奧數(shù)數(shù)論數(shù)的整除
奧數(shù)數(shù)論數(shù)的整除1
題目：一個(gè)五位數(shù)恰好等于它各位數(shù)字和的20xx倍，則這個(gè)五位數(shù)是
答案：因?yàn)?0xx是9的倍數(shù)，所以，這個(gè)五位數(shù)一定是9的倍數(shù)，那么它的各位數(shù)字和一定是9的倍數(shù)．由于五位數(shù)的各位數(shù)字之和最大為45，所以，可以從9、18、27、36、45進(jìn)行試值．
如果數(shù)字和為9，那么這個(gè)五位數(shù)為，然而18063各位數(shù)字之和不為9，所以此時(shí)不成立；
如果數(shù)字和為18，那么這個(gè)五位數(shù)為，36126各位數(shù)字之和為18，所以此時(shí)成立；
如果數(shù)字和為27，那么這個(gè)五位數(shù)為，54189各位數(shù)字之和為27，所以此時(shí)成立；
如果數(shù)字和為36，那么這個(gè)五位數(shù)為，然而72252各位數(shù)字之和不為36，所以此時(shí)不成立；如果數(shù)字和為45，那么這個(gè)五位數(shù)為 ，然而90315各位數(shù)字之和不為45，所以此時(shí)不成立；綜上可知，這個(gè)五位數(shù)為36126或54189．
分析：此題是利用了9的整除特點(diǎn)，再進(jìn)行分類枚舉來驗(yàn)證。本題看起來覺得無從下手，但是利用9的特點(diǎn)可以得到很多信心，數(shù)字3也有同樣的效果，所以大家再遇到數(shù)論問題時(shí)，應(yīng)該先想一想里面是否有3、9這樣特殊的倍數(shù)。
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一、基本概念和符號(hào)：
1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。
2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|”，不能整除符號(hào)“ ”;因?yàn)榉?hào)“∵”，所以的符號(hào)“∴”;
二、整除判斷方法：
1。 能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。
2。 能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。
3。 能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。
4。 能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。
5。 能被7整除：
�、倌┤簧蠑�(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。
�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。
6。 能被11整除：
�、倌┤簧蠑�(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。
�、谄鏀�(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。
�、壑鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。
7。 能被13整除：
�、倌┤簧蠑�(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。
�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩�(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。
三、整除的性質(zhì)：
1。 如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a—b）也能被c整除。
2。 如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。
3。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。
例題：
在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能被9，8，4整除？
解：如果56□2能被9整除，那么
5+6+□+2=13+□
應(yīng)能被9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時(shí)能被9整除;
如果56□2能被8整除，那么6□2應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時(shí)能被8整除;
如果56□2能被4整除，那么□2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時(shí)能被4整除。
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把一個(gè)數(shù)由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來，再求它們的差，如果這個(gè)差是11的倍數(shù)（包括0），那么，原來這個(gè)數(shù)就一定能被11整除。
例如：判斷491678能不能被11整除。
—→奇位數(shù)字的和9+6+8=23
—→偶位數(shù)位的和4+1+7=12 23—12=11
因此，491678能被11整除。
這種方法叫"奇偶位差法"。
除上述方法外，還可以用割減法進(jìn)行判斷。即：從一個(gè)數(shù)里減去11的10倍，20倍，30倍……到余下一個(gè)100以內(nèi)的數(shù)為止。如果余數(shù)能被11整除，那么，原來這個(gè)數(shù)就一定能被11整除。
又如：判斷583能不能被11整除。
用583減去11的50倍（583—11×50=33）余數(shù)是33， 33能被11整除，583也一定能被11整除。
（1）1與0的特性：
1是任何整數(shù)的約數(shù)，即對于任何整數(shù)a，總有1|a。
0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，a≠0，a為整數(shù)，則a|0。
�。�2）若一個(gè)整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個(gè)數(shù)能被2整除。
�。�3）若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個(gè)整數(shù)能被3整除。
�。�4） 若一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個(gè)數(shù)能被4整除。
�。�5）若一個(gè)整數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。
�。�6）若一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。
（7）若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。
（8）若一個(gè)整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個(gè)數(shù)能被8整除。
�。�9）若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)能被9整除。
�。�10）若一個(gè)整數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)能被10整除。
�。�11）若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除。11的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7的「割尾法」處理！過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1！
�。�12）若一個(gè)整數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。
�。�13）若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的'4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。
�。�14）若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。
�。�15）若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。
�。�16）若一個(gè)整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個(gè)數(shù)能被17整除。
（17）若一個(gè)整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù)能被19整除。
�。�18）若一個(gè)整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23（或29）整除，則這個(gè)數(shù)能被23整除。
奧數(shù)數(shù)論數(shù)的整除4
例1.在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能被9，8，4整除?
解：如果56□2能被9整除，那么
5+6+□+2=13+□
應(yīng)能被9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時(shí)能被9整除;
如果56□2能被8整除，那么6□2應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時(shí)能被8整除;
如果56□2能被4整除，那么□2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時(shí)能被4整除。
到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。例如，判斷一個(gè)數(shù)能否被6整除，因?yàn)?=2×3，2與3互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個(gè)數(shù)能被6整除。同理，判斷一個(gè)數(shù)能否被12整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被3和4整除;判斷一個(gè)數(shù)能否被72整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被8和9整除;如此等等。
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