C語言中遞歸算法的剖析
C通過運(yùn)行時(shí)堆棧支持遞歸函數(shù)的實(shí)現(xiàn)。遞歸函數(shù)就是直接或間接調(diào)用自身的函數(shù)。以下是小編為大家搜索整理的對C語言中遞歸算法的剖析，希望能給大家?guī)韼椭?更多精彩內(nèi)容請及時(shí)關(guān)注我們應(yīng)屆畢業(yè)生考試網(wǎng)!
這里有一個(gè)簡單的程序，可用于說明遞歸。程序的目的是把一個(gè)整數(shù)從二進(jìn)制形式轉(zhuǎn)換為可打印的字符形式。例如：給出一個(gè)值4267，我們需要依次產(chǎn)生字符‘4’，‘2’，‘6’，和‘7’。就如在printf函數(shù)中使用了%d格式碼，它就會(huì)執(zhí)行類似處理。
我們采用的策略是把這個(gè)值反復(fù)除以10，并打印各個(gè)余數(shù)。例如，4267除10的余數(shù)是7，但是我們不能直接打印這個(gè)余數(shù)。我們需要打印的是機(jī)器字符集中 表示數(shù)字‘7’的值。在ASCII碼中，字符‘7’的值是55，所以我們需要在余數(shù)上加上48來獲得正確的字符，但是，使用字符常量而不是整型常量可以提 高程序的可移植性。‘0’的ASCII碼是48，所以我們用余數(shù)加上‘0’，所以有下面的關(guān)系：
‘0’+ 0 =‘0’
‘0’+ 1 =‘1’
‘0’+ 2 =‘2’
...
從這些關(guān)系中，我們很容易看出在余數(shù)上加上‘0’就可以產(chǎn)生對應(yīng)字符的代碼。接著就打印出余數(shù)。下一步再取商的值，4267/10等于426。然后用這個(gè)值重復(fù)上述步驟。
這種處理方法存在的唯一問題是它產(chǎn)生的數(shù)字次序正好相反，它們是逆向打印的。所以在我們的程序中使用遞歸來修正這個(gè)問題。
我們這個(gè)程序中的函數(shù)是遞歸性質(zhì)的,因?yàn)樗艘粋�(gè)對自身的調(diào)用。乍一看，函數(shù)似乎永遠(yuǎn)不會(huì)終止。當(dāng)函數(shù)調(diào)用時(shí)，它將調(diào)用自身，第2次調(diào)用還將調(diào)用自身，以此類推，似乎永遠(yuǎn)調(diào)用下去。這也是我們在剛接觸遞歸時(shí)最想不明白的事情。但是，事實(shí)上并不會(huì)出現(xiàn)這種情況。
這個(gè)程序的遞歸實(shí)現(xiàn)了某種類型的螺旋狀while循環(huán)。while循環(huán)在循環(huán)體每次執(zhí)行時(shí)必須取得某種進(jìn)展，逐步迫近循環(huán)終止條件。遞歸函數(shù)也是如此，它在每次遞歸調(diào)用后必須越來越接近某種限制條件。當(dāng)遞歸函數(shù)符合這個(gè)限制條件時(shí)，它便不在調(diào)用自身。
在程序中，遞歸函數(shù)的限制條件就是變量quotient為零。在每次遞歸調(diào)用之前，我們都把quotient除以10，所以每遞歸調(diào)用一次，它的值就越來越接近零。當(dāng)它最終變成零時(shí)，遞歸便告終止。
/*接受一個(gè)整型值(無符號0，把它轉(zhuǎn)換為字符并打印它，前導(dǎo)零被刪除*/
#include
int binary_to_ascii( unsigned int value)
{
unsigned int quotient;
quotient = value / 10;
if( quotient != 0)
binary_to_ascii( quotient);
putchar ( value % 10 + '0' );
}
遞歸是如何幫助我們以正確的順序打印這些字符呢?下面是這個(gè)函數(shù)的工作流程。
1. 將參數(shù)值除以10
2. 如果quotient的值為非零，調(diào)用binary-to-ascii打印quotient當(dāng)前值的各位數(shù)字
3. 接著，打印步驟1中除法運(yùn)算的余數(shù)
注意在第2個(gè)步驟中，我們需要打印的是quotient當(dāng)前值的各位數(shù)字。我們所面臨的問題和最初的問題完全相同，只是變量quotient的 值變小了。我們用剛剛編寫的函數(shù)(把整數(shù)轉(zhuǎn)換為各個(gè)數(shù)字字符并打印出來)來解決這個(gè)問題。由于quotient的值越來越小，所以遞歸最終會(huì)終止。
一旦你理解了遞歸，閱讀遞歸函數(shù)最容易的方法不是糾纏于它的執(zhí)行過程，而是相信遞歸函數(shù)會(huì)順利完成它的任務(wù)。如果你的每個(gè)步驟正確無誤，你的限制條件設(shè)置正確，并且每次調(diào)用之后更接近限制條件，遞歸函數(shù)總是能正確的完成任務(wù)。
但是，為了理解遞歸的工作原理，你需要追蹤遞歸調(diào)用的執(zhí)行過程，所以讓我們來進(jìn)行這項(xiàng)工作。追蹤一個(gè)遞歸函數(shù)的執(zhí)行過程的關(guān)鍵是理解函數(shù)中所聲 明的變量是如何存儲的。當(dāng)函數(shù)被調(diào)用時(shí)，它的變量的空間是創(chuàng)建于運(yùn)行時(shí)堆棧上的。以前調(diào)用的函數(shù)的變量扔保留在堆棧上，但他們被新函數(shù)的變量所掩蓋，因此 是不能被訪問的。
當(dāng)遞歸函數(shù)調(diào)用自身時(shí)，情況于是如此。每進(jìn)行一次新的調(diào)用，都將創(chuàng)建一批變量，他們將掩蓋遞歸函數(shù)前一次調(diào)用所創(chuàng)建的變量。當(dāng)我追蹤一個(gè)遞歸函數(shù)的執(zhí)行過程時(shí)，必須把分?jǐn)?shù)不同次調(diào)用的變量區(qū)分開來，以避免混淆。
程序中的函數(shù)有兩個(gè)變量：參數(shù)value和局部變量quotient。下面的一些圖顯示了堆棧的狀態(tài)，當(dāng)前可以訪問的變量位于棧頂。所有其他調(diào)用的變量飾以灰色的陰影，表示他們不能被當(dāng)前正在執(zhí)行的函數(shù)訪問。
假定我們以4267這個(gè)值調(diào)用遞歸函數(shù)。當(dāng)函數(shù)剛開始執(zhí)行時(shí)，堆棧的內(nèi)容如下圖所示：
執(zhí)行除法之后，堆棧的內(nèi)容如下：
接著，if語句判斷出quotient的值非零，所以對該函數(shù)執(zhí)行遞歸調(diào)用。當(dāng)這個(gè)函數(shù)第二次被調(diào)用之初，堆棧的內(nèi)容如下：
堆棧上創(chuàng)建了一批新的變量，隱藏了前面的那批變量，除非當(dāng)前這次遞歸調(diào)用返回，否則他們是不能被訪問的。再次執(zhí)行除法運(yùn)算之后，堆棧的內(nèi)容如下：
quotient的`值現(xiàn)在為42，仍然非零，所以需要繼續(xù)執(zhí)行遞歸調(diào)用，并再創(chuàng)建一批變量。在執(zhí)行完這次調(diào)用的出發(fā)運(yùn)算之后，堆棧的內(nèi)容如下：
此時(shí)，quotient的值還是非零，仍然需要執(zhí)行遞歸調(diào)用。在執(zhí)行除法運(yùn)算之后，堆棧的內(nèi)容如下：
不算遞歸調(diào)用語句本身，到目前為止所執(zhí)行的語句只是除法運(yùn)算以及對quotient的值進(jìn)行測試。由于遞歸調(diào)用這些語句重復(fù)執(zhí)行，所以它的效果 類似循環(huán)：當(dāng)quotient的值非零時(shí)，把它的值作為初始值重新開始循環(huán)。但是，遞歸調(diào)用將會(huì)保存一些信息(這點(diǎn)與循環(huán)不同)，也就好是保存在堆棧中的 變量值。這些信息很快就會(huì)變得非常重要。
現(xiàn)在quotient的值變成了零，遞歸函數(shù)便不再調(diào)用自身，而是開始打印輸出。然后函數(shù)返回，并開始銷毀堆棧上的變量值。
每次調(diào)用putchar得到變量value的最后一個(gè)數(shù)字，方法是對value進(jìn)行模10取余運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)0到9之間的整數(shù)。把它與字符常量‘0’相加，其結(jié)果便是對應(yīng)于這個(gè)數(shù)字的ASCII字符，然后把這個(gè)字符打印出來。
輸出4：
接著函數(shù)返回，它的變量從堆棧中銷毀。接著，遞歸函數(shù)的前一次調(diào)用重新繼續(xù)執(zhí)行，她所使用的是自己的變量，他們現(xiàn)在位于堆棧的頂部。因?yàn)樗膙alue值是42，所以調(diào)用putchar后打印出來的數(shù)字是2。
輸出42：
接著遞歸函數(shù)的這次調(diào)用也返回，它的變量也被銷毀，此時(shí)位于堆棧頂部的是遞歸函數(shù)再前一次調(diào)用的變量。遞歸調(diào)用從這個(gè)位置繼續(xù)執(zhí)行，這次打印的數(shù)字是6。在這次調(diào)用返回之前，堆棧的內(nèi)容如下：
輸出426：
現(xiàn)在我們已經(jīng)展開了整個(gè)遞歸過程，并回到該函數(shù)最初的調(diào)用。這次調(diào)用打印出數(shù)字7，也就是它的value參數(shù)除10的余數(shù)。
輸出4267：
然后，這個(gè)遞歸函數(shù)就徹底返回到其他函數(shù)調(diào)用它的地點(diǎn)。
如果你把打印出來的字符一個(gè)接一個(gè)排在一起，出現(xiàn)在打印機(jī)或屏幕上，你將看到正確的值：4267
漢諾塔問題遞歸算法分析：
一個(gè)廟里有三個(gè)柱子，第一個(gè)有64個(gè)盤子，從上往下盤子越來越大。要求廟里的老和尚把這64個(gè)盤子全部移動(dòng)到第三個(gè)柱子上。移動(dòng)的時(shí)候始終只能小盤子壓著大盤子。而且每次只能移動(dòng)一個(gè)。
1、此時(shí)老和尚(后面我們叫他第一個(gè)和尚)覺得很難，所以他想：要是有一個(gè)人能把前63個(gè)盤子先移動(dòng)到第二個(gè)柱子上，我再把最后一個(gè)盤子直接移 動(dòng)到第三個(gè)柱子，再讓那個(gè)人把剛才的前63個(gè)盤子從第二個(gè)柱子上移動(dòng)到第三個(gè)柱子上，我的任務(wù)就完成了，簡單。所以他找了比他年輕的和尚(后面我們叫他第 二個(gè)和尚)，命令：
① 你丫把前63個(gè)盤子移動(dòng)到第二柱子上
�、� 然后我自己把第64個(gè)盤子移動(dòng)到第三個(gè)柱子上后
③ 你把前63個(gè)盤子移動(dòng)到第三柱子上
2、第二個(gè)和尚接了任務(wù)，也覺得很難，所以他也和第一個(gè)和尚一樣想：要是有一個(gè)人能把前62個(gè)盤子先移動(dòng)到第三個(gè)柱子上，我再把最后一個(gè)盤子直接移動(dòng)到第 二個(gè)柱子，再讓那個(gè)人把剛才的前62個(gè)盤子從第三個(gè)柱子上移動(dòng)到第三個(gè)柱子上，我的任務(wù)就完成了，簡單。所以他也找了比他年輕的和尚(后面我們叫他第三和 尚)，命令：
�、� 你把前62個(gè)盤子移動(dòng)到第三柱子上
② 然后我自己把第63個(gè)盤子移動(dòng)到第二個(gè)柱子上后
�、� 你把前62個(gè)盤子移動(dòng)到第二柱子上
3、第三個(gè)和尚接了任務(wù)，又把移動(dòng)前61個(gè)盤子的任務(wù)依葫蘆話瓢的交給了第四個(gè)和尚，等等遞推下去，直到把任務(wù)交給了第64個(gè)和尚為止(估計(jì)第64個(gè)和尚很郁悶，沒機(jī)會(huì)也命令下別人，因?yàn)榈剿@里盤子已經(jīng)只有一個(gè)了)。
4、到此任務(wù)下交完成，到各司其職完成的時(shí)候了。完成回推了：
第64個(gè)和尚移動(dòng)第1個(gè)盤子，把它移開，然后第63個(gè)和尚移動(dòng)他給自己分配的第2個(gè)盤子。
第64個(gè)和尚再把第1個(gè)盤子移動(dòng)到第2個(gè)盤子上。到這里第64個(gè)和尚的任務(wù)完成，第63個(gè)和尚完成了第62個(gè)和尚交給他的任務(wù)的第一步。
從上面可以看出，只有第64個(gè)和尚的任務(wù)完成了，第63個(gè)和尚的任務(wù)才能完成，只有第2個(gè)和尚----第64個(gè)和尚的任務(wù)完成后，第1個(gè)和尚的任務(wù)才能完成。這是一個(gè)典型的遞歸問題。 現(xiàn)在我們以有3個(gè)盤子來分析：
第1個(gè)和尚命令：
① 第2個(gè)和尚你先把第一柱子前2個(gè)盤子移動(dòng)到第二柱子。(借助第三個(gè)柱子)
② 第1個(gè)和尚我自己把第一柱子最后的盤子移動(dòng)到第三柱子。
�、� 第2個(gè)和尚你把前2個(gè)盤子從第二柱子移動(dòng)到第三柱子。
很顯然，第二步很容易實(shí)現(xiàn)(哎，人總是自私地，把簡單留給自己，困難的給別人)。
其中第一步，第2個(gè)和尚他有2個(gè)盤子，他就命令：
�、� 第3個(gè)和尚你把第一柱子第1個(gè)盤子移動(dòng)到第三柱子。(借助第二柱子)
�、� 第2個(gè)和尚我自己把第一柱子第2個(gè)盤子移動(dòng)到第二柱子上。
③ 第3個(gè)和尚你把第1個(gè)盤子從第三柱子移動(dòng)到第二柱子。
同樣，第二步很容易實(shí)現(xiàn)，但第3個(gè)和尚他只需要移動(dòng)1個(gè)盤子，所以他也不用在下派任務(wù)了。(注意：這就是停止遞歸的條件，也叫邊界值)
第三步可以分解為，第2個(gè)和尚還是有2個(gè)盤子，命令：
�、� 第3個(gè)和尚你把第二柱子上的第1個(gè)盤子移動(dòng)到第一柱子。
② 第2個(gè)和尚我把第2個(gè)盤子從第二柱子移動(dòng)到第三柱子。
�、� 第3個(gè)和尚你把第一柱子上的盤子移動(dòng)到第三柱子。
分析組合起來就是：1→3 1→2 3→2 借助第三個(gè)柱子移動(dòng)到第二個(gè)柱子 |1→3 自私人留給自己的活| 2→1 2→3 1→3借助第一個(gè)柱子移動(dòng)到第三個(gè)柱子|共需要七步。
如果是4個(gè)盤子，則第一個(gè)和尚的命令中第1步和第3步各有3個(gè)盤子，所以各需要7步，共14步，再加上第1個(gè)和尚的1步，所以4個(gè)盤子總共需要移動(dòng) 7+1+7=15步，同樣，5個(gè)盤子需要15+1+15=31步，6個(gè)盤子需要31+1+31=64步……由此可以知道，移動(dòng)n個(gè)盤子需要(2的n次 方)-1步。
從上面整體綜合分析可知把n個(gè)盤子從1座(相當(dāng)?shù)谝恢?移到3座(相當(dāng)?shù)谌?：
(1)把1座上(n-1)個(gè)盤子借助3座移到2座。
(2)把1座上第n個(gè)盤子移動(dòng)3座。
(3)把2座上(n-1)個(gè)盤子借助1座移動(dòng)3座。
下面用hanoi(n,a,b,c)表示把1座n個(gè)盤子借助2座移動(dòng)到3座。
很明顯: (1)步上是 hanoi(n-1,1,3,2)
(3)步上是 hanoi(n-1,2,1,3)
用C語言表示出來，就是：
#include
int method(int n,char a, char b)
{
printf("number..%d..form..%c..to..%c.."n",n,a,b);
return 0;
}
int hanoi(int n,char a,char b,char c)
{
if( n==1 ) move (1,a,c);
else
{
hanoi(n-1,a,c,b);
move(n,a,c);
hanoi(n-1,b,a,c);
};
return 0;
}
int main()
{
int num;
scanf("%d",&num);
hanoi(num,'A','B','C');
return 0;
}
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