淺談數(shù)學(xué)中的邏輯方法之歸納與推理
歸納推理是通過(guò)各種手段（觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較等）對(duì)許多個(gè)別事物的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，邏輯推導(dǎo)出各現(xiàn)象之間的因果關(guān)系，并逐步過(guò)渡到普遍化的一般法則的推理方法。
思維是人對(duì)事物的一般性與規(guī)律性的一種間接的、概括的反映過(guò)程，又是一個(gè)復(fù)雜而高級(jí)的心理過(guò)程。按是否可程式化，思維可分為邏輯思維與非邏輯思維兩種基本類(lèi)型。數(shù)學(xué)從它產(chǎn)生的年代起，數(shù)學(xué)與邏輯就是不可分的。邏輯思維方法是數(shù)學(xué)中最常用與最基本的思維方法。所謂邏輯推理就是指根據(jù)已知的判斷，遵守邏輯規(guī)律與法則，推出新的判斷的思維過(guò)程。
歸納推理是通過(guò)各種手段（觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較等）對(duì)許多個(gè)別事物的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，邏輯推導(dǎo)出各現(xiàn)象之間的因果關(guān)系，并逐步過(guò)渡到普遍化的一般法則的推理方法。
歸納推理可按照它考查的`對(duì)象是否完全而分為完全歸納法和不完全歸納法。
一、完全歸納法
完全歸納法是根據(jù)某類(lèi)事物的全體對(duì)象的屬性進(jìn)行概括的推理方法。在數(shù)學(xué)中它可分為窮舉歸納法與類(lèi)分法兩種。
1.窮舉歸納法
窮舉歸納法是數(shù)學(xué)中常用的一種完全歸納法。它是對(duì)具有有限個(gè)對(duì)象的某類(lèi)事物進(jìn)行研究時(shí)，把它所有的對(duì)象的屬性分別討論，當(dāng)肯定了它們都有某一屬性（作出特稱(chēng)判斷），從而得到這類(lèi)事物都有這一屬性的一般結(jié)論（全稱(chēng)判斷）的歸納推理。
在數(shù)學(xué)中所考察的對(duì)象大多數(shù)是無(wú)窮多的，窮舉這種方法很多情況下不適用。然而，對(duì)于有些無(wú)限多的對(duì)象，如果可將其分為有限的幾個(gè)類(lèi)來(lái)分別研究，這就是類(lèi)分法。
2.類(lèi)分法
所謂分類(lèi)，用集合語(yǔ)言可定義如下：
在中學(xué)數(shù)學(xué)里有許多需要用到完全歸納法證明的問(wèn)題。在證明時(shí)，先對(duì)研究的對(duì)象按前提中可能存在的一切情況作如上所述的分類(lèi)，再按類(lèi)分別進(jìn)行證明。如每類(lèi)均得證，則全稱(chēng)判斷（結(jié)論）就得到了，此即為類(lèi)分法。如正弦定理中邊與對(duì)角正弦的比等于外接圓直徑的性質(zhì)，其證明就是分銳角、直角、鈍角三類(lèi)情況進(jìn)行的。如果完全歸納法的每一類(lèi)（個(gè)）前提都是真的，那么結(jié)論一定是真的，所以，它是一種嚴(yán)格的推理方法。在數(shù)學(xué)中可以用來(lái)進(jìn)行證明。
二、不完全歸納法
在數(shù)學(xué)中運(yùn)用完全歸納法往往會(huì)遇到困難，這不僅是因?yàn)樵谖覀兯疾斓氖挛镏校行┖袩o(wú)限多個(gè)對(duì)象而又不能進(jìn)行有限的分類(lèi)，從而不能使用窮舉法;而且窮舉那些有限的，然而又是不少的事物也不是一件輕而易舉的事，所以人們往往只根據(jù)部分對(duì)象具有某種屬性作出概括。這種根據(jù)考察的一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某一屬性，而作出該類(lèi)事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的推理方法稱(chēng)為不完全歸納法。
從數(shù)學(xué)發(fā)展史可以清楚地看到，無(wú)論是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，還是具體給出一個(gè)概念的定義，都經(jīng)歷過(guò)一個(gè)積累經(jīng)驗(yàn)材料的時(shí)期，從大量觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)得來(lái)的材料發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，總結(jié)出數(shù)學(xué)定理或原理，這是數(shù)學(xué)工作中最初步的然而又是基本的工作。高斯說(shuō)過(guò)他的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納法取得的。不完全歸納法雖然不能作為嚴(yán)密的論證方法，但是它能使我們迅速發(fā)現(xiàn)一些數(shù)量關(guān)系的規(guī)律，為我們提供研究方向。素?cái)?shù)分布論中許多著名定理，如素?cái)?shù)定理、貝特朗定理、狄里克雷定理等，都是先用不完全歸納法從經(jīng)驗(yàn)概括出來(lái)成為猜想，然后再經(jīng)嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)，設(shè)法給予證明的。還有更多由不完全歸納法得到的猜想，初步揭示了素?cái)?shù)的分布規(guī)律，但至今未得到證明。所以數(shù)學(xué)家十分重視不完全歸納法的作用。中學(xué)教材里從具體數(shù)的演算概括出運(yùn)算律，用的就是不完全歸納法。在數(shù)學(xué)中，不完全歸納法又可分為枚舉歸納法與因果關(guān)系歸納法。
1.枚舉歸納法
枚舉歸納法是先找?guī)讉�(gè)特殊對(duì)象進(jìn)行試驗(yàn)，然后歸納出共性特征，最后提出一種比較合理的猜想的推想方法。它的步驟可概括為“試驗(yàn)——?dú)w納——猜想”，至于要考察多少個(gè)特殊對(duì)象，那要看具體情況。
2.因果關(guān)系歸納法
因果規(guī)律的特點(diǎn)，在前后相繼的一些現(xiàn)象中，通過(guò)某些現(xiàn)象的相關(guān)變化，歸納出現(xiàn)象間的因果聯(lián)系。這種方法叫做因果關(guān)系歸納法。大體可分為以下五類(lèi)。
(1)求同法：從不同場(chǎng)合中找出相同元素，即發(fā)現(xiàn)各種條件中只有一個(gè)因素是普遍存在的，那么A就是a的原因。
(2)差異法：從兩種場(chǎng)合之差異找出因果聯(lián)系。
(3)求同差異共同法：探討求同法與差異法二者結(jié)合尋找因果聯(lián)系。
(4)共變法：從某一現(xiàn)象變化引起的另一現(xiàn)象變化中，找出兩現(xiàn)象之間的因果聯(lián)系。
(5)剩余法：在一組復(fù)雜現(xiàn)象中，把已知因果聯(lián)系的現(xiàn)象減去，探求其他現(xiàn)象的原因。
五種方法中，最基本的是1與2，它們都是發(fā)現(xiàn)因果聯(lián)系的方法。
不完全歸納法的客觀(guān)基礎(chǔ)是個(gè)性和共性的對(duì)立統(tǒng)一，個(gè)性中包含著共性，通過(guò)個(gè)性可以認(rèn)識(shí)共性；個(gè)性中有些現(xiàn)象反映本質(zhì)，有些則不反映本質(zhì)，有些屬性為全體所共有，有些屬性則只存在于部分對(duì)象中，這就決定了從個(gè)性中概括出來(lái)的結(jié)論不一定是事物的共性，也不一定抓住了事物的本質(zhì)。不完全歸納法的客觀(guān)基礎(chǔ)決定了這種推理的邏輯特點(diǎn)：它雖然是一種擴(kuò)大知識(shí)、發(fā)現(xiàn)真理的方法，但往往是一種不嚴(yán)密的、或然性的推理。用不完全歸納法提出的結(jié)論，僅僅是一種預(yù)測(cè)性的設(shè)想，它的正確與否，還要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明或舉反例來(lái)判定。
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