極限的定義是什么概念
極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級數(shù))為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。下面是小編給大家整理的極限的定義是什么概念，希望能幫到大家!
極限的定義是什么概念 篇1
“極限”是數(shù)學(xué)中的分支——微積分的基礎(chǔ)概念，廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠(yuǎn)不能到達(dá)”的意思。數(shù)學(xué)中的“極限”指：某一個(gè)函數(shù)中的某一個(gè)變量，此變量在變大(或者變小)的永遠(yuǎn)變化的過程中，逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值A(chǔ)不斷地逼近而“永遠(yuǎn)不能夠重合到A”(“永遠(yuǎn)不能夠等于A，但是取等于A‘已經(jīng)足夠取得高精度計(jì)算結(jié)果)的過程中，此變量的變化，被人為規(guī)定為“永遠(yuǎn)靠近而不停止”、其有一個(gè)“不斷地極為靠近A點(diǎn)的趨勢”。極限是一種“變化狀態(tài)”的描述。此變量永遠(yuǎn)趨近的值A(chǔ)叫做“極限值”(當(dāng)然也可以用其他符號表示)。
以上是屬于“極限”內(nèi)涵通俗的描述，“極限”的嚴(yán)格概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴(yán)格闡述。
極限的定義是什么概念 篇2
定義
可定義某一個(gè)數(shù)列{xn}的收斂：
設(shè){xn}為一個(gè)無窮實(shí)數(shù)數(shù)列的集合。如果存在實(shí)數(shù)a，對于任意正數(shù)ε (不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，均有 不等式成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列{xn} 的極限，或稱數(shù)列{xn} 收斂于a。記作 或 。
如果上述條件不成立，即存在某個(gè)正數(shù)ε，無論正整數(shù)N為多少，都存在某個(gè)n>N，使得 ，就說數(shù)列{xn}不收斂于a。如果{xn}不收斂于任何常數(shù)，就稱{xn}發(fā)散。
對定義的理解：
1、ε的任意性 定義中ε的作用在于衡量數(shù)列通項(xiàng) 與常數(shù)a的接近程度。ε越小，表示接近得越近;而正數(shù)ε可以任意地變小，說明xn與常數(shù)a可以接近到任何不斷地靠近的程度。但是，盡管ε有其任意性，但一經(jīng)給出，就被暫時(shí)地確定下來，以便靠它用函數(shù)規(guī)律來求出N;
又因?yàn)棣攀侨我庑〉恼龜?shù)，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都在任意小的正數(shù)范圍，因此可用它們的數(shù)值近似代替ε。同時(shí)，正由于ε是任意小的正數(shù)，我們可以限定ε小于一個(gè)某一個(gè)確定的正數(shù)。
2、N的相應(yīng)性 一般來說，N隨ε的變小而變大，因此常把N寫作N(ε)，以強(qiáng)調(diào)N對ε的變化而變化的依賴性。但這并不意味著N是由ε唯一確定的：(比如若n>N使 成立，那么顯然n>N+1、n>2N等也使 成立)。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
3、從幾何意義上看，“當(dāng)n>N時(shí)，均有不等式 成立”意味著：所有下標(biāo)大于N的 都落在(a-ε，a+ε)內(nèi);而在(a-ε，a+ε)之外，數(shù)列{xn} 中的項(xiàng)至多只有N個(gè)(有限個(gè))。換句話說，如果存在某 ，使數(shù)列{xn} 中有無窮多個(gè)項(xiàng)落在(a-ε0，a+ε0) 之外，則{xn} 一定不以a為極限。
注意幾何意義中：
1、在區(qū)間(a-ε，a+ε)之外至多只有N個(gè)(有限個(gè))點(diǎn);
2、所有其他的點(diǎn) (無限個(gè))都落在該鄰域之內(nèi)。這兩個(gè)條件缺一不可，如果一個(gè)數(shù)列能達(dá)到這兩個(gè)要求，則數(shù)列收斂于a;而如果一個(gè)數(shù)列收斂于a，則這兩個(gè)條件都能滿足。換句話說，如果只知道區(qū)間(a-ε，a+ε)之內(nèi)有{xn}的無數(shù)項(xiàng)，不能保證(a-ε，a+ε)之外只有有限項(xiàng)，是無法得出{xn}收斂于a的，在做判斷題的時(shí)候尤其要注意這一點(diǎn)。
性質(zhì)
1、唯一性：若數(shù)列的極限存在，則極限值是唯一的，且它的任何子列的極限與原數(shù)列的相等。
2、有界性：如果一個(gè)數(shù)列’收斂‘(有極限)，那么這個(gè)數(shù)列一定有界。
但是，如果一個(gè)數(shù)列有界，這個(gè)數(shù)列未必收斂。例如數(shù)列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”
3、保號性：若 (或<0)，則對任何 (a<0時(shí)則是 n="">0，使n>N時(shí)有 (相應(yīng)的 )。
4、保不等式性：設(shè)數(shù)列{xn} 與{yn}均收斂。若存在正數(shù)N ，使得當(dāng)n>N時(shí)有 ，則 (若條件換為 ，結(jié)論不變)。
5、和實(shí)數(shù)運(yùn)算的相容性：譬如：如果兩個(gè)數(shù)列{xn} ，{yn} 都收斂，那么數(shù)列 也收斂，而且它的極限等于{xn} 的極限和{yn} 的極限的和。
6、與子列的關(guān)系：數(shù)列{xn} 與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)有相同的極限;數(shù)列 收斂的充要條件是：數(shù)列{xn} 的任何非平凡子列都收斂。
單調(diào)收斂定理
單調(diào)有界數(shù)列必收斂。
柯西收斂原理
設(shè){xn} 是一個(gè)數(shù)列，如果對任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 滿足 n > N，則對于任意正整數(shù)p，都有 ，這樣的數(shù)列 便稱為柯西數(shù)列。
這種漸進(jìn)穩(wěn)定性與收斂性是等價(jià)的。即為充分必要條件。
極限的定義是什么概念 篇3
簡介
極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級數(shù))為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。
所謂極限的思想，是指“用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想”。
用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：
對于被考察的未知量，先設(shè)法正確地構(gòu)思一個(gè)與它的變化有關(guān)的另外一個(gè)變量，確認(rèn)此變量通過無限變化過程的’影響‘趨勢性結(jié)果就是非常精密的約等于所求的未知量;用極限原理就可以計(jì)算得到被考察的未知量的結(jié)果。
極限思想是微積分的基本思想，是數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)(為0得到極大值)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。如果要問：“數(shù)學(xué)分析是一門什么學(xué)科?”那么可以概括地說：“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科，并且計(jì)算結(jié)果誤差小到難于想像，因此可以忽略不計(jì)。
極限的產(chǎn)生與發(fā)展
(1)由來
與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會實(shí)踐的大腦抽象思維的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，例如，祖國劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀圖形研究的基礎(chǔ)上的一種原始的可靠的“不斷靠近”的極限思想的應(yīng)用;古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對’無限‘的恐懼”，他們避免明顯地人為“取極限”，而是借助于間接證法——?dú)w謬法來完成了有關(guān)的證明。
到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中，改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向”。
(2)發(fā)展
極限思想的進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。16世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中遇到大量的問題，開始人們只用初等數(shù)學(xué)的方法已無法解決，要求數(shù)學(xué)突破’只研究常量‘的傳統(tǒng)范圍，而尋找能夠提供能描述和研究運(yùn)動、變化過程的新工具，是促進(jìn)’極限‘思維發(fā)展、建立微積分的社會背景。
起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立了微積分，后來因遇到邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用’路程的改變量ΔS‘與’時(shí)間的改變量Δt‘之比 “ ” 表示運(yùn)動物體的平均速度，讓Δt無限趨近于零，得到物體的瞬時(shí)速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，他說：“兩個(gè)量和量之比，如果在有限時(shí)間內(nèi)不斷趨于相等，且在這一時(shí)間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等”。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴(yán)格表述。牛頓所運(yùn)用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語言描述：“如果當(dāng)n無限增大時(shí)， 無限地接近于常數(shù)A，那么就說 以A為極限。
正因?yàn)楫?dāng)時(shí)缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才受到人們對于科學(xué)理論的懷疑與攻擊，例如，在物理學(xué)的’瞬時(shí)速度‘概念，究竟Δt(變化量)是否等于零?如果說是零，(因?yàn)檎胬砣绻粺o限擴(kuò)大其適用范圍也會變?yōu)殄e(cuò)誤)：怎么能用它去作除法呢?(其實(shí)變化量不可能為0)。但是人們認(rèn)為，如果它不是零，計(jì)算機(jī)和函數(shù)變形時(shí)又怎么能把包含著它的那些“微小的量”項(xiàng)去掉呢?當(dāng)時(shí)人們不理解，想完全沒有一點(diǎn)點(diǎn)誤差地進(jìn)行變量的計(jì)算而導(dǎo)致打擊認(rèn)為發(fā)生悖論，這就是數(shù)學(xué)史上所說的無窮小悖論產(chǎn)生的原因。英國哲學(xué)家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”�？茖W(xué)發(fā)展的歷史和成功表明他的觀點(diǎn)是錯(cuò)的。
貝克萊之所以激烈地攻擊微積分，一方面是為宗教服務(wù)，另一方面也由于當(dāng)時(shí)的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，和變通的解決辦法，連名人牛頓也無法擺脫‘極限概念’中的混亂。這個(gè)事實(shí)表明，弄清“極限”概念，它是一個(gè)動態(tài)的量的無限變化過程，微小的變量趨勢方向上當(dāng)然可以極為精密地近似等于某一個(gè)常量。這是建立嚴(yán)格的微積分理論的思想基礎(chǔ)，有著認(rèn)識論上的科學(xué)研究的工具的重大意義。
(3)完善
極限思想的完善，與微積分的嚴(yán)格化的密切聯(lián)系。在很長一段時(shí)間里，微積分理論基礎(chǔ)的問題，許多人都曾嘗試“徹底滿意”地解決，但都未能如愿以償。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對象已從常量擴(kuò)展到變量，而人們習(xí)慣于用不變化的常量去思維，分析問題。對“變量”特有的概念理解還不十分清楚;對“變量數(shù)學(xué)”和“常量數(shù)學(xué)”的區(qū)別和聯(lián)系還缺乏了解;對“有限”和“無限”的對立統(tǒng)一關(guān)系還不明確。這樣，人們使用習(xí)慣的處理常量數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)思想方法，思想僵化，就不能適應(yīng)‘變量數(shù)學(xué)’的新發(fā)展。古代的人們習(xí)慣用舊概念常量就說明不了這種 [“零”與“無限靠近零的非零數(shù)值”之間可以人為的微小距離跳躍到相等的相互轉(zhuǎn)化]的科學(xué)性結(jié)論的辯證關(guān)系。
到了18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對極限作出過，各自的定義。其中達(dá)朗貝爾的定義是：“一個(gè)量是另一個(gè)量的極限，假如第二個(gè)量比任意給定的值更為接近第一個(gè)量”，其描述的內(nèi)涵接近于‘極限的正確定義;然而，這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。觀點(diǎn)也只能如此，因?yàn)?9世紀(jì)以前的算術(shù)和幾何概念，大部分都是建立在幾何量的概念上的。其實(shí)，“具象化”不是思維落后的代名詞，對于幾何直觀的研究不是思維落后的代名詞，因?yàn)樵诮裉烊匀皇强梢杂煤瘮?shù)’映射‘為圖形，來研究較為復(fù)雜的趨勢問題。如果有趨勢則極限概念能夠成立。例如“具象化”圖形代替函數(shù)可綁架直觀地證明某一個(gè)沒有規(guī)律可描述的向用戶久攻不下的命題不能成立;(或另外一個(gè)函數(shù)卻能夠成立)， 再分別作具體的“符號方式”的數(shù)學(xué)證明。
首先用極限概念給出‘導(dǎo)數(shù)’的正確定義的是捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾，他把函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)定義為差商 的極限f'(x)，他強(qiáng)調(diào)指出f'(x)不是兩個(gè)零的商。波爾查諾的思想是有價(jià)值的，但關(guān)于‘極限的本質(zhì)’他仍未描述清楚。
到了19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了“極限概念”及其理論，他在《分析教程》中指出：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個(gè)變量的.數(shù)值(絕對值)無限地減小使之收斂到極限0，就說這個(gè)變量成為無窮小。”
柯西把無窮小視為“以0為極限的變量”，這就正確地確立了“無窮小”概念為“似零不是零去卻可以人為用等于0處理”的辦法，這就是說，在變量的變化過程中，它的值實(shí)際上不等于零，但它變化的趨向是向“零”，可以無限地接近于零。那么人們就可以用“等于0”來處理，是不會產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果的。
柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，(但是“幾何直觀”不是消極的東西，我們研究函數(shù)時(shí)也可以可以發(fā)揮想像力——“動態(tài)趨勢的變量圖像，假設(shè)被放大到巨大的天文倍數(shù)以后，我們也會永遠(yuǎn)不能看到變量值‘重合于0”，所以用不等式表示會更加“明確”)作出極限的明確定義，然后去完成牛頓的愿望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”比較通俗易懂的描述，對于概念的理解比較容易，因此其定義還保留著幾何和物理的直觀痕跡，一分為二，直觀痕跡比較多也會有好處，但是結(jié)合下面的抽象定義可更加容易理解‘極限’的概念。
為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)的抽象定義，給微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。所謂 ，就是指：“如果對任何 ，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng) 時(shí)，不等式 恒成立”。
這個(gè)定義，借助不等式，通過ε和N之間的關(guān)系，定量地、具體地刻劃了兩個(gè)“無限過程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義應(yīng)該是目前比較嚴(yán)格的定義，可作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍在數(shù)學(xué)分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是‘?dāng)?shù)及其大小關(guān)系’，此外只是用給定、存在、任何等詞語，已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，不再求助于運(yùn)動的直觀。(但是理解’極限‘概念不能夠拋棄‘運(yùn)動趨勢’去理解， 否則容易導(dǎo)致’把常量概念不科學(xué)地進(jìn)入到微積分’領(lǐng)域里)
常量可理解為‘不變化的量’。微積分問世以前，人們習(xí)慣于用靜態(tài)圖像研究數(shù)學(xué)對象，自從解析幾何和微積分問世以后，考慮‘變化量’的運(yùn)動思維方式進(jìn)入了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，人們就有數(shù)學(xué)工具對物理量等等事物變化過程進(jìn)行動態(tài)研究。之后，維爾斯特拉斯，建立的ε-N語言，則用靜態(tài)的定義描述變量的變化趨勢。這種“靜態(tài)——動態(tài)——靜態(tài)”的螺旋式的上升演變，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律。
極限思想的思維功能
極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)等學(xué)科中，有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。借助極限思想，人們可以從有限認(rèn)識無限，從“不變”認(rèn)識“變”，從“直線構(gòu)成形”認(rèn)識“曲線構(gòu)成形”，從量變?nèi)フJ(rèn)識質(zhì)變，從近似認(rèn)識精確。
“無限”與’有限‘概念本質(zhì)不同，但是二者又有聯(lián)系，“無限”是大腦抽象思維的概念，存在于大腦里�！坝邢蕖笔强陀^實(shí)際存在的千變?nèi)f化的事物的“量”的映射，符合客觀實(shí)際規(guī)律的“無限”屬于整體，按公理，整體大于局部思維。
“變”與“不變”反映了事物運(yùn)動變化，與相對靜止，兩種不同狀態(tài)，但它們在一定條件下又可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一”。例如，物理學(xué)，求變速直線運(yùn)動的瞬時(shí)速度，用初等方法無法解決，困難在于變速直線運(yùn)動的瞬時(shí)速度是變量不是常量。為此，人們先在小的時(shí)間間隔范圍內(nèi)用“勻速”計(jì)算方法代替“變速”狀態(tài)的計(jì)算，求其平均速度，把較小的時(shí)間內(nèi)的瞬時(shí)速度定義為求“速度的極限”，是借助了極限的思想方法，從“不變”形式來尋找“某一時(shí)刻變”的“極限”的精密結(jié)果。
曲線形與直線形圖像有著本質(zhì)的差異，但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，正如恩格斯所說：“直線和曲線在微分中終于等同起來了”。善于利用這種對立統(tǒng)一關(guān)系，是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段之一。用直線構(gòu)成的圖形的面積易求;但是求曲線組成的圖形的面積，用初等數(shù)學(xué)是不能準(zhǔn)確地解決的。古人劉徽用“”圓內(nèi)接多邊形逼近圓面積”;人們用“變形為矩形的面積”來逼近曲邊梯形的面積，等等，都是借助于極限的思想方法，從直線形來起步認(rèn)識曲線形問題的解答。
無限逼近“真實(shí)值”(結(jié)論完全沒有誤差)思想，在數(shù)學(xué)研究工作中起著重要作用。例如對任何一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形來說，當(dāng)它邊數(shù)加倍后，得到圓面積的近似答案還是圓內(nèi)接正多邊形的面積。人們不斷地讓其邊數(shù)加倍增加，經(jīng)過無限過程之后，多邊形就“變”成一個(gè)與真實(shí)的圓面積相差不大的“假圓”，每一步“邊數(shù)增加的變化”都可以使用原來的‘常量公式累計(jì)，得到越來越靠近真實(shí)值的“圓面積”，圓的邊上的‘越來越多的新的小的三角形底邊，變形中的數(shù)不清的三角形正反互補(bǔ)得到的矩形，其長邊的總和的極限等于“圓周長的一半”與半徑的乘積計(jì)算得到圓面積(就是極限概念的應(yīng)用)，趨勢極限，愈來愈逼近圓面積。這就是借助于極限的思想方法，化繁為簡’解決求圓面積問題，其他問題思維方法一樣。
用極限概念解決問題時(shí)，首先用傳統(tǒng)思維，用‘低等數(shù)學(xué)思維的常量思維建立某一個(gè)函數(shù)(計(jì)算公式)，再想辦法進(jìn)行圖像總的面積不變的變形，然后把某一個(gè)對應(yīng)的變量的極限求出，就可以解決問題了。這種“恒等”轉(zhuǎn)化中尋找極限數(shù)值，是數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際變量計(jì)算的重要訣竅。前面所講到的“部分和”、“平均速度”、“圓內(nèi)接正多邊形面積方法”，分別是相應(yīng)的“無窮級數(shù)之趨近數(shù)值”、“瞬時(shí)速度”、“求圓面積”的最為精確的近似值的辦法，用極限思想，可得到相應(yīng)的無比精確的結(jié)論值。這都是借助于極限的思想方法，人們用‘無限地逼近’也可以實(shí)現(xiàn)精密計(jì)算結(jié)果’，用此新方法——微積分的極限思維，可滿意地解決‘直接用常量辦法計(jì)算有變化量的函數(shù)但無現(xiàn)成公式可用，所以計(jì)算結(jié)果誤差大’的問題。
建立的概念
極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終�？梢哉f數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法，然后利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如：
(1)函數(shù)在 點(diǎn)連續(xù)的定義，是當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，函數(shù)值的增量趨于零的極限。
(2)函數(shù)在 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義，是函數(shù)值的增量 與自變量的增量 之比 ，當(dāng) 時(shí)的極限。
(3)函數(shù)在 點(diǎn)上的定積分的定義，是當(dāng)分割的細(xì)度趨于零時(shí)，積分和式的極限。
(4)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性是用部分和數(shù)列 的極限來定義的。
(5)廣義積分是定積分其中 為，任意大于 的實(shí)數(shù)當(dāng) 時(shí)的極限，等等。
解決問題的極限思想
’極限思想’方法，是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是‘?dāng)?shù)學(xué)分析’與在‘初等數(shù)學(xué)’的基礎(chǔ)上有承前啟后連貫性的、進(jìn)一步的思維的發(fā)展。數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題(例如求瞬時(shí)速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體的體積等問題)，正是由于其采用了‘極限’的‘無限逼近’的思想方法，才能夠得到無比精確的計(jì)算答案。
人們通過考察某些函數(shù)的一連串?dāng)?shù)不清的越來越精密的近似值的趨向，趨勢，可以科學(xué)地把那個(gè)量的極準(zhǔn)確值確定下來，這需要運(yùn)用極限的概念和以上的極限思想方法。要相信， 用極限的思想方法是有科學(xué)性的，因?yàn)榭梢酝ㄟ^極限的函數(shù)計(jì)算方法得到極為準(zhǔn)確的結(jié)論。
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