試論數(shù)學(xué)思想方法研究意義
【編者按】數(shù)學(xué)同其它各門學(xué)科一樣，在其發(fā)展的過(guò)程中，形成了一系列適合于自身特點(diǎn)的思想方法。這些思想方法不斷為人們所掌握和運(yùn)用，并創(chuàng)造出一個(gè)又一個(gè)成果。過(guò)去對(duì)數(shù)學(xué)成果本身的收集、分析與說(shuō)明較為重視，發(fā)表了許多論著，這是有益的。但是，由于種種原因，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考察與研究卻有所忽略。而正因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)思想方法缺乏應(yīng)有的重視，所以，在一定程度上影響了數(shù)學(xué)成果的取得和數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)。因此，把數(shù)學(xué)思想方法作為一個(gè)獨(dú)立領(lǐng)域加以研究，從方法論的高度，探討其對(duì)象、內(nèi)容、功能以及孕育、形成與發(fā)展的規(guī)律，無(wú)疑對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展與哲學(xué)的研究，都是有重要意義的。
從數(shù)學(xué)發(fā)展史上看，長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們對(duì)自己所從事研究領(lǐng)域的思想方法是重視的，并有許多發(fā)明和創(chuàng)造。但是，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法本身尤其是把它作為一個(gè)獨(dú)立的領(lǐng)域或?qū)W問(wèn)來(lái)進(jìn)行研究，卻是很不夠的。究其原因，主要是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法研究的意義缺乏應(yīng)有的認(rèn)識(shí)，那么，研究數(shù)學(xué)思想方法到底有何意義呢?
一、有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力與改革數(shù)學(xué)教育
我們知道，數(shù)學(xué)教育的根本目的在于培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，即運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題和進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造的本領(lǐng)，而這種能力和本領(lǐng)，不僅表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶，而且更主要地反映在數(shù)學(xué)思想方法的素養(yǎng)。事實(shí)上，我們說(shuō)一個(gè)人數(shù)學(xué)能力強(qiáng)，有數(shù)學(xué)才能，并不簡(jiǎn)單指他記憶了多少數(shù)學(xué)知識(shí)，而主要是說(shuō)他運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問(wèn)題和創(chuàng)造數(shù)學(xué)理論的本領(lǐng)。伽羅華之所以創(chuàng)立群論，羅巴切夫斯基之所以創(chuàng)立非歐幾何，維納之所以創(chuàng)立控制論，不僅僅在于數(shù)學(xué)知識(shí)的積累與記憶，而主要是由于他們?cè)跀?shù)學(xué)思想方法上實(shí)行了革命性的變革所致。對(duì)一個(gè)科技工作者來(lái)說(shuō)，需要記憶的數(shù)學(xué)知識(shí)可多可少，但掌握數(shù)學(xué)思想方法則是絕對(duì)必要的，因?yàn)楹笳呤莿?chuàng)造的源泉，發(fā)展的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)能力的集中體現(xiàn)。在過(guò)去的數(shù)學(xué)教育中，正是因?yàn)檫^(guò)于重視知識(shí)的傳授和背誦，而忽略思想方法的講解和分析，加之傳統(tǒng)的考試制度，所以出現(xiàn)了“高分低能”的現(xiàn)象。要想改變這種狀況，就要狠抓數(shù)學(xué)思想方法的研究與教學(xué)，并把它作為數(shù)學(xué)教育改革的重要內(nèi)容，堅(jiān)持下去，取得成效。
二、有利于充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的功能
數(shù)學(xué)功能的發(fā)揮，同數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)一樣，關(guān)鍵不在于知識(shí)的積累與傳遞，而在于思想方法的領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用以及創(chuàng)造新的思想方法上面。實(shí)踐越來(lái)越證明，數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域、社會(huì)科學(xué)各部門以及生產(chǎn)、生活的各行各業(yè)，都有廣泛的應(yīng)用。這是因?yàn)椋魏问挛锒际橇颗c質(zhì)的統(tǒng)一體，要想真正的認(rèn)識(shí)某一事物，不僅要把握其質(zhì)的規(guī)定性，而且還要了解其量的規(guī)定性，因此，數(shù)學(xué)能夠應(yīng)用于各種物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)。馬克思曾指出：一門科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到了能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算真正發(fā)展了。那么怎樣在各方面更加廣泛地應(yīng)用數(shù)學(xué)呢?我們認(rèn)為，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教育，特別是加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教育，是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)的科學(xué)功能的發(fā)揮，主要是靠數(shù)學(xué)思想方法向科學(xué)各領(lǐng)域的滲透與移植，把數(shù)學(xué)作為一種工具加以運(yùn)用，從而促進(jìn)其發(fā)展。當(dāng)代科學(xué)數(shù)學(xué)化的趨勢(shì)明顯地反映出這一點(diǎn)。數(shù)學(xué)的`思維功能的發(fā)揮也是如此。我們說(shuō)數(shù)學(xué)是一種思維工具，實(shí)質(zhì)上就是指它的思想方法。為什么往往通過(guò)數(shù)學(xué)的考核來(lái)判定一個(gè)兒童的思維能力與智力水平呢?其根據(jù)也在這里。至于數(shù)學(xué)的社會(huì)功能的發(fā)揮，同樣還是靠數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。我們說(shuō)某人辦事有數(shù)學(xué)頭腦，無(wú)非是說(shuō)他能靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。歐拉作為一位數(shù)學(xué)家，之所以不僅在代數(shù)、數(shù)論、微積分等數(shù)學(xué)分支研究上取得了突出成果，而且還在力學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)、航海、造船、建筑等許多非數(shù)學(xué)領(lǐng)域與部門做出重大貢獻(xiàn)，集中到一點(diǎn)就是他具有深刻的數(shù)學(xué)思想和非凡的運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的才能。這也是他之所以能成為數(shù)學(xué)史上著名應(yīng)用數(shù)學(xué)大師的根本原因所在。
三、有利于深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)與全面把握數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律
在數(shù)學(xué)思想方法的研究中，我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容辯證性質(zhì)的探討，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。馬克思和恩格斯在自己的著作中，都對(duì)微積分內(nèi)容的辯證性質(zhì)作過(guò)精辟的分析，并從而概括其本質(zhì)。馬克思在《數(shù)學(xué)手稿》中，著重對(duì)導(dǎo)函數(shù)概念作了探討。他認(rèn)為，導(dǎo)函數(shù)生成的過(guò)程就是原函數(shù)經(jīng)歷了“否定之否定”的發(fā)展過(guò)程，并深刻指出：“理解微積分運(yùn)算時(shí)的全部困難（正像理解否定的否定本身時(shí)那樣），恰恰在于要看到微積分運(yùn)算是怎樣區(qū)別于這樣簡(jiǎn)單手續(xù)并因此導(dǎo)出實(shí)際結(jié)果的。”恩格斯在談到微積分的本質(zhì)時(shí)，也曾經(jīng)明確指出：“變數(shù)的數(shù)學(xué)-其中最重要的部分是微積分-本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用”。事實(shí)上，微積分中所運(yùn)用的思想方法，實(shí)質(zhì)上就是辯證法。就拿微積分中最基本的牛頓-萊布尼茨公式來(lái)說(shuō)，就是通過(guò)常量與變量的相互轉(zhuǎn)化而推得的。本來(lái)作為曲邊梯形面積的定積分是一個(gè)確定的常量，但為了推導(dǎo)牛頓-萊布尼茨公式，卻特地把此定積分看作是上限函數(shù)，即把常量轉(zhuǎn)化為變量。然后，在證明一個(gè)定理成立的基礎(chǔ)上，又反過(guò)來(lái)把變量轉(zhuǎn)化為常量，最終得到了這一公式。因此，我們可以說(shuō)，牛頓-萊布厄茨公式就是常量與變量辯證統(tǒng)一的結(jié)果。
關(guān)于通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的研究，可更加全面把握數(shù)學(xué)規(guī)律的問(wèn)題，前面已經(jīng)講過(guò)，它可從數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾運(yùn)動(dòng)這個(gè)側(cè)面來(lái)發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)規(guī)律，以彌補(bǔ)過(guò)去只注重從外面研究的不足。比如，在關(guān)于數(shù)學(xué)潛形態(tài)的研究中，一方面可以提高對(duì)數(shù)學(xué)新思想萌發(fā)和形成規(guī)律的認(rèn)識(shí)，另一方面，還可以加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)由“潛”到“顯”轉(zhuǎn)化機(jī)制的掌握。研究表明：對(duì)新事實(shí)的解釋、對(duì)理論體系自身矛盾的研究、對(duì)個(gè)體結(jié)論的推廣等，均是科學(xué)新思想產(chǎn)生的有效途徑;樹(shù)立科學(xué)成效觀、積極開(kāi)展自由論爭(zhēng)、大力倡導(dǎo)科學(xué)伯樂(lè)精神、實(shí)行科學(xué)的組織管理等，都是加速科學(xué)由“潛”到“顯”轉(zhuǎn)化的重要機(jī)制。這對(duì)深入探討數(shù)學(xué)由“潛”到“顯”轉(zhuǎn)化的規(guī)律，顯然具有啟示意義和參考價(jià)值。
總之，數(shù)學(xué)思想方法的研究，具有十分重要而深遠(yuǎn)的意義。我們相信，數(shù)學(xué)思想方法作為一個(gè)獨(dú)立的研究領(lǐng)域，必將不斷取得新的研究成果，為數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、教育科學(xué)與哲學(xué)的發(fā)展，做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。
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