shù)）。這里唯一能使d取整數(shù)的是a＝11。這意味著d=4，但這與（3）矛盾。因此，V被排除。
剩下唯一的可能是Ⅸ，因此，克勞德是那位父親，丹尼斯是那位兒子。
通過進(jìn)一步分析，可以得出a、b、c、d的兩組可能值。由c=12，d=3，得3a+4b＝65。根據(jù)與前面同樣的推理，a必須是3和12之間的一個奇數(shù)。這里能使b取整數(shù)的只有a=7和a=11。于是得到這樣兩組可能的值：
a=7
a=11
b=11
b=8
c=12
c=12
d=3
d=3
名師導(dǎo)學(xué)：高考數(shù)學(xué)首輪復(fù)習(xí)五項(xiàng)建議
古語云：授人以魚，只供一飯。授人以漁，則終身受用無窮。學(xué)知識，更要學(xué)方法。伴隨著奧運(yùn)會的如火如荼，新一屆高三生們的集訓(xùn)也即將拉開序幕。他們的處境有些尷尬，一邊是世界矚目的盛事，一邊是關(guān)乎前途命運(yùn)的決戰(zhàn)。這個暑假想必充滿了矛盾和猶豫。那么開學(xué)在即，就讓我們放下暑期的思想包袱，重新調(diào)整好狀態(tài)，準(zhǔn)備迎戰(zhàn)。首先來看看關(guān)于高考首輪復(fù)習(xí)，專家是如何建議的。
高考復(fù)習(xí)有別于新知識的教學(xué)，它是在學(xué)生基本掌握了中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系，具備了一定的解題經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的復(fù)課數(shù)學(xué)；也是在學(xué)生基本認(rèn)識了各種數(shù)學(xué)基本方法、思維方法及數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上的復(fù)課教學(xué)。實(shí)際上，高考這一年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)工作概括起來就三句話：澄清概念（思維細(xì)胞）；歸納方法（何時用，用的要領(lǐng)）；學(xué)會思考。在此向進(jìn)入數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)的同學(xué)提五項(xiàng)建議：
一、夯實(shí)基礎(chǔ)，知識與能力并重。
沒有基礎(chǔ)談不上能力；復(fù)習(xí)要真正地回到重視基礎(chǔ)的軌道上來，搞清基本原理、基本方法，體驗(yàn)知識形成過程以及對知識本質(zhì)意義的理解與感悟，同時，對基礎(chǔ)知識進(jìn)行全面回顧，并形成自己的知識體系。
二、復(fù)習(xí)中要把注意力放在培養(yǎng)自己的思維能力上。
培養(yǎng)自己獨(dú)立解決問題的能力始終是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)，要在體驗(yàn)知識的過程中，適時進(jìn)行探究式、開放式題目的研究和學(xué)習(xí)，深刻領(lǐng)悟蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法，并加以自覺的應(yīng)用，力求做到使自己的理性思維能力、分析問題和解決問題的能力有切實(shí)的提高。
學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)要抓住“四個三”：1.內(nèi)容上要充分領(lǐng)悟三個方面：理論、方法、思維；2.解題上要抓好三個字：數(shù)、式、形；3.閱讀、審題和表述上要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的三種語言自如轉(zhuǎn)化（文字語言、符號語言、圖形語言）；4.學(xué)習(xí)中要駕馭好三條線：知識（結(jié)構(gòu)）是明線（要清晰），方法（能力）是暗線（要領(lǐng)悟、要提練），思維（訓(xùn)練）是主線（思維能力是數(shù)學(xué)諸能力的核心，創(chuàng)造性的思維能力是最強(qiáng)大的創(chuàng)新動力，是檢驗(yàn)自己大腦潛能開發(fā)好壞的試金石。）
三、講究復(fù)習(xí)策略。
在第一輪復(fù)習(xí)中，要注意構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò)，不要盲目地做題，不要急于攻難度大的“綜合題、探究題”，復(fù)習(xí)要以中檔題為主，選題要典型，要深刻理解概念，抓住問題的本質(zhì)，抓住知識間的相互聯(lián)系。高考題大多數(shù)都很常規(guī)，只不過問題的情景、設(shè)問的角度改變了一下，因此，建議考生在首輪復(fù)習(xí)中，不要盲目地自己找題，而應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，精做題。
數(shù)學(xué)是應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題。搞題海戰(zhàn)術(shù)的方式、方法固然是不對的，但離開解題來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)同樣也是錯誤的的，其中的關(guān)鍵在于對待題目的態(tài)度和處理解題的方式上。
要精選做題，做到少而精。
只有解決高質(zhì)量的、有代表性的題目才能達(dá)到事半功倍的效果，然而絕大多數(shù)的同學(xué)還沒有辨別、分析題目好壞的能力，這就需要在老師的指導(dǎo)下來選擇復(fù)習(xí)的練習(xí)題，以了解高考題的形式、難度。
要分析題目。
解答任何一個數(shù)學(xué)題目之前，都要先進(jìn)行分析。相對于比較難的題目，分析更顯得尤為重要，我們知道，解決數(shù)學(xué)問題實(shí)際上就是在題目的已知條件和待求結(jié)論中架起聯(lián)系的橋梁，也就是在分析題目中已知與待求之間差異的基礎(chǔ)上，化歸和消除這些差異。當(dāng)然在這個過程中也反映出對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度、理解程度和數(shù)學(xué)方法的靈活應(yīng)用能力。例如，許多三角方面的題目都是把角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)形式統(tǒng)一后就可以解決問題了，而選擇怎樣的三角公式也是成敗的關(guān)鍵。
四、加強(qiáng)做題后的反思。
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須要做題，做題一定要獨(dú)立而精細(xì)，只有具備良好的反思能力，才談得上精做。做題前要把老師上課時復(fù)習(xí)的知識再回顧一下，對所學(xué)的知識結(jié)構(gòu)要有一個完整的清楚的認(rèn)識，不留下任何知識的盲點(diǎn)，對所涉及的解題方法要深刻領(lǐng)會、做題時，一定要全神貫注，保持最佳狀態(tài)，注意解題格式規(guī)范，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以良好的心態(tài)進(jìn)入高考。做題后，一定要認(rèn)真反思，仔細(xì)分析，通過做幾道相關(guān)的變式題來掌握一類題的解法，從中總結(jié)出一些解題技巧，更重要的是掌握解題的思維方式，內(nèi)化為自己的能力，并總結(jié)出對問題的規(guī)律性認(rèn)識和找出自己存在的問題，對做題中出現(xiàn)的問題，注意總結(jié)，及時解決，重點(diǎn)一定要放在培養(yǎng)自己的分析問題和解決問題的能力上。
注意分析探求解題思路時數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。
解題的過程就是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，合理聯(lián)想提取相關(guān)知識，調(diào)用一定數(shù)學(xué)方法加工、處理題設(shè)條件及知識，逐步縮小題設(shè)與結(jié)論間的差異的過程，也可以說是運(yùn)用化歸思想的過程，解題思想的尋求就自然是運(yùn)用思想方法分析解決問題的過程。
注意數(shù)學(xué)思想方法在解決典型問題中的運(yùn)用。
如解題中求二面角大小最常用的方法之一就是：根據(jù)已知條件，在二面角內(nèi)尋找或作出過一個面內(nèi)一點(diǎn)到另一個面上的垂線，過這點(diǎn)再作二面角的棱的垂線，然后連結(jié)二垂足，這樣平面角即為所得的直角三角形的一銳角。這個通法就是在化立體問題為平面問題的轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下求得的，其中三垂線定理在構(gòu)圖中的運(yùn)用，也是分析、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思維方法運(yùn)用之所得。
調(diào)整思路，克服思維障礙時，注意數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。
通過認(rèn)真觀察，以產(chǎn)生新的聯(lián)想；分類討論，使條件確切、結(jié)論易求；化一般為特殊、化抽象為具體，使問題簡化等都值得我們一試，分析、歸納、類比等數(shù)學(xué)思維方法；數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想是走出思維困境的武器和指南。
注意數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。
用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識、方法的靈活運(yùn)用，進(jìn)行一題多解的練習(xí)，培養(yǎng)思維的發(fā)散性、靈活性、敏捷性；對習(xí)題靈活變通、引申推廣，培養(yǎng)思維的深刻性，抽象性；組織引導(dǎo)對解法的簡捷性的反思評估，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性，對同一數(shù)學(xué)問題的多角度的審視引發(fā)的不同聯(lián)想，是一題多解的思維本源，豐富的合理的聯(lián)想，是對知識的深刻理解，及類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與議程等數(shù)學(xué)思想運(yùn)用的必然。數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的自覺運(yùn)用往往使我們運(yùn)算簡捷、推理機(jī)敏，是提高數(shù)學(xué)能力的必由之路。
解題不是目的，我們是通過解題來檢驗(yàn)我們的學(xué)習(xí)效果，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的不足的，以便改進(jìn)和提高。因此，解題后的總結(jié)至關(guān)重要，這正是我們學(xué)習(xí)的大好機(jī)會，對于一道完成的題目，有以下幾個方面需要總結(jié)：
1. 在知識方面
題目中涉及哪些概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識，在解題過程中是如何應(yīng)用這些知識的。
2. 在方法方面
題目是如何入手的，用到了哪些解題方法、技巧，自己是否能夠熟練掌握和應(yīng)用。
3. 在解題步驟方面
能不能把解題過程概括、歸納成幾個步驟（比如用數(shù)學(xué)歸納法證明題目就有很明顯的三個步驟）。
五、高考主干知識八大塊：
1.函數(shù)；2.數(shù)列；3.平面向量；4.不等式（解與證）；5.解析幾何；6.立體幾何；7.概率、統(tǒng)計(jì)；8.導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用。要做到塊塊清楚，不足之處如何彌補(bǔ)有招法，并能自覺建立起知識之間的有機(jī)聯(lián)系，函數(shù)是其中最核心的主干知識，自然是高考考查的重點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)首輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。函數(shù)內(nèi)容歷來是高考命題的重點(diǎn)，試題中占有比重最大，在數(shù)列、不等式、解析幾何等其他試題中，如能自覺應(yīng)用函數(shù)思想方法來解題也往往能收到良好的效果。因此，掌握函數(shù)的基礎(chǔ)概念，函數(shù)的圖像與性質(zhì)的相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化；掌握函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與數(shù)列等知識的交匯與綜合是數(shù)學(xué)首輪復(fù)習(xí)的重中之重。
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