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《圓錐曲線中的最值問題》數(shù)學(xué)教案
一、內(nèi)容與內(nèi)容解析
圓錐曲線的單元復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容包括橢圓、雙曲線和拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,在掌握以上一些陳述性知識和程序性知識的基礎(chǔ)上，再學(xué)習(xí)圓錐曲線的一些綜合應(yīng)用.
在解析幾何中，運(yùn)動(dòng)是曲線的靈魂，在形的運(yùn)動(dòng)中必然伴隨著量的變化，而在變化中，往往重點(diǎn)關(guān)注變化中不變的量或關(guān)系，以及變量的變化趨勢，由此產(chǎn)生圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題，圓錐曲線的中的參數(shù)取值范圍問題，圓錐曲線中的最值問題等.
圓錐曲線的最值問題是本單元復(fù)習(xí)綜合性較強(qiáng)的內(nèi)容.重點(diǎn)研究變化的距離、弦長、角度、面積、斜率、定比等幾何量的最值及相關(guān)問題.本課重點(diǎn)是借助對常見的距離問題等的研究提煉出解決此類問題的思想方法和基本策略，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.
解決圓錐曲線的最值問題，不僅要用到圓錐曲線定義、方程、幾何性質(zhì)，還常用到函數(shù)、方程、不等式及三角函數(shù)等重要知識，綜合性強(qiáng)，聯(lián)系性廣,策略性要求高.其基本的思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，基本策略主要是代數(shù)和幾何兩個(gè)角度分析. 由于圓錐曲線是幾何圖形，研究的量也往往是幾何量，因此借助幾何性質(zhì)，利用幾何直觀來分析是優(yōu)先選擇；但幾何直觀往往嚴(yán)謹(jǐn)性不強(qiáng)，難以細(xì)致入微，在解析幾何中需要借助代數(shù)的工具來實(shí)現(xiàn)突破.
幾何方法主要結(jié)合圖形的幾何特征，借助圓錐曲線的定義以及平面幾何知識作直接論證及判斷;代數(shù)方法主要是將幾何量及幾何關(guān)系用代數(shù)形式表示,通過設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線的方程，將目標(biāo)表示為變量的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，再借助函數(shù)、方程、不等式等知識解決問題.
二、教學(xué)問題診斷
圓錐曲線的最值問題的解決，涉及的知識面廣，需要綜合運(yùn)用圓錐曲線、平面幾何、代數(shù)等相關(guān)知識，還需要較強(qiáng)的運(yùn)算技能和分析問題解決問題的能力.
在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可能存在的問題有：知識的聯(lián)系性和系統(tǒng)性較弱，難以調(diào)動(dòng)眾多的知識合理地解決問題；運(yùn)算能力不強(qiáng)，算得慢，易算錯(cuò)，影響問題解決的執(zhí)行力；問題解決的策略性不強(qiáng)，就題論題，對問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識模糊等現(xiàn)象.再加上學(xué)生對復(fù)習(xí)課的認(rèn)識比較片面，對復(fù)習(xí)課缺乏新鮮感。
在教學(xué)中，可以從簡單的問題（或者教材中的問題）出發(fā)，通過問題的提出、問題的拓展、問題的變式等措施，使學(xué)生對圓錐曲線最值問題的本質(zhì)特征有更新、更深的認(rèn)識，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；在教學(xué)中，通過學(xué)生對一類問題的主動(dòng)思考、交流互動(dòng)、反思提煉，構(gòu)建知識體系，形成基本技能，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗(yàn)與感悟問題解決的策略。
為了更好地加強(qiáng)策略性知識的學(xué)習(xí)，教學(xué)中可一題多用，減少問題解決的運(yùn)算量,使學(xué)生在關(guān)鍵點(diǎn)加強(qiáng)思考與交流，有更多的時(shí)間進(jìn)行創(chuàng)造性的實(shí)踐與反思.
三、目標(biāo)與目標(biāo)解析：
1.進(jìn)一步理解圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，會求解橢圓、拋物線的相關(guān)變量的最值問題，并形成一定的方法;
2.進(jìn)一步體會“解析法”思想，會從代數(shù)與幾何兩個(gè)角度分析和解決曲線的最值問題，并會進(jìn)行合理的選擇；
3.在問題的提出、分析、解決的過程，進(jìn)一步形成圓錐曲線最值問題的方法體系和數(shù)學(xué)思想，形成處理最值問題的基本策略,養(yǎng)成質(zhì)疑和創(chuàng)新的意識.
解決問題后需要重構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對知識間的聯(lián)系有新的認(rèn)識，并在操作中形成技能;會通過反思與交流，感悟并提煉重要的數(shù)學(xué)思想；在具體的最值問題中，能根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)有意識地選擇幾何或代數(shù)的策略，并進(jìn)行具體的操作.
四、教學(xué)支持條件分析
由于圓錐曲線的最值問題涉及到圖形運(yùn)動(dòng)和數(shù)量變化，學(xué)生往往缺乏對問題的直覺把握和深切的感受，教學(xué)中可通過幾何畫板、TI—Nspire圖形計(jì)算器、GeGebra等軟件，直觀地呈現(xiàn)數(shù)、式、形的聯(lián)動(dòng)變化，使學(xué)生逐步形成多元聯(lián)系的觀點(diǎn).
對于一些的運(yùn)算，可以利用TI—Nspire CAS代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)，幫助學(xué)生在課堂上降低運(yùn)算的難度，減少運(yùn)算的時(shí)間，更深入地體會數(shù)學(xué)的本質(zhì).
五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
�。ㄒ唬� 提出問題——解決問題——形成初步經(jīng)驗(yàn)
圓錐曲線中求一些變量的最值，是一類常見的問題，如何根據(jù)這類問題的特點(diǎn)，尋求相應(yīng)的解題策略是我們本課研究的重點(diǎn).
請大家做一做問題一.并與同學(xué)交流，進(jìn)行解題后的反思.
問題一 已知F(0,1),M(0,3),N(3,0), P是拋物線 上的一動(dòng)點(diǎn)，
�。�1）求|PF|的最小值；
�。�2）求|PM|的最小值；
�。�3）求|PM|+|PN|的最小值.
反思： （1）通過問題一的解決，你能否總結(jié)出解決此類問題的基本策略？體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想？
�。�2）你能對每一種策略，總結(jié)出明確的操作步驟嗎？
�。�3）面對具體問題時(shí)如何選擇相應(yīng)的策略，你有了怎樣的經(jīng)驗(yàn)？
設(shè)計(jì)意圖：
問題一入口簡單，計(jì)算容易，在方法上有回歸定義，構(gòu)造函數(shù)，幾何論證等典型方法。讓學(xué)生先做，一方面是了解學(xué)生學(xué)習(xí)水平，診斷學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的問題；另一方面，通過學(xué)生的做，讓學(xué)生對此類問題及其解法有切身的感受與體驗(yàn).
注重學(xué)生在解題后的反思活動(dòng)，通過相互的交流和表達(dá)，對解決的策略進(jìn)行反思提煉，并作進(jìn)一步的明確，是使策略性知識內(nèi)化的重要過程.
預(yù)設(shè)：解決圓錐曲線中的最值問題主要有兩種策略：
一是幾何方法：根據(jù)圖形的特點(diǎn)，借助圓錐曲線的定義及幾何圖形的一些性質(zhì)，進(jìn)行直接判斷.
二是代數(shù)方法：核心是函數(shù)思想，具體步驟：設(shè)參變量，找關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，求函數(shù)的最值.
一般地，當(dāng)條件中幾何關(guān)系比較明顯時(shí)，可借助幾何直觀，否則選用代數(shù)的方法.
�。ǘ┝私獠呗浴唵螒�(yīng)用——形成基本技能
你能否用前面所總結(jié)的解題策略來解決下列問題：
問題二 練一練
（1）點(diǎn)P是拋物線C： 上的動(dòng)點(diǎn),F是拋物線C的焦點(diǎn)，M(2,4),則 的最小值為 .
�。�2）若P，Q分別橢圓 與圓 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則
的最小值和最大值分別為 ， .
設(shè)計(jì)意圖：
題(1)是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的最值問題，由于涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題，可以利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線 的距離,從而利用平面幾何中點(diǎn)到直線的所有距離中垂線段最短的結(jié)論得到問題結(jié)果.解決此類問題，要求學(xué)生有結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸的能力.
題(2)對象涉及橢圓與圓，目標(biāo)是動(dòng)點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離最值問題，與問題一相比在結(jié)構(gòu)上有較大差異；設(shè)計(jì)成填空題的形式可以引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先選擇圖形直觀解決問題，同時(shí)強(qiáng)調(diào)推導(dǎo)需要理性，本題先借助“形”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，得到 ，從而將問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)M(0,3)的距離的最值問題，進(jìn)而從代數(shù)的角度，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解.
實(shí)際教學(xué)中學(xué)生易憑直覺判斷，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?如“壓扁橢圓”使學(xué)生直觀地感知錯(cuò)誤，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行反思并調(diào)整策略.
圖3
有學(xué)生用“曲率”來進(jìn)行說明,
也可以用同心圓來直覺猜想，
最簡單的方法還是用代數(shù)法——函數(shù)思想分析.
�。ㄈ﹩栴}變式——策略優(yōu)化——形成能力
問題三. 議一議
點(diǎn)M(0,3)的直線與橢圓 交于P,Q兩個(gè)不同點(diǎn),若 ,
求數(shù) 的取值范圍.
分析：先審題：（1）誰在動(dòng)？目標(biāo)量是誰？（2）動(dòng)直線有限制條件嗎？（3）動(dòng)直線確定時(shí)，P，Q的位置確定嗎？不同的位置對目標(biāo)量 的值是否會有影響？
預(yù)設(shè)：本題若從代數(shù)的角度求解，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率 為參變量，則將 代入 ，得
.
可得 .
�。ǎ保┤糁苯忧蟪龇匠痰膬筛�，
則 ．
（２）若設(shè) ，則
但若從幾何的角度，卻有意外的驚喜！
設(shè)計(jì)意圖:可以建立 與斜率 的等量關(guān)系，再由 的范圍求 的取值范圍，也可以利用問題2的結(jié)論從幾何的角度直接判斷.同樣的思想方法,可以訓(xùn)練學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,形成解決問題的策略.
實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生更多選擇代數(shù)方法，只有三個(gè)同學(xué)選擇幾何法，學(xué)生一利用了練習(xí)二的結(jié)論 ，但這里事實(shí)上對一般的問題有個(gè)方法上的漏洞，教師可以提出質(zhì)疑：當(dāng)橢圓足夠扁時(shí)， 的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)不共線，還能用類似的幾何方法處理嗎？
其實(shí)同樣只需再換一個(gè)角度就可以順利解決，用幾何畫板演示 的變化即可.
練一練
直線=x(>0)與橢圓 交于P,Q兩點(diǎn),A,B分別是橢圓的右、上頂點(diǎn), 則四邊形APBQ面積的最大值為
你能說明理由嗎？談?wù)勀愕慕忸}思路，并與同學(xué)議一議，了解一些不同的思路.
設(shè)計(jì)意圖：本題的目標(biāo)量是四邊形的面積，需要借助三角形的面積，轉(zhuǎn)化為距離問題進(jìn)行求解.由此產(chǎn)生不同的策略.
如1： ，以 為參數(shù)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù);
如2： ，以P點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);
如3： ，以P點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，建立目標(biāo)函數(shù).
如4：以思路2為基礎(chǔ)，可以通過幾何直觀判斷面積的最大值，即求P,Q兩點(diǎn)到直線AB的距離之和的最大值，即為平行于AB且與橢圓相切的兩直線之間的距離．
通過交流，了解不同的解法，使學(xué)生進(jìn)一步體會兩種策略的靈活運(yùn)用，提升解題能力．
有學(xué)生提出兩種幾何法（1）如4；（2）較有創(chuàng)意：將橢圓通過伸縮變換成為圓，先解決圓中的四邊形面積最大問題，再進(jìn)行還原！
(四)反思小結(jié)——策略內(nèi)化
本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？
�。�1）你認(rèn)為解決最值問題有哪些策略？
（2）每種策略如何操作？
�。�3）這些思想體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想？
�。�4）還有其他收獲或感想嗎？
設(shè)計(jì)意圖：
解題后，在教師的引導(dǎo)下學(xué)生的自主反思，才能使學(xué)生的解題技能提升為策略，并內(nèi)化成自身的能力.
�。ㄎ澹┠繕�(biāo)檢測
�。ū刈鲱}）
1. 若P，Q分別拋物線C： 與圓 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 的最小值.
2.
2. 若P，Q分別是兩條曲線上的任意兩點(diǎn)，則稱長度 的最小值為這兩曲線之間的距離.給定直線 與橢圓 ，求直線l與橢圓D之間的距離.
（自主題）
3. 給定直線 與橢圓 ，請寫出你自己設(shè)計(jì)的一個(gè)最值問題，并選擇相應(yīng)的策略加以解決.
設(shè)計(jì)意圖：開放式地提出問題是學(xué)生地“弱點(diǎn)”，但在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，有必要給學(xué)生機(jī)會重新審視過去做過大量問題的特征，并嘗試提出一些 “自己”的具有創(chuàng)造性的問題.同時(shí)這也是學(xué)生對問題及問題解決本質(zhì)理解的進(jìn)一步內(nèi)化的過
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