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分式的教案
作為一名默默奉獻的教育工作者,就難以避免地要準備教案,通過教案準備可以更好地根據(jù)具體情況對教學進程做適當?shù)谋匾恼{(diào)整。寫教案需要注意哪些格式呢?下面是小編整理的分式的教案,歡迎大家分享。
分式的教案1
教學目標
1。知識與技能
能應(yīng)用所學的函數(shù)知識解決現(xiàn)實生活中的問題,會建構(gòu)函數(shù)“模型”。
2。過程與方法
經(jīng)歷探索一次函數(shù)的應(yīng)用問題,發(fā)展抽象思維。
3。情感、態(tài)度與價值觀
培養(yǎng)變量與對應(yīng)的思想,形成良好的函數(shù)觀點,體會一次函數(shù)的應(yīng)用價值。
重、難點與關(guān)鍵
1。重點:一次函數(shù)的應(yīng)用。
2。難點:一次函數(shù)的.應(yīng)用。
3。關(guān)鍵:從數(shù)形結(jié)合分析思路入手,提升應(yīng)用思維。
教學方法
采用“講練結(jié)合”的教學方法,讓學生逐步地熟悉一次函數(shù)的應(yīng)用。
教學過程
一、范例點擊,應(yīng)用所學
例5、小芳以200米/分的速度起跑后,先勻加速跑5分,每分提高速度20米/分,又勻速跑10分,試寫出這段時間里她的跑步速度y(單位:米/分)隨跑步時間x(單位:分)變化的函數(shù)關(guān)系式,并畫出函數(shù)圖象。
y=
例6、A城有肥料200噸,B城有肥料300噸,現(xiàn)要把這些肥料全部運往C、D兩鄉(xiāng)。從A城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料的費用分別為每噸20元和25元;從B城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料的費用分別為每噸15元和24元,現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240噸,D鄉(xiāng)需要肥料260噸,怎樣調(diào)運總運費最少?
解:設(shè)總運費為y元,A城往運C鄉(xiāng)的肥料量為x噸,則運往D鄉(xiāng)的肥料量為(200—x)噸。B城運往C、D鄉(xiāng)的肥料量分別為(240—x)噸與(60+x)噸。y與x的關(guān)系式為:y=20x+25(200—x)+15(240—x)+24(60+x),即y=4x+10040(0≤x≤200)。
由圖象可看出:當x=0時,y有最小值10040,因此,從A城運往C鄉(xiāng)0噸,運往D鄉(xiāng)200噸;從B城運往C鄉(xiāng)240噸,運往D鄉(xiāng)60噸,此時總運費最少,總運費最小值為10040元。
拓展:若A城有肥料300噸,B城有肥料200噸,其他條件不變,又應(yīng)怎樣調(diào)運?
二、隨堂練習,鞏固深化
課本P119練習。
三、課堂總結(jié),發(fā)展?jié)撃?/p>
由學生自我評價本節(jié)課的表現(xiàn)。
四、布置作業(yè),專題突破
課本P120習題14。2第9,10,11題。
分式的教案2
一、目標要求
1.理解掌握分式的四則混合運算的順序。
2.能正確熟練地進行分式的加、減、乘、除混合運算。
二、重點難點
重點:分式的加、減、乘、除混合運算的順序。
難點:分式的加、減、乘、除混合運算。
分式的加、減、乘、除混合運算的順序是先進行乘、除運算,再進行加、減運算,遇有括號,先算括號內(nèi)的`。
三、解題方法指導(dǎo)
【例1】計算:(1)[++(+)]·;
。2)(x-y-)(x+y-)÷[3(x+y)-]。
分析:分式的四則混合運算要注意運算順序及括號的關(guān)系。
解:(1)原式=[++]·=[++]·=·==。
。2)原式=·÷=··=y-x。
【例2】計算:(1)(-+)·(a3-b3);
。2)(-)÷。
解:(1)原式=-+=-+ab
=a2+ab+b2-(a2-b2)-ab
=a2+ab+b2-a2+b2-ab=2b2。
。2)原式=[-]·=-=-====。
說明:分式的加、減、乘、除混合運算注意以下幾點:
。1)一般按分式的運算順序法則進行計算,但恰當?shù)厥褂眠\算律會使運算簡便。
(2)要隨時注意分子、分母可進行因式分解的式子,以備約分或通分時備用,可避免運算煩瑣。
(3)注意括號的“添”或“去”、“變大”與“變小”。
。4)結(jié)果要化為最簡分式。
四、激活思維訓練
▲知識點:求分式的值
【例】已知x+=3,求下列各式的值:
分式的教案3
一.教學課題:解分式方程微教案
二.教學目標:
【知識技能】:
1.理解分式方程的意義
2.了解解分式方程的基本思路和解法3.理解解分式方程時,可能無解的原因,并掌握解分式方程的驗根方法
【過程與方法】:經(jīng)歷“實際問題——分式方程——整式方程”的過程,發(fā)展學生分析問題,解決問題的能力,滲透數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識。
【情感態(tài)度與價值觀】:培養(yǎng)學生努力尋找解決問題的進取心,體會數(shù)學的應(yīng)用價值。
三.教學重難點:
【教學重點】:解分式方程的基本思路和解法
【教學難點】:理解解分式方程時可能無解的原因四.教材內(nèi)容分析:本節(jié)課學生已掌握簡單的整式方程的解法(一元一次方程及二元一次方程組),學習過分式的四則運算。這節(jié)課是分式方程的起始課,要求能從實際的生活情境中抽象出分式方程的概念,主要研究分式方程及其解法,分式方程與整式方程在概念上是不同的,但他們在解法上卻有著一定的聯(lián)系和區(qū)別,即分式方程最終要轉(zhuǎn)化為整式方程來解,但最后要驗根這是學生最容易忘記的,所以教學中要強調(diào)。四.學情分析:本節(jié)課是在學生學習了分式及運算后學習分式方程,充分體現(xiàn)了分式方程與分式的聯(lián)系及分式方程與整式方程的區(qū)別,讓學生體會分式方程也是解決實際問題的重要手段。五、教學過程:環(huán)節(jié)一.創(chuàng)設(shè)情景,引入新課問題:一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時,它沿江以最大航速順流航行100千米所用時間與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等,江水的流速為多少?
1.這個問題中給出了哪些信息,等量關(guān)系是什么?
2.設(shè)江水的流速為V千米/時輪船順流航行速度為XXX千米/時,逆流航行速度為XXX千米/時,順流航行100千米所用時間為X小時,XXX逆流航行60千米所用時間為XXX小時,列方程XXX
【師生行為】:教師提出問題,學生思考回答,在活動中教師關(guān)注:(1)學生能否將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題(2)不同層次學生對實際問題抽象出數(shù)學模型的掌握情況。
【設(shè)計意圖】通過實際中的行程問題,引導(dǎo)學生從分析入手,列出含未知數(shù)的式子表示有關(guān)量,并列出方程,引發(fā)學生學習興趣,提出問題引發(fā)思考,為探索分式方程及分式方程的解法作準備,自然引出學習課題。
1.問題:
(1)方程與以前所學的整式方程有何不同?
(2)滿足什么特點的方程叫分式方程?
板書:像這樣分母中含有未知數(shù)的方程,叫做分式方程。歸納:確定是不是分式方程,主要是看是否符合分式方程的概念,方程的分母中含有未知數(shù),像這樣的方程才屬于分式方程。
2.練習
【設(shè)計意圖】:通過讓學生自己舉例及判斷哪些方程是分式方程,及時歸納總結(jié),鞏固所學知識既然我們已經(jīng)清楚了什么樣的方程是分式方程,那么分式方程你會解嗎?讓我們來看這樣一題:如何解分式方程呢?
【教師提出問題】:
1.這樣的方程你以前解過嗎?
2.你以前解過什么方程?
3.那你能不能把這個方程轉(zhuǎn)化為你會解的方程即整式方程呢?
4.怎么轉(zhuǎn)化呢?
【師生行為】:教師提出問題,學生思考,討論后在全班交流探究結(jié)果。教師在活動中關(guān)注:學生能否觀察出分式方程與整式方程的區(qū)別學生是否有利用“轉(zhuǎn)化思想”解決問題的意識學生是否在參與合作交流的活動中獲取知識,學生是否從多角度來研究分式方程的解法。
【設(shè)計意圖】:主要讓學生運用“轉(zhuǎn)化思想”探討解分式方程的方法,鼓勵學生從多角度思考問題,解釋所獲得結(jié)果的合理性,培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。
環(huán)節(jié)三.應(yīng)用遷移,鞏固提高問題:(1)解分式方程:上面兩個方程中,為什么去分母后所得整式方程的解是它的解,而去分母所得整式方程的解卻不是它的解呢?(3)探究:分式方程無解的'原因是什么?(分式方程去分母后的整式方程的解代入原分式方程分母中,分母為0無意義,所以分式方程無解)(4)探究:如何檢驗分式方程的解?1.直接代入原方程(計算量大,很少用)2.間接代入最簡公分母(常用檢驗方法)
【設(shè)計意圖】:主要讓學生通過自己探索實踐,找出分式方程無解的原因及驗根的必要性.學生在教學活動中通過積極參與和有效參與,來達到知識與能力、過程和方法、情感態(tài)度與價值觀的全面落實。
環(huán)節(jié)四. 總結(jié)反思,拓展升華探究:解分式方程基本思路是什么?有哪些步驟?每一步的目的是什么?解分式方程的基本思路是:分式方程通過去分母轉(zhuǎn)化成整式方程。步驟:
步驟目的1.去分母(關(guān)鍵找最簡公分母)將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程2.解這個整式方程得到整式方程的解3.檢驗(代入最簡公分母看是否為0,為0增根)舍去增根4.寫出最終結(jié)果得到原方程的解
口訣:一化二解三檢驗四作答
【設(shè)計意圖】:通過探究,引發(fā)學生的思考,讓學生在自主探究合作交流中歸納總結(jié)解分式方程的基本思路和步驟,在合作交流中獲得成功的快樂。
分式的教案4
一、目標要求
1.理解掌握異分母分式加減法法則。
2.能正確熟練地進行異分母分式的加減運算。
二、重點難點
重點:異分母分式的加減法法則及其運用。
難點:正確確定最簡公分母和靈活運用法則。
1.異分母分式的加減法法則:異分母分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜阜质,然后再加減。用式子表示為:±=。
2.分式通分時,要注意幾點:(1)如果各分母的系數(shù)都是整數(shù)時通分,常取它們的系數(shù)的最小公倍數(shù),作為最簡公分母的系數(shù);(2)若分母的系數(shù)不是整數(shù)時,先用分式的基本性質(zhì)將其化為整數(shù),再求最小公倍數(shù);(3)分母的系數(shù)若是負數(shù)時,應(yīng)利用符號法則,把負號提取到分式前面;(4)若分母是多項式時,先按某一字母順序排列,然后再進行因式分解,再確定最簡公分母。
三、解題方法指導(dǎo)
【例1】計算:(1)++;
。2)-x-1;
。3)--。
分析:(1)把分母的各多項式按x的降冪排列,能先分解因式的將其分解因式,找最簡公分母,轉(zhuǎn)化為同分母的分式加減法。(2)一個整式與一個分式相加減,應(yīng)把這個整式看作一個分母是1的`式子來進行通分,注意-x-1=,要注意負號問題。
解:(1)原式=-+=-+====;
。2)原式======;
。3)原式=--===。
【例2】計算:。+++。
分析:此題若將4個分式同時通分,分子將是很復(fù)雜的,計算也是比較復(fù)雜的。各式的分母適用于平方差公式,所以采取分步通分的方法進行加減。
解:原式=++=++=+=+==。
四、激活思維訓練
▲知識點:異分母分式的加減
【例】計算:-+。
分析:此題如果直接通分,運算勢必十分復(fù)雜。當各分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時,可利用多項式的除法,將其分離為整式部分與分式部分的和,再加減會使運算簡便。
解:原式=[x+2-]-[x+3+]
。玔+1]
=x+2--x-3-++1
=--+=====。
五、基礎(chǔ)知識檢測
1.填空題:
分式的教案5
教學任務(wù)分析
教學目標
知識技能
一、類比同分母分數(shù)的加減,熟練掌握同分母分式的加減運算.
二、類比異分母分數(shù)的加減及通分過程,熟練掌握異分母分式的加減及通分過程與方法.
數(shù)學思考
在分式的加減運算中,體驗知識的化歸聯(lián)系和思維靈活性,培養(yǎng)學生整體思考的分析問題能力.
解決問題
一、會進行同分母和異分母分式的加減運算.
二、會解決與分式的加減有關(guān)的簡單實際問題.
三、能進行分式的加、剪、乘、除、乘方的混合運算.
情感態(tài)度
通過師生活動、學生自我探究,讓學生充分參與到數(shù)學學習的過程中來,使學生在整體思考中開闊視野,養(yǎng)成良好品德,滲透化歸對立統(tǒng)一的辯證觀點.
重點
分式的加減法.
難點
異分母分式的加減法及簡單的分式混合運算.
教學流程安排
活動流程圖
活動內(nèi)容和目的
活動1:問題引入
活動2:學習同分母分式的加減
活動3:探究異分母分式的加減
活動4:發(fā)現(xiàn)分式加減運算法則
活動5:鞏固練習、總結(jié)、作業(yè)
向?qū)W生提出兩個實際問題,使學生體會學習分式加減的必要性及迫切性,創(chuàng)始問題情境,激發(fā)學生的學習熱情.
類比同分母分數(shù)的加減,讓學生歸納同分母分式的加減的方法并進行簡單運算.
回憶異分母分數(shù)的加減,使學生歸納異分母分式的加減的方法.
通過以上探究過程,讓學生發(fā)現(xiàn)分式加減運算的法則,通過分式在物理學的應(yīng)用及簡單混合運算,使學生深化對分式加減運算法則的理解.
通過練習、作業(yè)進一步鞏固分式的運算.
課前準備
教具
學具
補充材料
課件
教學過程設(shè)計
問題與情境
師生行為
設(shè)計意圖
。刍顒樱保
1.問題一:比較電腦與手抄的錄入時間.
2.問題二;幫幫小明算算時間
所需時間為,
如何求出的值?
3.這里用到了分式的加減,提出本節(jié)課的主題.
教師通過課件展示問題.學生積極動腦解決問題,提出困惑:
分式如何進行加減?
通過實際問題中要用到分式的加減,從而提出問題,讓學生思考,可以激發(fā)學生探究的熱情.
。刍顒樱玻
1.提出小學數(shù)學中一道簡單的分數(shù)加法題目.
2.用課件引導(dǎo)學生用類比法,歸納總結(jié)同分母分式加法法則.
3.教師使用課件展示[例1]
4.教師通過課件出兩個小練習.
教師提出問題,學生回答,進一步回憶同分母分數(shù)加減的運算法則.
學生在教師的引導(dǎo)下,探索同分母分式加減的運算方法.
通過例題,讓學生和教師一起體會同分母分式加減運算,同時教師指出運算中的.注意事項.
由兩個學生板書自主完成練習,教師巡視指導(dǎo)學生練習.
運用類比的方法,從學生熟知的知識入手,有利于學生接受新知識.
師生共同完成例題,使學生感受到自己很棒,自己能夠通過思考學會新知識,提高自信心.
讓學生進一步體會同分母分式的加減運算.
[活動3]
1.教師以練習的形式通過“自我發(fā)展的平臺”,向?qū)W生展示這樣一道題.
2.教師提出思考題:
異分母的分式加減法要遵守什么法則呢?
教師展示一道異分母分式的加減題目,學生自然就想到異分母分數(shù)的加減.
教師通過課件引導(dǎo)學生思考,學生會想到小學數(shù)學中,異分母分數(shù)的加減法則,從而聯(lián)想到異分母分式的加減法則,教師引導(dǎo)學生歸納出異分母分式加減運算的方法思路.
由學生主動提出解決問題的方法,從而激發(fā)了學生探究問題的興趣.
通過學生的自我探究、歸納總結(jié),讓學生充分參與到數(shù)學學習的`過程中來,體會學習的樂趣.
。刍顒樱矗
。保谡Z言敘述分式加減法則的基礎(chǔ)上,用字母表示分式的加減法法則.
2.教師使用課件展示[例2]
3.教師通過課件出4個小練習.
4.[例3]在圖的電路中,已測定CAD支路的電阻是R1歐姆,又知CBD支路的電阻R2比R1大50歐姆,根據(jù)電學的有關(guān)定律可知總電阻R與R1R2滿足關(guān)系式 ;
試用含有R1的式子表示總電阻R
5.教師使用課件展示[例4]
教師提出要求,由學生說出分式加減法則的字母表示形式.
通過例題,讓學生和教師一起體會異分母分式加減運算,同時教師重點演示通分的過程.
教師引導(dǎo)學生找出每道題的方法、如何找最簡公分母及時指出學生在通分中出現(xiàn)的問題,由學生自己完成.
教師引導(dǎo)學生尋找解決問題的突破口,由師生共同完成,對比物理學中的計算,體會各學科知識之間的聯(lián)系.
分式的混合運算,師生共同完成,教師提醒學生注意運算順序,通分要仔細.
由此練習學生的抽象表達能力,讓學生體會數(shù)學符號語言的精練.
讓學生體會運用的公式解決問題的過程.
鍛煉學生運用法則解決問題的能力,既準確又有速度.
提高學生的計算能力.
通過分式在物理學中的應(yīng)用,加強了學科之間的聯(lián)系,使學生開闊了視野,讓學生體會到學習數(shù)學的重要性,體會各學科全面發(fā)展的重要性,提高學習的興趣.
提高學生綜合應(yīng)用知識的能力.
。刍顒樱担
1.教師通過課件出2個分式混合運算的小練習.
2.總結(jié):
a)這節(jié)課我們學習了哪些知識?你能說一說嗎?
b)⑴方法思路;
c)⑵計算中的主意事項;
d)⑶結(jié)果要化簡.
3.作業(yè):
a)教科書習題16.2第4、5、6題.
學生練習、鞏固.
教師巡視指導(dǎo).
學生完成、交流.,師生評價.
教師引導(dǎo)學生回憶本節(jié)課所學內(nèi)容,學生回憶交流,師生共同補充完善.
教師布置作業(yè).
鍛煉學生運用法則進行運算的能力,提高準確性及速度.
提高學生歸納總結(jié)的能力.
分式的教案6
分式方程
教學目標
1.經(jīng)歷分式方程的概念,能將實際問題中的等量關(guān)系用分式方程 表示,體會分式方程的模型作用.
2.經(jīng)歷實際問題-分式方程方程模型的過程,發(fā)展學生分析問題、解決問題的能力,滲透數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想人體,培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識。
3.在活動中培養(yǎng)學生樂于探究、合作學習的習慣,培養(yǎng)學 生努力尋找 解決問題的進取心,體會數(shù)學的應(yīng)用價值.
教學重點:
將實際問題中的等量 關(guān)系用分式方程表示
教學難點:
找實際問題中的等量關(guān)系
教學過程:
情境導(dǎo)入:
有兩塊面積相同的小麥試驗田,第一塊使用原品種,第二 塊使用新品種,分別收獲小麥9000 kg和15000 kg。已知第一塊試驗田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000 kg,分別求這兩塊試驗田每 公頃 的'產(chǎn)量。你能找出這一問題中的所有等量關(guān)系嗎?(分組交流)
如果設(shè)第一塊試驗田 每公頃的產(chǎn)量為 kg,那么第二塊試驗田每公頃的產(chǎn)量是________kg。
根據(jù)題意,可得方程___________________
二、講授新課
從甲地到乙地有兩條公路:一條是全長600 km的普通 公路,另一條是全長480 km的高速公路。某客 車在 高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45 km/h,由高速 公路從甲地到乙地所需的時間 是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半。求該客車由高速公路從 甲地到乙地所需的時間。
這 一問題中有哪些等量關(guān)系?
如果設(shè)客車由高速公路從甲地到乙地 所需的時間為 h,那么它由普通公路從甲地到乙地所需的時間為_________h。
根據(jù)題意,可得方程_ _____________________。
學生分組探討、交流,列出方程.
三.做一做:
為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園,某學校號召同學們自愿捐款。已知第一次捐款總額為4800元,第二次捐款總額為5000元,第二次捐款人數(shù)比第一次多20人,而且兩次人均捐款額恰好相等。如果設(shè)第一次捐款人數(shù)為 人,那么 滿足怎樣的方程?
四.議一議:
上面所得到的方程有什么共同特點?
分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程
分式方程與整式方程有什么區(qū)別?
五、 隨堂練習
(1)據(jù)聯(lián)合國《20xx年全球投資 報告》指出,中國20xx年吸收外國投資額 達530億美元,比上一年增加了13%。設(shè)20xx年我國吸收外國投資額為 億美元,請你寫出 滿足的方程。你能寫出幾個方程?其中哪一個是分式方程?
(2)輪船在順水中航行20千米與逆水航行10千米所用時間相同,水流速度為2. 5千米/小時,求輪船的靜水速度
(3)根據(jù)分式方程 編一道應(yīng)用題,然后同組交流,看誰編得好
六、學 習小結(jié)
本節(jié)課你學到了哪些知識?有什么感想?
七.作業(yè)布置
分式的教案7
一、 教學目標
1.了解分式、有理式的概念.
2.理解分式有意義的條件,能熟練地求出分式有意義的條件.
二、重點、難點
1.重點:理解分式有意義的條件.
2.難點:能熟練地求出分式有意義的條件.
三、課堂引入
1.讓學生填寫P127[思考],學生自己依次填出:,,,.
2.學生看問題:一艘輪船在靜水中的最大航速為30 /h,它沿江以最大航速順流航行90 所用時間,與以最大航速逆流航行60 所用時間相等,江水的'流速為多少?
請同學們跟著教師一起設(shè)未知數(shù),列方程.
設(shè)江水的流速為v /h.
輪船順流航行90 所用的時間為小時,逆流航行60 所用時間小時,所以=.
3. 以上的式子,,,,有什么共同點?它們與分數(shù)有什么相同點和不同點?
四、例題講解
P128例1. 當下列分式中的字母為何值時,分式有意義.
[分析]已知分式有意義,就可以知道分式的分母不為零,進一步解
出字母的取值范圍.
[補充提問]如果題目為:當字母為何值時,分式無意義.你知道怎么解題嗎?這樣可以使學生一題二用,也可以讓學生更全面地感受到分式及有關(guān)概念.
(補充)例2. 當為何值時,分式的值為0?
。1) (2) (3)
[分析] 分式的值為0時,必須同時滿足兩個條件:分母不能為零;分子為零,這樣求出的的解集中的公共部分,就是這類題目的解.
[答案] (1)=0 (2)=2 (3)=1
五、隨堂練習
1.判斷下列各式哪些是整式,哪些是分式?
9x+4, , , , ,
2. 當x取何值時,下列分式有意義?
。1) (2) (3)
3. 當x為何值時,分式的值為0?
(1) (2) (3)
六、課后練習
1.下列代數(shù)式表示下列數(shù)量關(guān)系,并指出哪些是正是?哪些是分式?
。1)甲每小時做x個零件,則他8小時做零件 個,做80個零件需 小時.
。2)輪船在靜水中每小時走a千米,水流的速度是b千米/時,輪船的順流速度是 千米/時,輪船的逆流速度是 千米/時.
。3)x與的差于4的商是 .
2.當x取何值時,分式 無意義?
3. 當x為何值時,分式 的值為0?
分式的教案8
教學目標
(一)教學知識點
1.分式的基本性質(zhì).
2.利用分式的基本性質(zhì)對分式進行等值變形.
3.了解分式約分的步驟和依據(jù),掌握分式約分的方法.
4.使學生了解最簡分式的意義,能將分式化為最簡分式.
(二)能力訓練要求
1.能類比分數(shù)的基本性質(zhì),推測出分式的基本性質(zhì).
2.培養(yǎng)學生加強事物之間的聯(lián)系,提高數(shù)學運算能力.
(三)情感與價值觀要求
通過類比分數(shù)的基本性質(zhì)及分數(shù)的約分,推測出分式的基本性質(zhì)和約分,在學生已有數(shù)學經(jīng)驗的基礎(chǔ)上,提高學生學數(shù)學的樂趣.
教學重點
1.分式的'基本性質(zhì).
2.利用分式的基本性質(zhì)約分.
3.將一個分式化簡為最簡分式.
教學難點
分子、分母是多項式的約分.
教學方法
討論自主探究相結(jié)合
教具準備
投影片六張:
第一張:問題串,(記作3.1.2 A);
第二張:例2,(記作3.1.2 B);
第三張:例3,(記作3.1.2 C);
第四張:做一做,(記作3.1.2 D);
第五張:議一議,(記作3.1.2 E);
第六張:隨堂練習,(記作3.1.2 F).
教學過程
、.復(fù)習分數(shù)的基本性質(zhì),推想分式的基本性質(zhì).
分式的教案9
教學目標
1。使學生能分析題目中的等量關(guān)系,掌握列分式方程解應(yīng)用題的方法和步驟,提高學生分析問題和解決問題的能力;
2。通過列分式方程解應(yīng)用題,滲透方程的思想方法。
教學重點和難點
重點:列分式方程解應(yīng)用題。
難點:根據(jù)題意,找出等量關(guān)系,正確列出方程。
教學過程設(shè)計
一、復(fù)習
例 解方程:
(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;
(3)2(1x+1x+3)+x-2x+3=1。
解 (1)方程兩邊都乘以x(3+3),去分母,得
2(x+3)+x2=x2+3x,即2x-3x=-6
所以 x=6。
檢驗:當x=6時,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根。
。2)方程兩邊都乘以x(x+12),約去分母,得
15(x+12)=30x。
解這個整式方程,得
x=12。
檢驗:當x=12時,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根。
。3)整理,得
2x+2x+3+x-2x+3=1,即2x+2+x-2 x+3=1,
即 2x+xx+3=1。
方程兩邊都乘以x(x+3),去分母,得
2(x+3)+x2=x(x+3),
即 2x+6+x2=x2+3x,
亦即 2x-3x=-6。
解這個整式方程,得 x=6。
檢驗:當x=6時,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根。
二、新課
例1 一隊學生去校外參觀,他們出發(fā)30分鐘時,學校要把一個緊急通知傳給帶隊老師,派一名學生騎車從學校出發(fā),按原路追趕隊伍。若騎車的速度是隊伍進行速度的2倍,這名學生追上隊伍時離學校的距離是15千米,問這名學生從學校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間?
請同學根據(jù)題意,找出題目中的等量關(guān)系。
答:騎車行進路程=隊伍行進路程=15(千米);
騎車的速度=步行速度的2倍;
騎車所用的時間=步行的時間-0。5小時。
請同學依據(jù)上述等量關(guān)系列出方程。
答案:
方法1 設(shè)這名學生騎車追上隊伍需x小時,依題意列方程為
15x=2×15 x+12。
方法2 設(shè)步行速度為x千米/時,騎車速度為2x千米/時,依題意列方程為
15x-15 2x=12。
解 由方法1所列出的方程,已在復(fù)習中解出,下面解由方法2所列出的方程。
方程兩邊都乘以2x,去分母,得
30-15=x,
所以 x=15。
檢驗:當x=15時,2x=2×15≠0,所以x=15是原分式方程的根,并且符合題意。
所以騎車追上隊伍所用的時間為15千米 30千米/時=12小時。
答:騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘。
指出:在例1中我們運用了兩個關(guān)系式,即時間=距離速度,速度=距離 時間。
如果設(shè)速度為未知量,那么按時間找等量關(guān)系列方程;如果設(shè)時間為未知量,那么按
速度找等量關(guān)系列方程,所列出的方程都是分式方程。
例2 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成,若由甲隊去做,恰好如期完成;若由乙隊去做,要超過規(guī)定日期三天完成,F(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩天,剩下的工程由乙獨做,恰好在規(guī)定日期完成,問規(guī)定日期是多少天?
分析;這是一個工程問題,在工程問題中有三個量,工作量設(shè)為s,工作所用時間設(shè)為t,工作效率設(shè)為m,三個量之間的關(guān)系是
s=mt,或t=sm,或m=st。
請同學根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程。
答案:
方法1 工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所需天數(shù),設(shè)為x天,那么乙單獨完成工程所需的天數(shù)就是(x+3)天,設(shè)工程總量為1,甲的工作效率就是x1,乙的工作效率是1x+3。依題意,列方程為
2(1x+1x3)+x2-xx+3=1。
指出:工作效率的意義是單位時間完成的工作量。
方法2 設(shè)規(guī)定日期為x天,乙與甲合作兩天后,剩下的工程由乙單獨做,恰好在規(guī)定日期完成,因此乙的工作時間就是x天,根據(jù)題意列方程
2x+xx+3=1。
方法3 根據(jù)等量關(guān)系,總工作量—甲的工作量=乙的工作量,設(shè)規(guī)定日期為x天,則可列方程
1-2x=2x+3+x-2x+3。
用方法1~方法3所列出的方程,我們已在新課之前解出,這里就不再解分式方程了。重點是找等量關(guān)系列方程。
三、課堂練習
1。甲加工180個零件所用的時間,乙可以加工240個零件,已知甲每小時比乙少加工5個零件,求兩人每小時各加工的零件個數(shù)。
2。A,B兩地相距135千米,有大,小兩輛汽車從A地開往B地,大汽車比小汽車早出發(fā)5小時,小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知大、小汽車速度的比為2:5,求兩輛汽車的速度。
答案:
1。甲每小時加工15個零件,乙每小時加工20個零件。
2。大,小汽車的速度分別為18千米/時和45千米/時。
四、小結(jié)
1。列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法與步驟基本相同,不同點是,解分式方程必須要驗根。一方面要看原方程是否有增根,另一方面還要看解出的根是否符合題意。原方程的增根和不符合題意的根都應(yīng)舍去。
2。列分式方程解應(yīng)用題,一般是求什么量,就設(shè)所求的量為未知數(shù),這種設(shè)未知數(shù)的方法,叫做設(shè)直接未知數(shù)。但有時可根據(jù)題目特點不直接設(shè)題目所求的量為未知量,而是設(shè)另外的量為未知量,這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做設(shè)間接未知數(shù)。在列分式方程解應(yīng)用題時,設(shè)間接未知數(shù),有時可使解答變得簡捷。例如在課堂練習中的第2題,若題目的條件不變,把問題改為求大、小兩輛汽車從A地到達B地各用的時間,如果設(shè)直接未知數(shù),即設(shè),小汽車從A地到B地需用時間為x小時,則大汽車從A地到B地需(x+5-12)小時,依題意,列方程
135 x+5-12:135x=2:5。
解這個分式方程,運算較繁瑣。如果設(shè)間接未知數(shù),即設(shè)速度為未知數(shù),先求出大、小兩輛汽車的速度,再分別求出它們從A地到B地的時間,運算就簡便多了。
五、作業(yè)
1 填空:
。1)一件工作甲單獨做要m小時完成,乙單獨做要n小時完成,如果兩人合做,完成這件工作的'時間是______小時;
(2)某食堂有米m公斤,原計劃每天用糧a公斤,現(xiàn)在每天節(jié)約用糧b公斤,則可以比原計劃多用天數(shù)是______;
。3)把a千克的鹽溶在b千克的水中,那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為______千克。
2 列方程解應(yīng)用題。
。1)某工人師傅先后兩次加工零件各1500個,當?shù)诙渭庸r,他革新了工具,改進了操作方法,結(jié)果比第一次少用了18個小時。已知他第二次加工效率是第一次的2。5倍,求他第二次加工時每小時加工多少零件?
。2)某人騎自行車比步行每小時多走8千米,如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用的時間相等,求他步行40千米用多少小時?
。3)已知輪船在靜水中每小時行20千米,如果此船在某江中順流航行72千米所用的時間與逆流航行48千米所用的時間相同,那么此江水每小時的流速是多少千米?
(4)A,B兩地相距135千米,兩輛汽車從A地開往B地,大汽車比小汽車早出發(fā)5小時,小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知兩車的速度之比是5:2,求兩輛汽車各自的速度。
答案:
1 (1)mn m+n; (2)m a-b-ma; (3)ma a+b。
2 (1)第二次加工時,每小時加工125個零件。
。2)步行40千米所用的時間為40 4=10(時)。答步行40千米用了10小時。
。3)江水的流速為4千米/時。
課堂教學設(shè)計說明
1。教學設(shè)計中,對于例
1,引導(dǎo)學生依據(jù)題意,找到三個等量關(guān)系,并用兩種不同的方法列出方程;對于例
2,引導(dǎo)學生依據(jù)題意,用三種不同的方法列出方程。這種安排,意在啟發(fā)學生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題,激勵學生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習慣。這就為在列分式方程解應(yīng)用題教學中培養(yǎng)學生的發(fā)散思維提供了廣闊的空間。
2。教學設(shè)計中體現(xiàn)了充分發(fā)揮例題的模式作用。
例1是行程問題,其中距離是已知量,求速度(或時間);例2是工程問題,其中工作總量為已知量,求完成工作量的時間(或工作效率)。這些都是運用列分式方程求解的典型問題。教學中引導(dǎo)學生深入分析已知量與未知量和題目中的等量關(guān)系,以及列方程求解的思路,以促使學生加深對模式的主要特征的理解和識另?別,讓學生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答,求解的思路是什么。學生完成課堂練習和作業(yè),則是識別問題類型,能把面對的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系,探求解題思路。
3。通過列分式方程解應(yīng)用題數(shù)學,滲透了方程的思想方法,從中使學生認識到方程的思想方法是數(shù)學中解決問題的一個銳利武器。方程的思想方法可以用“以假當真”和“弄假成真”兩句話形容。如何通過設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)的方法,假設(shè)所求的量為x,這時就把它作為一個實實在在的量。通過找等量關(guān)系列方程,此時是把已知量與假設(shè)的未知量平等看待,這就是“以假當真”。通過解方程求得問題的解,原先假設(shè)的未知量x就變成了確定的量,這就是“弄假成真”。
列分式方程解應(yīng)用題
教學目標
1。使學生能分析題目中的等量關(guān)系,掌握列分式方程解應(yīng)用題的方法和步驟,提高學生分析問題和解決問題的能力;
2。通過列分式方程解應(yīng)用題,滲透方程的思想方法。
教學重點和難點
重點:列分式方程解應(yīng)用題。
難點:根據(jù)題意,找出等量關(guān)系,正確列出方程。
教學過程設(shè)計
一、復(fù)習
例 解方程:
。1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;
。3)2(1x+1x+3)+x-2x+3=1。
解 (1)方程兩邊都乘以x(3+3),去分母,得
2(x+3)+x2=x2+3x,即2x-3x=-6
所以 x=6。
檢驗:當x=6時,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根。
。2)方程兩邊都乘以x(x+12),約去分母,得
15(x+12)=30x。
解這個整式方程,得
x=12。
檢驗:當x=12時,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根。
(3)整理,得
2x+2x+3+x-2x+3=1,即2x+2+x-2 x+3=1,
即 2x+xx+3=1。
方程兩邊都乘以x(x+3),去分母,得
2(x+3)+x2=x(x+3),
即 2x+6+x2=x2+3x,
亦即 2x-3x=-6。
解這個整式方程,得 x=6。
檢驗:當x=6時,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根。
二、新課
例1 一隊學生去校外參觀,他們出發(fā)30分鐘時,學校要把一個緊急通知傳給帶隊老師,派一名學生騎車從學校出發(fā),按原路追趕隊伍。若騎車的速度是隊伍進行速度的2倍,這名學生追上隊伍時離學校的距離是15千米,問這名學生從學校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間?
請同學根據(jù)題意,找出題目中的等量關(guān)系。
答:騎車行進路程=隊伍行進路程=15(千米);
騎車的速度=步行速度的2倍;
騎車所用的時間=步行的時間-0。5小時。
請同學依據(jù)上述等量關(guān)系列出方程。
答案:
方法1 設(shè)這名學生騎車追上隊伍需x小時,依題意列方程為
15x=2×15 x+12。
方法2 設(shè)步行速度為x千米/時,騎車速度為2x千米/時,依題意列方程為
15x-15 2x=12。
解 由方法1所列出的方程,已在復(fù)習中解出,下面解由方法2所列出的方程。
方程兩邊都乘以2x,去分母,得
30-15=x,
所以 x=15。
檢驗:當x=15時,2x=2×15≠0,所以x=15是原分式方程的根,并且符合題意。
所以騎車追上隊伍所用的時間為15千米 30千米/時=12小時。
答:騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘。
指出:在例1中我們運用了兩個關(guān)系式,即時間=距離速度,速度=距離 時間。
如果設(shè)速度為未知量,那么按時間找等量關(guān)系列方程;如果設(shè)時間為未知量,那么按
速度找等量關(guān)系列方程,所列出的方程都是分式方程。
例2 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成,若由甲隊去做,恰好如期完成;若由乙隊去做,要超過規(guī)定日期三天完成,F(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩天,剩下的工程由乙獨做,恰好在規(guī)定日期完成,問規(guī)定日期是多少天?
分析;這是一個工程問題,在工程問題中有三個量,工作量設(shè)為s,工作所用時間設(shè)為t,工作效率設(shè)為m,三個量之間的關(guān)系是
s=mt,或t=sm,或m=st。
請同學根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程。
答案:
方法1 工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所需天數(shù),設(shè)為x天,那么乙單獨完成工程所需的天數(shù)就是(x+3)天,設(shè)工程總量為1,甲的工作效率就是x1,乙的工作效率是1x+3。依題意,列方程為
2(1x+1x3)+x2-xx+3=1。
指出:工作效率的意義是單位時間完成的工作量。
方法2 設(shè)規(guī)定日期為x天,乙與甲合作兩天后,剩下的工程由乙單獨做,恰好在規(guī)定日期完成,因此乙的工作時間就是x天,根據(jù)題意列方程
2x+xx+3=1。
方法3 根據(jù)等量關(guān)系,總工作量—甲的工作量=乙的工作量,設(shè)規(guī)定日期為x天,則可列方程
1-2x=2x+3+x-2x+3。
用方法1~方法3所列出的方程,我們已在新課之前解出,這里就不再解分式方程了。重點是找等量關(guān)系列方程。
三、課堂練習
1。甲加工180個零件所用的時間,乙可以加工240個零件,已知甲每小時比乙少加工5個零件,求兩人每小時各加工的零件個數(shù)。
2。A,B兩地相距135千米,有大,小兩輛汽車從A地開往B地,大汽車比小汽車早出發(fā)5小時,小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知大、小汽車速度的比為2:5,求兩輛汽車的速度。
答案:
1。甲每小時加工15個零件,乙每小時加工20個零件。
2。大,小汽車的速度分別為18千米/時和45千米/時。
四、小結(jié)
1。列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法與步驟基本相同,不同點是,解分式方程必須要驗根。一方面要看原方程是否有增根,另一方面還要看解出的根是否符合題意。原方程的增根和不符合題意的根都應(yīng)舍去。
2。列分式方程解應(yīng)用題,一般是求什么量,就設(shè)所求的量為未知數(shù),這種設(shè)未知數(shù)的方法,叫做設(shè)直接未知數(shù)。但有時可根據(jù)題目特點不直接設(shè)題目所求的量為未知量,而是設(shè)另外的量為未知量,這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做設(shè)間接未知數(shù)。在列分式方程解應(yīng)用題時,設(shè)間接未知數(shù),有時可使解答變得簡捷。例如在課堂練習中的第2題,若題目的條件不變,把問題改為求大、小兩輛汽車從A地到達B地各用的時間,如果設(shè)直接未知數(shù),即設(shè),小汽車從A地到B地需用時間為x小時,則大汽車從A地到B地需(x+5-12)小時,依題意,列方程
135 x+5-12:135x=2:5。
解這個分式方程,運算較繁瑣。如果設(shè)間接未知數(shù),即設(shè)速度為未知數(shù),先求出大、小兩輛汽車的速度,再分別求出它們從A地到B地的時間,運算就簡便多了。
五、作業(yè)
1。填空:
。1)一件工作甲單獨做要m小時完成,乙單獨做要n小時完成,如果兩人合做,完成這件工作的時間是______小時;
。2)某食堂有米m公斤,原計劃每天用糧a公斤,現(xiàn)在每天節(jié)約用糧b公斤,則可以比原計劃多用天數(shù)是______;
。3)把a千克的鹽溶在b千克的水中,那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為______千克。
2。列方程解應(yīng)用題。
(1)某工人師傅先后兩次加工零件各1500個,當?shù)诙渭庸r,他革新了工具,改進了操作方法,結(jié)果比第一次少用了18個小時。已知他第二次加工效率是第一次的2。5倍,求他第二次加工時每小時加工多少零件?
。2)某人騎自行車比步行每小時多走8千米,如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用的時間相等,求他步行40千米用多少小時?
。3)已知輪船在靜水中每小時行20千米,如果此船在某江中順流航行72千米所用的時間與逆流航行48千米所用的時間相同,那么此江水每小時的流速是多少千米?
。4)A,B兩地相距135千米,兩輛汽車從A地開往B地,大汽車比小汽車早出發(fā)5小時,小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知兩車的速度之比是5:2,求兩輛汽車各自的速度。
答案:
1。(1)mn m+n; (2)m a-b-ma; (3)ma a+b。
2。(1)第二次加工時,每小時加工125個零件。
。2)步行40千米所用的時間為40 4=10(時)。答步行40千米用了10小時。
(3)江水的流速為4千米/時。
課堂教學設(shè)計說明
1 教學設(shè)計中,對于例1,引導(dǎo)學生依據(jù)題意,找到三個等量關(guān)系,并用兩種不同的方法列出方程;對于例2,引導(dǎo)學生依據(jù)題意,用三種不同的方法列出方程。這種安排,意在啟發(fā)學生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題,激勵學生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習慣。這就為在列分式方程解應(yīng)用題教學中培養(yǎng)學生的發(fā)散思維提供了廣闊的空間。
2 教學設(shè)計中體現(xiàn)了充分發(fā)揮例題的模式作用。例1是行程問題,其中距離是已知量,求速度(或時間);例2是工程問題,其中工作總量為已知量,求完成工作量的時間(或工作效率)。這些都是運用列分式方程求解的典型問題。教學中引導(dǎo)學生深入分析已知量與未知量和題目中的等量關(guān)系,以及列方程求解的思路,以促使學生加深對模式的主要特征的理解和識另?別,讓學生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答,求解的思路是什么。學生完成課堂練習和作業(yè),則是識別問題類型,能把面對的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系,探求解題思路。
3 通過列分式方程解應(yīng)用題數(shù)學,滲透了方程的思想方法,從中使學生認識到方程的思想方法是數(shù)學中解決問題的一個銳利武器。方程的思想方法可以用“以假當真”和“弄假成真”兩句話形容。如何通過設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)的方法,假設(shè)所求的量為x,這時就把它作為一個實實在在的量。通過找等量關(guān)系列方程,此時是把已知量與假設(shè)的未知量平等看待,這就是“以假當真”。通過解方程求得問題的解,原先假設(shè)的未知量x就變成了確定的量,這就是“弄假成真”。
分式的教案10
教學目標:
1、本節(jié)課使學生在學完了可化為一元二次方程的分式方程的解法后,解決實際問題應(yīng)用之一.——行程問題,使學生正確理解行程問題的有關(guān)概念和規(guī)律,會列分式方程解有關(guān)行程問題的應(yīng)用題.
2、本節(jié)課通過列分式方程解有關(guān)行程問題的應(yīng)用題,就是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,這就要求學生能對實際問題分析、概括、總結(jié)、解,從而能進一步地提高學生分析問題和解決問題的能力.
教學重點:
列分式方程解有關(guān)行程問題.
教學難點:
如何分析和使用復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系,找出相等關(guān)系,對于難點,解決的關(guān)鍵是抓住時間、路程、速度三者之間的關(guān)系,通過三者之間的關(guān)系的分析設(shè)出未知數(shù)和列出方程.
3.疑點:對于列分式方程解應(yīng)用題,學生往往考慮到所解出的答案是否和題意相吻合,而認為可以不需要檢驗.通過本節(jié)的學習,使學生清楚地懂得列分式方程解應(yīng)用題應(yīng)首先檢驗所求出的方程的解是否是所列分式方程的解,然后考慮所滿足方程的解是否與題意相吻合.
教學過程:
在上一節(jié)課,我們已經(jīng)學習了可化為一元二次方程的分式方程的解法,我們知道,我們現(xiàn)在所學習的理論是先人通過千百年的實踐總結(jié),概括出來的,我們學習理論是為了更好地解決實踐當中所出現(xiàn)的問題.這一節(jié)課所學的內(nèi)容就是運用上節(jié)課所學過的分式方程解法的知識去解決實際問題,關(guān)于本節(jié)內(nèi)容,是學生在上節(jié)課所學過的分式方程的解法的基礎(chǔ)上而學習的,所以點出由實踐——理論——實踐這一觀點,能更加激發(fā)學生的求知欲,使得學生能充分地認識到學習理論知識和理論知識的運用同等重要,從而抓住學生的注意力,能使得學生充分地參與到教學活動中去.
為了使學生能充分地利用所學過的理論知識來解決實際問題,首先應(yīng)對上一節(jié)課所學過的分式方程的解法進行復(fù)習,同時讓學生回憶行程問題中的三個量——速度、路程、時間三者之間的關(guān)系,從而將學生的思路調(diào)動到本節(jié)課的內(nèi)容中來,這樣對于面向全體學生,大面積地提高教學質(zhì)量大有益處.
一、新課引入:
1.解分式方程的基本思路是什么?解分式方程常用的兩種方法是什么?
2.在勻速運動過程中,路程s、速度v、時間t三者之間的`關(guān)系是什么?
3.以前所學過的列方程解應(yīng)用題的步驟有哪些?
通過對問題1的復(fù)習,使學生對前一節(jié)內(nèi)容得到鞏固,對問題2的復(fù)習給學生設(shè)定一種懸念,以抓住學生的注意力,對問題3的復(fù)習,使學生對于問題2的懸念有了一種初步的判斷,以便于點題——本節(jié)課所學的內(nèi)容.
通過對前面三個復(fù)習問題的設(shè)計,學生能充分的認識到本節(jié)所要學習的內(nèi)容,再加上適時點題,完全地將學生的注意力全部地集中到教師身上,充分發(fā)揮教師的指導(dǎo)作用,并調(diào)動起學生的積極性,發(fā)揮學生的主體作用.
二、新課講解:
例1甲、乙二人同時從張莊出發(fā),步行15千米到李莊.甲比乙每小時多走1千米,結(jié)果比乙早到半小時.二人每小時各走幾千米?
分析:
。1)題目中已表明此題是行程問題,實質(zhì)上是速度、路程、時間三者關(guān)系在題中的隱含.
(2)題目中所隱含的等量關(guān)系是:甲從張莊到李莊的時間比乙
分式的教案11
●課題
§3.4.2分式方程(二)
●教學目標
。ㄒ唬┙虒W知識點
1.解分式方程的一般步驟.
2.了解解分式方程驗根的必要性.
(二)能力訓練要求
1.通過具體例子,讓學生獨立探索方程的解法,經(jīng)歷和體會解分式方程的必要步驟.
2.使學生進一步了解數(shù)學思想中的“轉(zhuǎn)化”思想,認識到能將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,從而找到解分式方程的途徑.
。ㄈ┣楦信c價值觀要求
1.培養(yǎng)學生自覺反思求解過程和自覺檢驗的良好習慣,培養(yǎng)嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度.
2.運用“轉(zhuǎn)化”的思想,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,從而獲得一種成就感和學習數(shù)學的自信.
●教學重點
1.解分式方程的一般步驟,熟練掌握分式方程的解決.
2.明確解分式方程驗根的必要性.
●教學難點
明確分式方程驗根的必要性.
●教學方法
探索發(fā)現(xiàn)法
學生在教師的引導(dǎo)下,探索分式方程是如何轉(zhuǎn)化為整式方程,并發(fā)現(xiàn)解分式方程驗根的'必要性.
●教學過程
Ⅰ.提出問題,引入新課
[師]在上節(jié)課的幾個問題,我們根據(jù)題意將具體實際的情境,轉(zhuǎn)化成了數(shù)學模型——分式方程.但要使問題得到真正的解決,則必須設(shè)法解出所列的分式方程.
這節(jié)課,我們就來學習分式方程的解法.我們不妨先來回憶一下我們曾學過的一元一次方程的解法,也許你會從中得到啟示,尋找到解分式方程的方法.
解方程+=2- [師生共解](1)去分母,方程兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)6,得
3(3x-1)+2(5x+2)=6×2-(4x-2).
。2)去括號,得9x-3+10x+4=12-4x+2,
。3)移項,得9x+10x+4x=12+2+3-4,
(4)合并同類項,得23x=13,
(5)使x的系數(shù)化為1,兩邊同除以23,x=.
分式的教案12
一、教材分析
《分式》是北師大版八年級下冊第3章第一節(jié)內(nèi)容。本節(jié)課的主要內(nèi)容是分式概念、意義和用分式表示數(shù)量關(guān)系。分式是小學所學分數(shù)的延伸和擴展,也是今后繼續(xù)學習分式的性質(zhì)、運算以及解分式方程的前提。
學生在七年級已經(jīng)學習了整式,也初步養(yǎng)成了自主探究的數(shù)學學習意識。分式學習的方法與整式相類似可以通過類比進行分式的學習。依據(jù)課程標準,教材特點和學生認知水平,將本節(jié)課的教學目標確定為以下3個方面: (1)知識:掌握分式概念,學會判別分式何時有意義,能用分式表示數(shù)量關(guān)系。
(2)能力:學會與人合作,并獲得代數(shù)學習的一些常用方法:類比轉(zhuǎn)化、合情推理、抽象概括等。
(3 情感:通過數(shù)學活動,體驗數(shù)學活動充滿著探索和創(chuàng)造,體會分式的模型思想。
其中分式概念是《分式》這一章學習的起點和基礎(chǔ),因此我把分式的概念確定為本節(jié)課的教學重點。又由于初中學生不善于概括數(shù)學材料、缺乏對字母及其他數(shù)學符號用于運算的能力,所以判定分母中整式的值何時不為零、用分式描述數(shù)量關(guān)系自然就成了本節(jié)課的教學難點。
二、教法學法:基于以上教材特點和學生情況,為能更好地達成教學目標,我在本節(jié)課主要采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學法,并借助于多媒體課件,通過問題情境建立模型應(yīng)用與拓展的模式展開教學。
三、教學過程:《數(shù)學課程標準》明確指出:數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學,學生是數(shù)學學習的主人。為能更多地向?qū)W生提供從事數(shù)學活動的機會,我將本節(jié)課的教學過程設(shè)為以下四個環(huán)節(jié):
(一)創(chuàng)設(shè)情景發(fā)現(xiàn)新知:我創(chuàng)設(shè)了這樣的情境: 代數(shù)式莊園的果樹上掛滿了整式的果子:t,300,s,n,a-x,0,請你任選其中的兩個,分別運用整式的四則運算,合成四個代數(shù)式;并與同組的伙伴交流你的成果。其中有不同于整式的 式子嗎?請說一說。 通過學生對自己所構(gòu)造的代數(shù)式進行觀察,創(chuàng)設(shè)發(fā)現(xiàn)情境,使學生學會把自己的活動作為思考的對象,從而更好地進行分式概念的建構(gòu)活動。 針對學生的發(fā)現(xiàn),采用議一議:你們所發(fā)現(xiàn)的`這一類新代數(shù)式:它們有什么共 同特征?它們與整式有什么不同?的方式引導(dǎo)學生繼續(xù)觀察新式子的特征,類比分數(shù),概括出分式的概念及一般表示形 式。然后通過小組內(nèi)互舉例子,在活動過程中強化分式概念,并注意辨析整式與分式的區(qū)別,強調(diào)分式的分母中必須含有 字母。
(二)合作交流再探新知:到此學生對分式的概念有了初步的認識,但并不完整。接下來如何識別分式有意義,是本節(jié)課的難點,學生往往忽視這個條件或是對分母整體不為零認識模糊,為了更好地突破難點,我創(chuàng)設(shè)了以下活動供學生自主探究分式有意義的條件:首先是組織學生獨立填寫表格并交流:分式的值與字母取值有關(guān),分式并不都有意義。自主得出分式有意義的條件:表達式里的分母B不等于0。
為了能讓學生對剛獲得的新知識進行最基本的應(yīng)用,緊接著我安排了例題與練習。比較簡單,可由學生在自主完成的基礎(chǔ)上同桌交流,然后師生評述,使全體學生都能達到基本的學習目標,獲得成功感。
(三)應(yīng)用新知鞏固提高:分式來源于生活,又服務(wù)于生活。為使學生有所體會, 課本中的引例:土地沙化、固沙造林問題,我保留了前兩問原計劃完成一期工程需要( )個月,實際完成一期工程用了( )個月,使題目難度更適合學生的思維水平;同時向?qū)W生介紹中國土地沙化問題滲透環(huán)保意識。
(五)總結(jié)反思深化拓展:1,引導(dǎo)學生從知識、方法、情感三個方面談一談這一節(jié)課的收獲。2, 舉例讓學生說出分式的實際意義
分式的教案13
一、教學目標
1.使學生根據(jù)分數(shù)的通分法則及分式的基本性質(zhì),分析、歸納出分式的通分法則,并能熟練掌握通分運算。
2.使學生理解和掌握分式和減法法則,并會應(yīng)用法則進行分式加減的運算。
3.使學生能夠靈活運用分式的有關(guān)法則進行分式的四則混合運算。
4.引導(dǎo)學生不斷小結(jié)運算方法和技巧,提高運算能力。
二、教學重點和難點
1.重點:分式的加減運算。
2.難點:異分母的分式加減法運算。
三、教學方法
啟發(fā)式、分組討論。
四、教學手段
幻燈片。
五、教學過程
(一)引入
1.如何計算:2.如何計算:3.若分母不同如何計算?如:
。ǘ┬抡n
1.類比分數(shù)的通分得到分式的通分:把幾個異分母的分式分別化成與原來的.分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。
2.通分的依據(jù):分式的基本性質(zhì)。
3.通分的關(guān)鍵:確定幾個分式的公分母。
通常取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母,這樣的公分母叫做最簡公分母。
例1通分:
。1)解:∵最簡公分母是,
小結(jié):各分母的系數(shù)都是整數(shù)時,通常取它們的系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)。
。2)解:
例2通分:
(1)解:∵最簡公分母的是2x(x+1)(x—1),
小結(jié):當分母是多項式時,應(yīng)先分解因式。
。2)解:將分母分解因式:∴最簡公分母為2(x+2)(x—2),
練習:教材P,79中1、2、3。
(三)課堂小結(jié)
1.通分與約分雖都是針對分式而言,但卻是兩種相反的變形。約分是針對一個分式而言,而通分是針對多個分式而言;約分是把分式化簡,而通分是把分式化繁,從而把各分式的分母統(tǒng)一起來。
2.通分和約分都是依據(jù)分式的基本性質(zhì)進行變形,其共同點是保持分式的值不變。
3.一般地,通分結(jié)果中,分母不展開而寫成連乘積的形式,分子則乘出來寫成多項式,為進一步運算作準備。
分式的教案14
【知識拓展】
分 母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.解分式方程組的基本思想是:化為整式方程.通常有兩種做法:一是去分母;二是換元.
解分式方程一定要驗根.
解分式方程組時整體代換的思想體現(xiàn)得很充分.常見的思路有:取倒數(shù)法方程迭加法,換元法等.
列分式方程解應(yīng)用題,關(guān)鍵是找到相等關(guān)系列出方程.如果方程中含有字母表示的已知數(shù),需根據(jù)題競變換條件,實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.設(shè)未知數(shù)而不求解是常見的技巧之一.
例題求解
一、分式方程(組)的解法舉例
1.拆項重組解分式方程
【例1】解方程 .
解析 直接去分母太繁瑣,左右兩邊分別通分仍有很復(fù)雜的分子.考慮將每一項分拆:如 ,這樣可降低計算難度.經(jīng)檢驗 為原方程的解.
注 本題中用到兩個技巧:一是將分式拆成整式加另一個分式;二是交換了項,避免通分后分子出現(xiàn)x.這樣大大降低了運算量.本講趣題引路中的問題也屬于這種思路.
2.用換元法解分式方程
【例2】解方程 .
解析 若考慮去分母,運算量過大;分拆也不行,但各分母都是二次三項式,試一試換元法.
解 令x2+ 2x―8=y,原方程可化為
解這個關(guān)于y的分式方程得y=9x或y=-5x.
故當y=9x時,x2+2x―8=9x,解得x1=8,x2=―1.
當y=-5x時,x2+2x―8=-5x,解得x3=―8,x4=1.
經(jīng)檢驗,上述四解均為原方程的解.
注 當分式方程的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜且有相同或相近部分時,可通過換元將之簡化.
3.形如 結(jié)構(gòu)的分式方程的解法
形如 的分式方程的解是: , .
【例3】解方程 .
解析 方程左邊兩項的乘積為1,可考慮化為上述類型的'問題求解.
, 均為原方程的解.
4.運用整體代換解分式方程組
【例4】解方程組 .
解析 若用常規(guī)思路設(shè)法消元,難度極大.注意到每一方程左邊分子均為單項式,為什么不試一試倒過來考慮呢?
解 顯然x=y=z=0是該方程組的一組解.
若x、y、z均不為0,取倒數(shù)相加得x=y=z=
故原方程組的解為x=y=z=0和x=y=z= .
二、含字母系數(shù)分式方程根的討論
【例5】解關(guān)于x的方程 .
解析 去分母化簡 為含字母系數(shù)的一次方程,須分類討論.
討論:(1)當a2-1≠0時
①當a≠0時,原方程解為x= ;
、诋攁=0時,此時 是增根.
(2) 當a2-1=0時即a= ,此時方程的解為x≠ 的任意數(shù);
綜上,當a≠±1且a≠0時,原方程解為x= ;當a=0時,原方程無解,;當a= 時,原方程的解為x≠ 的任意數(shù).
三、列分式方程解應(yīng)用題
【例6】 某商場在一樓和二樓之間安裝了一自動扶梯,以均勻的速度向上行駛,一男孩和一女孩同時從自動扶梯上走到二樓(扶梯行駛,兩人也走梯).如果兩人上梯的速度都是勻速的,每次只跨1級,且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的2倍.已知男孩走了27級到達扶梯頂部,而女孩走了18級到達頂部.
。1)扶梯露在外面的部分有多少級?
(2)現(xiàn)扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道,臺階的級數(shù)與 自動扶梯的級數(shù)相等,兩個孩子各自到扶梯頂部后按原 速度再下樓梯 ,到樓梯底部再乘自動扶梯上樓(不考慮扶梯與樓梯間的距離).求男孩第一次迫上女孩時走了多少級臺階?
解析 題中有兩個等量關(guān)系,男孩走27級的時間等于扶梯走了S-27級的時間;女孩走18級的時間等于扶梯走S―18級的時間.
解 (1)設(shè)女孩上梯速度為x級/分,自動扶梯的速度為y級/分,扶梯露在外面的部分有S級,則男孩上梯的速度為2x級/分,且有
解得 S=54.
所以扶梯露在外面的部分有54級.
(2)設(shè)男孩第一次追上女孩時走過自動扶梯rn遍,走過樓梯n遍,則女孩走過自動扶梯(m―1)遍、走過樓梯(n―1)遍.
由于兩人所走的時間相等,所以有 .
由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化簡得6n+m=16.
無論男孩第一次追上女孩是在自動扶梯還是在下樓時,m、n中都一定有一個是正整數(shù),且0≤m―n≤1.
試驗知只有 m=3,n= 符合要求.
所以男孩第一次追上女孩時走的級數(shù)為3×27+ ×54=198(級).
注 本題求解時設(shè)的未知數(shù)x、y,只設(shè)不求,這種方法在解復(fù)雜的應(yīng)用題時常用來幫助分析數(shù)量關(guān)系,便于解題.
【例7】 (江蘇省初中數(shù)學競賽C卷)編號為1到25的25個彈珠被分放在兩個籃子A和B中.15號彈珠在籃子A中,把這個彈珠從籃子A移至籃子B中,這時籃子A中的彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加 ,籃子B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加 .問原來在籃子A中有多少個彈珠?
解析 本題涉及A中原有彈珠,A、B中號碼數(shù)的平均數(shù),故引入三個未知數(shù).
解 設(shè)原來籃子A中有彈珠x個,則籃子B中有彈珠(25-x)個.又記原來A中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)為a,B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)為b.則由題意得
解得x=9,即原來籃子A中有9個彈珠.
學力訓練
。ˋ級)
1.解分式方程 .
2.若關(guān)于x的方程 有增根x=1,求k的值.
3.解分式方程 .
4.解方程組 .
5.丙、丁三管齊開,15分鐘可注滿全池;甲、丁兩管齊開,20分鐘注滿全池.如果四管齊開,需要多少時間可以注滿全池?
(B級)
1.關(guān)于x的方程 有唯一的解,字母已知數(shù)應(yīng)具備的條件是( )
A. a≠b B.c≠d C.c+d≠0 D.bc+ad≠0
2.某隊伍長6km,以每小時5 km的速度行進,通信員騎馬從隊頭到隊尾送信,到 隊尾后退返回隊頭,共用了0.5 h,則通信員騎馬的速度為每小時 km.
3.某項工作,甲單獨作完成的天數(shù)為乙、丙合作完成天數(shù)的m倍,乙單獨作完成的天數(shù)為甲、丙合作完成天數(shù)的n倍,丙單獨作完成的天數(shù)為甲、乙合作完成天數(shù)的k倍,則 = .
4.m為何值時,關(guān)于x、y的方程組: 的解,滿足 , ?
5.(天津市中考題)某工程由甲、乙兩隊合做6天完成,廠 家需付甲、乙兩隊共8700元;乙、丙兩隊合做10天完成,廠家需付乙、丙兩隊共9500元;甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的 ,廠家需付甲、丙兩隊共5500元.
(1)求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天?
(2)若工期要求不超過15天完成全部工程,問:由哪隊單獨完成此項 工程花錢最少?請說明理由.
6.甲、乙二人兩次同時在同一糧店購買糧食(假設(shè)兩次購買的單價不同),甲每次購買糧食100kg,乙每次購買糧食用去100元.設(shè)甲、乙兩人第一次購買糧食的單價為x元/kg,第二次單價為y元/kg.
(1)用含x、y的代數(shù)式表示甲兩次購買糧食共需付款 元,乙兩次共購買 kg糧食.若甲兩次購買糧食的平均單價為每千克Ql元,乙兩次購糧的平均單價為每千克Q2元則Q1= ;Q2= .
分式的教案15
一、教學目標
1。使學生掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法,能用去分母的方法或換元的方法求此類方程的解,并會驗根。
2。通過本節(jié)課的教學,向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想方法;
3。通過本節(jié)的教學,繼續(xù)向?qū)W生滲透事物是相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的辨證唯物主義觀點。
二、重點、難點、疑點及解決辦法
1。教學重點:可化為一元二次方程的分式方程的解法。
2。教學難點:解分式方程,學生不容易理解為什么必須進行檢驗。
3。教學疑點:學生容易忽視對分式方程的解進行檢驗通過對分式方程的解的剖析,進一步使學生認識解分式方程必須進行檢驗的重要性。
4。解決辦法:(l)分式方程的解法順序是:先特殊、后一般,即能用換元法的方程應(yīng)盡量用換元法解。(2)無論用去分母法解,還是換元法解分式方程,都必須進行驗根,驗根是解分式方程必不可少的一個重要步驟。(3)方程的增根具備兩個特點,①它是由分式方程所轉(zhuǎn)化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母為0。
三、教學步驟
。ㄒ唬┙虒W過程
1。復(fù)習提問
。1)什么叫做分式方程?解可化為一元一次方程的分式方程的方法與步驟是什么?
。2)解可化為一元一次方程的分式方程為什么要檢驗?檢驗的方法是什么?
。3)解方程,并由此方程說明解方程過程中產(chǎn)生增根的原因。
通過(1)、(2)、(3)的準備,可直接點出本節(jié)的內(nèi)容:可化為一元二次方程的分式方程的解法相同。
在教師點出本節(jié)內(nèi)容的處理方法與以前所學的知識完全類同后,讓全體學生對照前面復(fù)習過的分式方程的解,來進一步加深對“類比”法的理解,以便學生全面地參與到教學活動中去,全面提高教學質(zhì)量。
在前面的基礎(chǔ)上,為了加深學生對新知識的理解,教師與學生共同分析解決例題,以提高學生分析問題和解決問題的能力。
2。例題講解
例1解方程。
分析對于此方程的解法,不是教師講如何如何解,而是讓學生對已有知識的回憶,使用原來的方法,去通過試的手段來解決,在學生敘述過程中,發(fā)現(xiàn)問題并及時糾正。
解:兩邊都乘以,得
去括號,得
整理,得
解這個方程,得
檢驗:把代入,所以是原方程的根。
∴原方程的根是。
雖然,此種類型的方程在初二上學期已學習過,但由于相隔時間比較長,所以有一些學生容易犯的'類型錯誤應(yīng)加以強調(diào),如在第一步中。需強調(diào)方程兩邊同時乘以最簡公分母。另外,在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后,所得的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根,由于是解分式方程,所以在下結(jié)論時,應(yīng)強調(diào)取一即可,這一點,教師應(yīng)給以強調(diào)。
例2解方程
分析:解此方程的關(guān)鍵是如何將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,而轉(zhuǎn)化為整式方程的關(guān)鍵是
正確地確定出方程中各分母的最簡公分母,由于此方程中的分母并非均按的降冪排列,所以將方程的分母作一轉(zhuǎn)化,化為按字母終行降暴排列,并對可進行分解的分母進行分解,從而確定出最簡公分母。
解:方程兩邊都乘以,約去分母,得
整理后,得
解這個方程,得
檢驗:把代入,它不等于0,所以是原方程的根,把
代入它等于0,所以是增根。
∴原方程的根是
師生共同解決例1、例2后,教師引導(dǎo)學生與已學過的知識進行比較。
例3解方程。
分析:此題也可像前面例l、例2一樣通過去分母解決,學生可以試,但由于轉(zhuǎn)化后為一元四次方程,解起來難度很大,因此應(yīng)尋求簡便方式,通過引導(dǎo)學生仔細觀察發(fā)現(xiàn),方程中含有未知數(shù)的部分和互為倒數(shù),由此可設(shè),則可通過換元法來解題,通過求出y后,再求原方程的未知數(shù)的值。
解:設(shè),那么,于是原方程變形為
兩邊都乘以y,得
解得
當時,,去分母,得
解得;
當時,,去分母整理,得,
檢驗:把分別代入原方程的分母,各分母均不等于0。
∴原方程的根是,
此題在解題過程中,經(jīng)過兩次“轉(zhuǎn)化”,所以在檢驗中,把所得的未知數(shù)的值代入原方程中的分母進行檢驗。
鞏固練習:教材P49中1、2引導(dǎo)學筆答。
(二)總結(jié)、擴展
對于小結(jié),教師應(yīng)引導(dǎo)學生做出。
本節(jié)內(nèi)容的小結(jié)應(yīng)從所學習的知識內(nèi)容、所學知識采用了什么數(shù)學思想及教學方法兩方面進行。
本節(jié)我們通過類比的方法,在已有的解可化為一元一次方程的分式方程的基礎(chǔ)上,學習了可化為一元二次方程的分式方程的解法,在具體方程的解法上,適用了“轉(zhuǎn)化”與“換元”的基本數(shù)學思想與基本數(shù)學方法。
此小結(jié)的目的,使學生能利用“類比”的方法,使學過的知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化,形成認知結(jié)構(gòu),便于學生掌握。
四、布置作業(yè)
1。教材P50中A1、2、3。
2。教材P51中B1、2
五、板書設(shè)計
探究活動1
解方程:
分析:若去分母,則會變?yōu)楦叽畏匠,這樣解起來,比較繁,注意到分母中都有,可用換元法降次
設(shè),則原方程變?yōu)?/p>
∴
∴或無解
∴
經(jīng)檢驗:是原方程的解
探究活動2
有農(nóng)藥一桶,倒出8升后,用水補滿,然后又倒出4升,再用水補滿,此時農(nóng)藥與水的比為18:7,求桶的容積。
解:設(shè)桶的容積為升,第一次用水補滿后,濃度為,第二次倒出的農(nóng)藥數(shù)為4。升,兩次共倒出的農(nóng)藥總量(8+4· )占原來農(nóng)藥,故
整理,
(舍去)
答:桶的容積為40升。
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