數(shù)學(xué)中集合與簡(jiǎn)易邏輯解題技巧
基本概念、公式及方法是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)工具和基本技能，為此作為臨考前的高三學(xué)生，務(wù)必首先要掌握高中數(shù)學(xué)中的概念、公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基本題型，明確解題中的易誤點(diǎn)，還應(yīng)了解一些常用結(jié)論，最后還要掌握一些的應(yīng)試技巧。本資料對(duì)高中數(shù)學(xué)所涉及到的概念、公式、常見(jiàn)題型、常用方法和結(jié)論及解題中的易誤點(diǎn)，按章節(jié)進(jìn)行了系統(tǒng)的整理，最后闡述了考試中的一些常用技巧，相信通過(guò)對(duì)本資料的認(rèn)真研讀，一定能大幅度地提升高考數(shù)學(xué)成績(jī)。
1.集合元素具有確定性、無(wú)序性和互異性. 在求有關(guān)集合問(wèn)題時(shí)，尤其要注意元素的互異性。 舉例如下： (1)設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q=，若，，則P+Q中元素的有________個(gè)。(答：8) (2)設(shè)，，，那么點(diǎn)的充要條件是________(答：); (3)非空集合，且滿足“若，則”，這樣的共有_____個(gè)(答：7)
2.遇到時(shí)，你是否注意到“極端”情況：或;同樣當(dāng)時(shí)，你是否忘記的情形?要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 舉例如下： 集合，，且，則實(shí)數(shù)=______.(答：)
3.對(duì)于含有個(gè)元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為 。 舉例如下： 滿足集合M有______個(gè)。 (答：7)
4.集合的運(yùn)算性質(zhì)： ⑴; ⑵;⑶; ⑷; ⑸; ⑹;⑺。 舉例如下： 如設(shè)全集，若，，，則A=_____，B=___.(答：，)
5. 研究集合問(wèn)題，一定要理解集合的意義――抓住集合的`代表元素。如：—函數(shù)的定義域;—函數(shù)的值域;—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集。 舉例如下： (1)設(shè)集合，集合N=，則___(答：); (2)設(shè)集合，， ，則_____(答：)
6. 數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，在具體計(jì)算時(shí)不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問(wèn)題。 舉例如下： 已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 (答：)
7.復(fù)合命題真假的判斷�！盎蛎}”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”;“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”;“非命題”的真假特點(diǎn)是“真假相反”。 舉例如下： 在下列說(shuō)法中： ⑴“且”為真是“或”為真的充分不必要條件; ⑵“且”為假是“或”為真的充分不必要條件; ⑶“或”為真是“非”為假的必要不充分條件; ⑷“非”為真是“且”為假的必要不充分條件。其中正確的是__________(答：⑴⑶)
8.四種命題及其相互關(guān)系。若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p”;否命題為“若﹁p 則﹁q” ;逆否命題為“若﹁q 則﹁p”。 提醒： (1)互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題，即原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià); (2)在寫(xiě)出一個(gè)含有“或”、“且”命題的否命題時(shí)，要注意“非或即且，非且即或”; (3)要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對(duì)命題的條件和結(jié)論都否定，而命題的否定僅對(duì)命題的結(jié)論否定; (4)對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題，一般利用等價(jià)關(guān)系“”判斷其真假，這也是反證法的理論依據(jù)。 (5)哪些命題宜用反證法?如(1)“在△ABC中，若∠C=900，則∠A、∠B都是銳角”的否命題為 (答：在中，若，則不都是銳角);(2)已知函數(shù)，證明方程沒(méi)有負(fù)數(shù)根。
9.充要條件。關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論(劃主謂賓)，由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件;由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。從集合角度解釋，若，則A是B的充分條件;若，則A是B的必要條件;若A=B，則A是B的充要條件。比如： (1)給出下列命題：①實(shí)數(shù)是直線與平行的充要條件;②若是成立的充要條件;③已知，“若，則或”的逆否命題是“若或則”;④“若和都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是假命題 。其中正確命題的序號(hào)是_______(答：①④); (2)設(shè)命題p：;命題q:。若┐p是┐q的必要而不充分的條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (答：)
10. 一元一次不等式的解法：通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟化為的形式，若,則;若,則;若,則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。 如已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)______(答：)
11. 一元二次不等式的解集(聯(lián)系圖象)。尤其當(dāng)和時(shí)的解集你會(huì)正確表示嗎?設(shè),是方程的兩實(shí)根，且，則其解集如下表： 或 或 R R R 如解關(guān)于的不等式：。(答：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，或;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，)
12. 對(duì)于方程有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題。首先要討論最高次項(xiàng)系數(shù)是否為0，其次若，則一定有。對(duì)于多項(xiàng)式方程、不等式、函數(shù)的最高次項(xiàng)中含有參數(shù)時(shí)，你是否注意到同樣的情形?比如： (1)對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是_______(答：); (2)關(guān)于的方程有解的條件是什么?(答：，其中為的值域)，特別地，若在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根滿足等式，則實(shí)數(shù)的范圍是_______.(答：)
13.一元二次方程根的分布理論。方程在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什么? (、、)。根的分布理論成立的前提是開(kāi)區(qū)間，若在閉區(qū)間討論方程有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開(kāi)區(qū)間上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，再令和檢查端點(diǎn)的情況. 如實(shí)系數(shù)方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，則的取值范圍是_________(答：(，1))
14.二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系你了解了嗎?二次方程的兩個(gè)根即為二次不等式的解集的端點(diǎn)值，也是二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。比如： (1)不等式的解集是，則=__________(答：); (2)若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)_______(答：); (3)不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______(答：)。
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