初等函數(shù)的定義是什么
初等函數(shù)是由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生，并且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)。下面是小編給大家整理的初等函數(shù)的定義簡介，希望能幫到大家!
初等函數(shù)的定義
初等函數(shù)是由冪函數(shù)(power function)、指數(shù)函數(shù)(exponential function)、對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithmic function)、三角函數(shù)(trigonometric function)、反三角函數(shù)(inverse trigonometric function)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算(加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開方)及有限次函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生，并且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)。
它是最常用的一類函數(shù)，包括常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(以上是基本初等函數(shù))，以及由這些函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或函數(shù)的復(fù)合而得的所有函數(shù)。即基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或有限次的函數(shù)復(fù)合所構(gòu)成并可以用一個(gè)解析式表出的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。
還有一系列雙曲函數(shù)也是初等函數(shù)，如sinh的名稱是雙曲正弦或超正弦，cosh是雙曲余弦或超余弦，tanh是雙曲正切，coth是雙曲余切，sech是雙曲正割，csch是雙曲余割。初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。
一個(gè)初等函數(shù)，除了可以用初等解析式表示以外，往往還有其他表示形式。例如 ，三角函數(shù) y=sinx 可以用無窮級(jí)數(shù)表為y=x-x3/3!+x5/5!-…初等函數(shù)是最先被研究的一類函數(shù)，它與人類的生產(chǎn)和生活密切相關(guān)，并且應(yīng)用廣泛。為了方便，人們編制了各種函數(shù)表，如平方表、開方表、對(duì)數(shù)表、三角函數(shù)表等。
函數(shù)在復(fù)數(shù)域的推廣
復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)
例如將y=sinx和y=cosx中變量x換為復(fù)變量z，則得到復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)w=sinz和w=cosz，它們是整函數(shù)。tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亞純函數(shù)。它們具有實(shí)三角函數(shù)的很多類似性質(zhì)：周期性、微商性質(zhì)、三角恒等式等。但|sinz|≤1，|cosz|≤1不是對(duì)任何z都成立。三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)密切聯(lián)系，因此應(yīng)用時(shí)很方便。sinz的單葉性區(qū)域?qū)k單葉并共形地映為全平面上除去實(shí)軸上線段[-1，1]和負(fù)虛軸后得到的區(qū)域;它將Rk單葉并共形地映為全平面除去實(shí)軸上兩條射線( ,-1]和[1, )后得到的區(qū)域。類似地可以指出cosz的單葉性區(qū)域。
復(fù)變指數(shù)函數(shù)
在指數(shù)函數(shù)式w=ex中將x換為復(fù)變量z，便得到復(fù)變指數(shù)函數(shù)w=ez。復(fù)變指數(shù)函數(shù)有類似于實(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：ez是一整函數(shù)且對(duì)任何復(fù)數(shù)z，ez≠0;它滿足ez1·ez2=ez1+z2;ez以2kπi為周期，ez=ez+2kπi;并且它的導(dǎo)數(shù)與本身相同，即 (ez)'=ez。函數(shù)w=ez在全平面實(shí)現(xiàn)共形映射。任何一個(gè)區(qū)域，只要對(duì)區(qū)域內(nèi)任兩點(diǎn)，其虛部之差小于2π，它就是ez的單葉性區(qū)域。例如，指數(shù)函數(shù)把直線x=x0變?yōu)閳A周，把直線y=y0變?yōu)樯渚�argw=y0，因而把區(qū)域Sk變?yōu)閰^(qū)域0w<2π，把寬度為β的帶形區(qū)域α0<α0+β(β≤2π)變?yōu)殚_度為β的角形域α0w<α0+β。
復(fù)變對(duì)數(shù)函數(shù)
對(duì)數(shù)函數(shù)w=lnz是指數(shù)函數(shù)w=ez的反函數(shù)，它有無窮多個(gè)值2kπ(k 為整數(shù))，稱為它的分支。每一個(gè)分支在區(qū)域θ0z<θ0+ 2π 中是解析的。對(duì)數(shù)函數(shù)把這個(gè)區(qū)域單葉地變?yōu)閹螀^(qū)域θ0w<θ0+2π，也把開度為β的角形域θ0z<θ0+β(β≤2π)變?yōu)閷挾葹棣碌膸螀^(qū)域θ0w<θ0+β。 像實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，它滿足lnz1+lnz2=ln(z1·z2)。
復(fù)變反三角函數(shù)
w=arcsinz，w=arccosz，w=arctanz分別是sinz，cosz和tanz的反函數(shù)，并稱復(fù)變反三角函數(shù)。它們能由對(duì)數(shù)函數(shù)合成。它們都是多值函數(shù)。
復(fù)變雙曲函數(shù)
將實(shí)雙曲函數(shù)推廣到復(fù)數(shù)域得復(fù)變雙曲函數(shù)。像實(shí)雙曲函數(shù)一樣，復(fù)變雙曲函數(shù)能由復(fù)變指數(shù)函數(shù)合成。
復(fù)變冪函數(shù)
將實(shí)冪函數(shù)的實(shí)變量用復(fù)數(shù)替換即得復(fù)變冪函數(shù)。一般來說，它是多值函數(shù)。
有理函數(shù)
實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式稱為整有理函數(shù)。其中最簡單的`是線性函數(shù) y=α0+α1x，它的圖象是過y軸上y=α0點(diǎn)的斜率為α1的直線。二次整有理函數(shù)y=α0+α1x+α2x2的圖象為拋物線。
兩個(gè)整有理函數(shù)之比為分式有理函數(shù)。分式有理函數(shù)其中最簡單的是反比例函數(shù)，其圖象為雙曲線。整有理函數(shù)和分式有理函數(shù)統(tǒng)稱有理函數(shù)。有理函數(shù)起源于代數(shù)學(xué)。
兩個(gè)復(fù)系數(shù)的多項(xiàng)式之比為有理函數(shù)，它實(shí)現(xiàn)擴(kuò)充的復(fù)平面到自身的解析映射。分式線性函數(shù)是一個(gè)特殊的有理函數(shù)，它在復(fù)分析中有重要的意義。另一個(gè)特殊情形是冪函數(shù)w=zn，n 是自然數(shù)，它在全平面是解析的。因此當(dāng)n≥2時(shí)，它在全平面除z=0以外到處實(shí)現(xiàn)共形映射(保角映射)。它將圓周|z|= r變?yōu)閳A周|w|=rn，將射線argz=θ變?yōu)樯渚�argw=nθ。任何一個(gè)區(qū)域,只要該區(qū)域中任兩點(diǎn)的輻角差小于2π/n，它就是w=zn的單葉性區(qū)域。冪函數(shù)w=zn的反函數(shù)為根式函數(shù)，它有n個(gè)值(k=0，1，…，n-1)，稱為它的分支。它們?cè)谌魏螀^(qū)域θ1z<θ1+2π中都單值解析。
【初等函數(shù)的定義是什么】相關(guān)文章：
PHP內(nèi)部函數(shù)的定義09-14
C語言程序中函數(shù)的定義10-03
C語言自定義函數(shù)10-04
必修一數(shù)學(xué)基本初等函數(shù)知識(shí)點(diǎn)11-17
事實(shí)勞動(dòng)關(guān)系的定義是什么05-22
績效考核等級(jí)的定義是什么12-25
C++中可以接受任意多個(gè)參數(shù)的函數(shù)定義方法10-05
關(guān)于C++中定義比較函數(shù)的三種方法10-05
績效考核的定義與原則是什么01-19
什么是無理數(shù)及其定義是什么07-19