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導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法介紹
利用導(dǎo)數(shù)是可以證明很多定律的，比如不等式之類的。下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的利用導(dǎo)數(shù)證明不等式內(nèi)容，希望大家喜歡。
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式方法1
1.當(dāng)x>1時(shí),證明不等式x>ln(x+1)
設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)
求導(dǎo)，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1
2..證明：a-a^2>0 其中0
F(a)=a-a^2
F'(a)=1-2a
當(dāng)00;當(dāng)1/2
因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/4>0
即有當(dāng)00
3.x>0,證明：不等式x-x^3/6
先證明sinx
因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，sinx-x=0
如果當(dāng)函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點(diǎn)的值0，
求導(dǎo)數(shù)有sinx-x的導(dǎo)數(shù)是cosx-1
因?yàn)閏osx-1≤0
所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點(diǎn)有最大值0，
知sinx
再證x-x³/6
對于函數(shù)x-x³/6-sinx
當(dāng)x=0時(shí)，它的值為0
對它求導(dǎo)數(shù)得
1-x²/2-cosx如果它<0那么這個(gè)函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點(diǎn)的值是最大值了。
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式方法2
要證x²/2+cosx-1>0 x>0
再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時(shí)，x²/2+cosx-1值為0
再次對它求導(dǎo)數(shù)得x-sinx
根據(jù)剛才證明的當(dāng)x>0 sinx
x²/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0
x²/2-cosx-1<0 x>0
所以x-x³/6-sinx是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0
得x-x³/6
利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式X-X²>0，X∈(0,1)成立
令f(x)=x-x² x∈[0,1]
則f'(x)=1-2x
當(dāng)x∈[0,1/2]時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增
當(dāng)x∈[1/2,1]時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減
故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得
f(0)=0,f(1)=0
故f(x)的最小值為零
故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。
i、m、n為正整數(shù)，且1
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式方法3
一. 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求光滑曲線切線的斜率
函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) 表示曲線y=f(x)在點(diǎn) 處切線的斜率,這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。我們通過例題看一下,如何利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求光滑曲線切線的斜率。
例題1 求曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處切線的方程。
解:由導(dǎo)函數(shù)定義
應(yīng)用點(diǎn)斜式方程,可得曲線在(1,1)處的切線方程:y-1=2(x-1)
即2x-y-1=0 .
二. 利用導(dǎo)數(shù)的物理意義求瞬時(shí)速度、加速度、電流強(qiáng)度等。
導(dǎo)數(shù)的物理意義沒有統(tǒng)一的解釋,對于不同的物理量,導(dǎo)數(shù)有不同的物理意義。例如,變速直線運(yùn)動(dòng)路程函數(shù)S對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù) 就是瞬時(shí)速度;瞬時(shí)速度V對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù) 就是加速度;通過導(dǎo)體某截面的電量Q對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù) 就是電流強(qiáng)度。下面我們看一個(gè)具體的例題。
例題2 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t3(米) ,求這個(gè)物體在t=2秒時(shí)的'速度。
解:有導(dǎo)函數(shù)的定義
有運(yùn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)路程對時(shí)間的物理意義可知
將t=2,帶入上式,得
三. 利用導(dǎo)數(shù)的符號判別函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
導(dǎo)數(shù)是對函數(shù)的圖像與性質(zhì)的總結(jié)與拓展,導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性極佳、最佳的重要工具,廣泛運(yùn)用在討論函數(shù)圖像的變化趨勢及證明不等式等方面。具體例題如下:
例題3 討論函數(shù) 的單調(diào)性。
解: ,當(dāng)x>0時(shí), >0 ;當(dāng)x<0時(shí), <0 .函數(shù)的定義域?yàn)?,因?yàn)樵?內(nèi) <0,所以函數(shù) 在 上單調(diào)減少;因?yàn)樵?內(nèi) >0,所以函數(shù) 在 上單調(diào)增加。
例題4 證明當(dāng)x>0時(shí),
解:設(shè) 則 , 在x=0時(shí)為零,在 內(nèi)均大于零,故函數(shù) 在 上單調(diào)增加,對于任何x>0,有 .即
所以
四. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
根據(jù)導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)兩側(cè)的符號,可以判斷函數(shù)在該駐點(diǎn)是極大值還是極小值。需要注意的是極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn),也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。下面我們看一個(gè)有駐點(diǎn)求極值的例題:
例題5 求函數(shù) 的極值 .
解:這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
令 =0,求得駐點(diǎn)
在 內(nèi), >0 ;在(1,3)內(nèi), <0;在 內(nèi), >0.由此可知,
五. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)函數(shù)的最大值和最小值。
人們做任何事情,小到日常用具的制作,大至生產(chǎn)科研和各類經(jīng)營活動(dòng),都要講究效率,考慮怎樣以最小的投入得到最大的產(chǎn)出,這類問題在數(shù)學(xué)上往往可以歸納為求某一函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的最大與最小值的問題。
例6、把長度為16cm的線段分成兩段,各圍成一個(gè)正方形,它們的面積之和的最小值為多少?
解:設(shè)一段長為xcm,則另一段長(16-x)cm.
∴面積和
∴S′= -2,令S′=0有x=8.
在 內(nèi), <0 ;在(8,16)內(nèi), >0 .
∴當(dāng)x=8時(shí),S有最小值8cm2.
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