小學(xué)奧數(shù)必須掌握的知識(shí)模塊
16.約數(shù)與倍數(shù)
約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。
公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
最大公約數(shù)的性質(zhì)：
1、 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。
2、 幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。
3、 幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。
4、 幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。
例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;
18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;
那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作(12，18)=6;
求最大公約數(shù)基本方法：
1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。
2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。
3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。
公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
12的倍數(shù)有：12、24、36、48……;
18的倍數(shù)有：18、36、54、72……;
那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……;
那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作[12，18]=36;
最小公倍數(shù)的性質(zhì)：
1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。
2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。
求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù);2、分解質(zhì)因數(shù)的方法
17.數(shù)的整除
一、基本概念和符號(hào)：
1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒(méi)有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。
2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|”，不能整除符號(hào)“”;因?yàn)榉?hào)“∵”，所以的符號(hào)“∴”;
二、整除判斷方法：
1. 能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
�、倌┤簧蠑�(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。
�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。
②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。
�、壑鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。
�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。
三、整除的性質(zhì)：
1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。
18.余數(shù)及其應(yīng)用
基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0< p>
余數(shù)的性質(zhì)：
�、儆鄶�(shù)小于除數(shù)。
�、谌鬭、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。
�、踑與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。
�、躠與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。
19.余數(shù)、同余與周期
一、同余的定義：
�、偃魞蓚�(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱(chēng)a、b對(duì)于模m同余。
�、谝阎齻�(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱(chēng)a、b對(duì)于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。
二、同余的性質(zhì)：
�、僮陨硇裕篴≡a(mod m);
②對(duì)稱(chēng)性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m);
�、蹅鬟f性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m);
�、芎筒钚裕喝鬭≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);
�、菹喑诵裕喝鬭≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m);
�、蕹朔叫裕喝鬭≡b(mod m)，則an≡bn(mod m);
�、咄缎�:若a≡ b(mod m)，整數(shù)c，則a×c≡ b×c(mod m×c);
三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：
�、偃鬉=a×b，則MA=Ma×b=(Ma)b
�、谌鬊=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：
�、僖粋�(gè)自然數(shù)M，n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod 9)或(mod 3);
�、谝粋�(gè)自然數(shù)M，X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、費(fèi)爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。
20.分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用
基本概念與性質(zhì)：
分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。
分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變。
分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。
百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。
常用方法：
�、倌嫦蛩季S方法：從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進(jìn)行思考。
�、趯�(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。
③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類(lèi)應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類(lèi)應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系;把不同的標(biāo)準(zhǔn)(在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量)下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的`分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。
�、芗僭O(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。
⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。
�、尢鎿Q思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。
�、咄堵史ǎ嚎偭亢头至恐g按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。
⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。
21.分?jǐn)?shù)大小的比較
基本方法：
①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。
�、谕ǚ址帜阜ǎ菏顾蟹�?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。
�、刍鶞�(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。
④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。
�、荼堵时容^法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。(具體運(yùn)用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律)
�、揶D(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)(求出分?jǐn)?shù)的值)后進(jìn)行比較。
�、弑稊�(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。
�、啻笮”容^法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。
�、岬箶�(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。
�、饣鶞�(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。
22.分?jǐn)?shù)拆分
一、 將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：
�、� =+;
②=+(d為自然數(shù));
23.完全平方數(shù)
完全平方數(shù)特征：
1. 末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2. 除以3余0或余1;反之不成立。
3. 除以4余0或余1;反之不成立。
4. 約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù);反之成立。
5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。
6. 奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù);偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。
7. 兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。
平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2
24.比和比例
比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。
比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。
比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(零除外)，比值不變。
比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍(AB的商不變時(shí))，則A與B成正比。
反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍(AB的積不變時(shí))，則A與B成反比。
比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。
按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。
25.綜合行程
基本概念：行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.
基本公式：路程=速度×?xí)r間;路程÷時(shí)間=速度;路程÷速度=時(shí)間
關(guān)鍵問(wèn)題：確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。
相遇問(wèn)題：速度和×相遇時(shí)間=相遇路程(請(qǐng)寫(xiě)出其他公式)
追及問(wèn)題：追及時(shí)間=路程差÷速度差(寫(xiě)出其他公式)
流水問(wèn)題：順?biāo)谐?(船速+水速)×順?biāo)畷r(shí)間
逆水行程=(船速-水速)×逆水時(shí)間
順?biāo)俣?船速+水速
逆水速度=船速-水速
靜水速度=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2
水 速=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2
流水問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。
過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。
主要方法：畫(huà)線(xiàn)段圖法
基本題型：已知路程(相遇路程、追及路程)、時(shí)間(相遇時(shí)間、追及時(shí)間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。
26.工程問(wèn)題
基本公式：
①工作總量=工作效率×工作時(shí)間
�、诠ぷ餍�=工作總量÷工作時(shí)間
�、酃ぷ鲿r(shí)間=工作總量÷工作效率
基本思路：
�、偌僭O(shè)工作總量為“1”(和總工作量無(wú)關(guān));
②假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量(一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù))，利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間.
關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。
經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng)：合久必分，分久必合。
27.邏輯推理
基本方法簡(jiǎn)介：
①條件分析—假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過(guò)程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。
�、跅l件分析—列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來(lái)輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀(guān)察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。
�、蹢l件分析——圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線(xiàn)表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線(xiàn)則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒(méi)有連線(xiàn)則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線(xiàn)表示認(rèn)識(shí)，沒(méi)有表示不認(rèn)識(shí)。
�、苓壿嬘�(jì)算：在推理的過(guò)程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。
⑤簡(jiǎn)單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問(wèn)題的解決。
28.幾何面積
基本思路：
在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算;另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。
常用方法：
1. 連輔助線(xiàn)方法
2. 利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。
3. 大膽假設(shè)(有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說(shuō)的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上)。
4. 利用特殊規(guī)律
�、俚妊苯侨切危阎我庖粭l邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積)
�、谔菪螌�(duì)角線(xiàn)連線(xiàn)后，兩腰部分面積相等。
�、蹐A的面積占外接正方形面積的78.5%。
29.立體圖形
名稱(chēng) 圖形 特征 表面積 體積
長(zhǎng)
方
體 8個(gè)頂點(diǎn);6個(gè)面;相對(duì)的面相等;12條棱;相對(duì)的棱相等; S=2(ab+ah+bh) V=abh
=Sh
正
方
體 8個(gè)頂點(diǎn);6個(gè)面;所有面相等;12條棱;所有棱相等; S=6a2 V=a3
圓
柱
體 上下兩底是平行且相等的圓;側(cè)面展開(kāi)后是長(zhǎng)方形; S=S側(cè)+2S底
S側(cè)=Ch V=Sh
圓
錐
體 下底是圓;只有一個(gè)頂點(diǎn);l:母線(xiàn)，頂點(diǎn)到底圓周上任意一點(diǎn)的距離; S=S側(cè)+S底
S側(cè)=rl V=Sh
球
體 圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是球的半徑。 S=4r2 V=r3
30.時(shí)鐘問(wèn)題—快慢表問(wèn)題
基本思路：
1、 按照行程問(wèn)題中的思維方法解題;
2、 不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體;
3、 路程的單位是分格(表一周為60分格);
4、 時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過(guò)的時(shí)間;
合理利用行程問(wèn)題中的比例關(guān)系;
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