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平均數(shù)小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)教案
一、建立意義
師：你們喜歡體育運(yùn)動(dòng)嗎?
生：(齊)喜歡!
師：如果張老師告訴大家，我最喜歡并且最拿手的體育運(yùn)動(dòng)是籃球，你們相信嗎?
生：不相信。籃球運(yùn)動(dòng)員通常都很強(qiáng)壯，就像姚明和喬丹那樣。張老師，您也太瘦了點(diǎn)。
師：真是哪壺不開(kāi)提哪壺啊。不過(guò)還別說(shuō)，和你們一樣，我們班上的小強(qiáng)、小林、小剛對(duì)我的投籃技術(shù)也深表懷疑。就在上星期，他們?nèi)诉�約我進(jìn)行了一場(chǎng)1分鐘投籃挑戰(zhàn)賽。怎么樣，想不想了解現(xiàn)場(chǎng)的比賽情況?
生：(齊)想!
師：首先出場(chǎng)的是小強(qiáng)，他1分鐘投中了5個(gè)球�？墒�，小強(qiáng)對(duì)這一成績(jī)似乎不太滿意，覺(jué)得好像沒(méi)有發(fā)揮出自己的真實(shí)水平，想再投兩次。如果你是張老師，你會(huì)同意他的要求嗎?
生：我不同意。萬(wàn)一他后面兩次投中的多了，那我不就危險(xiǎn)啦!
生：我會(huì)同意的。做老師的應(yīng)該大度一點(diǎn)。
師：呵呵，還真和我想到一塊兒去了。不過(guò)，小強(qiáng)后兩次的投籃成績(jī)很有趣。
(師出示小強(qiáng)的后兩次投籃成績(jī)：5個(gè)，5個(gè)。生會(huì)心地笑了)
師：還真巧，小強(qiáng)三次都投中了5個(gè)�，F(xiàn)在看來(lái)，要表示小強(qiáng)1分鐘投中的個(gè)數(shù)，用哪個(gè)數(shù)比較合適?
生：5。
師：為什么?
生：他每次都投中5個(gè)，用5來(lái)表示他1分鐘投中的個(gè)數(shù)最合適了。
師：說(shuō)得有理!接著該小林出場(chǎng)了。小林1分鐘又會(huì)投中幾個(gè)呢?我們也一起來(lái)看看吧。
(師出示小林第一次投中的個(gè)數(shù)：3個(gè))
師：如果你是小林，會(huì)就這樣結(jié)束嗎?
生：不會(huì)!我也會(huì)要求再投兩次的。
師：為什么?
生：這也太少了，肯定是發(fā)揮失常。
師：正如你們所說(shuō)的，小林果然也要求再投兩次。不過(guò)，麻煩來(lái)了。(出示小林的后兩次成績(jī)：5個(gè)，4個(gè))三次投籃，結(jié)果怎么樣?
生：(齊)不同。
師：是呀，三次成績(jī)各不相同。這一回，又該用哪個(gè)數(shù)來(lái)表示小林1分鐘投籃的一般水平呢?
生：我覺(jué)得可以用5來(lái)表示，因?yàn)樗疃�，二次投中�?個(gè)。
生：我不同意川、強(qiáng)每次都投中5個(gè)，所以用5來(lái)表示他的成績(jī)。但小林另外兩次分別投中4個(gè)和3個(gè)，怎么能用5來(lái)表示呢?
師：也就是說(shuō)，如果也用5來(lái)表示，對(duì)小強(qiáng)來(lái)說(shuō)
生：(齊)不公平!
師：該用哪個(gè)數(shù)來(lái)表示呢?
生：可以用4來(lái)表示，因?yàn)?、4、5三個(gè)數(shù)，4正好在中間，最能代表他的成績(jī)。
師：不過(guò)，小林一定會(huì)想，我畢竟還有一次投中5個(gè)，比4個(gè)多1呀。
生：(齊)那他還有一次投中3個(gè)，比4個(gè)少1呀。
師：哦，一次比4多1，一次比4少1
生：那么，把5里面多的1個(gè)送給3，這樣不就都是4個(gè)了嗎?
(師結(jié)合學(xué)生的交流，呈現(xiàn)移多補(bǔ)少的過(guò)程，如圖1)
師：數(shù)學(xué)上，像這樣從多的里面移一些補(bǔ)給少的，使得每個(gè)數(shù)都一樣多。這一過(guò)程就叫移多補(bǔ)少。移完后，小林每分鐘看起來(lái)都投中了幾個(gè)?
生：(齊)4個(gè)。
師：能代表小林1分鐘投籃的一般水平嗎?
生：(齊)能!
師：輪到小剛出場(chǎng)了。(出示圖2)小剛也投了三次，成績(jī)同樣各不相同。這一回，又該用幾來(lái)代表他1分鐘投籃的一般水平呢?同學(xué)們先獨(dú)立思考，然后在小組里交流自己的想法。
生：我覺(jué)得可以用4來(lái)代表他1分鐘的投籃水平。他第二次投中7個(gè)，可以移1個(gè)給第一次，再移2個(gè)給第三次，這樣每一次看起來(lái)好像都投中了4個(gè)。所以用4來(lái)代表比較合適。
(結(jié)合學(xué)生交流，師再次呈現(xiàn)移多補(bǔ)少過(guò)程，如圖3)
師：還有別的方法嗎?
生：我們先把小剛?cè)瓮吨械膫�(gè)數(shù)相加，得到12個(gè)，再用12除以3等于4個(gè)。所以，我們也覺(jué)得用4來(lái)表示小剛1分鐘投籃的水平比較合適。
[師板書(shū)：3+7+2=12(個(gè))，123=4(個(gè))]
師：像這樣先把每次投中的個(gè)數(shù)合起來(lái)，然后再平均分給這三次(板書(shū)：合并、平分)，能使每一次看起來(lái)一樣多嗎?
生：能!都是4個(gè)。
師：能不能代表小剛1分鐘投籃的一般水平?
生：能!
師：其實(shí)，無(wú)論是剛才的移多補(bǔ)少，還是這回的先合并再平均分，目的只有一個(gè)，那就是
生：使原來(lái)幾個(gè)不相同的數(shù)變得同樣多。
師：數(shù)學(xué)上，我們把通過(guò)移多補(bǔ)少后得到的同樣多的這個(gè)數(shù)，就叫做原來(lái)這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)。(板書(shū)課題：平均數(shù))比如，在這里(出示圖1)，我們就說(shuō)4是3、4、5這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)。那么，在這里(出示圖3)，哪個(gè)數(shù)是哪幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)呢?在小組里說(shuō)說(shuō)你的想法。
生：在這里，4是3、7、2這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)。
師：不過(guò)，這里的平均數(shù)4能代表小剛第一次投中的個(gè)數(shù)嗎?
生：不能!
師：能代表小剛第二次、第三次投中的個(gè)數(shù)嗎?
生：也不能!
師：奇怪，這里的平均數(shù)4既不能代表小剛第一次投中的個(gè)數(shù)，也不能代表他第二次、第三次投中的個(gè)數(shù)，那它究竟代表的是哪一次的個(gè)數(shù)呢?
生：這里的4代表的是小剛?cè)瓮痘@的平均水平。
生：是小剛1分鐘投籃的一般水平。
(師板書(shū)：一般水平)
師：最后，該我出場(chǎng)了。知道自己投籃水平不怎么樣，所以正式比賽前，我主動(dòng)提出投四次的想法。沒(méi)想到，他們竟一口答應(yīng)了。前三次投籃已經(jīng)結(jié)束，怎么樣，想不想看看我每一次的投籃情況?
(師呈現(xiàn)前三次投籃成績(jī)：4個(gè)、6個(gè)、5個(gè)，如圖4)
師：猜猜看，三位同學(xué)看到我前三次的投籃成績(jī)，可能會(huì)怎么想?
生：他們可能會(huì)想：完了完了，肯定輸了。
師：從哪兒看出來(lái)的?
生：你們看，光前三次，張老師平均1分鐘就投中了5個(gè)，和小強(qiáng)并列第一。更何況，張老師還有一次沒(méi)投呢。
生：我覺(jué)得不一定。萬(wàn)一張老師最后一次發(fā)揮失常，一個(gè)都沒(méi)投中，或只投中一兩個(gè)，張老師也可能會(huì)輸。
生：萬(wàn)一張老師最后一次發(fā)揮超常，投中10個(gè)或更多，那豈不贏定了?
師：情況究竟會(huì)怎么樣呢?還是讓我們趕緊看看第四次投籃的成績(jī)吧。
(師出示圖5)
師：憑直覺(jué)，張老師最終是贏了還是輸了?
生：輸了。因?yàn)槟阕詈笠淮沃煌吨?個(gè)，也太少了。
師：不計(jì)算，你能大概估計(jì)一下，張老師最后的平均成績(jī)可能是幾個(gè)嗎?
生：大約是4個(gè)。
生：我也覺(jué)得是4個(gè)。
師：英雄所見(jiàn)略同呀。不過(guò)，第二次我明明投中了6個(gè)，為什么你們不估計(jì)我最后的平均成績(jī)是6個(gè)?
生：不可能，因?yàn)橹挥幸淮瓮吨?個(gè)，又不是次次都投中6個(gè)。
生：前三次的平均成績(jī)只有5個(gè)，而最后一次只投中1個(gè)，平均成績(jī)只會(huì)比5個(gè)少，不可能是6個(gè)。
生：再說(shuō)，6個(gè)是最多的一次，它還要移一些補(bǔ)給少的。所以不可能是6個(gè)。
師：那你們?yōu)槭裁床还烙?jì)平均成績(jī)是1個(gè)呢?最后一次只投中1個(gè)呀!
生：也不可能。這次盡管只投中1個(gè)，但其他幾次都比1個(gè)多，移一些補(bǔ)給它后，就不止1個(gè)了。
師：這樣看來(lái)，盡管還沒(méi)得出結(jié)果，但我們至少可以肯定，最后的平均成績(jī)應(yīng)該比這里最大的數(shù)
生：小一些。
生：還要比最小的數(shù)大一些。
生：應(yīng)該在最大數(shù)和最小數(shù)之間。
師：是不是這樣呢?趕緊想辦法算算看吧。
[生列式計(jì)算，并交流計(jì)算過(guò)程：4+6+5+1=16(個(gè))，164=4(個(gè))]
師：和剛才估計(jì)的結(jié)果比較一下，怎么樣?
生：的確在最大數(shù)和最小數(shù)之間。
師：現(xiàn)在看來(lái)，這場(chǎng)投籃比賽是我輸了。你們覺(jué)得問(wèn)題主要出在哪兒?
生：最后一次投得太少了。
生：如果最后一次多投幾個(gè)，或許你就會(huì)贏了。
師：試想一下：如果張老師最后一次投中5個(gè)，甚至更多一些，比如9個(gè)，比賽結(jié)果又會(huì)如何呢?同學(xué)們可以通過(guò)觀察來(lái)估一估，也可以動(dòng)筆算一算，然后在小組里交流你的想法。
(生估計(jì)或計(jì)算，隨后交流結(jié)果)
生：如果最后一次投中5個(gè)，那么只要把第二次多投的1個(gè)移給第一次，很容易看出，張老師1分鐘平均能投中5個(gè)。
師：你是通過(guò)移多補(bǔ)少得出結(jié)論的。還有不同的方法嗎?
生：我是列式計(jì)算的。4+6+5+5=20(個(gè))，204=5(個(gè))。
生：我還有補(bǔ)充!其實(shí)不用算也能知道是5個(gè)。大家想呀，原來(lái)第四次只投中1個(gè)，現(xiàn)在投中了5個(gè)，多出4個(gè)。平均分到每一次上，每一次正好能分到1個(gè)，結(jié)果自然就是5個(gè)了。
師：那么，最后一次如果從原來(lái)的1個(gè)變成9個(gè)，平均數(shù)又會(huì)增加多少呢?
生：應(yīng)該增加2。因?yàn)?比1多8，多出的8個(gè)再平均分到四次上，每一次只增加了2個(gè)。所以平均數(shù)應(yīng)增加2個(gè)。
生：我是列式計(jì)算的，4+6+5+9=24(個(gè))，244=6(個(gè))。結(jié)果也是6個(gè)。
二、深化理解
師：現(xiàn)在，請(qǐng)大家觀察下面的三幅圖，你有什么發(fā)現(xiàn)?把你的想法在小組里說(shuō)一說(shuō)。
(師出示圖6、圖7、圖8，三圖并排呈現(xiàn))
(生獨(dú)立思考后，先組內(nèi)交流想法，再全班交流)
生：我發(fā)現(xiàn)，每一幅圖中，前三次成績(jī)不變，而最后一次成績(jī)各不相同。
師：最后的平均數(shù)
生：也不同。
師：看來(lái)，要使平均數(shù)發(fā)生變化，只需要改變其中的幾個(gè)數(shù)?
生：一個(gè)數(shù)。
師：瞧，前三個(gè)數(shù)始終不變，但最后一個(gè)數(shù)從1變到5再變到9，平均數(shù)
生：也跟著發(fā)生了變化。
師：難怪有人說(shuō)，平均數(shù)這東西很敏感，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的風(fēng)吹草動(dòng)，都會(huì)使平均數(shù)發(fā)生變化�，F(xiàn)在看來(lái)，這話有道理嗎?(生：有)其實(shí)呀，善于隨著每一個(gè)數(shù)據(jù)的變化而變化，這正是平均數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)。在未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們將就此作更進(jìn)一步的研究。大家還有別的發(fā)現(xiàn)嗎?
生：我發(fā)現(xiàn)平均數(shù)總是比最大的數(shù)小，比最小的數(shù)大。
師：能解釋一下為什么嗎?
生：很簡(jiǎn)單。多的要移一些補(bǔ)給少的，最后的平均數(shù)當(dāng)然要比最大的小，比最小的大了。
師：其實(shí)，這是平均數(shù)的又一個(gè)重要特點(diǎn)。利用這一特點(diǎn)，我們還可以大概地估計(jì)出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。
生：我還發(fā)現(xiàn)，總數(shù)每增加4，平均數(shù)并不增加4，而是只增加1。
師：那么，要是這里的每一個(gè)數(shù)都增加4，平均數(shù)又會(huì)增加多少呢?還會(huì)是1嗎?
生：不會(huì)，應(yīng)該增加4。
師：真是這樣嗎?課后，同學(xué)們可以繼續(xù)展開(kāi)研究�；蛟S你們還會(huì)有更多的新發(fā)現(xiàn)!不過(guò)，關(guān)于平均數(shù)，還有一個(gè)非常重要的特點(diǎn)隱藏在這幾幅圖當(dāng)中。想不想了解?
生：想!
師：以圖6為例。仔細(xì)觀察，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這里有些數(shù)超過(guò)了平均數(shù)，而有些數(shù)還不到平均數(shù)?(生點(diǎn)頭示意)比較一下超過(guò)的部分與不到的部分，你發(fā)現(xiàn)了什么?
生：超過(guò)的部分和不到的部分一樣多，都是3個(gè)。
師：會(huì)不會(huì)只是一種巧合呢?讓我們趕緊再來(lái)看看另兩幅圖(指圖7、圖8)吧?
生：(觀察片刻)也是這樣的。
師：這兒還有幾幅圖，(出示圖1和圖3)情況怎么樣呢?
生：超過(guò)的部分和不到的部分還是同樣多。
師：奇怪，為什么每一幅圖中，超出平均數(shù)的部分和不到平均數(shù)的部分都一樣多呢?
生：如果不一樣多，超過(guò)的部分移下來(lái)后，就不可能把不到的部分正好填滿。這樣就得不到平均數(shù)了。
生：就像山峰和山谷一樣。把山峰切下來(lái)，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。
師：多生動(dòng)的比方呀!其實(shí)，像這樣超出平均數(shù)的部分和不到平均數(shù)的部分一樣多，這是平均的第三個(gè)重要特點(diǎn)。把握了這一特點(diǎn)，我們可以巧妙地解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。
(師出示如下三張紙條，如圖9)
師：張老師大概估計(jì)了一下，覺(jué)得這三張紙條的平均長(zhǎng)度大約是10厘米。(呈現(xiàn)圖10)不計(jì)算，你能根據(jù)平均數(shù)的特點(diǎn)，大概地判斷一下，張老師的這一估計(jì)對(duì)嗎?
生：我覺(jué)得不對(duì)。因?yàn)榈诙䦶埣垪l比10厘米只長(zhǎng)了2厘米，而另兩張紙條比10厘米一共短了5厘米，不相等。所以，它們的平均長(zhǎng)度不可能是10厘米。
師：照你看來(lái)，它們的平均長(zhǎng)度會(huì)比10厘米長(zhǎng)還是短?
生：應(yīng)該短一些。
生：大約是9厘米。
生：我覺(jué)得是8厘米。
生：不可能是8厘米。因?yàn)?比8小了1，而12比8大了4。
師：它們的平均長(zhǎng)度到底是多少，還是趕緊口算一下吧。
三、拓展展開(kāi)
師：下面這些問(wèn)題，同樣需要我們借助平均數(shù)的特點(diǎn)來(lái)解決。瞧，學(xué)校籃球隊(duì)的幾位同學(xué)正在進(jìn)行籃球比賽。我了解到這么一份資料，說(shuō)李強(qiáng)所在的快樂(lè)籃球隊(duì)，隊(duì)員的平均身高是160厘米。那么，李強(qiáng)的身高可能是155厘米嗎?
生：有可能。
師：不對(duì)呀!不是說(shuō)隊(duì)員的平均身高是160厘米嗎?
生：平均身高160厘米，并不表示每個(gè)人的身高都是160厘米。萬(wàn)一李強(qiáng)是隊(duì)里最矮的一個(gè)，當(dāng)然有可能是155厘米了。
生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊(duì)員身高的一般水平，并不代表隊(duì)里每個(gè)人的身高。李強(qiáng)有可能比平均身高矮，比如155厘米，當(dāng)然也可能比平均身高高，比如170 厘米。
師：說(shuō)得好!為了使同學(xué)們對(duì)這一問(wèn)題有更深刻的了解，我還給大家?guī)?lái)了一幅圖。(出示中國(guó)男子籃球隊(duì)隊(duì)員的合影，圖略)畫(huà)面中的人，相信大家一定不陌生。
生：姚明!
師：沒(méi)錯(cuò)，這是以姚明為首的中國(guó)男子籃球隊(duì)隊(duì)員。老師從網(wǎng)上查到這么一則數(shù)據(jù)，中國(guó)男子籃球隊(duì)隊(duì)員的平均身高為200厘米。這是不是說(shuō)，籃球隊(duì)每個(gè)隊(duì)員的身高都是200厘米?
生：不可能。
生：姚明的身高就不止2米。
生：姚明的身高是226厘米。
師：看來(lái)，還真有超出平均身高的人。不過(guò)，既然隊(duì)員中有人身高超過(guò)了平均數(shù)
生：那就一定有人身高不到平均數(shù)。
師：沒(méi)錯(cuò)。據(jù)老師所查資料顯示，這位隊(duì)員的身高只有178厘米，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于平均身高�？磥�(lái)，平均數(shù)只反映一組數(shù)據(jù)的一般水平，并不代表其中的每一個(gè)數(shù)據(jù)。好了，探討完身高問(wèn)題，我們?cè)賮?lái)看看池塘的平均水深。
(師出示圖11)
師：冬冬來(lái)到一個(gè)池塘邊。低頭一看，發(fā)現(xiàn)了什么?
生：平均水深110厘米。
師：冬冬心想，這也太淺了，我的身高是130厘米，下水游泳一定沒(méi)危險(xiǎn)。你們覺(jué)得冬冬的想法對(duì)嗎?
生：不對(duì)!
師：怎么不對(duì)?冬冬的身高不是已經(jīng)超過(guò)平均水深了嗎?
生：平均水深110厘米，并不是說(shuō)池塘里每一處水深都是110厘米。可能有的地方比較淺，只有幾十厘米，而有的地方比較深，比如150厘米。所以，冬冬下水游泳可能 會(huì)有危險(xiǎn)。
師：說(shuō)得真好!想看看這個(gè)池塘水底下的真實(shí)情形嗎?
(師出示池塘水底的剖面圖，如圖12)
生：原來(lái)是這樣，真的有危險(xiǎn)!
師：看來(lái)，認(rèn)識(shí)了平均數(shù)，對(duì)于我們解決生活中的問(wèn)題還真有不少幫助呢。當(dāng)然，如果不了解平均數(shù)，鬧起笑話來(lái)，那也很麻煩。這不，前兩天，老師從最新的《健康報(bào)》上查到這么一份資料。
(師出示：《2007年世界衛(wèi)生報(bào)告》顯示，目前中國(guó)男性的平均壽命大約是71歲)
師：可別小看這一數(shù)據(jù)哦130年前，也就在張老師出生那會(huì)兒，中國(guó)男性的平均壽命大約只有68歲。比較一下，發(fā)現(xiàn)了什么?
生：中國(guó)男性的平均壽命比原來(lái)長(zhǎng)了。
師：是呀，平均壽命變長(zhǎng)了，當(dāng)然值得高興嘍�？墒�，一位70歲的老伯伯看了這份資料后，不但不高興，反而還有點(diǎn)難過(guò)。這又是為什么呢?
生：我想，老伯伯可能以為平均壽命是71歲，而自己已經(jīng)70歲了，看來(lái)只能再活1年了。
師：老伯伯之所以這么想，你們覺(jué)得他懂不懂平均數(shù)。
生：不懂!
師：你們懂不懂?(生：懂)既然這樣，那好，假如我就是那位70歲的老伯伯，你們打算怎么勸勸我?
生：老伯伯，別難過(guò)。平均壽命71歲，并不是說(shuō)每個(gè)人都只能活到71歲。如果有人只活到六十幾歲，那么，你不就可以活到七十幾歲了嗎?
師：原來(lái)，你是把我的幸福建立在別人的痛苦之上呀!(生笑)不過(guò)，還是要感謝你的勸告。別的同學(xué)又是怎么想的呢?
生：老伯伯，我覺(jué)得平均壽命71歲反映的只是中國(guó)男性壽命的一般水平，這些人中，一定會(huì)有人超過(guò)平均壽命的。弄不好，你還會(huì)長(zhǎng)命百歲呢!
師：謝謝你的祝福!不過(guò)，光這么說(shuō)，好像還不足以讓我徹底放心。有沒(méi)有誰(shuí)家的爺爺或是老太爺，已經(jīng)超過(guò)71歲的?如果有，那我可就更放心了。
生：我爺爺已經(jīng)78歲了。
生：我爺爺已經(jīng)85歲了。
生：我老太爺都已經(jīng)94歲了。
師：真有超過(guò)71歲的呀!猜猜看，這一回老伯伯還會(huì)再難過(guò)嗎?
生：不會(huì)了。
師：探討完男性的平均壽命，想不想了解女性的平均壽命?有誰(shuí)愿意大膽地猜猜看?
生：我覺(jué)得中國(guó)女性的平均壽命大約有65歲。
生：我覺(jué)得大約有73歲。
(師呈現(xiàn)相關(guān)資料：中國(guó)女性的平均壽命大約是74歲)
師：發(fā)現(xiàn)了什么?
生：女性的平均壽命要比男性長(zhǎng)。
師：既然這樣，那么，如果有一對(duì)60多歲的老夫妻，是不是意味著，老奶奶的壽命一定會(huì)比老爺爺長(zhǎng)?
生：不一定!
生：雖然女性的平均壽命比男性長(zhǎng)，但并不是說(shuō)每個(gè)女性的壽命都會(huì)比男性長(zhǎng)。萬(wàn)一這老爺爺特別長(zhǎng)壽，那么，他完全有可能比老奶奶活得更長(zhǎng)些。
師：說(shuō)得真好!走出課堂，愿大家能帶上今天所學(xué)的內(nèi)容，更好地認(rèn)識(shí)生活中與平均數(shù)有關(guān)的各種問(wèn)題。下課!
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