中考試卷數學及答案
中考試卷數學及答案
一、選擇題（每小題4分，共24分）
1．（4分）（2014年上海市）計算 的結果是（ ）
A． B． C． D． 3
考點： 二次根式的乘除法．
分析： 根據二次根式的乘法運算法則進行運算即可．
解答： 解： = ，
故選：B．
點評： 本題主要考查二次根式的乘法運算法則，關鍵在于熟練正確的運用運算法則，比較簡單．
2．（4分）（2014年上海市）據統(tǒng)計，2013年上海市全社會用于環(huán)境保護的資金約為60 800 000 000元，這個數用科學記數法表示為（ ）
A． 608×108 B． 60.8×109 C． 6.08×1010 D． 6.08×1011
考點： 科學記數法—表示較大的數．
分析： 科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
解答： 解：60 800 000 000=6.08×1010，
故選：C．
點評： 此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
3．（4分）（2014年上海市）如果將拋物線y=x2向右平移1個單位，那么所得的拋物線的表達式是（ ）
A． y=x2﹣1 B． y=x2+1 C． y=（x﹣1）2 D． y=（x+1）2
考點： 二次函數圖象與幾何變換．
專題： 幾何變換．
分析： 先得到拋物線y=x2的頂點坐標為（0，0），再得到點（0，0）向右平移1個單位得到點的坐標為（1，0），然后根據頂點式寫出平移后的拋物線解析式．
解答： 解：拋物線y=x2的頂點坐標為（0，0），把點（0，0）向右平移1個單位得到點的坐標為（1，0），
所以所得的拋物線的表達式為y=（x﹣1）2．
故選C．
點評： 本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．
4．（4分）（2014年上海市）如圖，已知直線a、b被直線c所截，那么∠1的同位角是（ ）
A． ∠2 B． ∠3 C． ∠4 D． ∠5
考點： 同位角、內錯角、同旁內角．
分析： 根據同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角可得答案．
解答： 解：∠1的同位角是∠2，
故選：A．
點評： 此題主要考查了同位角，關鍵是掌握同位角的邊構成“F“形．
5．（4分）（2014年上海市）某事測得一周PM2.5的日均值（單位：）如下：50，40，75，50，37，50，40，這組數據的中位數和眾數分別是（ ）
A． 50和50 B． 50和40 C． 40和50 D． 40和40
考點： 眾數；中位數．
分析： 找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數或兩個數的平均數為中位數；眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個．
解答： 解：從小到大排列此數據為：37、40、40、50、50、50、75，數據50出現了三次最多，所以50為眾數；
50處在第5位是中位數．
故選A．
點評： 本題屬于基礎題，考查了確定一組數據的中位數和眾數的能力．一些學生往往對這個概念掌握不清楚，計算方法不明確而誤選其它選項，注意找中位數的時候一定要先排好順序，然后再根據奇數和偶數個來確定中位數，如果數據有奇數個，則正中間的數字即為所求，如果是偶數個則找中間兩位數的平均數．
6．（4分）（2014年上海市）如圖，已知AC、BD是菱形ABCD的對角線，那么下列結論一定正確的是（ ）
A． △ABD與△ABC的周長相等
B． △ABD與△ABC的面積相等
C． 菱形的周長等于兩條對角線之和的兩倍
D． 菱形的面積等于兩條對角線之積的兩倍
考點： 菱形的性質．
分析： 分別利用菱形的性質結合各選項進而求出即可．
解答： 解：A、∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD，
∵AC＜BD，
∴△ABD與△ABC的周長不相等，故此選項錯誤；
B、∵S△ABD= S平行四邊形ABCD，S△ABC= S平行四邊形ABCD，
∴△ABD與△ABC的面積相等，故此選項正確；
C、菱形的周長與兩條對角線之和不存在固定的數量關系，故此選項錯誤；
D、菱形的面積等于兩條對角線之積的 ，故此選項錯誤；
故選：B．
點評： 此題主要考查了菱形的性質應用，正確把握菱形的性質是解題關鍵．
二、填空題（每小題4分，共48分）
7．（4分）（2014年上海市）計算：a（a+1）= a2+a ．
考點： 單項式乘多項式．
專題： 計算題．
分析： 原式利用單項式乘以多項式法則計算即可得到結果．
解答： 解：原式=a2+a．
故答案為：a2+a
點評： 此題考查了單項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
8．（4分）（2014年上海市）函數y= 的定義域是 x≠1 ．
考點： 函數自變量的取值范圍．
分析： 根據分母不等于0列式計算即可得解．
解答： 解：由題意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案為：x≠1．
點評： 本題考查了函數自變量的范圍，一般從三個方面考慮：
�。�1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；
�。�2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
�。�3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負．
9．（4分）（2014年上海市）不等式組 的解集是 3＜x＜4 ．
考點： 解一元一次不等式組．
分析： 先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分就是不等式組的解集．
解答： 解： ，
解①得：x＞3，
解②得：x＜4．
則不等式組的解集是：3＜x＜4．
故答案是：3＜x＜4
點評： 本題考查的是一元一次不等式組的解，解此類題目常常要結合數軸來判斷．還可以觀察不等式的解，若x＞較小的數、＜較大的數，那么解集為x介于兩數之間．
10．（4分）（2014年上海市）某文具店二月份銷售各種水筆320支，三月份銷售各種水筆的支數比二月份增長了10%，那么該文具店三月份銷售各種水筆 352 支．
考點： 有理數的混合運算．
專題： 應用題．
分析： 三月份銷售各種水筆的支數比二月份增長了10%，是把二月份銷售的數量看作單位“1”，增加的量是二月份的10%，即三月份生產的是二月份的（1+10%），由此得出答案．
解答： 解：320×（1+10%）
=320×1.1
=352（支）．
答：該文具店三月份銷售各種水筆352支．
故答案為：352．
點評： 此題考查有理數的混合運算，理解題意，列出算式解決問題．
11．（4分）（2014年上海市）如果關于x的方程x2﹣2x+k=0（k為常數）有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍是 k＜1 ．
考點： 根的判別式．
分析： 根據一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式的意義得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．
解答： 解：∵關于x的方程x2﹣3x+k=0（k為常數）有兩個不相等的實數根，
∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，
解得k＜1，
∴k的取值范圍為k＜1．
故答案為：k＜1．
點評： 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b2﹣4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．
12．（4分）（2014年上海市）已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物體送到離地面10米高的地方，那么物體所經過的路程為 26 米．
考點： 解直角三角形的應用-坡度坡角問題．
專題： 應用題．
分析： 首先根據題意畫出圖形，根據坡度的定義，由勾股定理即可求得答案．
解答： 解：如圖，由題意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，
∵i= = ，
∴BE=24米，
∴在Rt△ABE中，AB= =26（米）．
故答案為：26．
點評： 此題考查了坡度坡角問題．此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用，注意理解坡度的定義．
13．（4分）（2014年上海市）如果從初三（1）、（2）、（3）班中隨機抽取一個班與初三（4）班進行一場拔河比賽，那么恰好抽到初三（1）班的概率是 ．
考點： 概率公式．
分析： 由從初三（1）、（2）、（3）班中隨機抽取一個班與初三（4）班進行一場拔河比賽，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：∵從初三（1）、（2）、（3）班中隨機抽取一個班與初三（4）班進行一場拔河比賽，
∴恰好抽到初三（1）班的概率是： ．
故答案為： ．
點評： 此題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．
14．（4分）（2014年上海市）已知反比例函數y= （k是常數，k≠0），在其圖象所在的每一個象限內，y的值隨著x的值的增大而增大，那么這個反比例函數的解析式是 y=﹣ （只需寫一個）．
考點： 反比例函數的性質．
專題： 開放型．
分析： 首先根據反比例函數的性質可得k＜0，再寫一個符合條件的數即可．
解答： 解：∵反比例函數y= （k是常數，k≠0），在其圖象所在的每一個象限內，y的值隨著x的值的增大而增大，
故答案為：y=﹣ ．
點評： 此題主要考查了反比例函數的性質，關鍵是掌握對于反比例函數y= ，當k＞0時，在每一個象限內，函數值y隨自變量x的增大而減小；當k＜0時，在每一個象限內，函數值y隨自變量x增大而增大．
15．（4分）（2014年上海市）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，且AB=3EB．設 = ， = ，那么 = ﹣ （結果用 、 表示）．
考點： *平面向量．
分析： 由點E在邊AB上，且AB=3EB．設 = ，可求得 ，又由在平行四邊形ABCD中， = ，求得 ，再利用三角形法則求解即可求得答案．
解答： 解：∵AB=3EB． = ，
∴ = = ，
∵平行四邊形ABCD中， = ，
∴ = = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ．
故答案為： ﹣ ．
點評： 此題考查了平面向量的知識．此題難度不大，注意掌握三角形法則與平行四邊形法則的應用，注意掌握數形結合思想的應用．
16．（4分）（2014年上海市）甲、乙、丙三人進行飛鏢比賽，已知他們每人五次投得的成績如圖，那么三人中成績最穩(wěn)定的是 乙 ．
考點： 方差；折線統(tǒng)計圖．
分析： 根據方差的意義數據波動越小，數據越穩(wěn)定即可得出答案．
解答： 解：根據圖形可得：乙的成績波動最小，數據最穩(wěn)定，
則三人中成績最穩(wěn)定的是乙；
故答案為：乙．
點評： 本題考查了方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩(wěn)定．
17．（4分）（2014年上海市）一組數：2，1，3，x，7，y，23，…，滿足“從第三個數起，前兩個數依次為a、b，緊隨其后的數就是2a﹣b”，例如這組數中的第三個數“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么這組數中y表示的數為 ﹣9 ．
考點： 規(guī)律型：數字的變化類．
分析： 根據“從第三個數起，前兩個數依次為a、b，緊隨其后的數就是2a﹣b”，首先建立方程2×3﹣x=7，求得x，進一步利用此規(guī)定求得y即可．
解答： 解：∵從第三個數起，前兩個數依次為a、b，緊隨其后的數就是2a﹣b
∴2×3﹣x=7
∴x=﹣1
則7×2﹣y=23
解得y=﹣9．
故答案為：﹣9．
點評： 此題考查數字的.變化規(guī)律，注意利用定義新運算方法列方程解決問題．
18．（4分）（2014年上海市）如圖，已知在矩形ABCD中，點E在邊BC上，BE=2CE，將矩形沿著過點E的直線翻折后，點C、D分別落在邊BC下方的點C′、D′處，且點C′、D′、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點F，D′F與BE交于點G．設AB=t，那么△EFG的周長為 2 t （用含t的代數式表示）．
考點： 翻折變換（折疊問題）．
分析： 根據翻折的性質可得CE=C′E，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷出∠EBC′=30°，然后求出∠BGD′=60°，根據對頂角相等可得∠FGE=∠∠BGD′=60°，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AFG=∠FGE，再求出∠EFG=60°，然后判斷出△EFG是等邊三角形，根據等邊三角形的性質表示出EF，即可得解．
解答： 解：由翻折的性質得，CE=C′E，
∵BE=2CE，
∴BE=2C′E，
又∵∠C′=∠C=90°，
∴∠EBC′=30°，
∵∠FD′C′=∠D=90°，
∴∠BGD′=60°，
∴∠FGE=∠∠BGD′=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AFG=∠FGE=60°，
∴∠EFG= （180°﹣∠AFG）= （180°﹣60°）=60°，
∴△EFG是等邊三角形，
∴AB=t，
∴EF=t÷ = t，
∴△EFG的周長=3× t=2 t．
故答案為：2 t．
點評： 本題考查了翻折變換的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，等邊三角形的判定與性質，熟記性質并判斷出△EFG是等邊三角形是解題的關鍵．
三、解答題（本題共7題，滿分78分）
19．（10分）（2014年上海市）計算： ﹣ ﹣ +| |．
考點： 實數的運算；分數指數冪．
分析： 本題涉及絕對值、二次根式化簡兩個考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果．
解答： 解：原式=2 ﹣ ﹣8 +2﹣
= ．
點評： 本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數值，熟練掌握負整數指數冪、零指數冪、二次根式、絕對值等考點的運算．
20．（10分）（2014年上海市）解方程： ﹣ = ．
考點： 解分式方程．
專題： 計算題．
分析： 分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：（x+1）2﹣2=x﹣1，
整理得：x2+x=0，即x（x+1）=0，
解得：x=0或x=﹣1，
經檢驗x=﹣1是增根，分式方程的解為x=0．
點評： 此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
21．（10分）（2014年上海市）已知水銀體溫計的讀數y（℃）與水銀柱的長度x（cm）之間是一次函數關系．現有一支水銀體溫計，其部分刻度線不清晰（如圖），表中記錄的是該體溫計部分清晰刻度線及其對應水銀柱的長度．
水銀柱的長度x（cm） 4.2 … 8.2 9.8
體溫計的讀數y（℃） 35.0 … 40.0 42.0
�。�1）求y關于x的函數關系式（不需要寫出函數的定義域）；
�。�2）用該體溫計測體溫時，水銀柱的長度為6.2cm，求此時體溫計的讀數．
考點： 一次函數的應用．
分析： （1）設y關于x的函數關系式為y=kx+b，由統(tǒng)計表的數據建立方程組求出其解即可；
�。�2）當x=6.2時，代入（1）的解析式就可以求出y的值．
解答： 解：（1）設y關于x的函數關系式為y=kx+b，由題意，得
，
解得： ，
∴y= x+29.75．
∴y關于x的函數關系式為：y= +29.75；
（2）當x=6.2時，
y= ×6.2+29.75=37.5．
答：此時體溫計的讀數為37.5℃．
點評： 本題考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，由解析式根據自變量的值求函數值的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．
22．（10分）（2014年上海市）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點H、E，AH=2CH．
�。�1）求sinB的值；
�。�2）如果CD= ，求BE的值．
考點： 解直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．
分析： （1）根據∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD，則∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可證明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1： ，即可得出sinB的值；
（2）根據sinB的值，可得出AC：AB=1： ，再由AB=2 ，得AC=2，則CE=1，從而得出BE．
解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
∴由勾股定理得AC= CH，
∴CH：AC=1： ，
∴sinB ；
（2）∵sinB ，
∴AC：AB=1： ，
∵CD= ，
∴AB=2 ，
由勾股定理得AC=2，則CE=1，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴BC=4，
∴BE=BC﹣CE=3．
點評： 本題考查了解直角三角形，以及直角三角形斜邊上的中線，注意性質的應用，難度不大．
23．（12分）（2014年上海市）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC、BD相交于點F，點E是邊BC延長線上一點，且∠CDE=∠ABD．
�。�1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；
�。�2）聯結AE，交BD于點G，求證： = ．
考點： 相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定．
分析： （1）證△△BAD≌≌△CDA，推出∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可；
�。�2）根據平行得出比例式，再根據比例式的性質進行變形，即可得出答案．
解答： 證明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDA，
在△BAD和△CDA中
∴△BAD≌△CDA（SAS），
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠ACD=∠CDE，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形；
�。�2）∵AD∥BC，
∴ = ， = ，
∴ = ，
∵平行四邊形ACED，AD=CE，
∴ = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴ = ．
點評： 本題考查了比例的性質，平行四邊形的判定，平行線的判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較好，難度適中．
24．（12分）（2014年上海市）在平面直角坐標系中（如圖），已知拋物線y= x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣2）．
�。�1）求該拋物線的表達式，并寫出其對稱軸；
（2）點E為該拋物線的對稱軸與x軸的交點，點F在對稱軸上，四邊形ACEF為梯形，求點F的坐標；
�。�3）點D為該拋物線的頂點，設點P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值．
考點： 二次函數綜合題．
分析： （1）根據待定系數法可求拋物線的表達式，進一步得到對稱軸；
�。�2）分兩種情況：當AC∥EF時；當AF∥CE時；兩種情況討論得到點F的坐標；
�。�3）△BDP和△CDP的面積相等，可得DP∥BC，根據待定系數法得到直線BC的解析式，根據兩條平行的直線k值相同可得直線DP的解析式，進一步即可得到t的值．
解答： 解：（1）∵拋物線y= x2+bx+c經過點A（﹣1，0），點C（0，﹣2），
∴ ，
解得 ．
故拋物線的表達式為：y= x2﹣ x﹣2= （x﹣1）2﹣ ，對稱軸為直線x=1；
（2）由（1）可知，點E（1，0），A（﹣1，0），C（0，﹣2），
當AC∥EF時，直線AC的解析式為y=﹣2x﹣2，
∴直線EF的解析式為y=﹣2x+2，
當x=1時，y=0，此時點F與點E重合；
當AF∥CE時，直線CE的解析式為y=2x﹣2，
∴直線AF的解析式為y=2x+2，
當x=1時，y=4，此時點F的坐標為（1，4）．
綜上所述，點P的坐標為（1，4）；
�。�3）點B（3，0），點D（1，﹣ ），
若△BDP和△CDP的面積相等，
則直線BC的解析式為y= x﹣2，
∴直線DP的解析式為y= x﹣ ，
當y=0時，x=5，
∴t=5．
點評： 考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：待定系數法求拋物線的表達式，待定系數法求直線的解析式，兩條平行的直線之間的關系，三角形面積，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．
25．（14分）（2014年上海市）如圖1，已知在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB= ，點P是邊BC上的動點，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點E、F（點F在點E的右側），射線CE與射線BA交于點G．
�。�1）當圓C經過點A時，求CP的長；
�。�2）聯結AP，當AP∥CG時，求弦EF的長；
�。�3）當△AGE是等腰三角形時，求圓C的半徑長．
考點： 圓的綜合題．
分析： （1）當點A在⊙C上時，點E和點A重合，過點A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出AC進而得出答案；
�。�2）首先得出四邊形APCE是菱形，進而得出CM的長，進而利用銳角三角函數關系得出CP以及EF的長；
�。�3）當∠AEG=∠B時，A、E、G重合，只能∠AGE=∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，進而求出即可．
解答： 解：（1）如圖1，設⊙O的半徑為r，
當點A在⊙C上時，點E和點A重合，過點A作AH⊥BC于H，
∴BH=ABcosB=4，
∴AH=3，CH=4，
∴AC= =5，X
∴此時CP=r=5；
�。�2）如圖2，若AP∥CE，APCE為平行四邊形，
∵CE=CP，
∴四邊形APCE是菱形，
連接AC、EP，則AC⊥EP，
∴AM=CM= ，
由（1）知，AB=AC，則∠ACB=∠B，
∴CP=CE= = ，
∴EF=2 = ；
�。�3）如圖3：過點C作CN⊥AD于點N，
∵cosB= ，
∴∠B＜45°，
∵∠BCG＜90°，
∴∠BGC＞45°，
∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B，
∴當∠AEG=∠B時，A、E、G重合，
∴只能∠AGE=∠AEG，
∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴ = ，即 = ，
解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，
點評： 此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及勾股定理以及銳角三角函數關系等知識，利用分類討論得出△AGE是等腰三角形時只能∠AGE=∠AEG進而求出是解題關鍵．
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