小學(xué)數(shù)學(xué)難題的解決方法（包括題型）
巧判斷能被4、6、8、9、7、11、13、17、19、23、25、99、125、273約的數(shù)
能被4約：末尾兩位數(shù)是0或能被4約的數(shù)。例如36900，987136。
能被6約：既能被2約又能被3約的數(shù)。例如114，914860。
能被8約：末三位是0或能被8約的數(shù)。例如321000，5112。
能被9約：能被9整除的準(zhǔn)則以下列的事實(shí)為基礎(chǔ)，即在十進(jìn)系統(tǒng)中，1以后帶幾個(gè)零的數(shù)(即10的任何次冪)在被9除時(shí)必然得出余數(shù)1。實(shí)際上，
第一項(xiàng)都是由9組成的，顯然能被9整除。因此，10n被9除時(shí)必然得余數(shù)1。
然后，我們?cè)倏慈我獾臄?shù)，例如4351。一千被9除得余數(shù)1，于是四千被9除得余數(shù)4。同樣，三百被9除得余數(shù)3，五十被9除得余數(shù)5，還余下個(gè)位數(shù)1。因而，
4351=能被9整除的某一個(gè)數(shù)+4+3+5+1
如果“尾數(shù)”4+3+5+1(它是該數(shù)的各位數(shù)字之和)能被9整除，那么，整個(gè)數(shù)也能被9整除。因而可得到結(jié)論：如果某一個(gè)數(shù)的“各位數(shù)字的和”能被9整除，那么這個(gè)數(shù)也能被9整除。例如 111222，8973。
9的倍數(shù)除以9，其商有如下特點(diǎn)：
被除數(shù)是兩位數(shù)，商是被除數(shù)尾數(shù)的補(bǔ)數(shù)，即補(bǔ)足10的數(shù)。
例如 63÷9=7，3的補(bǔ)數(shù)是7。
被除數(shù)是三位數(shù)，商首同尾互補(bǔ)。
例如
被除數(shù)是四位數(shù)，商的中間數(shù)字是被除數(shù)前兩位數(shù)字之和。
被除數(shù)是五、六位數(shù)……原理同上。商的第二位數(shù)字是被除數(shù)前兩位數(shù)字之和，第三位數(shù)字是被除數(shù)前三位數(shù)字的和……
能被7約∶70以?xún)?nèi)的兩位數(shù)能否被7約一目了然，大于70的兩位數(shù)只要減去70也就一清二楚了。
三位數(shù)，只要把百位數(shù)字乘以2加余下約數(shù)，和能被7約這三個(gè)數(shù)就能被7約。例如812，
(8×2+12)÷7=4。
百位數(shù)字乘以2，是因?yàn)?00除以7得商14余2，即每個(gè)100余2，把它放到十位數(shù)里。
四位數(shù)，只要在百位數(shù)的計(jì)算方法上減去千位數(shù)字。因?yàn)?001能被7約，即1000要能被7約還缺1，有幾個(gè)1000應(yīng)減去幾。例如1820，
(8×2+20-1)÷7=5。
能被11約：
奇偶位數(shù)差法：一個(gè)數(shù)奇位上的數(shù)字和與偶位上的數(shù)字和的差(大數(shù)減小數(shù))是0或11的倍數(shù)的數(shù)。
例1 3986576
(6+5+8+3)-(7+6+9)
=22-22=0，
則11|3986576。
例2 9844
(9+4)-(8+4)
=13-12=1，
則 11 9844。
小節(jié)法：把判斷數(shù)從個(gè)位起每?jī)晌环殖梢恍」?jié)，最后的不足兩位數(shù)也當(dāng)作一節(jié)。只要看各小節(jié)之和是否有約數(shù)9或11。
例3 2879503
03+95+87+2
=187=11×17，
即11| 2879503。
例4 1214159265
65+92+15+14+12
=198=2×9×11，
即9|1214159265，11|1214159265。
能被7或11或13約的數(shù)一次性判斷法：
那么要判別N能否被7或11或13約，只須判別A與B(或B與A)的差能否被7或11或13約。
證明：因?yàn)?000=7×11×13-1
10002=(7×11×13-1)2
=7×11×13的倍數(shù)+1
10003=7×11×13的倍數(shù)-1
……
例 5 987198719871
由 A-B=(871+198)-(719+987)
=1069-1706，
知 B-A=637=72×13。
即能被7和13約，不能被11約。
例6 21203547618
由(618+203)-(547+21)
=253=11×23，
知原數(shù)能被11約，不能被7或13約。
若其差為0，則這個(gè)數(shù)必能同時(shí)被7、11、13約。
例如 8008 8-8=0，
則8008÷7=1144，8008÷11=728，
8008÷13=616。
能被17約：
(1)末兩位數(shù)與以前的數(shù)字組成的數(shù)的2倍之差數(shù)(或反過(guò)來(lái))能被17約的數(shù);
(2)末三位數(shù)與以前的數(shù)字組成的數(shù)的3倍之差數(shù)(或反過(guò)來(lái))能被17約的數(shù);
(3)末三位數(shù)的6倍與以前的數(shù)字組成的.數(shù)之差數(shù)(或反過(guò)來(lái))能被17約的數(shù)。
例如，31897168
由(1)得318971×2-68=637874，
重復(fù)四次得 170，17|170，
故知 17|31897168。
由(2)得 31897×3-168=95523，
523-95× 3=238，
17|238，故知17|31897168。
由(3)得31897-163×6=30889，
再由(2)889-30×3=799，
最后由(1)99-7×2=85，
17|85，則 17|31897168。
能被19約：
(1)末三位數(shù)的3倍與以前的數(shù)字組成的數(shù)的2倍之差(或反過(guò)來(lái))能被19約的數(shù);
(2)末兩位數(shù)的2倍與以前的數(shù)字組成的數(shù)的9倍之差(或反過(guò)來(lái))能被19約的數(shù);
(3)末三位數(shù)的11倍與以前的數(shù)字組成的數(shù)之差(或反過(guò)來(lái))能被19約的數(shù)。
例如，742050833
由(3)得742050-833×11=732887，
再由(1)887×3-732×2=1197，
最后由(2)97×2-11×9=95，
19|95，則19|742050833。
能被23約：
(1)末三位數(shù)的2倍與以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被23約的數(shù);
(2)末兩位數(shù)的2倍與以前的數(shù)字組成的數(shù)的7倍之差能被23約的數(shù)。
例如，542915
由(1)得915×2-542=1288，
288×2-1=575，
23|575，則23|542915。
由(2)5429×7-15×2=37973，
379×7-73×2=2507，
25×7-7×2=161，
23|161，則23|542915。
能被25約：
末兩位數(shù)是00、25、50、75的自然數(shù)。
能被99約：
可同時(shí)被3與33或9與11約的自然數(shù)。
能被99各因數(shù)約：
把被判斷的數(shù)從個(gè)位起，每?jī)晌环殖梢欢�，各段�?shù)之和能被各因數(shù)的某一因數(shù)約，這個(gè)數(shù)就能被這個(gè)因數(shù)約。
證明：設(shè)這個(gè)數(shù) N=a0+a1·10+a2·102+a3·103+a4·104+a5·105+……
因?yàn)?9×(a3a2+101×a5a4+……)能被99的因數(shù)33、11、9、3約。
所以當(dāng)(a1a0+a3a2+a5a4+……)能被33、11、9、3約時(shí)，N也能被這四個(gè)數(shù)約。當(dāng)N是奇位數(shù)時(shí)，仍然成立。
例7 4326321
4+32+63+21=120，
3|120，則3|4326321。
例8 84564
8+45+64=117，
9|117，則 9|84564。
例9 493526
49+35+26=110，
11|110，則11|493526。
例10 18270945
18+27+09+45=99，
33|99，則33|18270945。
能被273約：
根據(jù)定理：若c|b、c a、則b a。
例如，判別272452654能否被273整除。
3|273，3 272452654，
則 273 272452654。
若判斷36786360能否被24約，根據(jù)定理：
若b|a，c|a，(b，c)=1，
則其 bc|a。
因?yàn)?4=3×8，(3，8)=1，
3|36786360，8|36786360，
所以 24|36786360。
同理，因?yàn)?32=3×4×11，
(3，4，11)=1，
而3、4、11能分別約992786256，
則132|992786256。
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