整數(shù)分拆例析五年級(jí)奧數(shù)
整數(shù)分拆問(wèn)題是一個(gè)古老而又十分有趣的問(wèn)題。所謂整數(shù)的分拆，就是把一個(gè)自然數(shù)表示成為若干個(gè)自然數(shù)的和的形式，每一種表示方法，便是這個(gè)自然數(shù)的一個(gè)分拆。整數(shù)分拆的要求通常是將一個(gè)自然數(shù)拆成兩個(gè)(或兩個(gè)以上)自然數(shù)的和，并使這些自然數(shù)的積最大(或最小);或拆成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和等等。下面舉例作出剖析。
例1將14分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，并使這兩個(gè)自然數(shù)的積最大，應(yīng)該如何分拆?
分析與解不考慮加數(shù)順序，將14分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七種方法。經(jīng)計(jì)算，容易得知，將14分拆成7+7時(shí)，有最大積7×7=49。
例2將15分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，并使這兩個(gè)自然數(shù)的積最大，如何分拆?
分析與解不考慮加數(shù)順序，可將15分拆成下列形式的兩個(gè)自然數(shù)的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。顯見，將15分拆成7+8時(shí)，有最大積7×8=56。
注：從上述兩例可見，將一個(gè)自然數(shù)分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和時(shí)，如果這個(gè)自然數(shù)是偶數(shù)2m，當(dāng)分拆成m+m時(shí)，有最大積m×m=m2;如果這個(gè)自然數(shù)是奇數(shù)2m+1，當(dāng)分拆成m+(m+1)時(shí)，有最大積m×(m+1)。
例3將14分拆成3個(gè)自然數(shù)的和，并使這三個(gè)自然數(shù)的積最大，如何分拆?
分析與解顯然，只有使分拆成的數(shù)之間的差盡可能地小(比如是0或1)，這樣得到的積才最大。這樣不難想到將14分拆成4+5+5時(shí)，有最大積4×5×5=100。
例4將14分拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，并使這些自然數(shù)的積最大，如何分拆?
分析與解首先應(yīng)該考慮分成哪些數(shù)時(shí)乘積才能盡可能地大。
首先分拆成的數(shù)中不能有1，這是顯而易見的。
其次分成的數(shù)中不能有大于4的數(shù)，不然的話，將這個(gè)數(shù)再拆成2與另一個(gè)自然數(shù)的'和，這兩個(gè)數(shù)的積一定比原數(shù)大。比如5=2+3，但5比2×3=6小。
又因?yàn)?=2×2，因此，可以考慮將14分拆成若干個(gè)2或3了。
注意到2+2+2=6，2×2×2=8;3+3=6，3×3=9.因此，分拆成的數(shù)中如果有三個(gè)2，還不如換成兩個(gè)3。這樣可知，分拆成的數(shù)中至多只能有兩個(gè)2，其余都是3。
綜合上述結(jié)果，應(yīng)該將14分拆成四個(gè)3與一個(gè)2之和，即14=3+3+3+3+2，這樣可得到五個(gè)數(shù)的最大積3×3×3×3×2=162。
上述幾例是關(guān)于如何將一個(gè)自然數(shù)分拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，并使它們的積最大的問(wèn)題。下面兩例則是如何將一個(gè)自然數(shù)按題目要求拆成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的問(wèn)題。
例5將1994分拆成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一共有多少種不同的方法?
分析與解因1994=997×2=492+493+494+495，僅一種方法。所以，該題有唯一解。
例6將35分拆成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一共有多少種不同的方法?
分析與解由于35=5×7=7×5，因此35可以分拆成2+3+4+5+6+7+8或5+6+7+8+9，一共有兩種方法。
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