重大突破思想方法常量變量學(xué)到數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)思想方法的重大突破 從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)
文章摘要：17世紀(jì)對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展具有重大意義的事件，除了解析幾何開辟了幾何代數(shù)化這一新的方向外，還有微積分的創(chuàng)立使常量數(shù)學(xué)過(guò)渡到變量數(shù)學(xué)。從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)思想方法的又一次重大突破。
【編者按】數(shù)學(xué)的發(fā)展并不是一些新概念、新命題、新方法的簡(jiǎn)單積累，它包含著數(shù)學(xué)本身許多根本的變化，也即質(zhì)的飛躍。歷史上發(fā)生的數(shù)學(xué)思想方法的幾次重大突破，就充分說(shuō)明了這一點(diǎn)。
17世紀(jì)對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展具有重大意義的事件，除了解析幾何開辟了幾何代數(shù)化這一新的方向外，還有微積分的創(chuàng)立使常量數(shù)學(xué)過(guò)渡到變量數(shù)學(xué)。從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)思想方法的又一次重大突破。
一、變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的歷史背景
變量數(shù)學(xué)是相對(duì)常量數(shù)學(xué)而言的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。常量數(shù)學(xué)的對(duì)象主要是固定不變的圖形和數(shù)量，它包括算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何和三角等分支學(xué)科。常量數(shù)學(xué)是描述靜態(tài)事物的有力工具，可是，對(duì)于描述事物的運(yùn)動(dòng)和變化卻是無(wú)能為力的。因此，從常量數(shù)學(xué)發(fā)展到變量數(shù)學(xué)，就成為歷史的必然了。
變量數(shù)學(xué)之所以產(chǎn)生于17世紀(jì)，是有其特定的歷史背景的。
從自然科學(xué)的發(fā)展來(lái)看，變量數(shù)學(xué)是在回答16、17世紀(jì)自然科學(xué)提出的大量數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，醞釀和創(chuàng)立起來(lái)的。我們知道，隨著歐洲封建社會(huì)的解體和資本主義工廠手工業(yè)向機(jī)器大生產(chǎn)的過(guò)渡，自然科學(xué)開始從神學(xué)的桎梏下解放出來(lái)，大踏步地前進(jìn)。這時(shí)，社會(huì)生產(chǎn)和自然科學(xué)向數(shù)學(xué)提出了一系列與運(yùn)動(dòng)變化有關(guān)的新問(wèn)題。這些新問(wèn)題，大體可以分為以下五種類型。
第一類問(wèn)題是描述非勻速運(yùn)動(dòng)物體的軌跡。如行星繞日運(yùn)動(dòng)的軌跡、各種拋射物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。
第二類問(wèn)題是求變速運(yùn)動(dòng)物體的速度、加速度和路程。如已知變速運(yùn)動(dòng)物體在某段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度，或反過(guò)來(lái)由速度求路程。
第三類問(wèn)題是求曲線在任一點(diǎn)的切線。如光線在曲面上的反射角問(wèn)題，運(yùn)動(dòng)物體在其軌跡上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向問(wèn)題。
第四類問(wèn)題是求變量的極值。如斜拋物體的最大水平距離問(wèn)題，行星繞日運(yùn)動(dòng)的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)問(wèn)題。
第五類問(wèn)題是計(jì)算曲線長(zhǎng)度、曲邊形面積、曲面體體積、物體的重心以及大質(zhì)量物體之間的引力等。
上述各類問(wèn)題盡管內(nèi)容和提法不同，但從思想方法上看，它們有一個(gè)共同的特征，就是要求研究變量及其相互關(guān)系。這是16、17世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的中心課題，正是對(duì)這個(gè)中心課題的深入研究，最終導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。
從數(shù)學(xué)的發(fā)展來(lái)看，變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論-微積分，早在微積分誕生之前的二千多年，就已經(jīng)有了它的思想萌芽。
公元前5世紀(jì)，希臘學(xué)者德漠克利特為解決不可公度問(wèn)題，創(chuàng)立起數(shù)學(xué)的原子論。它的基本思想是：直線可分為若干小線段，小線段又可再分更小的線段，直至成為點(diǎn)而不可再分，故稱點(diǎn)為直線的數(shù)學(xué)原子即不可分量。平面圖形同樣可以如此分下去，使得線段成為平面圖形的數(shù)學(xué)原子。利用數(shù)學(xué)原子概念，德漠克利特求得錐體的體積等于等底等高圓柱的1/3.
公元前4世紀(jì)，希臘學(xué)者歐道克斯在前人工作的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了求曲邊形面積和曲面體體積的一般方法-窮竭法。運(yùn)用此法，他成功地證明了“圓面積與直徑的平方成正比例”和“球體積與其直徑的立方成比例”等命題。
微積分的早期先驅(qū)者主要是阿基米德，他繼承和發(fā)展了窮竭法，并應(yīng)用這一方法解決了諸如拋物線弓形等許多復(fù)雜的曲邊形面積。繼阿基米德之后，微積分的思想方法逐漸成熟起來(lái)，其中作出重大貢獻(xiàn)的有開普勒、伽利略、卡瓦列利、華利斯、笛卡兒、費(fèi)爾馬和巴羅等人。巴羅甚至接觸到了微積分的基本原理-微分和積分的互逆關(guān)系。
總之，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生不僅有其特定的生產(chǎn)和自然科學(xué)背景，而且也是數(shù)學(xué)自身矛盾運(yùn)動(dòng)的必然結(jié)果。它是經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間的醞釀，在16、17世紀(jì)生產(chǎn)和自然科學(xué)需要的刺激下，經(jīng)過(guò)許多人的努力而準(zhǔn)備好由“潛”到“顯”過(guò)渡的條件的。
二、變量數(shù)學(xué)的創(chuàng)始及其意義
變量數(shù)學(xué)由“潛”到“顯”的過(guò)渡經(jīng)歷了兩個(gè)具有決定性的重大步驟：一是解析幾何的產(chǎn)生，二是微積分的創(chuàng)立。前者為變量數(shù)學(xué)的創(chuàng)始提供了直接的前提，后者是變量數(shù)學(xué)創(chuàng)始的主要標(biāo)志。
微積分的主要?jiǎng)?chuàng)始人是牛頓和萊布尼茨。他們最大的功績(jī)是明確地提出了微分法和積分法，并把兩者有機(jī)結(jié)合起來(lái)，建立了微積分的基本原理（牛頓-萊布尼茨公式）。
牛頓主要是從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)研究和建立微積分的。他的微積分思想最早出現(xiàn)在1665年5月20日的一頁(yè)文件中，這一天可做為微積分誕生的日子。他稱連續(xù)的變量為“流動(dòng)量”，用符號(hào)x、y、z等字母表示，稱它們的導(dǎo)數(shù)為“流數(shù)”，用加小點(diǎn)的字母來(lái)表示，如x、y、z等，稱微分為“瞬”。
萊布尼茨是從幾何學(xué)的角度創(chuàng)立微積分的。他的微積分思想最先出現(xiàn)在1675年的手稿之中，他所發(fā)明的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，對(duì)微積分后來(lái)的發(fā)展有重大的影響�，F(xiàn)今通用的符號(hào)dx、dy、∫等，就是萊布尼茨當(dāng)年精心選擇和創(chuàng)設(shè)的。
繼牛頓和萊布尼茨之后，18世紀(jì)對(duì)微積分的創(chuàng)立和發(fā)展作出卓越貢獻(xiàn)的有歐拉、伯努利家族、泰勒、馬克勞林、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人。17、18世紀(jì)的數(shù)學(xué)，幾乎讓微積分占據(jù)了主導(dǎo)地位，絕大部分的數(shù)學(xué)家都被這一新興的學(xué)科所吸引，可見(jiàn)微積分產(chǎn)生意義之重大。
變量數(shù)學(xué)創(chuàng)始的兩個(gè)決定性步驟都是在17世紀(jì)完成的，因此17世紀(jì)也就成了常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變的時(shí)期。變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，是數(shù)學(xué)史乃至整個(gè)科學(xué)史的一件大事。它來(lái)自于生產(chǎn)技術(shù)、自然科學(xué)發(fā)展的需要以及數(shù)學(xué)自身的矛盾運(yùn)動(dòng)，又回過(guò)頭來(lái)對(duì)生產(chǎn)技術(shù)、自然科學(xué)以及數(shù)學(xué)自身的發(fā)展產(chǎn)生巨大而深遠(yuǎn)的影響。
首先，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，為自然科學(xué)描述現(xiàn)實(shí)世界的各種運(yùn)動(dòng)和變化提供了有效的工具。我們知道，在現(xiàn)實(shí)世界中，“靜”和“不變”總是暫時(shí)的、相對(duì)的，“動(dòng)”和“變”則是永恒的、絕對(duì)的�！罢麄�(gè)自然界，從最小的東西到最大的東西，從沙粒到太陽(yáng)，從原生生物到人，都處于永恒的產(chǎn)生和消滅中，處于不斷的流動(dòng)中，處于無(wú)休止的運(yùn)動(dòng)和變化中�！笨梢�(jiàn)，自然科學(xué)的對(duì)象是運(yùn)動(dòng)變化著的物質(zhì)世界，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，為自然科學(xué)精確地描述物質(zhì)世界的運(yùn)動(dòng)、變化規(guī)律提供了不可缺少的工具。變量數(shù)學(xué)對(duì)于現(xiàn)代生產(chǎn)技術(shù)、自然科學(xué)的發(fā)展，就像望遠(yuǎn)鏡對(duì)于天文學(xué)、顯微鏡對(duì)于生物學(xué)的發(fā)展一樣重要。假設(shè)沒(méi)有變量數(shù)學(xué)，現(xiàn)代物質(zhì)文明建設(shè)將是不可想象的事。
其次，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，帶來(lái)了數(shù)學(xué)自身的巨大進(jìn)步。變量數(shù)學(xué)是從常量數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)上出現(xiàn)的，它的產(chǎn)生又反過(guò)來(lái)深深影響了常量數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是常量數(shù)學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科由于變量數(shù)學(xué)的滲透而在內(nèi)容上得到極大的豐富，在思想方法上發(fā)生一連串深刻的變革，并由此產(chǎn)生出許多新的分支學(xué)科。解析數(shù)論和微分幾何等分支學(xué)科，就是變量數(shù)學(xué)的思想方法向傳統(tǒng)數(shù)論和傳統(tǒng)幾何滲透的產(chǎn)物。就變量數(shù)學(xué)本身而言，由于它在生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，所以它一產(chǎn)生出來(lái)就得到蓬勃而迅速的發(fā)展，并由此相繼派生出許多新的分支學(xué)科，逐漸形成一個(gè)龐大的體系，如級(jí)數(shù)論、常微分方程論、偏微分方程論、差分學(xué)、復(fù)變函數(shù)論、實(shí)變函數(shù)論、積分方程、泛函分析等。總之，變量數(shù)學(xué)無(wú)論從內(nèi)容、思想方法上，還是從應(yīng)用的范圍上，很快就在整個(gè)數(shù)學(xué)中占據(jù)了主導(dǎo)地位，長(zhǎng)時(shí)期以來(lái)一直規(guī)定和影響著近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的方向。
此外，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生還有著深遠(yuǎn)的哲學(xué)意義。眾所周知，變量數(shù)學(xué)的許多基本概念，諸如變量、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分，以及微分法和積分法，從哲學(xué)上看，不外是辯證法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，而且是辯證法在數(shù)學(xué)中取得的一次根本性勝利。正因?yàn)槿绱耍锩鼘?dǎo)師馬克思和恩格斯十分重視微積分概念和運(yùn)算的歷史演變，并對(duì)其進(jìn)行了深刻而精辟的哲學(xué)分析。馬克思在他的《數(shù)學(xué)手稿》中，運(yùn)用唯物辯證法的基本觀點(diǎn)，詳細(xì)考察了微積分思想的歷史演變過(guò)程，深刻揭示了微分概念和運(yùn)算的辯證實(shí)質(zhì)，還總結(jié)分析了不同學(xué)術(shù)觀點(diǎn)的論爭(zhēng)對(duì)于微分學(xué)發(fā)展的積極作用。恩格斯在他的《自然辯證法》一書中，闡述了微積分產(chǎn)生的重大意義，指出“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了�！彼�針對(duì)微積分概念的“神秘性”，給出了微積分概念直觀的現(xiàn)實(shí)原型，指出“自然界運(yùn)用這些微分即分子時(shí)所使用的方式和所依據(jù)的規(guī)律，完全和數(shù)學(xué)運(yùn)用其抽象的微分時(shí)的方式和規(guī)律相同�！庇纱丝梢�(jiàn)，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生使數(shù)學(xué)更加成為“辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式”，又一次為辯證法的普適性從數(shù)學(xué)上提供了生動(dòng)而有力的例證。
數(shù)學(xué)思想方法的重大突破 從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)
文章摘要：在現(xiàn)實(shí)世界中存在著兩類性質(zhì)截然不同的現(xiàn)象：一類是必然現(xiàn)象，另一類是或然現(xiàn)象。描述和研究必然現(xiàn)象的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)部分，稱為必然數(shù)學(xué)；描述和研究或然現(xiàn)象的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)部分，稱為或然數(shù)學(xué)。從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)研究對(duì)象的一次顯著擴(kuò)張，也是數(shù)學(xué)思想方法的又一次重大突破�！�
【編者按】數(shù)學(xué)的發(fā)展并不是一些新概念、新命題、新方法的簡(jiǎn)單積累，它包含著數(shù)學(xué)本身許多根本的變化，也即質(zhì)的飛躍。歷史上發(fā)生的數(shù)學(xué)思想方法的幾次重大突破，就充分說(shuō)明了這一點(diǎn)。
在現(xiàn)實(shí)世界中存在著兩類性質(zhì)截然不同的現(xiàn)象：一類是必然現(xiàn)象，另一類是或然現(xiàn)象。描述和研究必然現(xiàn)象的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)部分，稱為必然數(shù)學(xué)；描述和研究或然現(xiàn)象的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)部分，稱為或然數(shù)學(xué)。從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)研究對(duì)象的一次顯著擴(kuò)張，也是數(shù)學(xué)思想方法的又一次重大突破。
一、或然數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)
或然數(shù)學(xué)的對(duì)象是或然現(xiàn)象。所謂或然現(xiàn)象，是指這樣的一類現(xiàn)象：它在一定條件下可能會(huì)引起某種結(jié)果，也可能不引起這種結(jié)果。也就是說(shuō)，在或然現(xiàn)象中，條件和結(jié)果之間不存在必然性的聯(lián)系。例如，投擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面。
與或然現(xiàn)象不同，在必然現(xiàn)象中，只要條件具備，某種結(jié)果就一定會(huì)發(fā)生，即條件和結(jié)果之間存在著必然性聯(lián)系。因此，對(duì)于必然現(xiàn)象，可由條件預(yù)知結(jié)果如何。這一點(diǎn)正是必然數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。例如，當(dāng)我們用微分方程來(lái)定量描述某些必然現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)和變化過(guò)程時(shí)，只要建立起相應(yīng)的微分方程式，并給定問(wèn)題的初始條件，就可以通過(guò)求解微分方程預(yù)知未來(lái)某時(shí)刻這種現(xiàn)象的狀態(tài)。19世紀(jì)英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯借助微分方程預(yù)言海王星的存在及其在天空中的位置，就是典型的一例。
由于或然現(xiàn)象的條件和結(jié)果之間不存在必然性的聯(lián)系，因此無(wú)法用必然數(shù)學(xué)來(lái)加以精確的定量描述。例如，投擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，要想預(yù)先準(zhǔn)確計(jì)算出它一定會(huì)出現(xiàn)正面或一定會(huì)出現(xiàn)反面，是不可能的。但是，這并不意味著或然現(xiàn)象不存在著數(shù)量規(guī)律，也不意味著不能從量上來(lái)描述和研究或然現(xiàn)象的規(guī)律。
從表面上看，或然現(xiàn)象是雜亂無(wú)章的，無(wú)任何規(guī)律可談，但如果仔細(xì)考察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)同類的或然現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，它在總體上將會(huì)呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。
例如，一個(gè)充有有量氣體分子的容器，就單個(gè)分子而言，它的運(yùn)動(dòng)速度和方向帶有明顯的或然性，每個(gè)分子對(duì)器壁的壓力大小也具有或然性，因而難以對(duì)“速度”、“壓力”作以定量分析。然而，實(shí)踐卻表明，就全體分子對(duì)器壁的壓力而言，器壁所受的總壓力卻是一個(gè)確定的值，即大量氣體分子的運(yùn)動(dòng)在總體上呈現(xiàn)出一種規(guī)律性。同樣，當(dāng)多次重復(fù)地投擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣時(shí)，將會(huì)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)正面的次數(shù)與總投擲次數(shù)之比總是在1/2左右擺，而且隨著投擲次數(shù)的增加，這個(gè)比越來(lái)越接近1/2.
大量同類或然現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來(lái)的集體規(guī)律性，叫做統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的存在，就是或然數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。
統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是基于大量或然現(xiàn)象而言的。這里的“大量”包含兩層意思：其一是某一或然現(xiàn)象在相同的條件下多次甚至無(wú)限地重復(fù)出現(xiàn)，如多次投擲硬幣，連續(xù)發(fā)射炮彈，連日觀測(cè)氣溫等。其二是眾多的同類或然現(xiàn)象同時(shí)發(fā)生，如容器內(nèi)的氣體分子，電子束中的電子，小麥的催芽試驗(yàn)等。
由于統(tǒng)計(jì)規(guī)律是一種宏觀性的、總體性的規(guī)律，不同于單個(gè)事物或現(xiàn)象表現(xiàn)出那種“微觀性”的規(guī)律，因此或然數(shù)學(xué)在研究方法上有其自身的特殊性。統(tǒng)計(jì)方法就是它的一種基本研究方法。統(tǒng)計(jì)方法的基本思想是：從一組樣本分析、判斷整個(gè)對(duì)象系統(tǒng)的性質(zhì)和特征。統(tǒng)計(jì)方法的邏輯依據(jù)是“由局部到整體”、“由特殊到一般”，是歸納推理在數(shù)學(xué)上的一種具體應(yīng)用。
二、或然數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展
概率論是或然數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)理論，也是歷史上最先出現(xiàn)的或然數(shù)學(xué)的分支學(xué)科。它的創(chuàng)立可作為或然數(shù)學(xué)產(chǎn)生的標(biāo)志。
概率論創(chuàng)立于17世紀(jì)，但它的思想萌芽至少可追溯到16世紀(jì)。在自然界和社會(huì)生活中存在著各種各類的或然現(xiàn)象，但最先引起數(shù)學(xué)家們注意的則是中的問(wèn)題。16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)曾計(jì)算過(guò)擲兩顆或三顆骰子時(shí)，在所有可能方法中有多少種方法能得到某一預(yù)想的總點(diǎn)數(shù)。他的研究成果集中體現(xiàn)在他的《論》一書中。由于中的概率問(wèn)題最為典型，因此，從這類問(wèn)題著手研究或然現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，便成為當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要課題。
促使概率論產(chǎn)生的直接動(dòng)力是社會(huì)保險(xiǎn)事業(yè)的需要。17世紀(jì)資本主義工業(yè)與商業(yè)的興起和發(fā)展，使社會(huì)保險(xiǎn)事業(yè)應(yīng)運(yùn)而生。這就刺激了數(shù)學(xué)家們對(duì)概率問(wèn)題研究的興趣，因?yàn)楸ｋU(xiǎn)公司需要計(jì)算各種意外事件發(fā)生的概率，如火災(zāi)、水災(zāi)和死亡等。由于概率論的思想與方法在保險(xiǎn)理論、人口統(tǒng)計(jì)、射擊理論、財(cái)政預(yù)算、產(chǎn)品檢驗(yàn)以及醫(yī)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，因此，它很快就成為許多數(shù)學(xué)家認(rèn)真探討的一個(gè)研究領(lǐng)域。作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科，它是經(jīng)17世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家之手創(chuàng)立起來(lái)的。其中作出突出貢獻(xiàn)的有帕斯卡、費(fèi)爾馬、惠更斯和雅各·伯努利等人。
概率論的許多重要定理是在18世紀(jì)提出和建立起來(lái)的。例如，棣美佛在他的《機(jī)會(huì)的學(xué)問(wèn)》一書中，提出了著名的“棣美佛—拉普拉斯中心極限定理”的一種特殊情況。拉普拉斯提出了這一定理的一般情況，他撰寫的兩部著作《分析概率論》和《概率的哲學(xué)探討》，具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。蒲豐在其《或然算術(shù)試驗(yàn)》一書中，提出了有名的“蒲豐問(wèn)題”，對(duì)這一問(wèn)題的研究，后來(lái)導(dǎo)致了著名的蒙特卡洛方法的產(chǎn)生。高斯和泊松也對(duì)概率論作出了重要貢獻(xiàn)，高斯奠定了最小二乘法和誤差理論的基礎(chǔ)，泊松提出了一種重要的概率分布—泊松分布。
從19世紀(jì)末開始，隨著生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的概率問(wèn)題的大量出現(xiàn)，概率論得到迅速發(fā)展，并不斷地派生出一系列新的分支理論。俄國(guó)的馬爾科夫創(chuàng)立的馬爾科夫過(guò)程論，在原子物理、理論物理、化學(xué)和公共事業(yè)等方面有著廣泛的應(yīng)用。此外，還有平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程論、隨機(jī)微分方程論、多元分析、試驗(yàn)分析、概率邏輯、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)生物學(xué)、統(tǒng)計(jì)醫(yī)學(xué)等等。目前，或然數(shù)學(xué)已成為具有眾多分支的龐大數(shù)學(xué)部門，它仍處在發(fā)展之中，它的理論和方法在科學(xué)技術(shù)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、國(guó)防和國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門日益得到更加廣泛的應(yīng)用。
數(shù)學(xué)思想方法的重大突破 從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)
文章摘要：20世紀(jì)60年代，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)領(lǐng)域又產(chǎn)生出了一支新秀-模糊數(shù)學(xué)。模糊數(shù)學(xué)無(wú)論在研究對(duì)象還是在思想方法上，都與已有的數(shù)學(xué)有著質(zhì)的不同。它的產(chǎn)生不僅極大地拓展了數(shù)學(xué)的研究范圍，而且?guī)?lái)了數(shù)學(xué)思想方法的一次重大突破�！�
【編者按】數(shù)學(xué)的發(fā)展并不是一些新概念、新命題、新方法的簡(jiǎn)單積累，它包含著數(shù)學(xué)本身許多根本的變化，也即質(zhì)的飛躍。歷史上發(fā)生的數(shù)學(xué)思想方法的幾次重大突破，就充分說(shuō)明了這一點(diǎn)。
20世紀(jì)60年代，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)領(lǐng)域又產(chǎn)生出了一支新秀-模糊數(shù)學(xué)。模糊數(shù)學(xué)無(wú)論在研究對(duì)象還是在思想方法上，都與已有的數(shù)學(xué)有著質(zhì)的不同。它的產(chǎn)生不僅極大地拓展了數(shù)學(xué)的研究范圍，而且?guī)?lái)了數(shù)學(xué)思想方法的一次重大突破。
一、模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景
模糊數(shù)學(xué)是在特定的歷史背景中產(chǎn)生的，它是數(shù)學(xué)適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)需要的產(chǎn)物。
首先，現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量模糊的量，對(duì)這類量的描述和研究需要一種新的數(shù)學(xué)工具。我們知道，現(xiàn)實(shí)世界中的量是多種多樣的，如果按著界限是否分明，可把這無(wú)限多樣的量分為兩類：一類是明晰的，另一類是模糊的。實(shí)踐表明，在自然界、生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)以及生活中，模糊的量是普遍存在的。例如“高壓”、“低溫”、“偏上”、“適度”、“附近”、“美麗”、“溫和”、“老年”、“健康”等等。這些概念作為現(xiàn)實(shí)世界事物和現(xiàn)象的狀態(tài)反映，在量上是沒(méi)有明晰界限的。
模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生之前的數(shù)學(xué)，只能精確地描述和研究那些界限分明的量，即明晰的量，把它們用于描述和研究模糊的量就失效了。對(duì)那些模糊的量，只有用一種“模糊”的方法去描述和處理，才能使結(jié)果符合實(shí)際。因此，隨著社會(huì)實(shí)踐的深化和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)“模糊”數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究也就成為十分必要的了。
其次，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展為模糊數(shù)學(xué)的誕生準(zhǔn)備了搖籃。自本世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以來(lái)，電子計(jì)算機(jī)在生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛。電子計(jì)算機(jī)發(fā)展的一個(gè)重要方向是模擬人腦的思維，以便能處理生物系統(tǒng)、航天系統(tǒng)以及各種復(fù)雜的社會(huì)系統(tǒng)。而人腦本身就是一種極其復(fù)雜的系統(tǒng)。人腦中的思維活動(dòng)之所以具有高度的靈活性，能夠應(yīng)付復(fù)雜多變的環(huán)境，一個(gè)重要原因是邏輯思維和非邏輯思維同時(shí)在起作用。一般說(shuō)來(lái)，邏輯思維活動(dòng)可用明晰數(shù)學(xué)來(lái)描述和刻畫，而非邏輯思維活動(dòng)卻具有很大的模糊性，無(wú)法用明晰數(shù)學(xué)來(lái)描述和刻劃。因此，以二值邏輯為理論基礎(chǔ)的電子計(jì)算機(jī)，也就無(wú)法真實(shí)地模擬人腦的思維活動(dòng)，自然也就不具備人腦處理復(fù)雜問(wèn)題的能力。這對(duì)電子計(jì)算機(jī)特別是人工智能的發(fā)展，無(wú)疑是一個(gè)極大的障礙。為了把人的自然語(yǔ)言算法化并編入程序，讓電子計(jì)算機(jī)能夠描述和處理那些具有模糊量的事物，從而完成更為復(fù)雜的工作，就必須建立起一種能夠描述和處理模糊的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)理論。這就是模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的直接背景。
模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)立者是美國(guó)加利福尼亞大學(xué)的札德教授。為了改進(jìn)和提高電子計(jì)算機(jī)的功能，他認(rèn)真研究了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)-集合論。他認(rèn)為，要想從根本上解決電子計(jì)算機(jī)發(fā)展與數(shù)學(xué)工具局限性的矛盾，必須建立起一種新的集合理論。1965年，他發(fā)表了題為《模糊集合》的論文，由此開拓出了模糊數(shù)學(xué)這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。
二、模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)
明晰數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)是普通集合論，模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)則是模糊集合論。札德也正是從模糊集合論著手，建立起模糊數(shù)學(xué)的。
模糊集合論與普通集合論的根本區(qū)別，在于兩者賴以存在的基本概念-集合的意義不同。普通集合論的基本概念是普通集合即明晰集合。對(duì)于這種集合，一個(gè)事物與它有著明確的隸屬關(guān)系，要么屬于這個(gè)集合，要么不屬于這個(gè)集合，兩者必居其一，不可模棱兩可。如果用函數(shù)關(guān)系式表示，可寫成
這里的A(u)稱為集合A的特征函數(shù)。特征函數(shù)的邏輯基礎(chǔ)是二值邏輯，它是對(duì)事物“非此即彼”狀態(tài)的定量描述，但不能用于刻劃某些事物在中介過(guò)渡時(shí)所呈現(xiàn)出的“亦此亦彼”性。例如，取A為老年人集合，u為一個(gè)年齡為50歲的人，我們拿不出什么令人信服的理由來(lái)確定A(u)的值是1還是0.這正是普通集合論的局限之所在。
與普通集合不同，模糊集合的邏輯基礎(chǔ)是多值邏輯。對(duì)于這種集合，一個(gè)事物與它沒(méi)有“屬于”或“不屬于”這種絕對(duì)分明的隸屬關(guān)系，因而也就不能用特征函數(shù)A(u)來(lái)描述。那么，怎樣才能定量地描述模糊集合的性質(zhì)和特征呢?模糊集合論的創(chuàng)立者札德給出了隸屬函數(shù)的概念，用以代替普通集合論中的特征函數(shù)概念。隸屬函數(shù)的實(shí)質(zhì)，是將特征函數(shù)由二值{0，1｝推廣到[0，1]閉區(qū)間上的任意值。通常把隸屬函數(shù)表示為μ(u)，它滿足
0≤μ(u)≤1（或記作μ(u)∈[0，1]）
有了隸屬函數(shù)概念，就可給模糊集合下一個(gè)準(zhǔn)確的定義了。札德在1965年的論文中給出了如下的定義：
隸屬函數(shù)的選取是一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題，目前還沒(méi)有一個(gè)固定和通用的模式，它依問(wèn)題的不同可以有不同的表達(dá)形式。在許多情況下，它是憑借經(jīng)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)分析確定的。
例如，某小組有五名同學(xué)，記作u1，u2，u3，u4，u5，取論域.現(xiàn)在取為由“性格穩(wěn)重”的同學(xué)組成的集合，顯然這是一個(gè)模糊集合。為確定每個(gè)同學(xué)隸屬于的程度，我們分別給每個(gè)同學(xué)的性格穩(wěn)重程度打分，按百分制給分，再除以100.
這里實(shí)際上就是求隸屬函數(shù)，如果打分的結(jié)果是
u1得85分，u2得75分，u3得98分，u4得30分，u5得60分
那么隸屬函數(shù)的值應(yīng)是
可表示為
還可表示為
或
普通集合與模糊集合有著內(nèi)在的聯(lián)系，這可由特征函數(shù)A(u)和隸屬函數(shù)的關(guān)系來(lái)分析。事實(shí)上，當(dāng)隸屬函數(shù)只取[0,1]閉區(qū)間的兩端點(diǎn)值0，1時(shí)，隸屬函數(shù)也就退化為特征函數(shù)A(u)，從而模糊子集也就轉(zhuǎn)化為普通集合A.這就表明普通集合是模糊集合的特殊情況，模糊集合是普通集合的推廣，它們既相互區(qū)別，又相互聯(lián)結(jié)，而且在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。正因?yàn)橛写藘?nèi)在的聯(lián)系，決定了模糊數(shù)學(xué)可以廣泛地使用明晰數(shù)學(xué)的方法，從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)存在著由此達(dá)彼的橋梁。
模糊數(shù)學(xué)作為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科，雖然它的歷史很短，但由于它是在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)迫切需要下應(yīng)運(yùn)而生的，因而對(duì)于它的研究，無(wú)論是基礎(chǔ)理論還是實(shí)際應(yīng)用，都得到了迅速的發(fā)展。
就其基礎(chǔ)理論而言，模糊數(shù)學(xué)研究的課題已涉及到廣泛的范圍，如模糊數(shù)、模糊關(guān)系、模糊矩陣、模糊圖、模糊映射和變換、模糊概率、模糊判斷、模糊規(guī)劃、模糊邏輯、模糊識(shí)別和模糊控制等。
在應(yīng)用方面，模糊數(shù)學(xué)的思想與方法正在廣泛滲透到科學(xué)和技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，如物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、心理學(xué)、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、系統(tǒng)論、信息論、控制論和人工智能等。同時(shí)，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的許多部門已取得明顯的社會(huì)效益。
數(shù)學(xué)思想方法的重大突破 從手工證明到機(jī)器證明
文章摘要：機(jī)器證明是20世紀(jì)50年代開始興起的一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也是現(xiàn)代人工智能發(fā)展的一個(gè)重要方向。從傳統(tǒng)的手工證明到定理的機(jī)器證明，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法的一次重大突破。
【編者按】數(shù)學(xué)的發(fā)展并不是一些新概念、新命題、新方法的簡(jiǎn)單積累，它包含著數(shù)學(xué)本身許多根本的變化，也即質(zhì)的飛躍。歷史上發(fā)生的數(shù)學(xué)思想方法的幾次重大突破，就充分說(shuō)明了這一點(diǎn)。
機(jī)器證明是20世紀(jì)50年代開始興起的一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也是現(xiàn)代人工智能發(fā)展的一個(gè)重要方向。從傳統(tǒng)的手工證明到定理的機(jī)器證明，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法的一次重大突破。
一、機(jī)器證明的必要性和可能性
定理機(jī)器證明的出現(xiàn)不是偶然的，而是有其客觀必然性，它既是電子計(jì)算機(jī)和人工智能發(fā)展的產(chǎn)物，也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。
首先，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展迫切需要把數(shù)學(xué)家從繁難的邏輯推演中解放出來(lái)。我們知道，任何數(shù)學(xué)命題的確立都需要嚴(yán)格的邏輯證明，而數(shù)學(xué)命題的證明是一種極其復(fù)雜而又富有創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，它不僅需要根據(jù)已有知識(shí)和給定條件進(jìn)行邏輯推理的能力，而且常常需要相當(dāng)高的技巧、靈感和洞察力。有時(shí)為尋找一個(gè)定理的證明，還需要開拓一種全新的思路，而這種思路的形成竟要數(shù)學(xué)家們付出幾十年、幾百年乃至上千年的艱苦努力。如果把定理的證明交給計(jì)算機(jī)去完成，那就可以使數(shù)學(xué)家從冗長(zhǎng)繁難的邏輯推演中解放出來(lái)，從而可以把精力和聰明才智更多地用于富有開創(chuàng)性的工作，諸如建立新的數(shù)學(xué)概念，提出新的數(shù)學(xué)猜想，構(gòu)造新的數(shù)學(xué)命題，創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法，開辟新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域等等，由此提高數(shù)學(xué)創(chuàng)造的效率。
其次，機(jī)器證明的必要性，還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著大量傳統(tǒng)的單純?nèi)四X支配手工操作的研究方法難以奏效的證明問(wèn)題。這些問(wèn)題往往因?yàn)樽C明步驟過(guò)于冗長(zhǎng)，工作量十分巨大，使數(shù)學(xué)家在有生之年無(wú)法完成。電子計(jì)算機(jī)具有信息儲(chǔ)存量大，信息加工及變換的速度快等優(yōu)越性，這就突破了人腦生理機(jī)制的局限性與時(shí)空障礙。也就是說(shuō)，如果借助電子計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)就有可能使某些復(fù)雜繁難的證明問(wèn)題得以解決�！八纳孪搿钡淖C明就是一個(gè)令人信服的范例。“四色猜想”提出于19世紀(jì)中葉，它的內(nèi)容簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)就是：對(duì)于平面或球面的任何地圖，用四種顏色，就可使相鄰的國(guó)家或地區(qū)區(qū)分開。沿著傳統(tǒng)的手工式證明的道路，數(shù)學(xué)家們做了各種嘗試，結(jié)果都未能奏效。直到1976年，由于借助于電子計(jì)算機(jī)才解決了這道百年難題。為證明它，高速電子計(jì)算機(jī)花費(fèi)了120個(gè)機(jī)器小時(shí)，完成了300多億個(gè)邏輯判斷。如果這項(xiàng)工作由一個(gè)人用手工去完成，大約需要30萬(wàn)年。
第三，機(jī)器證明的可能性，從認(rèn)識(shí)論上看，是由創(chuàng)造性工作和非創(chuàng)造性工作之間的關(guān)系決定的。我們知道，在定理的證明過(guò)程中，既有創(chuàng)造性思維活動(dòng)，又有非創(chuàng)造性思維活動(dòng)，而思維活動(dòng)中的創(chuàng)造性工作和非創(chuàng)造性工作并不是完全割裂的，而是互為前提、相互制約、相互轉(zhuǎn)化的，非創(chuàng)造性工作是創(chuàng)造性工作的基礎(chǔ)，創(chuàng)造性工作又可以通過(guò)某種途徑部分地轉(zhuǎn)化為非創(chuàng)造性工作。當(dāng)我們通過(guò)算法程序把定理證明中的創(chuàng)造性工作轉(zhuǎn)化為非創(chuàng)造性工作之后，也就有可能把定理的證明交給計(jì)算機(jī)去完成。
第四，理論上的研究已經(jīng)表明，的確有不少類型的定理證明可以機(jī)械化，可以放心地讓計(jì)算機(jī)去完成。希爾伯特和塔爾斯基的機(jī)械化定理，就是對(duì)定理證明機(jī)械化可能性的一種理論探討。吳文俊教授對(duì)幾何定理證明機(jī)械化的可能性曾作過(guò)深入的研究。他將可施行機(jī)械化證明的實(shí)現(xiàn)劃分為三種不同的類型，并給出了實(shí)現(xiàn)機(jī)器證明的一個(gè)行之有效的一般方法。這個(gè)一般化方法的基本思想是：首先借助坐標(biāo)系，把定理的假設(shè)與求證部分用一些代數(shù)關(guān)系式來(lái)表示，然后再把表示代數(shù)關(guān)系的多項(xiàng)式做適當(dāng)處理，即把終結(jié)多項(xiàng)式中的坐標(biāo)逐個(gè)消去，當(dāng)消去的結(jié)果為零時(shí)，定理也就得證。
目前，機(jī)器證明作為數(shù)學(xué)研究的一種方法，還存在著許多理論和技術(shù)上的問(wèn)題，這些問(wèn)題的解決將有待于算法理論、計(jì)算機(jī)科學(xué)和人工智能等各個(gè)領(lǐng)域出現(xiàn)新的重大突破。
二、機(jī)器證明的興起和進(jìn)展
機(jī)器證明的思想淵源可追溯到幾何代數(shù)化思想的出現(xiàn)，然而歷史上最先從理論上明確提出定理證明機(jī)械化思想的是希爾伯特。1899年，他在《幾何基礎(chǔ)》這部經(jīng)典名著中指出，初等幾何中只涉及從屬平行的定理可以實(shí)現(xiàn)證明的機(jī)械化，他還提出了有名的“希爾伯特機(jī)械化定理”。希爾伯特的幾何機(jī)械化思想遵循的就是一條幾何代數(shù)化的道路：從公理系統(tǒng)出發(fā)，建立坐標(biāo)系，引進(jìn)數(shù)系統(tǒng)，把幾何定理的證明轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的計(jì)算。這是一條從公理化走向代數(shù)化直至數(shù)值化的道路。1950年，波蘭數(shù)理邏輯學(xué)家塔爾斯基進(jìn)一步從理論上證明，初等代數(shù)和初等幾何的定理可以機(jī)械化。他還提出了以他的名字命名的機(jī)械化定理以及制造證明機(jī)的設(shè)想。
機(jī)器證明史上的第一項(xiàng)奠基性的突破，是由美國(guó)的卡內(nèi)基大學(xué)—蘭德公司協(xié)作組做出的。1956年，這個(gè)協(xié)作組的西蒙、紐厄爾和肖烏等人在電子計(jì)算機(jī)上成功地證明了羅素和懷特海所著的《數(shù)學(xué)原理》第二章52條定理中的38條。這一年可作為歷史上計(jì)算機(jī)證明定理的開端。1963年，他們又在計(jì)算機(jī)上證明了全部52條定理，西蒙等人使用的是LT（邏輯理論機(jī)）程序。這種程序不是刻板的固定算法程序，而是使用了心理學(xué)方法，將人腦在進(jìn)行演繹推理時(shí)的邏輯過(guò)程、所遵循的一般規(guī)則和所經(jīng)常采用的策略、技巧，以及簡(jiǎn)化步驟的一些方法等編進(jìn)計(jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)具有自己去探索解題途徑的某種能力。這一程序?yàn)闄C(jī)器證明提供了一個(gè)切實(shí)可行的算法，通常稱它為“啟發(fā)式程序”。
在機(jī)器證明的開拓者中，還有著名的美籍華人王浩教授。1959年，他只用9分鐘的機(jī)器時(shí)間，就在計(jì)算機(jī)上證明了羅素和懷特�！稊�(shù)學(xué)原理》一書中的一階邏輯部分的全部定理350多條，在當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界引起了轟動(dòng)。
改進(jìn)算法程序是提高機(jī)器證明效率的一個(gè)重要方面。在這方面，美國(guó)數(shù)學(xué)家魯濱遜首先取得了重大突破。1965年，他提出了有名的歸結(jié)原理。這一原理的基本出發(fā)點(diǎn)是，要證明任何一個(gè)命題為真，都可以通過(guò)證明其否定為假來(lái)得到。它要求把問(wèn)題用一階邏輯表示出來(lái)，并且變?yōu)橹痪哂杏勒媸交蛴兰偈叫再|(zhì)的公式。由于許多定理都可以在一階邏輯中得到表示，因而這一程序具有較大的實(shí)用性，對(duì)提高機(jī)器證明的效率有著重要的方法論意義，大大地推動(dòng)了機(jī)器證明的研究。
70年代，機(jī)器證明得到新的重大進(jìn)展。1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾和黑肯借助計(jì)算機(jī)成功地解決“四色猜想”的證明問(wèn)題。這是機(jī)器證明首次解決傳統(tǒng)人腦支配手工操作所長(zhǎng)期沒(méi)能解決的重大問(wèn)題。1971-1977年間，萊得索等人給出了分析拓樸學(xué)和集合論方面的一些著名定理的機(jī)器證明。1979年，波依爾和穆?tīng)柕热俗鞒隽诉f歸函數(shù)方面的機(jī)器證明系統(tǒng)。
我國(guó)數(shù)學(xué)家在機(jī)器證明研究上取得了顯著的成果，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界的關(guān)注。1977年，吳文俊教授證明了初等幾何主要一類定理的證明可以機(jī)械化。1980年，他還用一部微機(jī)在20和60個(gè)機(jī)器小時(shí)左右分別發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)幾何學(xué)的新定理。吉林大學(xué)和武漢大學(xué)的研究人員也在定理的機(jī)器證明方面取得了許多可喜的成果。
上面我們考察和分析了數(shù)學(xué)史上發(fā)生的6次重大突破。除了這6次重大突破外，還有許多重大事件也都具有一定的突破性，它們都不同程度地帶來(lái)了數(shù)學(xué)思想方法的重大變化。如非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，群論的產(chǎn)生，勒貝格積分的建立，突變理論的出現(xiàn)，非標(biāo)準(zhǔn)分析的誕生，就是這樣的事件�，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)革命的興起，向數(shù)學(xué)提出了一系列新的重大課題，可以預(yù)想，對(duì)這些課題的探討，必將會(huì)引起數(shù)學(xué)在思想方法上發(fā)生新的重大突破，使數(shù)學(xué)的面貌發(fā)生新的改觀。
數(shù)學(xué)思想方法研究的對(duì)象與范圍[1]
文章摘要：何謂數(shù)學(xué)思想方法?它的研究對(duì)象是什么?這是一個(gè)理論問(wèn)題，至今看法不一。歸納起來(lái)主要有兩種理解：第一種是“狹義的理解”，認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法就是指數(shù)學(xué)本身的論證、運(yùn)算以及應(yīng)用的思想、方法和手段;第二種是“廣義的理解”，認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法除上述作為研究的對(duì)象外，還應(yīng)把關(guān)于數(shù)學(xué)（其中包括概念、理…
【編者按】數(shù)學(xué)同其它各門學(xué)科一樣，在其發(fā)展的過(guò)程中，形成了一系列適合于自身特點(diǎn)的思想方法。這些思想方法不斷為人們所掌握和運(yùn)用，并創(chuàng)造出一個(gè)又一個(gè)成果。過(guò)去對(duì)數(shù)學(xué)成果本身的收集、分析與說(shuō)明較為重視，發(fā)表了許多論著，這是有益的。但是，由于種種原因，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考察與研究卻有所忽略。而正因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)思想方法缺乏應(yīng)有的重視，所以，在一定程度上影響了數(shù)學(xué)成果的取得和數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)。因此，把數(shù)學(xué)思想方法作為一個(gè)獨(dú)立領(lǐng)域加以研究，從方法論的高度，探討其對(duì)象、內(nèi)容、功能以及孕育、形成與發(fā)展的規(guī)律，無(wú)疑對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展與哲學(xué)的研究，都是有重要意義的。
何謂數(shù)學(xué)思想方法?它的研究對(duì)象是什么?這是一個(gè)理論問(wèn)題，至今看法不一。歸納起來(lái)主要有兩種理解：第一種是“狹義的理解”，認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法就是指數(shù)學(xué)本身的論證、運(yùn)算以及應(yīng)用的思想、方法和手段；第二種是“廣義的理解”，認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法除上述作為研究的對(duì)象外，還應(yīng)把關(guān)于數(shù)學(xué)（其中包括概念、理論、方法與形態(tài)等）的對(duì)象、性質(zhì)、特征、作用及其產(chǎn)生、發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識(shí)，也作為自己的研究對(duì)象。我們是主張廣義理解的。
根據(jù)廣義的理解，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想方法的研究范圍，大體有以下十個(gè)方面。
一、數(shù)學(xué)思想方法的歷史演進(jìn)
對(duì)數(shù)學(xué)思想方法作為歷史的考察，并分析其演變、發(fā)展的規(guī)律是數(shù)學(xué)思想方法研究的首要內(nèi)容。其具體可分為兩大類：第一，數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)進(jìn)化，即從整體上進(jìn)行研究。比如，從古至今，數(shù)學(xué)思想方法發(fā)生了多少次重大轉(zhuǎn)折，每一次轉(zhuǎn)折如從算術(shù)到代數(shù)、從綜合幾何到幾何代數(shù)化、從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)、從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)、從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)以及從手工證明到機(jī)器證明等，都是怎樣孕育和產(chǎn)生的，其要點(diǎn)和作用是什么，均屬于這一類。第二，數(shù)學(xué)思想方法的個(gè)體發(fā)育，主要是研究每一個(gè)數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生、演變和發(fā)展的規(guī)律，以及本身的特征，在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用和方法論價(jià)值等。廣義一點(diǎn)講，從思想方法角度來(lái)研究概念、運(yùn)算、公式、定理乃至學(xué)科產(chǎn)生發(fā)展的歷史，也可看成是此類研究的范圍。
二、數(shù)學(xué)的思維方式與數(shù)學(xué)研究的基本方法
數(shù)學(xué)的主要思維方式是什么?這是數(shù)學(xué)家們歷來(lái)關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題。本世紀(jì)初以來(lái)，圍繞什么是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問(wèn)題的討論，逐步形成了三個(gè)不同的學(xué)派，即邏輯派，直黨派與形式公理派。如果從思維方式上看數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的討論，可以說(shuō)，在邏輯主義學(xué)派看來(lái)，數(shù)學(xué)的主要思維方式是邏輯思維；在直覺(jué)主義學(xué)派看來(lái)，數(shù)學(xué)的主要思維方式是直覺(jué)（或靈感）思維；在形式主義學(xué)派看來(lái)，數(shù)學(xué)的主要思維方式是以符號(hào)為特征的純粹的抽象思維。到底什么是數(shù)學(xué)的主要思維方式?辯證思維在數(shù)學(xué)尤其是高等數(shù)學(xué)中占有怎樣的地位?仍是一些尚待解決的問(wèn)題。
數(shù)學(xué)中的一些常用方法，諸如公理法、模型法、構(gòu)造法、解析法、遞歸法、極限法、逐次逼近法、統(tǒng)計(jì)法、對(duì)偶法、關(guān)系映射反演法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等，這是大家所熟悉的。那么，數(shù)學(xué)中到底有哪些基本方法?每個(gè)方法又是怎樣產(chǎn)生和發(fā)展的，其特征和作用如何?這是一些具有重要方法論價(jià)值且至今沒(méi)有很好解決的研究課題。
三、數(shù)學(xué)家的思想方法
數(shù)學(xué)家是在數(shù)學(xué)研究中做出貢獻(xiàn)的人，而數(shù)學(xué)家之所以取得成果做出貢獻(xiàn)，又往往與他在思想方法上實(shí)行某種變革有關(guān)，因此，考察與剖析數(shù)學(xué)家特別是著名數(shù)學(xué)家的思想方法，是把握數(shù)學(xué)思想方法的重要方面，也是探討數(shù)學(xué)創(chuàng)造規(guī)律，加強(qiáng)數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)不可缺少的研究?jī)?nèi)容。眾所周知，古今中外有許多著名數(shù)學(xué)家，如歐幾里得、劉徽、祖沖之、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、歐拉、高斯、羅巴切夫斯基、伽羅華、康托爾、希爾伯特、彭加勒、維納、馮·諾伊曼、魯濱遜、札德、托姆、華羅庚等，不僅在數(shù)學(xué)研究中取得重大成果，而且在思想方法上也都有獨(dú)到之處，甚至是實(shí)行了革命性的變革。遺憾的是，以往對(duì)他們的成果記載比較詳盡，而對(duì)他們的思想方法卻考究很少，這不能不說(shuō)是過(guò)去數(shù)學(xué)史研究中的一大缺陷。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)家思想方法的挖掘與評(píng)論，可以使人們樹立起“作出成果是貢獻(xiàn)，創(chuàng)造思想方法是更大貢獻(xiàn)”的觀念，并將其作為評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)家的重要方面之一。
四、數(shù)學(xué)學(xué)派的思想方法
如果說(shuō)某一數(shù)學(xué)家的思想方法較為隱蔽，難以考證，不易作出準(zhǔn)確的分析，那么數(shù)學(xué)學(xué)派卻不然，因?yàn)樗旧硗褪峭ㄟ^(guò)某一特殊的思想方法把大家聯(lián)系在一起的，或者說(shuō)，是因?yàn)樗枷敕椒ú煌鴦澐殖刹煌傻�，因而，它的思想方法是較為明顯，容易作出判斷的。比如，前面提到的本世紀(jì)初以來(lái)形成的邏輯派、直覺(jué)派與形式公理派，其思想方法十分鮮明。本世紀(jì)30年代，在法國(guó)出現(xiàn)的布爾巴基學(xué)派，其思想方法也是非常明確的。他們認(rèn)為，數(shù)學(xué)是以數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象的科學(xué)，主張用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)）概括全部數(shù)學(xué)，所謂數(shù)學(xué)的理論發(fā)展，無(wú)非是各種結(jié)構(gòu)的建成、改進(jìn)與擴(kuò)充而已。一句話，他們的數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義。在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義指導(dǎo)下，經(jīng)30多年的努力，到1973年共出版《數(shù)學(xué)原本》36卷，為數(shù)學(xué)發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)。不僅如此，他們治學(xué)的思想方法，也有許多獨(dú)到之處，像學(xué)術(shù)討論上的“無(wú)情批判”，組織成員上的“自由流動(dòng)”，撰寫論著上的“分工合作”等，都是很成功的，值得認(rèn)真總結(jié)。當(dāng)然，要完整、準(zhǔn)確地概括某一學(xué)派的思想方法的實(shí)質(zhì)、特點(diǎn)、歷史與作用，也是相當(dāng)困難的。
五、數(shù)學(xué)的潛形態(tài)及其向顯形態(tài)轉(zhuǎn)化的機(jī)制
所謂“數(shù)學(xué)潛形態(tài)”有兩個(gè)含義：第一，從科學(xué)認(rèn)識(shí)角度看，任何數(shù)學(xué)成果都有一個(gè)由孕育到成熟、由潛到顯的過(guò)程，存在一個(gè)孕育階段，我們就把孕育階段的數(shù)學(xué)思想稱之為“數(shù)學(xué)潛形態(tài)”，如數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)悖論等；第二，從數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折性看，它指的是“處于待顯階段的數(shù)學(xué)成果”，因?yàn)橐粋�(gè)數(shù)學(xué)成果取得后，并非都立即得到數(shù)學(xué)界的承認(rèn)，而由于種種原因，往往被忽視、排斥、壓制、埋沒(méi)、拋棄、扼殺，有一個(gè)蒙難的歷程，我們就把雖然在認(rèn)識(shí)上已達(dá)到顯階段，但并沒(méi)有被人們確認(rèn)的，仍然處于“潛在階段”的數(shù)學(xué)成果，也叫做“數(shù)學(xué)潛形態(tài)”。這里，主要是研究數(shù)學(xué)潛形態(tài)的產(chǎn)生、演變、特征、作用及其向數(shù)學(xué)顯形態(tài)的轉(zhuǎn)化機(jī)制等。
文章摘要：何謂數(shù)學(xué)思想方法?它的研究對(duì)象是什么?這是一個(gè)理論問(wèn)題，至今看法不一。歸納起來(lái)主要有兩種理解：第一種是“狹義的理解”，認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法就是指數(shù)學(xué)本身的論證、運(yùn)算以及應(yīng)用的思想、方法和手段;第二種是“廣義的理解”，認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法除上述作為研究的對(duì)象外，還應(yīng)把關(guān)于數(shù)學(xué)（其中包括概念、理…
六、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科相互滲透的思想方法基礎(chǔ)
各門學(xué)科相互滲透、彼此結(jié)合，是當(dāng)代科學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大潮流。數(shù)學(xué)也不例外�，F(xiàn)代自然科學(xué)各學(xué)科的數(shù)學(xué)化趨勢(shì)，社會(huì)科學(xué)各部門的定量化要求，與數(shù)學(xué)相結(jié)合而形成的，生命力頗強(qiáng)的交叉科學(xué)如數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)、數(shù)學(xué)心理學(xué)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)、數(shù)學(xué)美學(xué)、數(shù)學(xué)生物學(xué)、數(shù)學(xué)地震學(xué)、計(jì)算物理學(xué)、計(jì)算化學(xué)等大量出現(xiàn)，都顯示出數(shù)學(xué)與各學(xué)科相互滲透、匯流的這一當(dāng)代數(shù)學(xué)發(fā)展特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想方法作為一個(gè)獨(dú)立的研究領(lǐng)域，它必然要研究數(shù)學(xué)與各門學(xué)科相互滲透的思想方法基礎(chǔ)。比如，上述交叉科學(xué)形成機(jī)制中所表現(xiàn)出來(lái)的縱向滲透、橫向移植與立體交叉等，實(shí)際上都是一些重要的現(xiàn)代科學(xué)思想方法，也是辯證法關(guān)于普遍聯(lián)系思想在當(dāng)代科學(xué)發(fā)展中的具體體現(xiàn)。此外，交叉科學(xué)的類型，體系結(jié)構(gòu)、特征、功能以及發(fā)展趨勢(shì)等，也是與數(shù)學(xué)思想方法有關(guān)的一些問(wèn)題，同樣應(yīng)予以討論。
七、數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)
數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓院蛷V泛的適用性。這是關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的傳統(tǒng)看法。近些年來(lái)，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展與人們認(rèn)識(shí)的深化，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)又提出一些新的見(jiàn)解。比如，有人指出數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)是確切性、抽象性、嚴(yán)格性、應(yīng)用的廣泛性、數(shù)學(xué)美，還特別強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)諸特點(diǎn)中不可忽視的基本特點(diǎn)之一，人類進(jìn)入以物質(zhì)裝置代替原來(lái)由人從事的信息加工處理工作的信息時(shí)代（或稱信息加工時(shí)代、計(jì)算機(jī)化時(shí)代）后，數(shù)學(xué)的上述諸特點(diǎn)進(jìn)一步顯示出來(lái)。也有人認(rèn)為，從當(dāng)前科學(xué)數(shù)學(xué)化的趨勢(shì)看，高度的抽象性與廣泛的適用性是數(shù)學(xué)最根本的兩個(gè)特點(diǎn)。還有人主張，數(shù)學(xué)的主要特點(diǎn)是它的高度抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性與數(shù)學(xué)美，而應(yīng)用的廣泛性是高度抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性的具體表現(xiàn)。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)科學(xué)到底有哪些特點(diǎn)?結(jié)合現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的實(shí)際對(duì)這一問(wèn)題加以深入探討，顯然對(duì)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的功能，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展是有積極作用的。
八、數(shù)學(xué)內(nèi)容的辯證性質(zhì)
數(shù)學(xué)作為現(xiàn)實(shí)世界量側(cè)面的反映，必然充滿矛盾，充滿辯證法。深入研究數(shù)學(xué)內(nèi)容的辯證性質(zhì)，對(duì)把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，加速數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，是大有益處的。馬克思在他的《數(shù)學(xué)手稿》中，恩格斯在《自然辯證法》數(shù)學(xué)札記中，從不同角度揭示了某些數(shù)學(xué)內(nèi)容的辯證性質(zhì)及其產(chǎn)生發(fā)展的歷史過(guò)程。
從馬克思、恩格斯的論述以及其他著作中，我們可以看到，數(shù)學(xué)辯證性質(zhì)的研究，主要集中在兩個(gè)方面：第一，關(guān)于數(shù)學(xué)中矛盾的研究。諸如，數(shù)學(xué)中有哪些重要矛盾?有的舉出正與負(fù)、一與多、直與曲、已知與未知、常量與變量、特殊與一般、連續(xù)與離散、有限與無(wú)限、精確與近似、模糊與明晰等是數(shù)學(xué)中的重要矛盾，是否妥當(dāng)?這些矛盾是怎樣形成的?如何認(rèn)識(shí)與運(yùn)用?在數(shù)學(xué)研究中有什么作用?數(shù)學(xué)中的主要矛盾是什么?等等。第二，關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)容（概念、理論、方法等）的辯證分析。其中包括：(1)內(nèi)容本身辯證實(shí)質(zhì)的分析，如“一”中包含著多，數(shù)學(xué)證明中的“分析法”實(shí)質(zhì)上是從未知出發(fā)來(lái)尋求已知與未知內(nèi)在聯(lián)系的方法等；(2)內(nèi)容形成、演進(jìn)過(guò)程的辯證分析，如“數(shù)”、“形”和“函數(shù)”等數(shù)學(xué)基本概念，都是怎樣通過(guò)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的矛盾運(yùn)動(dòng)，從最初的實(shí)際問(wèn)題中逐步發(fā)展成為今天這樣的科學(xué)概念?并從中探討辯證思維與數(shù)學(xué)概念發(fā)展的關(guān)系；(3)內(nèi)容之間的普遍聯(lián)系，如許多幾何形體概念通過(guò)從屬關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，不少幾何變換通過(guò)合成關(guān)系聯(lián)系起來(lái)等。
九、數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生發(fā)展的動(dòng)力及其規(guī)律性
關(guān)于數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生發(fā)展的源泉、動(dòng)力和規(guī)律，一方面可以從數(shù)學(xué)與社會(huì)（社會(huì)體制、社會(huì)意識(shí)、社會(huì)文化等）、實(shí)踐（生產(chǎn)實(shí)踐、科學(xué)實(shí)踐等）的關(guān)系上進(jìn)行研究，就是說(shuō)，可從數(shù)學(xué)的客觀基礎(chǔ)上來(lái)考察。另一方面，又可從數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾運(yùn)動(dòng)這個(gè)側(cè)面，從思想方法作用這個(gè)角度去分析與探討。像數(shù)學(xué)發(fā)展相對(duì)獨(dú)立性的研究即屬此類。我們知道，當(dāng)數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段，特別是已積累大量資料，并需概括出新理論時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生一些理論上的矛盾，解決這些矛盾便形成新的數(shù)學(xué)理論，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)理論自身的相對(duì)獨(dú)立的發(fā)展。比如，公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得等人，系統(tǒng)地總結(jié)了人類長(zhǎng)期以來(lái)積累的幾何知識(shí)，寫出了世界上第一部公理化的數(shù)學(xué)專著《幾何原本》，從而創(chuàng)立了歐氏幾何學(xué)體系。但是，自這部專著問(wèn)世時(shí)起，人們就提出了作為推理前提的“‘第五公設(shè)’可證”這樣一個(gè)理論自身的問(wèn)題，并從此開始了試證歐氏第五公設(shè)的漫長(zhǎng)征程。直到19世紀(jì)20年代，才由德國(guó)的高斯、俄國(guó)的羅巴切夫斯基、匈牙利的亞·鮑耶從理論上證明了“歐氏第五公設(shè)不可證”，最后解決了人們?yōu)橹畩^斗兩千年也沒(méi)有解決的這一重大難題。正是在解決這一問(wèn)題的過(guò)程中，創(chuàng)立了嶄新的非歐幾何學(xué)。還比如，19世紀(jì)30年代，由柯西與魏爾斯特拉斯建立了“標(biāo)準(zhǔn)分析”。但這一理論存在著過(guò)于抽象、缺乏直觀、運(yùn)算復(fù)雜等問(wèn)題與矛盾，于是在本世紀(jì)60年代魯濱遜打破了“點(diǎn)無(wú)結(jié)構(gòu)”的傳統(tǒng)觀念，引進(jìn)了非標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)概念，建立了單子結(jié)構(gòu)模型，將潛無(wú)窮小轉(zhuǎn)化為實(shí)無(wú)窮小，將實(shí)數(shù)域發(fā)展為包含無(wú)窮小量的非實(shí)數(shù)域，將極限方法改變?yōu)闊o(wú)窮小量方法，將復(fù)雜運(yùn)算替換為簡(jiǎn)單運(yùn)算，并從而創(chuàng)立了非標(biāo)準(zhǔn)分析這一新分支�？疾旆菤W幾何學(xué)和非標(biāo)準(zhǔn)分析創(chuàng)生的歷史過(guò)程，并探討這些理論是怎樣從數(shù)學(xué)理論自身矛盾運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的，無(wú)疑對(duì)全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律是十分必要的。
數(shù)學(xué)理論的“儲(chǔ)備性”，也是數(shù)學(xué)發(fā)展相對(duì)獨(dú)立性的一種體現(xiàn)。所謂“儲(chǔ)備性”指的是，當(dāng)某一理論依據(jù)邏輯自身的規(guī)律由量的關(guān)系相互導(dǎo)出后，一時(shí)甚至相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)得不到應(yīng)用，被暫時(shí)“儲(chǔ)備”起來(lái)。比如，公元前200年，希臘幾何家阿波羅尼烏斯創(chuàng)立的“圓錐曲線論”，直到17世紀(jì)，才在拋物線和天體運(yùn)動(dòng)理論的研究中得到應(yīng)用，儲(chǔ)備了1800年。還比如，1860年初創(chuàng)立的作為純數(shù)學(xué)組成部分的矩陣?yán)碚�，直�?925年才作為描述原子系統(tǒng)中矩陣力學(xué)的基本數(shù)學(xué)工具而得到應(yīng)用，儲(chǔ)備了65年。
此外，數(shù)學(xué)研究的自由創(chuàng)造性、數(shù)學(xué)理論體系結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性等，亦都是從數(shù)學(xué)理論自身的矛盾運(yùn)動(dòng)中反映出來(lái)的。
十、數(shù)學(xué)的功能
數(shù)學(xué)的功能是多方面的，但主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：
(1)科學(xué)功能，即數(shù)學(xué)在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和哲學(xué)等領(lǐng)域中所起的作用；
(2)思維功能，即數(shù)學(xué)作為一種思維工具，它在日常思維活動(dòng)中所起的作用，以及它對(duì)思維科學(xué)發(fā)展的意義等；
(3)社會(huì)功能，即數(shù)學(xué)在社會(huì)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)、文化、教育以及在精神文明建設(shè)中占有的地位與作用等。數(shù)學(xué)為什么會(huì)有上述功能?怎樣才能更好地發(fā)揮它的功能?這些問(wèn)題在科學(xué)技術(shù)高度發(fā)展的今天，顯得特別重要。
數(shù)學(xué)思想方法研究的歷史與現(xiàn)狀[1]
文章摘要：數(shù)學(xué)思想方法的研究，自古有之，并取得了一系列進(jìn)展。然而，長(zhǎng)期以來(lái)，由于人們過(guò)于注重記述數(shù)學(xué)研究的事實(shí)與最終成果本身，而忽視總結(jié)、交流和刊發(fā)取得成果的真實(shí)經(jīng)過(guò)及其思想方法，因此數(shù)學(xué)思想方法的研究十分分散，缺乏系統(tǒng)性，發(fā)展緩慢，至今尚未形成一個(gè)獨(dú)立的研究領(lǐng)域和完整的理論體系�！�
【編者按】數(shù)學(xué)同其它各門學(xué)科一樣，在其發(fā)展的過(guò)程中，形成了一系列適合于自身特點(diǎn)的思想方法。這些思想方法不斷為人們所掌握和運(yùn)用，并創(chuàng)造出一個(gè)又一個(gè)成果。過(guò)去對(duì)數(shù)學(xué)成果本身的收集、分析與說(shuō)明較為重視，發(fā)表了許多論著，這是有益的。但是，由于種種原因，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考察與研究卻有所忽略。而正因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)思想方法缺乏應(yīng)有的重視，所以，在一定程度上影響了數(shù)學(xué)成果的取得和數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)。因此，把數(shù)學(xué)思想方法作為一個(gè)獨(dú)立領(lǐng)域加以研究，從方法論的高度，探討其對(duì)象、內(nèi)容、功能以及孕育、形成與發(fā)展的規(guī)律，無(wú)疑對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展與哲學(xué)的研究，都是有重要意義的。
數(shù)學(xué)思想方法的研究，自古有之，并取得了一系列進(jìn)展。然而，長(zhǎng)期以來(lái)，由于人們過(guò)于注重記述數(shù)學(xué)研究的事實(shí)與最終成果本身，而忽視總結(jié)、交流和刊發(fā)取得成果的真實(shí)經(jīng)過(guò)及其思想方法，因此數(shù)學(xué)思想方法的研究十分分散，缺乏系統(tǒng)性，發(fā)展緩慢，至今尚未形成一個(gè)獨(dú)立的研究領(lǐng)域和完整的理論體系。
回顧數(shù)學(xué)思想方法研究的歷史，考察其現(xiàn)狀，對(duì)深入開展這方面的研究，是大有益處的。根據(jù)我們掌握的資料，數(shù)學(xué)思想方法的研究，大體可以分為三個(gè)階段：
一、第一階段（18世紀(jì)末以前）：提出了許多零散的、個(gè)別的、具體的方法，以及解決數(shù)學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題
自古代到18世紀(jì)，數(shù)學(xué)研究基本上處于分散狀態(tài)，各個(gè)分支、部門很少聯(lián)系，因此數(shù)學(xué)思想方法的提出往往是零散的、個(gè)別的、具體的和解決實(shí)際問(wèn)題的。下面的事例可以說(shuō)明這一點(diǎn)。古希臘的亞里士多德與歐幾里得提出了公理方法，以解決將大量的、零散的幾何知識(shí)系統(tǒng)化問(wèn)題，最后由歐幾里得等人完成并發(fā)表了《幾何原本》。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽提出了“割圓術(shù)”，以解決長(zhǎng)期存在的、圓周率計(jì)算不精確的問(wèn)題，其中包含著極限思想方法的萌芽。英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)方法，以解決天文觀測(cè)及貿(mào)易中存在的繁重的數(shù)字計(jì)算問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡確立了數(shù)學(xué)歸納法，以解決數(shù)學(xué)論證中存在的不嚴(yán)密的問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾提出了坐標(biāo)法、用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，并從而開創(chuàng)了不同數(shù)學(xué)分支相結(jié)合的思想方法。英國(guó)的牛頓與德國(guó)的萊布尼茨創(chuàng)立了無(wú)窮小量方法，以解決微積分理論建設(shè)中存在的問(wèn)題。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉和法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日共同建立了變分法，以解決“等周問(wèn)題”、“最速降線問(wèn)題”等長(zhǎng)期解決不了的極大與極小問(wèn)題等。
二、第二階段（18世紀(jì)末到20世紀(jì)初）：創(chuàng)立了一批具有突破性的思想方法，使數(shù)學(xué)某些分支發(fā)生了革命性的變革
18世紀(jì)末以前，人們提出和發(fā)現(xiàn)了許多有實(shí)際意義的數(shù)學(xué)思想方法，有力地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。但是，與18世紀(jì)末到20世紀(jì)初這一時(shí)期相比，無(wú)論是從產(chǎn)生的難度上看，還是從產(chǎn)生后所表現(xiàn)出來(lái)的作用上看，都顯得一般和不夠突出。事實(shí)上，自18世紀(jì)末到20世紀(jì)初這一時(shí)期，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的確出現(xiàn)了一些具有劃時(shí)代意義的思想方法，并導(dǎo)致了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科的變革。這是這一時(shí)期的顯著特點(diǎn)。
在幾何學(xué)中，出現(xiàn)了創(chuàng)立非歐幾何的一系列思想方法。19世紀(jì)20年代，高斯、羅巴切夫斯基與亞·鮑耶等人，成功地運(yùn)用了研究錯(cuò)誤與失敗、逆向與反常規(guī)思維、想象等思想方法，解決了人們奮斗兩千年而未能解決的試證歐氏第五公設(shè)的問(wèn)題，并從而創(chuàng)立了非歐幾何理論，使幾何學(xué)發(fā)生了一次偉大的革命。希爾伯特提出：19世紀(jì)最有啟發(fā)性最重要的數(shù)學(xué)成就是非歐幾何的發(fā)展。
在代數(shù)學(xué)中，出現(xiàn)了群論的思想方法。19世紀(jì)以來(lái)，人們?cè)谔角笪宕魏臀宕我陨洗鷶?shù)方程的代數(shù)解法問(wèn)題上，打破了百余年來(lái)毫無(wú)進(jìn)展的僵局，首先由挪威青年數(shù)學(xué)家阿貝爾證明了五次方程代數(shù)解法的不可能性。其次，又由法國(guó)青年數(shù)學(xué)家伽羅華提出了“群”的概念，后發(fā)展為一整套群論的思想方法，徹底地解決了五次及五次以上方程的求解問(wèn)題。不僅如此，群論的思想方法，在代數(shù)學(xué)的其他分支，拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)論乃至數(shù)學(xué)以外的許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。由于群論的誕生，使傳統(tǒng)代數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象由具體的“數(shù)”擴(kuò)充為更加抽象的“量”，由量之間的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系發(fā)展為更為一般的關(guān)系，從而使代數(shù)這門學(xué)科發(fā)生了轉(zhuǎn)折性的變化。
在數(shù)學(xué)分析中，出現(xiàn)了極限與集合論的思想方法。19世紀(jì)30年代至50年代，法國(guó)的柯西與德國(guó)的魏爾斯特拉斯等人，在給出函數(shù)、極限等概念以精確化描述的基礎(chǔ)上，又通過(guò)嚴(yán)格化了的極限思想方法與實(shí)數(shù)理論改造了微積分，并使其嚴(yán)密化和標(biāo)準(zhǔn)化。這是微積分學(xué)科發(fā)展史上的一個(gè)重要里程碑。1874年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾提出了集合論思想，建立起無(wú)限集的勢(shì)、序型等概念以及無(wú)限集合論和超限數(shù)理論，證明了代數(shù)集合可以和整數(shù)集合一一對(duì)應(yīng)，所有實(shí)數(shù)集合不可數(shù)性，發(fā)展了無(wú)限集合勢(shì)的比較原理，引入了連續(xù)公理即康托爾公理等，并從而創(chuàng)立了集合論的理論。這一理論的創(chuàng)立，不僅為微積分的理論奠定了穩(wěn)固的基礎(chǔ)，而且對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，尤其對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的探討，也具有巨大而深遠(yuǎn)的促進(jìn)作用。
應(yīng)當(dāng)指出的是，這一時(shí)期，除了出現(xiàn)上述重要思想方法外，還形成了影響廣泛的數(shù)學(xué)公理化方法。到了19世紀(jì)末20世紀(jì)初，由于非歐幾何、無(wú)理數(shù)理論、集合論的建立，有力地促進(jìn)了數(shù)學(xué)公理化方法研究的開展。1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因發(fā)表了“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”，提出用變換群的觀點(diǎn)，給出各種幾何學(xué)的綜合分類，以統(tǒng)一整個(gè)幾何學(xué)。1899年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特發(fā)表了《幾何學(xué)基礎(chǔ)》一書，使公理化方法深入到數(shù)學(xué)的'更多分支。1908年，集合論完成了公理化，本世紀(jì)20年代，又實(shí)現(xiàn)了代數(shù)學(xué)的公理化，從而使公理化方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)各個(gè)分支。這場(chǎng)公理化運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)的影響是前所未有的。
還應(yīng)當(dāng)特別指出的是，在這一時(shí)期，馬克思和恩格斯在自己的著作尤其是《數(shù)學(xué)手稿》和《自然辯證法》中，闡發(fā)了極其豐富的數(shù)學(xué)思想，從思想方法角度論述了數(shù)學(xué)發(fā)展史上若干重大成果和著名數(shù)學(xué)家。他們的論述是數(shù)學(xué)思想方法研究的珍貴財(cái)富。但遺憾的是，這些論述未能在當(dāng)時(shí)發(fā)表和發(fā)揮其應(yīng)有的作用。
三、第三階段（20世紀(jì)初以來(lái)）：逐步開展對(duì)數(shù)學(xué)思想方法理論的研究，為形成其獨(dú)立的研究領(lǐng)域奠定了基礎(chǔ)
20世紀(jì)初以來(lái)，由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科中重大思想方法的出現(xiàn)，特別是數(shù)學(xué)公理化方法的形成以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論和數(shù)學(xué)統(tǒng)一研究的深入開展，人們漸漸關(guān)心數(shù)學(xué)各分支之間內(nèi)在聯(lián)系的研究，開始注重?cái)?shù)學(xué)思想方法本身產(chǎn)生、發(fā)展規(guī)律的探討。因此，這一時(shí)期，數(shù)學(xué)家們一方面繼續(xù)創(chuàng)造各種數(shù)學(xué)思想方法，并用來(lái)推進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，另一方面，他們中的一部分特別是一些著名數(shù)學(xué)家集中精力從事數(shù)學(xué)思想方法理論的研究，并發(fā)表了一大批這方面的論著。與前面兩個(gè)時(shí)期相比，后一方面是這一時(shí)期的突出特點(diǎn)。
文章摘要：數(shù)學(xué)思想方法的研究，自古有之，并取得了一系列進(jìn)展。然而，長(zhǎng)期以來(lái)，由于人們過(guò)于注重記述數(shù)學(xué)研究的事實(shí)與最終成果本身，而忽視總結(jié)、交流和刊發(fā)取得成果的真實(shí)經(jīng)過(guò)及其思想方法，因此數(shù)學(xué)思想方法的研究十分分散，缺乏系統(tǒng)性，發(fā)展緩慢，至今尚未形成一個(gè)獨(dú)立的研究領(lǐng)域和完整的理論體系。…
這一時(shí)期發(fā)表的關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法方面的理論著作，數(shù)量是很多的，研究問(wèn)題的角度也是不盡相同和多方面的，但大體上可概括為以下六個(gè)方面。
第一，從數(shù)學(xué)思想方法本身內(nèi)容與應(yīng)用的角度研究。
就數(shù)學(xué)思想方法本身最早系統(tǒng)發(fā)表見(jiàn)解的要算德國(guó)著名數(shù)學(xué)家希爾伯特于1900年在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表會(huì)上的演講《數(shù)學(xué)問(wèn)題》。在這篇演講中，他精辟地闡述了重大數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)及其在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，并列舉了發(fā)人深思的23個(gè)重大數(shù)學(xué)問(wèn)題，后人稱之為“希爾伯特23個(gè)問(wèn)題”。他的演講是一篇重要的數(shù)學(xué)方法論著作。法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加勒于1903年至1908年之間發(fā)表了《科學(xué)與假設(shè)》，《科學(xué)之價(jià)值》、《科學(xué)與方法》等著作（均有中譯本）。在這三部著作中，彭加勒以章節(jié)的篇幅討論了數(shù)學(xué)方法論的問(wèn)題。后來(lái)，德國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾德發(fā)表了《數(shù)學(xué)方法論》一書，書中對(duì)數(shù)學(xué)中的演繹方法、歸納方法、公理方法與假設(shè)方法等進(jìn)行了系統(tǒng)的論述。
近些年來(lái)，我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治十分注重?cái)?shù)學(xué)方法論的研究。他陸續(xù)發(fā)表了《淺談數(shù)學(xué)方法論》、《數(shù)學(xué)方法論選講》和《數(shù)學(xué)抽象度概念與抽象度分析法》等論著，并提出許多獨(dú)到見(jiàn)解，引起了國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界與哲學(xué)界的關(guān)注。解恩澤與趙樹智同志合作編著的《數(shù)學(xué)思想方法縱橫論》，從縱橫兩個(gè)方面分析了數(shù)學(xué)思想方法的形成與發(fā)展，其中既闡述了數(shù)學(xué)本身的思想與方法，又探討了人們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)與規(guī)律的認(rèn)識(shí);既論述了若干數(shù)學(xué)家的思想方法，又評(píng)介了偉大哲學(xué)家馬克思與恩格斯的數(shù)學(xué)思想方法。
此外，還發(fā)表了一系列論文，對(duì)一些具體數(shù)學(xué)方法作了分析，諸如，蘇聯(lián)沙柳京的《控制論的算法與可能性》，日本加茂利男的《系統(tǒng)論與社會(huì)認(rèn)識(shí)的方法》，中國(guó)黃順基等的《論公理方法》和王順義的《希爾伯特的現(xiàn)代公理化方法》等。
第二，從歷史發(fā)展的角度研究。
本世紀(jì)以來(lái)，從歷史演變、發(fā)展的角度研究數(shù)學(xué)思想方法的論著是不少的，但影響較大的主要有兩部著作。其一是蘇聯(lián)A·B·亞歷山大洛夫等第一流數(shù)學(xué)家于1956年發(fā)表的著作《數(shù)學(xué)-它的內(nèi)容、方法和意義》（本書分三卷，均有中譯本）。書中一方面從總體上概括了數(shù)學(xué)的歷史演進(jìn)，另一方面又著重就現(xiàn)代數(shù)學(xué)每一個(gè)分支的歷史、內(nèi)容、方法與意義等進(jìn)行了闡述，與以往的數(shù)學(xué)史著作相比，它比較重視數(shù)學(xué)思想方法的分析和評(píng)價(jià)。其二是美國(guó)著名數(shù)學(xué)家M·克萊因于1972年發(fā)表的著作《古今數(shù)學(xué)思想》。這是一部全面論述近代數(shù)學(xué)各分支歷史發(fā)展的著作。這部著作打破了過(guò)去史書中單純記述史料及人物傳記的框子，著重闡述了數(shù)學(xué)思想方法的古往今來(lái)。無(wú)論是一個(gè)數(shù)學(xué)成果的產(chǎn)生，還是一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的形成，或是一個(gè)數(shù)學(xué)家的功績(jī)，都把著眼點(diǎn)放在“思想方法”上面，這是這部著作的突出特點(diǎn)。它是一部大部頭的數(shù)學(xué)思想史專著，原書有51章1238頁(yè)，內(nèi)容十分豐富，見(jiàn)解精辟獨(dú)到。國(guó)外有的專家認(rèn)為，“就數(shù)學(xué)史而論，這是迄今為止最好的一本”。我們認(rèn)為，本書好就好在“思想方法”的挖掘與分析上面。當(dāng)然，也有不足，如對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)成果及其思想就沒(méi)有給予應(yīng)有的重視。
此外，像日本的細(xì)井淙于1953年發(fā)表的《東西方數(shù)學(xué)思想史》、伊東俊太郎于1967年發(fā)表的《純粹數(shù)學(xué)的起源-歐幾里得〈幾何原本〉的形成》、三宅剛一于1968年發(fā)表的《數(shù)學(xué)哲學(xué)思想史》等，也都是從歷史的角度來(lái)研究數(shù)學(xué)思想方法的論著。
第三，從數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的角度研究。
多年來(lái)的實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容，也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力和建設(shè)數(shù)學(xué)隊(duì)伍的關(guān)鍵所在。一些著名的數(shù)學(xué)家尤其是長(zhǎng)期從事教育的數(shù)學(xué)家，注重這方面的研究，積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，撰寫了深受歡迎的著作。比如，1954年，美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)家教育家、斯坦福大學(xué)教授G·波利亞發(fā)表了《數(shù)學(xué)與猜想》一書。波利亞在自己的教育實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)常常是從估計(jì)、猜想開始的，而這些估計(jì)、猜想經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)，再經(jīng)過(guò)嚴(yán)格論證推理，最后獲得定理、公式等結(jié)論。但是，在一般數(shù)學(xué)教科書中，只注意寫經(jīng)過(guò)嚴(yán)格論證的結(jié)論，而不寫這些結(jié)論產(chǎn)生的過(guò)程。本書根據(jù)上述認(rèn)識(shí)和針對(duì)過(guò)去數(shù)學(xué)教科書存在的這一弊端，為了充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教育功能，提高數(shù)學(xué)教育特別是中學(xué)數(shù)學(xué)教育水平，列舉了數(shù)學(xué)史上的大量事例，集中地分析了數(shù)學(xué)成果的思想淵源，揭示論證推理與合情推理的內(nèi)在聯(lián)系，闡明既要重視論證推理的運(yùn)用，更要重視合情推理的學(xué)習(xí)，以豐富人們的數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)思維能力。本書內(nèi)容翔實(shí)，形式新穎，語(yǔ)言生動(dòng)，思想深刻。出版后，引起了世界數(shù)學(xué)界的重視，特別是此書作為作者已發(fā)表的《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》的續(xù)篇，得到了著名數(shù)學(xué)家的高度評(píng)價(jià)。這本書在美國(guó)深受歡迎和推崇，曾譯成多種文字出版發(fā)行，被譽(yù)為第二次世界大戰(zhàn)后出版的經(jīng)典著作之一。我國(guó)科學(xué)出版社于1984年分兩卷將其翻譯出版。
1969年，日本著名數(shù)學(xué)家、教育家米山國(guó)藏發(fā)表了《數(shù)學(xué)的精神、思想與方法》。以數(shù)學(xué)中一些富有啟發(fā)性的實(shí)例為依據(jù)，系統(tǒng)地論述了貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)精神，一些重要數(shù)學(xué)思想與若干有效的數(shù)學(xué)方法。它是把著眼點(diǎn)放在培養(yǎng)人們數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)造精神的一本理論專著，其特點(diǎn)是以數(shù)學(xué)教育為背景，從思想方法入手，結(jié)合史實(shí)深入探討數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)與數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律。作者寫該書的目的有二：一是為了彌補(bǔ)過(guò)去的不足，他說(shuō)：“我認(rèn)為，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)書籍，不論是教科書還是參考書，也不論是大部頭的著作還是論文，都僅僅是記述了數(shù)學(xué)知識(shí)，可以說(shuō)還沒(méi)有一本論述數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想和數(shù)學(xué)的方法的著作”。二是因?yàn)閿?shù)學(xué)、思想和方法是數(shù)學(xué)創(chuàng)造和發(fā)展的源泉，是數(shù)學(xué)教育目的的集中表現(xiàn)，正如他在本書“序”中所指出的：科學(xué)工作者所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)，相對(duì)地說(shuō)是不夠的，而數(shù)學(xué)的精神、思想與方法卻是絕對(duì)必需的；數(shù)學(xué)知識(shí)可以記憶一時(shí)，但數(shù)學(xué)精神、思想與方法卻永遠(yuǎn)發(fā)揮作用，可以受益終生，是數(shù)學(xué)能力之所在，是數(shù)學(xué)教育根本目的之所在。書中總結(jié)和概括出：
(1)貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)中的七個(gè)數(shù)學(xué)精神：①應(yīng)用化的精神；②擴(kuò)張化、一般化的精神；③組織化、系統(tǒng)化的精神；④致力于發(fā)明、發(fā)現(xiàn)的精神；⑤統(tǒng)一建設(shè)的精神；⑥嚴(yán)密化的精神；⑦思想經(jīng)濟(jì)化的精神。
(2)十個(gè)數(shù)學(xué)思想：①“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思考充分自由”的思想；②極限的思想；③構(gòu)成“不定義的術(shù)語(yǔ)組”與“不證明的命題組”的思想；④集合與群的思想；⑤把有限長(zhǎng)看作無(wú)限長(zhǎng)的思想；⑥把曲線看作直線的思想；⑦使得特異幾何、特異數(shù)學(xué)、特異運(yùn)算能夠出現(xiàn)的思想；⑧二維空間、四維空間、高維空間的思想；⑨超限數(shù)的思想；⑩數(shù)學(xué)的神秘性與數(shù)學(xué)美的思想。
(3)數(shù)學(xué)中常用的兩類方法：①證明方法；②研究方法。
文章摘要：數(shù)學(xué)思想方法的研究，自古有之，并取得了一系列進(jìn)展。然而，長(zhǎng)期以來(lái)，由于人們過(guò)于注重記述數(shù)學(xué)研究的事實(shí)與最終成果本身，而忽視總結(jié)、交流和刊發(fā)取得成果的真實(shí)經(jīng)過(guò)及其思想方法，因此數(shù)學(xué)思想方法的研究十分分散，缺乏系統(tǒng)性，發(fā)展緩慢，至今尚未形成一個(gè)獨(dú)立的研究領(lǐng)域和完整的理論體系�！�
日本歷來(lái)重視從思想方法入手研究數(shù)學(xué)教育及其歷史。比如，日本數(shù)學(xué)史家小倉(cāng)金之助于1957年發(fā)表的《數(shù)學(xué)教育史》和1974年發(fā)表的《數(shù)學(xué)教育的歷史》；赤攝也于1967年發(fā)表的《現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想與數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化》；植竹桓男于1975年發(fā)表的《數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育》等，都是把數(shù)學(xué)思想方法研究與數(shù)學(xué)教育緊密結(jié)合在一起的論著。
第四，從哲學(xué)的角度研究。
從哲學(xué)角度來(lái)研究數(shù)學(xué)思想方法，可以說(shuō)是最為多見(jiàn)的。有的哲學(xué)家對(duì)此有興趣，不少數(shù)學(xué)家對(duì)此也很熱心。馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》是一部哲學(xué)著作，但由于它主要是闡述辯證思維方法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)思想的歷史演進(jìn)，所以它又是一部研究數(shù)學(xué)思想方法方面的著作。前面講過(guò)，此手稿是馬克思于19世紀(jì)50年代末到1883年期間寫作的，但當(dāng)時(shí)未能發(fā)表。直到1933年，蘇聯(lián)的雅諾夫斯卡婭，才將此手稿的部分內(nèi)容譯成俄文第一次公開發(fā)表。同年，日本將其譯成日文出版。我國(guó)于1975年出版了中文譯本。恩格斯《自然辯證法》的數(shù)學(xué)札記，也是從哲學(xué)的角度研究數(shù)學(xué)思想方法的。后來(lái)，又出現(xiàn)了許多研究馬克思和恩格斯這兩部著作的論著，從內(nèi)容看，大部分也是屬于從哲學(xué)上研究數(shù)學(xué)思想方法的。
本世紀(jì)70年代以來(lái)，現(xiàn)代西方哲學(xué)家十分重視數(shù)學(xué)思想方法的研究，并發(fā)表了一些論著。比如，英國(guó)數(shù)學(xué)哲學(xué)家拉卡托斯的《證明及反駁》、美國(guó)哲學(xué)家普特南的《數(shù)學(xué)、物質(zhì)與方法》等。這兩部著作都從哲學(xué)上系統(tǒng)地討論了所謂“擬經(jīng)驗(yàn)方法”。近年來(lái)，我國(guó)也出版了從哲學(xué)上探討數(shù)學(xué)思想方法的著作，比如，劉鳳璞等編寫的《數(shù)學(xué)若干辯證內(nèi)容簡(jiǎn)析》，對(duì)數(shù)學(xué)客觀基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)概念的若干辯證性質(zhì)、數(shù)學(xué)運(yùn)算的對(duì)立統(tǒng)一，19世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)的某些進(jìn)展及其特征等，進(jìn)行了較為系統(tǒng)的論述。又比如，傅士俠主編的《科學(xué)前沿的哲學(xué)探索》，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新分支：模糊數(shù)學(xué)、突變理論與非標(biāo)準(zhǔn)分析等進(jìn)行了哲學(xué)分析，得到自然辯證法界的好評(píng)。
關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論的研究，吸引著許多數(shù)學(xué)家的注意力，并取得了不少研究成果。諸如，1956年，日本的竹內(nèi)外史發(fā)表了《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論》，1971年，日本的島內(nèi)綱一發(fā)表了《數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》；1987年，我國(guó)的朱梧槚發(fā)表了《幾何基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》等。
不僅如此，還發(fā)表了一系列從哲學(xué)上研究數(shù)學(xué)思想方法的論文，比如，日本永井博的《數(shù)學(xué)的實(shí)在性-數(shù)理哲學(xué)的一個(gè)問(wèn)題》，前原昭二的《數(shù)學(xué)的哲學(xué)》；蘇聯(lián)馬里尼切夫的《“數(shù)學(xué)的”唯心論批判》，比留科夫的《控制論的哲學(xué)問(wèn)題》，內(nèi)桑巴耶夫的《數(shù)學(xué)發(fā)展中抽象與具體的統(tǒng)一》；我國(guó)黃耀樞的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的歷史與現(xiàn)狀》，鄭毓信的《數(shù)學(xué)直覺(jué)淺析》、王順義的《數(shù)學(xué)是擬經(jīng)驗(yàn)的-拉卡托斯數(shù)學(xué)哲學(xué)述評(píng)》，王前的《試論現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)主義思潮》，林夏水的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的若干哲學(xué)問(wèn)題》等。
第五，從數(shù)學(xué)存在形態(tài)的角度研究。
從數(shù)學(xué)存在形態(tài)如潛在形態(tài)來(lái)研究數(shù)學(xué)思想方法，是我國(guó)最先開始的。1979年，我國(guó)學(xué)者開創(chuàng)了“潛科學(xué)”這一新的研究領(lǐng)域，從科學(xué)潛在形態(tài)的角度探討科學(xué)新思想孕育、產(chǎn)生與發(fā)展的規(guī)律，頗受學(xué)術(shù)界的歡迎。關(guān)于數(shù)學(xué)潛在形態(tài)的研究，目前雖然還沒(méi)有專門的系統(tǒng)著作，但在《潛科學(xué)雜志》上陸續(xù)發(fā)表了一些有關(guān)文章。在潛科學(xué)叢書，如朱新民主編的《科學(xué)史上重大爭(zhēng)論集》、解恩澤主編的《科學(xué)蒙難集》、洪定國(guó)主編的《科學(xué)前沿中的疑難與展望》、李醒民等主編的《思想領(lǐng)域中最高的音樂(lè)神韻-科學(xué)發(fā)現(xiàn)個(gè)例研究》，以及解恩澤主編的《潛科學(xué)導(dǎo)論》等著作中，均有關(guān)于數(shù)學(xué)潛在形態(tài)問(wèn)題的討論。在由解恩澤與趙樹智合作編著的《數(shù)學(xué)思想方法縱橫論》、徐本順與解恩澤合寫的《數(shù)學(xué)猜想-它的思想與方法》和《關(guān)于數(shù)學(xué)猜想的幾個(gè)問(wèn)題》中，則對(duì)數(shù)學(xué)的某些潛在形態(tài)進(jìn)行了專門的探討，為形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)潛在形態(tài)的理論作了一些有益的工作。
第六，從人物評(píng)傳的角度研究。
從人物評(píng)傳的角度研究數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)界歷來(lái)關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題，也是一個(gè)十分有效的途徑。從出版的著作看，除了在一些數(shù)學(xué)家傳記如《數(shù)學(xué)人物》、《女?dāng)?shù)學(xué)家傳》、《祖沖之》、《希爾伯特》、《伽羅華傳》、《華羅庚傳》等著作中零散地介紹一些各自的思想方法外，還有一些集中論述著名數(shù)學(xué)家思想方法的著作，比如，德國(guó)數(shù)學(xué)家梅什克夫斯基于1961年發(fā)表的《大數(shù)學(xué)家的思維方式》一書，就專門分析和介紹了畢達(dá)哥拉斯、阿基米德、庫(kù)薩的尼古拉、帕斯卡、萊布尼茨、高斯、伽羅華、布爾、魏爾斯特拉斯、康托爾和希爾伯特等著名數(shù)學(xué)家的思想方法特點(diǎn)。還比如，日本數(shù)學(xué)史家小堀憲于1968年發(fā)表的《大數(shù)學(xué)家》一書，也選出高斯、柯西、阿貝爾、伽羅華、魏爾斯特拉斯和黎曼等六位大數(shù)學(xué)家，一方面介紹生平，另一方面分析他們的思想方法。再比如，我國(guó)的解延年、尹斌庸著的《數(shù)學(xué)家傳》一書，不僅介紹了61名中外數(shù)學(xué)家的生平經(jīng)歷、“冠軍”記錄和光輝業(yè)績(jī)，而且十分注重闡發(fā)他們的思想方法和哲學(xué)觀點(diǎn)，是一部很有特色的數(shù)學(xué)家傳記。
數(shù)學(xué)思想方法，雖然至今尚未形成一個(gè)完整的理論體系，但本世紀(jì)以來(lái)特別是50年代以來(lái)，越來(lái)越引起人們的關(guān)注，并已經(jīng)取得了一系列重要的研究成果。隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展和人們認(rèn)識(shí)的深化，數(shù)學(xué)思想方法定會(huì)吸引更多的人們?nèi)リP(guān)心它、探討它和發(fā)展它，并使它逐步成為一個(gè)具有完整理論體系的、獨(dú)立的研究領(lǐng)域。
數(shù)學(xué)思想方法研究的意義
文章摘要：從數(shù)學(xué)發(fā)展史上看，長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們對(duì)自己所從事研究領(lǐng)域的思想方法是重視的，并有許多發(fā)明和創(chuàng)造。但是，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法本身尤其是把它作為一個(gè)獨(dú)立的領(lǐng)域或?qū)W問(wèn)來(lái)進(jìn)行研究，卻是很不夠的。究其原因，主要是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法研究的意義缺乏應(yīng)有的認(rèn)識(shí)，那么，研究數(shù)學(xué)思想方法到底有何意義呢?…
【編者按】數(shù)學(xué)同其它各門學(xué)科一樣，在其發(fā)展的過(guò)程中，形成了一系列適合于自身特點(diǎn)的思想方法。這些思想方法不斷為人們所掌握和運(yùn)用，并創(chuàng)造出一個(gè)又一個(gè)成果。過(guò)去對(duì)數(shù)學(xué)成果本身的收集、分析與說(shuō)明較為重視，發(fā)表了許多論著，這是有益的。但是，由于種種原因，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考察與研究卻有所忽略。而正因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)思想方法缺乏應(yīng)有的重視，所以，在一定程度上影響了數(shù)學(xué)成果的取得和數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)。因此，把數(shù)學(xué)思想方法作為一個(gè)獨(dú)立領(lǐng)域加以研究，從方法論的高度，探討其對(duì)象、內(nèi)容、功能以及孕育、形成與發(fā)展的規(guī)律，無(wú)疑對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展與哲學(xué)的研究，都是有重要意義的。
從數(shù)學(xué)發(fā)展史上看，長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們對(duì)自己所從事研究領(lǐng)域的思想方法是重視的，并有許多發(fā)明和創(chuàng)造。但是，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法本身尤其是把它作為一個(gè)獨(dú)立的領(lǐng)域或?qū)W問(wèn)來(lái)進(jìn)行研究，卻是很不夠的。究其原因，主要是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法研究的意義缺乏應(yīng)有的認(rèn)識(shí)，那么，研究數(shù)學(xué)思想方法到底有何意義呢?
一、有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力與改革數(shù)學(xué)教育
我們知道，數(shù)學(xué)教育的根本目的在于培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，即運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題和進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造的本領(lǐng)，而這種能力和本領(lǐng)，不僅表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶，而且更主要地反映在數(shù)學(xué)思想方法的素養(yǎng)。事實(shí)上，我們說(shuō)一個(gè)人數(shù)學(xué)能力強(qiáng)，有數(shù)學(xué)才能，并不簡(jiǎn)單指他記憶了多少數(shù)學(xué)知識(shí)，而主要是說(shuō)他運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問(wèn)題和創(chuàng)造數(shù)學(xué)理論的本領(lǐng)。伽羅華之所以創(chuàng)立群論，羅巴切夫斯基之所以創(chuàng)立非歐幾何，維納之所以創(chuàng)立控制論，不僅僅在于數(shù)學(xué)知識(shí)的積累與記憶，而主要是由于他們?cè)跀?shù)學(xué)思想方法上實(shí)行了革命性的變革所致。對(duì)一個(gè)科技工作者來(lái)說(shuō)，需要記憶的數(shù)學(xué)知識(shí)可多可少，但掌握數(shù)學(xué)思想方法則是絕對(duì)必要的，因?yàn)楹笳呤莿?chuàng)造的源泉，發(fā)展的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)能力的集中體現(xiàn)。在過(guò)去的數(shù)學(xué)教育中，正是因?yàn)檫^(guò)于重視知識(shí)的傳授和背誦，而忽略思想方法的講解和分析，加之傳統(tǒng)的考試制度，所以出現(xiàn)了“高分低能”的現(xiàn)象。要想改變這種狀況，就要狠抓數(shù)學(xué)思想方法的研究與教學(xué)，并把它作為數(shù)學(xué)教育改革的重要內(nèi)容，堅(jiān)持下去，取得成效。
二、有利于充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的功能
數(shù)學(xué)功能的發(fā)揮，同數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)一樣，關(guān)鍵不在于知識(shí)的積累與傳遞，而在于思想方法的領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用以及創(chuàng)造新的思想方法上面。實(shí)踐越來(lái)越證明，數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域、社會(huì)科學(xué)各部門以及生產(chǎn)、生活的各行各業(yè)，都有廣泛的應(yīng)用。這是因?yàn)椋魏问挛锒际橇颗c質(zhì)的統(tǒng)一體，要想真正的認(rèn)識(shí)某一事物，不僅要把握其質(zhì)的規(guī)定性，而且還要了解其量的規(guī)定性，因此，數(shù)學(xué)能夠應(yīng)用于各種物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)。馬克思曾指出：一門科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到了能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算真正發(fā)展了。那么怎樣在各方面更加廣泛地應(yīng)用數(shù)學(xué)呢?我們認(rèn)為，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教育，特別是加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教育，是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)的科學(xué)功能的發(fā)揮，主要是靠數(shù)學(xué)思想方法向科學(xué)各領(lǐng)域的滲透與移植，把數(shù)學(xué)作為一種工具加以運(yùn)用，從而促進(jìn)其發(fā)展。當(dāng)代科學(xué)數(shù)學(xué)化的趨勢(shì)明顯地反映出這一點(diǎn)。數(shù)學(xué)的思維功能的發(fā)揮也是如此。我們說(shuō)數(shù)學(xué)是一種思維工具，實(shí)質(zhì)上就是指它的思想方法。為什么往往通過(guò)數(shù)學(xué)的考核來(lái)判定一個(gè)兒童的思維能力與智力水平呢?其根據(jù)也在這里。至于數(shù)學(xué)的社會(huì)功能的發(fā)揮，同樣還是靠數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。我們說(shuō)某人辦事有數(shù)學(xué)頭腦，無(wú)非是說(shuō)他能靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。歐拉作為一位數(shù)學(xué)家，之所以不僅在代數(shù)、數(shù)論、微積分等數(shù)學(xué)分支研究上取得了突出成果，而且還在力學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)、航海、造船、建筑等許多非數(shù)學(xué)領(lǐng)域與部門做出重大貢獻(xiàn)，集中到一點(diǎn)就是他具有深刻的數(shù)學(xué)思想和非凡的運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的才能。這也是他之所以能成為數(shù)學(xué)史上著名應(yīng)用數(shù)學(xué)大師的根本原因所在。
三、有利于深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)與全面把握數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律
在數(shù)學(xué)思想方法的研究中，我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容辯證性質(zhì)的探討，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。馬克思和恩格斯在自己的著作中，都對(duì)微積分內(nèi)容的辯證性質(zhì)作過(guò)精辟的分析，并從而概括其本質(zhì)。馬克思在《數(shù)學(xué)手稿》中，著重對(duì)導(dǎo)函數(shù)概念作了探討。他認(rèn)為，導(dǎo)函數(shù)生成的過(guò)程就是原函數(shù)經(jīng)歷了“否定之否定”的發(fā)展過(guò)程，并深刻指出：“理解微積分運(yùn)算時(shí)的全部困難（正像理解否定的否定本身時(shí)那樣），恰恰在于要看到微積分運(yùn)算是怎樣區(qū)別于這樣簡(jiǎn)單手續(xù)并因此導(dǎo)出實(shí)際結(jié)果的�！倍鞲袼乖谡劦轿⒎e分的本質(zhì)時(shí)，也曾經(jīng)明確指出：“變數(shù)的數(shù)學(xué)-其中最重要的部分是微積分-本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用”。事實(shí)上，微積分中所運(yùn)用的思想方法，實(shí)質(zhì)上就是辯證法。就拿微積分中最基本的牛頓-萊布尼茨公式來(lái)說(shuō)，就是通過(guò)常量與變量的相互轉(zhuǎn)化而推得的。本來(lái)作為曲邊梯形面積的定積分是一個(gè)確定的常量，但為了推導(dǎo)牛頓-萊布尼茨公式，卻特地把此定積分看作是上限函數(shù)，即把常量轉(zhuǎn)化為變量。然后，在證明一個(gè)定理成立的基礎(chǔ)上，又反過(guò)來(lái)把變量轉(zhuǎn)化為常量，最終得到了這一公式。因此，我們可以說(shuō)，牛頓-萊布厄茨公式就是常量與變量辯證統(tǒng)一的結(jié)果。
關(guān)于通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的研究，可更加全面把握數(shù)學(xué)規(guī)律的問(wèn)題，前面已經(jīng)講過(guò)，它可從數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾運(yùn)動(dòng)這個(gè)側(cè)面來(lái)發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)規(guī)律，以彌補(bǔ)過(guò)去只注重從外面研究的不足。比如，在關(guān)于數(shù)學(xué)潛形態(tài)的研究中，一方面可以提高對(duì)數(shù)學(xué)新思想萌發(fā)和形成規(guī)律的認(rèn)識(shí)，另一方面，還可以加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)由“潛”到“顯”轉(zhuǎn)化機(jī)制的掌握。研究表明：對(duì)新事實(shí)的解釋、對(duì)理論體系自身矛盾的研究、對(duì)個(gè)體結(jié)論的推廣等，均是科學(xué)新思想產(chǎn)生的有效途徑;樹立科學(xué)成效觀、積極開展自由論爭(zhēng)、大力倡導(dǎo)科學(xué)伯樂(lè)精神、實(shí)行科學(xué)的組織管理等，都是加速科學(xué)由“潛”到“顯”轉(zhuǎn)化的重要機(jī)制。這對(duì)深入探討數(shù)學(xué)由“潛”到“顯”轉(zhuǎn)化的規(guī)律，顯然具有啟示意義和參考價(jià)值。
總之，數(shù)學(xué)思想方法的研究，具有十分重要而深遠(yuǎn)的意義。我們相信，數(shù)學(xué)思想方法作為一個(gè)獨(dú)立的研究領(lǐng)域，必將不斷取得新的研究成果，為數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、教育科學(xué)與哲學(xué)的發(fā)展，做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。
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