數(shù)學(xué)中如何解雞鼠同籠問題
一、雞兔同籠問題
例1 籠中有若干只雞和兔，它們共有50個(gè)頭和140只腳，問雞兔各有多少只？
解法1 假設(shè)法
假設(shè)一個(gè)未知數(shù)是已知的，比如假定50個(gè)頭全是兔，則共有腳（4×50=）200（只），這與題中已知140只不符，多出（200-140=）60（只），多的原因是雞當(dāng)兔后每只雞多算了2只腳，所以雞的只數(shù)是（60÷2=）30（只），則兔的只數(shù)為（50-30＝）20（只）。
這種解法，思路清晰，但較復(fù)雜，不便操作。能不能形象地畫個(gè)圖呢？讓我們?cè)囋嚒?/p>
解法2 圖形法
從圖中看ACDF的面積＝4×50＝200（只腳），比實(shí)際多出GHEF的面積＝200-140＝60（只腳），AB=GH=60÷2=30（只雞），BC=AC-AB=50-30＝20（只兔）
解法2比解法1高級(jí)，算理是一樣的。這里答案是圖上算出的，顯然這兩種解法都要用紙和筆。不用紙和筆肯定是用口訣或易記的公式，這是老公公的傳家寶。
解法3 公式法
老公公講：只要用哨子一吹，并喊一聲口令：“全體肅立”。這時(shí)每只雞呈金雞獨(dú)立之狀，每只兔呈玉兔拜月狀，著地的`腳數(shù)之和有（140÷2＝）70（只），其中雞的頭數(shù)與腳數(shù)相等，由于每只兔的腳比頭數(shù)多1，因此兔的頭數(shù)為（70－50＝）20（個(gè)），即兔有20只，則雞有（50－20＝）30（只）。這個(gè)故事實(shí)際上老公公用了如下的公式。
腳數(shù)和÷2-頭數(shù)和=兔子數(shù)。
小孫子們聽了興趣為之大增，紛紛叫老公公再出幾道題。老公公又出了
�。�1）30個(gè)頭，80只腳……。（兔10，雞20）。
�。�2）100只腳，40個(gè)頭……。（兔10，雞30）。
�。�3）80個(gè)頭，200只腳……。（兔20，雞60）
小孫子們個(gè)個(gè)都愉快地答出來了。
這個(gè)公式簡(jiǎn)潔好用，它是祖代傳下來的還是老公公想出來的呢？我們中華文化博大精深，這兩種可能性都是有的。這個(gè)公式是碰巧做對(duì)還是符合算理的 呢？這是十分重要的。數(shù)學(xué)家高斯說過：“數(shù)學(xué)中許多方法與定理是靠歸納發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)行的手續(xù)而已�！爆F(xiàn)在我們就來補(bǔ)行這個(gè)手續(xù)。
2雞頭=雞腳。
4兔頭=兔腳。
得：兔腳+雞腳=2雞頭+4兔頭
=2（雞頭+2兔頭）。
這就證明了老公公歸納的公式。
說到雞兔同籠問題，常常大家精神就緊張起來，以為是難題來了�，F(xiàn)在掌握了規(guī)律其實(shí)不難，所以凡事都應(yīng)去摸索規(guī)律，照規(guī)律辦事。
雞兔同籠問題在民間是當(dāng)故事講的，有沒有實(shí)際價(jià)值呢？我們?cè)賮砜聪旅娴膯栴}。
二、郵票問題
例2 買3角與5角的郵票共24張，總值4.6元，問兩種郵票各買了幾張？
解這道題當(dāng)然可以用假設(shè)法和圖形法，但用什么樣的公式呢？美國(guó)數(shù)學(xué)教育家C?波利亞說：“……不論初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)……特別是不能沒有類比。”用類比很容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式是：郵
設(shè)3角郵票為A1張，價(jià)值A(chǔ)2角；
5角郵票為B1張，價(jià)值B2角。
說明數(shù)量關(guān)系與雞兔同籠問題相一致。
又3A1=A2，5B1=B2。
得：A2＋B2＝3A1+5B1，
這就與例1的公式相類似，很容易將這個(gè)公式翻譯成語言陳述，大家試
�。�24－12＝）12（張）。
如果你認(rèn)為這個(gè)公式不太好記，就不妨用圖來解。
�。�24×5－96）÷2=12（張、3角）
24-12＝12
所以解題方法的選用常常是根據(jù)具體情況而定的。
再試試
（1）6角與8角的郵票共18張，總價(jià)12.4元，問兩種郵票各幾張？（10，8）
�。�2）3角與8角的郵票共100張，總價(jià)50元，問兩種郵票各幾張？（60，40）
三、植樹問題
例3 一次植樹活動(dòng)，規(guī)定大樹每人種2棵，小樹每人種4棵，全班50人種樹140棵，問種這兩種樹的各有多少人？
這道題可用例1的公式很快解得種大樹的有30人，種小樹的有20人。
四、運(yùn)輸（工作）問題
例4 有小卡車50輛，大卡車每輛運(yùn)4噸，小卡車每輛運(yùn)2噸，共運(yùn)140噸化肥，問大小卡車各幾輛？
難道不是題目看完答案就出來了嗎？
五、農(nóng)藥問題
例5 甲種農(nóng)藥每千克兌水20千克，乙種農(nóng)藥每千克兌水40千克，現(xiàn)為了提高藥效，根據(jù)農(nóng)科所意見，甲乙兩種農(nóng)藥混合使用，已知兩種農(nóng)藥共50千克，要配藥水140千克，問甲、乙兩種農(nóng)藥各需多少千克？
用公式解很簡(jiǎn)單（30，20），如果將這個(gè)公式交給農(nóng)民，那么他們配起農(nóng)藥來就既方便又正確，你能想出這個(gè)公式是什么嗎？
還會(huì)遇到許多許多的問題，它們的數(shù)量關(guān)系（應(yīng)用題的本質(zhì)）與雞兔同籠問題相一致，都可以用雞兔同籠問題的三種方法來解，這些問題我們將它們統(tǒng)稱為雞兔同籠問題。
相傳大禹治水到黃河，發(fā)現(xiàn)一只神龜，背上馱了一張圖叫河圖（洛書）。（左圖），用阿拉伯?dāng)?shù)字表示就是右圖，圖中三條豎線、三條橫線、二條對(duì)角線共八條線上三個(gè)數(shù)的和都是15， 這樣的圖是怎樣造出來的呢？其法一時(shí)失傳了，于是有人用它來占卜、相風(fēng)水，進(jìn)入迷信狀態(tài)。后來數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)其原理是二進(jìn)制，說明二進(jìn)制是中國(guó)人最先發(fā)明的， 近代根據(jù)二進(jìn)制發(fā)明了計(jì)算機(jī)，所以有些基礎(chǔ)科學(xué)的研究成果一時(shí)看起來無多大用途，以后漸漸會(huì)發(fā)現(xiàn)有大用途，雞兔同籠問題不也是這樣嗎？因此我們一定要重視基礎(chǔ)科學(xué)的學(xué)習(xí)和研究。
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