上海市中考數(shù)學(xué)模擬試卷
模擬題是最好的測試、檢驗工具�，F(xiàn)在大家都已經(jīng)上過課，基本知識都有所掌握，那自己所掌握的知識與中考還有多少距離呢?模擬題可以幫助大家認(rèn)識到自己與中考要求的差距。只有找到差距才能明確下一步的計劃。以下是小編給你帶來的最新模擬試題，希望能幫到你哈。
上海市中考數(shù)學(xué)模擬試卷
一、選擇題：本大題共6小題，每小題4分，共24分
1.如果a與3互為倒數(shù)，那么a是( )
A.﹣3 B.3 C.﹣ D.
2.下列單項式中，與a2b是同類項的是( )
A.2a2b B.a2b2C.ab2D.3ab
3.如果將拋物線y=x2+2向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是( )
A.y=(x﹣1)2+2 B.y=(x+1)2+2 C.y=x2+1 D.y=x2+3
4.某校調(diào)查了20名男生某一周參加籃球運動的次數(shù)，調(diào)查結(jié)果如表所示，那么這20名男生該周參加籃球運動次數(shù)的平均數(shù)是( )
次數(shù) 2 3 4 5
人數(shù) 2 2 10 6
A.3次 B.3.5次 C.4次 D.4.5次
5.已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，點D在邊BC上，設(shè) = ， = ，那么向量 用向量 、 表示為( )
A. + B. ﹣ C.﹣ + D.﹣ ﹣
6.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，點D在邊BC上，CD=3，⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A相交，且點B在⊙D外，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是( )
A.1
二、填空題：本大題共12小題，每小題4分，共48分
7.計算：a3÷a= .
8.函數(shù)y= 的定義域是 .
9.方程 =2的解是 .
10.如果a= ，b=﹣3，那么代數(shù)式2a+b的值為 .
11.不等式組 的解集是 .
12.如果關(guān)于x的方程x2﹣3x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，那么實數(shù)k的值是 .
13.已知反比例函數(shù)y= (k≠0)，如果在這個函數(shù)圖象所在的每一個象限內(nèi)，y的值隨著x的值增大而減小，那么k的取值范圍是 .
14.有一枚材質(zhì)均勻的正方體骰子，它的六個面上分別有1點、2點、…6點的標(biāo)記，擲一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)的概率是 .
15.在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，那么△ADE的面積與△ABC的面積的比是 .
16.今年5月份有關(guān)部門對計劃去上海迪士尼樂園的部分市民的前往方式進(jìn)行調(diào)查，圖1和圖2是收集數(shù)據(jù)后繪制的兩幅不完整統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中提供的信息，那么本次調(diào)查的對象中選擇公交前往的人數(shù)是 .
17.如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測得底部C的俯角為60°，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC約為 米.(精確到1米，參考數(shù)據(jù)： ≈1.73)
18.如圖，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A、C分別落在點A′、C′處.如果點A′、C′、B在同一條直線上，那么tan∠ABA′的值為 .
三、解答題：本大題共7小題，共78分
19.計算：| ﹣1|﹣ ﹣ + .
20.解方程： ﹣ =1.
21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，點D在邊AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足為點E，聯(lián)結(jié)CE，求：
(1)線段BE的長;
(2)∠ECB的余切值.
22.某物流公司引進(jìn)A、B兩種機器人用來搬運某種貨物，這兩種機器人充滿電后可以連續(xù)搬運5小時，A種機器人于某日0時開始搬運，過了1小時，B種機器人也開始搬運，如圖，線段OG表示A種機器人的搬運量yA(千克)與時間x(時)的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：
(1)求yB關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)如果A、B兩種機器人連續(xù)搬運5個小時，那么B種機器人比A種機器人多搬運了多少千克?
23.已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓， = ，點D在邊BC上，AE∥BC，AE=BD.
(1)求證：AD=CE;
(2)如果點G在線段DC上(不與點D重合)，且AG=AD，求證：四邊形AGCE是平行四邊形.
24.如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5(a≠0)經(jīng)過點A(4，﹣5)，與x軸的負(fù)半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=5OB，拋物線的頂點為點D.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)聯(lián)結(jié)AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積;
(3)如果點E在y軸的正半軸上，且∠BEO=∠ABC，求點E的坐標(biāo).
25.如圖所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，點E是邊AB上的動點，點F是射線CD上一點，射線ED和射線AF交于點G，且∠AGE=∠DAB.
(1)求線段CD的長;
(2)如果△AEC是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長;
(3)如果點F在邊CD上(不與點C、D重合)，設(shè)AE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍.
上海市中考數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、選擇題：本大題共6小題，每小題4分，共24分
1.如果a與3互為倒數(shù)，那么a是( )
A.﹣3 B.3 C.﹣ D.
【考點】倒數(shù).
【分析】根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，可得答案.
【解答】解：由a與3互為倒數(shù)，得
a是 ，
故選：D.
【點評】本題考查了倒數(shù)，分子分母交換位置是求一個數(shù)的倒數(shù)的關(guān)鍵.
2.下列單項式中，與a2b是同類項的是( )
A.2a2b B.a2b2C.ab2D.3ab
【考點】同類項.
【分析】根據(jù)同類項的概念：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，結(jié)合選項解答即可.
【解答】解：A、2a2b與a2b所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同，是同類項，故本選項正確;
B、a2b2與a2b所含字母相同，但相同字母b的指數(shù)不相同，不是同類項，故本選項錯誤;
C、ab2與a2b所含字母相同，但相同字母a的指數(shù)不相同，不是同類項，本選項錯誤;
D、3ab與a2b所含字母相同，但相同字母a的指數(shù)不相同，不是同類項，本選項錯誤.
故選A.
【點評】本題考查了同類項的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握同類項中相同字母的指數(shù)相同的概念.
3.如果將拋物線y=x2+2向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是( )
A.y=(x﹣1)2+2 B.y=(x+1)2+2 C.y=x2+1 D.y=x2+3
【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】根據(jù)向下平移，縱坐標(biāo)相減，即可得到答案.
【解答】解：∵拋物線y=x2+2向下平移1個單位，
∴拋物線的解析式為y=x2+2﹣1，即y=x2+1.
故選C.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，向下平移|a|個單位長度縱坐標(biāo)要減|a|.
4.某校調(diào)查了20名男生某一周參加籃球運動的次數(shù)，調(diào)查結(jié)果如表所示，那么這20名男生該周參加籃球運動次數(shù)的平均數(shù)是( )
次數(shù) 2 3 4 5
人數(shù) 2 2 10 6
A.3次 B.3.5次 C.4次 D.4.5次
【考點】加權(quán)平均數(shù).
【分析】加權(quán)平均數(shù)：若n個數(shù)x1，x2，x3，…，xn的權(quán)分別是w1，w2，w3，…，wn，則x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做這n個數(shù)的加權(quán)平均數(shù)，依此列式計算即可求解.
【解答】解：(2×2+3×2+4×10+5×6)÷20
=(4+6+40+30)÷20
80÷20
=4(次).
答：這20名男生該周參加籃球運動次數(shù)的平均數(shù)是4次.
【點評】本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的求法.本題易出現(xiàn)的錯誤是求2，3，4，5這四個數(shù)的平均數(shù)，對平均數(shù)的理解不正確.
5.已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，點D在邊BC上，設(shè) = ， = ，那么向量 用向量 、 表示為( )
A. + B. ﹣ C.﹣ + D.﹣ ﹣
【考點】*平面向量.
【分析】由△ABC中，AD是角平分線，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出BD=DC，可求得 的值，然后利用三角形法則，求得答案.
【解答】解：如圖所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，
∴BD=DC，
∵ = ，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = + = + .
故選：A.
【點評】此題考查了平面向量的知識，注意掌握三角形法則的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.
6.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，點D在邊BC上，CD=3，⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A相交，且點B在⊙D外，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是( )
A.1
【考點】圓與圓的位置關(guān)系;點與圓的位置關(guān)系.
【分析】連接AD，
根據(jù)勾股定理得到AD=5，
根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到r>5﹣3=2，
由點B在⊙D外，
于是得到r<4，
即可得到結(jié)論.
【解答】解：連接AD，
∵AC=4，CD=3，∠C=90°，
∴AD=5，
∵⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A相交，
∴r>5﹣3=2，
∵BC=7，
∴BD=4，
∵點B在⊙D外，
∴r<4，
∴⊙D的半徑長r的取值范圍是2
故選B.
【點評】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系，設(shè)點到圓心的距離為d，則當(dāng)d=r時，點在圓上;當(dāng)d>r時，點在圓外;當(dāng)d
二、填空題：本大題共12小題，每小題4分，共48分
7.計算：a3÷a= a2 .
【考點】同底數(shù)冪的.除法.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減進(jìn)行計算即可求解.
【解答】解：a3÷a=a3﹣1=a2.
故答案為：a2.
【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法的運算性質(zhì)，熟記運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
8.函數(shù)y= 的定義域是 x≠2 .
【考點】函數(shù)自變量的取值范圍.
【分析】直接利用分式有意義的條件得出答案.
【解答】解：函數(shù)y= 的定義域是：x≠2.
故答案為：x≠2.
【點評】此題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
9.方程 =2的解是 x=5 .
【考點】無理方程.
【分析】利用兩邊平方的方法解出方程，檢驗即可.
【解答】解：方程兩邊平方得，x﹣1=4，
解得，x=5，
把x=5代入方程，左邊=2，右邊=2，
左邊=右邊，
則x=5是原方程的解，
故答案為：x=5.
【點評】本題考查的是無理方程的解法，正確利用兩邊平方的方法解出方程，并正確進(jìn)行驗根是解題的關(guān)鍵.
10.如果a= ，b=﹣3，那么代數(shù)式2a+b的值為 ﹣2 .
【考點】代數(shù)式求值.
【專題】計算題;實數(shù).
【分析】把a與b的值代入原式計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：當(dāng)a= ，b=﹣3時，2a+b=1﹣3=﹣2，
故答案為：﹣2
【點評】此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.
11.不等式組 的解集是 x<1 .
【考點】解一元一次不等式組.
【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集.
【解答】解： ，
解①得x< ，
解②得x<1，
則不等式組的解集是x<1.
故答案是：x<1.
【點評】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解集的規(guī)律：同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到.
12.如果關(guān)于x的方程x2﹣3x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，那么實數(shù)k的值是 .
【考點】根的判別式;解一元一次方程.
【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣3x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=(﹣3)2﹣4×1×k=9﹣4k=0，
解得：k= .
故答案為： .
【點評】本題考查了根的判別式以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是找出9﹣4k=0.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)方程解的情況結(jié)合根的判別式得出方程(不等式或不等式組)是關(guān)鍵.
13.已知反比例函數(shù)y= (k≠0)，如果在這個函數(shù)圖象所在的每一個象限內(nèi)，y的值隨著x的值增大而減小，那么k的取值范圍是 k>0 .
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】直接利用當(dāng)k>0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，進(jìn)而得出答案.
【解答】解：∵反比例函數(shù)y= (k≠0)，如果在這個函數(shù)圖象所在的每一個象限內(nèi)，y的值隨著x的值增大而減小，
∴k的取值范圍是：k>0.
故答案為：k>0.
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確記憶增減性是解題關(guān)鍵.
14.有一枚材質(zhì)均勻的正方體骰子，它的六個面上分別有1點、2點、…6點的標(biāo)記，擲一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)的概率是 .
【考點】概率公式.
【專題】計算題.
【分析】共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中點數(shù)是3的倍數(shù)有3和6，從而利用概率公式可求出向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)的概率.
【解答】解：擲一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)的概率= = .
故答案為 .
【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).
15.在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，那么△ADE的面積與△ABC的面積的比是 .
【考點】三角形中位線定理.
【分析】構(gòu)建三角形中位線定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以 =( )2，由此即可證明.
【解答】解：如圖，∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC.DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =( )2= ，
故答案為 .
【點評】本題考查三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住相似三角形的面積比等于相似比的平方，屬于中考�？碱}型.
16.今年5月份有關(guān)部門對計劃去上海迪士尼樂園的部分市民的前往方式進(jìn)行調(diào)查，圖1和圖2是收集數(shù)據(jù)后繪制的兩幅不完整統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中提供的信息，那么本次調(diào)查的對象中選擇公交前往的人數(shù)是 6000 .
【考點】條形統(tǒng)計圖;扇形統(tǒng)計圖.
【分析】根據(jù)自駕車人數(shù)除以百分比，可得答案.
【解答】解：由題意，得
4800÷40%=12000，
公交12000×50%=6000，
故答案為：6000.
【點評】本題考查了條形統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù).
17.如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測得底部C的俯角為60°，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC約為 208 米.(精確到1米，參考數(shù)據(jù)： ≈1.73)
【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】分別利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD，DC的長，進(jìn)而求出該建筑物的高度.
【解答】解：由題意可得：tan30°= = = ，
解得：BD=30 ，
tan60°= = = ，
解得：DC=90 ，
故該建筑物的高度為：BC=BD+DC=120 ≈208(m)，
故答案為：208.
【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.
18.如圖，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A、C分別落在點A′、C′處.如果點A′、C′、B在同一條直線上，那么tan∠ABA′的值為 .
【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);矩形的性質(zhì);銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】設(shè)AB=x，根據(jù)平行線的性質(zhì)列出比例式求出x的值，根據(jù)正切的定義求出tan∠BA′C，根據(jù)∠ABA′=∠BA′C解答即可.
【解答】解：設(shè)AB=x，則CD=x，A′C=x+2，
∵AD∥BC，
∴ = ，即 = ，
解得，x1= ﹣1，x2=﹣ ﹣1(舍去)，
∵AB∥CD，
∴∠ABA′=∠BA′C，
tan∠BA′C= = = ，
∴tan∠ABA′= ，
故答案為： .
【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
三、解答題：本大題共7小題，共78分
19.計算：| ﹣1|﹣ ﹣ + .
【考點】實數(shù)的運算;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
【分析】利用絕對值的求法、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪分別化簡后再加減即可求解.
【解答】解：原式= ﹣1﹣2﹣2 +9=6﹣
【點評】本題考查了實數(shù)的運算及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的知識，解題的關(guān)鍵是了解相關(guān)的運算性質(zhì)及運算法則，難度不大.
20.解方程： ﹣ =1.
【考點】解分式方程.
【分析】根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1進(jìn)行計算即可.
【解答】解：去分母得，x+2﹣4=x2﹣4，
移項、合并同類項得，x2﹣x﹣2=0，
解得x1=2，x2=﹣1，
經(jīng)檢驗x=2是增根，舍去;x=﹣1是原方程的根，
所以原方程的根是x=﹣1.
【點評】本題考查了解分式方程，熟記解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1是解題的關(guān)鍵，注意驗根.
21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，點D在邊AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足為點E，聯(lián)結(jié)CE，求：
(1)線段BE的長;
(2)∠ECB的余切值.
【考點】解直角三角形;勾股定理.
【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3 ，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函數(shù)得出AE= ，即可得出BE的長;
(2)過點E作EH⊥BC，垂足為點H，由三角函數(shù)求出EH=BH=BEcos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函數(shù)求出cot∠ECB= = 即可.
【解答】解：(1)∵AD=2CD，AC=3，
∴AD=2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴∠A=∠B=45°，AB= = =3 ，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，
∴AE=ADcos45°=2× = ，
∴BE=AB﹣AE=3 ﹣ =2 ，
即線段BE的長為2 ;
(2)過點E作EH⊥BC，垂足為點H，如圖所示：
∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，
∴EH=BH=BEcos45°=2 × =2，
∵BC=3，
∴CH=1，
在Rt△CHE中，cot∠ECB= = ，
即∠ECB的余切值為 .
【點評】本題考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù);熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，通過作輔助線求出CH是解決問題(2)的關(guān)鍵.
22.某物流公司引進(jìn)A、B兩種機器人用來搬運某種貨物，這兩種機器人充滿電后可以連續(xù)搬運5小時，A種機器人于某日0時開始搬運，過了1小時，B種機器人也開始搬運，如圖，線段OG表示A種機器人的搬運量yA(千克)與時間x(時)的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：
(1)求yB關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)如果A、B兩種機器人連續(xù)搬運5個小時，那么B種機器人比A種機器人多搬運了多少千克?
【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)設(shè)yB關(guān)于x的函數(shù)解析式為yB=kx+b(k≠0)，將點(1，0)、(3，180)代入一次函數(shù)函數(shù)的解析式得到關(guān)于k，b的方程組，從而可求得函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)yA關(guān)于x的解析式為yA=k1x.將(3，180)代入可求得yA關(guān)于x的解析式，然后將x=6，x=5代入一次函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式求得yA，yB的值，最后求得yA與yB的差即可.
【解答】解：(1)設(shè)yB關(guān)于x的函數(shù)解析式為yB=kx+b(k≠0).
將點(1，0)、(3，180)代入得： ，
解得：k=90，b=﹣90.
所以yB關(guān)于x的函數(shù)解析式為yB=90x﹣90(1≤x≤6).
(2)設(shè)yA關(guān)于x的解析式為yA=k1x.
根據(jù)題意得：3k1=180.
解得：k1=60.
所以yA=60x.
當(dāng)x=5時，yA=60×5=300(千克);
x=6時，yB=90×6﹣90=450(千克).
450﹣300=150(千克).
答：若果A、B兩種機器人各連續(xù)搬運5小時，B種機器人比A種機器人多搬運了150千克.
【點評】本題主要考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，依據(jù)待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.
23.已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓， = ，點D在邊BC上，AE∥BC，AE=BD.
(1)求證：AD=CE;
(2)如果點G在線段DC上(不與點D重合)，且AG=AD，求證：四邊形AGCE是平行四邊形.
【考點】三角形的外接圓與外心;全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的判定;圓心角、弧、弦的關(guān)系.
【分析】(1)根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得出∠B=∠ACB，再根據(jù)全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE;
(2)連接AO并延長，交邊BC于點H，由等腰三角形的性質(zhì)和外心的性質(zhì)得出AH⊥BC，再由垂徑定理得BH=CH，得出CG與AE平行且相等.
【解答】證明：(1)在⊙O中，
∵ = ，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中， ，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴AD=CE;
(2)連接AO并延長，交邊BC于點H，
∵ = ，OA為半徑，
∴AH⊥BC，
∴BH=CH，
∵AD=AG，
∴DH=HG，
∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，
∵BD=AE，
∴CG=AE，
∵CG∥AE，
∴四邊形AGCE是平行四邊形.
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心以及全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，把這幾個知識點綜合運用是解題的關(guān)鍵.
24.如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5(a≠0)經(jīng)過點A(4，﹣5)，與x軸的負(fù)半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=5OB，拋物線的頂點為點D.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)聯(lián)結(jié)AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積;
(3)如果點E在y軸的正半軸上，且∠BEO=∠ABC，求點E的坐標(biāo).
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)先得出C點坐標(biāo)，再由OC=5BO，得出B點坐標(biāo)，將A、B兩點坐標(biāo)代入解析式求出a，b;
(2)分別算出△ABC和△ACD的面積，相加即得四邊形ABCD的面積;
(3)由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，過C作AB邊上的高CH，利用等面積法求出CH，從而算出tan∠ABC，而BO是已知的，從而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO長度，也就求出了E點坐標(biāo).
【解答】解：(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣5與y軸交于點C，
∴C(0，﹣5)，
∴OC=5.
∵OC=5OB，
∴OB=1，
又點B在x軸的負(fù)半軸上，
∴B(﹣1，0).
∵拋物線經(jīng)過點A(4，﹣5)和點B(﹣1，0)，
∴ ，解得 ，
∴這條拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣4x﹣5.
(2)由y=x2﹣4x﹣5，得頂點D的坐標(biāo)為(2，﹣9).
連接AC，
∵點A的坐標(biāo)是(4，﹣5)，點C的坐標(biāo)是(0，﹣5)，
又S△ABC= ×4×5=10，S△ACD= ×4×4=8，
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=18.
(3)過點C作CH⊥AB，垂足為點H.
∵S△ABC= ×AB×CH=10，AB=5 ，
∴CH=2 ，
在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC= ，BH= =3 ，
∴tan∠CBH= = .
∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO= ，
∵∠BEO=∠ABC，
∴ ，得EO= ，
∴點E的坐標(biāo)為(0， ).
【點評】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形面積求法、等積變換、勾股定理、正切函數(shù)等知識點，難度適中.第(3)問，將角度相等轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的正切函數(shù)值相等是解答關(guān)鍵.
25.如圖所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，點E是邊AB上的動點，點F是射線CD上一點，射線ED和射線AF交于點G，且∠AGE=∠DAB.
(1)求線段CD的長;
(2)如果△AEC是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長;
(3)如果點F在邊CD上(不與點C、D重合)，設(shè)AE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍.
【考點】四邊形綜合題.
【專題】綜合題.
【分析】(1)作DH⊥AB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，則DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理計算出AH，從而得到BH和CD的長;
(2)分類討論：當(dāng)EA=EG時，則∠AGE=∠GAE，則判斷G點與D點重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如圖1，則AM= AD= ，通過證明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可計算出此時的AE長;當(dāng)GA=GE時，則∠AGE=∠AEG，可證明AE=AD=15，
(3)作DH⊥AB于H，如圖2，則AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE= ，再證明△EAG∽△EDA，則利用相似比可表示出EG= ，則可表示出DG，然后證明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的關(guān)系.
【解答】解：(1)作DH⊥AB于H，如圖1，
易得四邊形BCDH為矩形，
∴DH=BC=12，CD=BH，
在Rt△ADH中，AH= = =9，
∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，
∴CD=7;
(2)當(dāng)EA=EG時，則∠AGE=∠GAE，
∵∠AGE=∠DAB，
∴∠GAE=∠DAB，
∴G點與D點重合，即ED=EA，
作EM⊥AD于M，如圖1，則AM= AD= ，
∵∠MAE=∠HAD，
∴Rt△AME∽Rt△AHD，
∴AE：AD=AM：AH，即AE：15= ：9，解得AE= ;
當(dāng)GA=GE時，則∠AGE=∠AEG，
∵∠AGE=∠DAB，
而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，
∴∠GAE=∠ADG，
∴∠AEG=∠ADG，
∴AE=AD=15，
綜上所述，△AEC是以EG為腰的等腰三角形時，線段AE的長為 或15;
(3)作DH⊥AB于H，如圖2，則AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，
在Rt△ADE中，DE= = ，
∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，
∴△EAG∽△EDA，
∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x： ，
∴EG= ，
∴DG=DE﹣EG= ﹣ ，
∵DF∥AE，
∴△DGF∽△EGA，
∴DF：AE=DG：EG，即y：x=( ﹣ )： ，
∴y= (9
【點評】本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握梯形的性質(zhì)等等腰三角形的性質(zhì);常把直角梯形化為一個直角三角形和一個矩形解決問題;會利用勾股定理和相似比計算線段的長;會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題.
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