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比較法證明不等式的過程
比較法是數(shù)學(xué)中一個(gè)常見的方法，那這個(gè)方法會怎么證明不等式呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的比較法證明不等式內(nèi)容，希望大家喜歡。
比較法證明不等式方法一
.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。
(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個(gè)整體;②變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的'和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段;③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法。
(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí)，一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?rdquo;，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B。
a>b>0,求證：a^ab^b>(ab)^a+b/2
因a^a*b^b=(ab)^ab,
又ab>a+b/2
故a^a*b^b>(ab)^a+b/2
已知:a,b,c屬于(-2,2).求證：ab+bc+ca>-4.
用極限法取2或-2，結(jié)果大于等于-4，因?qū)儆?-2，2)不包含2和-2就不等于-4，結(jié)果就只能大于-4
下面這個(gè)方法算不算“比較法”啊?
作差 M = ab+bc+ca - (-4) = ab+bc+ca+4
構(gòu)造函數(shù) M = f(c) = (a+b)c + ab+4
這是關(guān)于 c 的一次函數(shù)(或常函數(shù))，
在 cOM 坐標(biāo)系內(nèi)，其圖象是直線，
而 f(-2) = -2(a+b) + ab+4 = (a-2)(b-2) > 0(因?yàn)?a<2, b<2)
f(2) = 2(a+b) + ab+4 = (a+2)(b+2) > 0(因?yàn)?a>-2, b>-2)
所以 函數(shù) f(c) 在 c∈(-2, 2) 上總有 f(c) > 0
即 M > 0
即 ab+bc+ca+4 > 0
所以 ab+bc+ca > -4
比較法證明不等式方法二
設(shè)x,y∈R,求證x^2+4y^2+2≥2x+4y
(x-1)²≥0
(2y-1)²≥0
x²-2x+1≥0
4y²-4x+1≥0
x²-2x+1+4y²-4x+1≥0
x²+4y²+2≥2x+4x
除了比較法還有：
求出中間函數(shù)的值域：
y=(x^2-1)/(x^2+1)
=1-2/(x^2+1)
x為R，
y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，沒有最大值，趨于無窮校
所以有：
-1<=y=1-2/(x^2+1)<1
原題得到證明
比較法：
①作差比較，要點(diǎn)是：作差——變形——判斷。
這種比較法是普遍適用的，是無條件的。
根據(jù)a-b>0 a>b，欲證a>b只需證a-b>0;
�、谧魃瘫容^，要點(diǎn)是：作商——變形——判斷。
這種比較法是有條件的，這個(gè)條件就是“除式”的符號一定。
當(dāng)b>0時(shí)，a>b >1。
比較法是證明不等式的.基本方法，也是最重要的方法，有時(shí)根據(jù)題設(shè)可轉(zhuǎn)化為等價(jià)問題的比較(如冪、方根等)
綜合法是從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關(guān)系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關(guān)系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法。
數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本知識
數(shù)學(xué)歸納法的基本原理、步驟和使用范圍
(1)在數(shù)學(xué)里，常用的推理方法可分為演繹法和歸納法，演繹法一般到特殊，歸納法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫歸納法。在歸納時(shí)，如果逐個(gè)考察了某類事件的所有可能情況，因而得出一般結(jié)論，那么結(jié)論是可靠的.這種歸納法叫完全歸納法(通常也叫枚舉法)如果考察的只是某件事的部分情況，就得出一般結(jié)論，這種歸納法叫完全歸納法.這時(shí)得出的結(jié)論不一定可靠。數(shù)學(xué)問題中，有一類問題是與自然數(shù)有關(guān)的命題，因?yàn)樽匀粩?shù)有無限多個(gè)，我們不可能就所有的自然數(shù)一一加以驗(yàn)證，所以用完全歸納法是不可能的.然而只就部分自然數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證所得到的結(jié)論，是不一定可靠的
例如一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an(n25n5)2
容易驗(yàn)證a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出結(jié)論——對于任何nN+, an(n25n5)2=1都成立，那是錯(cuò)誤的.
事實(shí)上，a5=25≠1.
因此，就需要尋求證明這一類命題的一種切實(shí)可行、比較簡便而又滿足邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性要求的新的方法——數(shù)學(xué)歸納法.
(2)數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，其中遞推思想起主要作用。形象地說，多米諾骨牌游戲是遞推思想的一個(gè)模型，數(shù)學(xué)歸納法的基本原理相當(dāng)于有無限多張牌的多米諾骨牌游戲，其核心是歸納遞推.
一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用一下兩個(gè)步驟：(1)證明當(dāng)n=n0(例如n0=1或2等)時(shí)命題成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟以后，就可以斷定命題對于不小于n0所有自然數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.
自然數(shù)公理(皮亞諾公理)中的'“歸納公理”是數(shù)學(xué)歸納法的理論根據(jù)，數(shù)學(xué)歸納法的兩步證明恰是驗(yàn)證這條公理所說的兩個(gè)性質(zhì).數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與自然數(shù)n有關(guān)的命題.這里的n是任意的正整數(shù)，它可取無限多個(gè)值.
附錄：下面是自然數(shù)的皮亞諾公理，供有興趣的同學(xué)閱讀.
任何一個(gè)象下面所說的非空集合N的元素叫做自然數(shù)，在這個(gè)集合中的某些元素a與b之間存在著一種基本關(guān)系：數(shù)b是數(shù)a后面的一個(gè)“直接后續(xù)”數(shù)，并且滿足下列公理：
①1是一個(gè)自然數(shù);
�、谠谧匀粩�(shù)集合中，每個(gè)自然數(shù)a有一個(gè)確定“直接后續(xù)”數(shù)a’;
③a’≠1,即1不是任何自然數(shù)的“直接后續(xù)”數(shù);
�、苡蒩’ =b’推出a=b,這就是說，每個(gè)自然數(shù)只能是另一個(gè)自然數(shù)的“直接后續(xù)”數(shù);
�、菰O(shè)M是自然數(shù)的一個(gè)集合，如果它具有下列性質(zhì)：(Ⅰ)自然數(shù)1屬于M,(Ⅱ)如果自然數(shù)a屬于M，那么它的一個(gè)“直接后續(xù)”數(shù)a’也屬于M，則集合M包含一切自然數(shù).
其中第5條公理又叫做歸納公理，它是數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù).
(3)數(shù)學(xué)歸納法可以證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，但是，并不能簡單地說所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.
例如用數(shù)學(xué)歸納法證明(1+1)n(n N)的單調(diào)性就難以實(shí)現(xiàn).一般來說，n
從k=n到k=n+1時(shí)，如果問題中存在可利用的遞推關(guān)系，則數(shù)學(xué)歸納法有用武之地，否則使用數(shù)學(xué)歸納法就有困難.