關于數(shù)學最讓人難以理解的一點分析
Scott Aaronson是麻省理工學院電子工程與計算機科學專業(yè)的一名副教授，隸屬于計算機科學與人工智能實驗室。他是《從德謨克利特到量子計算》（Quantum Computing since Democritus , 2013）的作者。
在某種意義上，數(shù)學中的謎題比其他任何人類竭力探索的領域都要少。在數(shù)學上，我們可以真正地理解一些事物，比理解其他事物更加深刻。（當我年輕時，每當看懸疑電影時感到恐慌，我就會用背誦數(shù)學定理證明的方法來讓自己安心，因為至少這里面的確定性是電影無法撼動的。）那么為何還有許多人，尤其是數(shù)學家，對這個謎題最少的學科感到迷惑呢？他們在疑惑什么呢？
數(shù)學世界當然是存在謎題的。對于入門者而言，數(shù)學有著數(shù)以千計的未解之謎，比如一些無人能證明或證偽的推斷，其中有些甚至耗費了數(shù)學家數(shù)十年的努力仍未能解決。盡管許多此類問題都很深奧和重要，我們現(xiàn)在仍可以找出一個簡單的例子：沒人能夠證明，圓周率π=3.141592653589…無盡的小數(shù)部分，數(shù)字0到9出現(xiàn)的頻率是相等的。
然而，出于一些原因（也適用于許多其他未解數(shù)學問題），是否該把這個問題稱為“謎題”還有爭議。對于大多數(shù)人來講，如果這些數(shù)字事實上并非等頻率出現(xiàn)，那才算得上引人好奇的謎題。但在數(shù)學上，最大的難題其實是要嚴密地證明：真實的情況就是任何具備常識的人經(jīng)仔細思考后認為最可能發(fā)生的情況。正如威斯康星大學的數(shù)學家Jordan Ellenberg寫道，數(shù)學的一個骯臟秘密就是許多未解問題都有一個相似點：它們?nèi)鄙偕衩氐那珊稀?/p>
舉個例子，孿生素數(shù)猜想認為，有無限組相差為2的素數(shù)對（如3和5，或者11和13）。Ellenberg解釋道，要讓這個猜想成立，并不需要什么神秘 “力量”將素數(shù)聚攏一起，只要別有什么神秘力量把素數(shù)拆散就行了；或者以黎曼猜想為例，即一個特定的復變函數(shù)，無限多的非平凡零點都在一條直線上。當該假說被這樣描述時，聽上去的確像是個謎。為什么無限多的數(shù)字都要恰好排列在一條線上呢？
但當你認識到，這個函數(shù)的每一個零點都編碼了素數(shù)分布的全局信息時，神秘感也就消退了：只要有一個零點不在這條線上，就意味著有無限多的素數(shù)會以看上去極為不可能的方式聚攏在一起。所以，如果你愿意，總得有一種神秘的規(guī)律存在，從而阻止更加神秘的第二種規(guī)律出現(xiàn)。
當然，并非所有的數(shù)學謎題都是要嚴密地論證常識的預測結(jié)果。1978年，肯考迪婭大學的John McKay注意到數(shù)字196883出現(xiàn)在兩個看起來毫不相關的數(shù)學領域。這是單純的巧合么？1998年，Richard Borcherds（現(xiàn)就職于于加利福尼亞大學伯克利分校）證明了這絕非巧合（這受到英國數(shù)學家John Conway和Simon Norton提出的“魔群月光”猜想的啟發(fā)），并因此獲得了菲爾茲獎。
你也許會覺得數(shù)學是一個巨大的陰謀：在某時某地，我們常會發(fā)現(xiàn)生活中的一些事物竟能夠如此一致，這樣的幾率也太高了，以至于我們得說這絕非巧合，背后一定有更深入的解釋等著被發(fā)掘。另一方面，恰恰由于整個學科都充滿了非巧合的模式，一旦你在數(shù)學上投入了足夠的時間，你也就見怪不怪了。
因此，關鍵的問題在于：當一個數(shù)學模型被解釋——不僅是被證明，而是已經(jīng)用20種不同方法證明，完全被理解，就像勾股定理一樣——那還剩有神秘么？我會說也許還有吧，但并不確定。
兩年前，一位捷克弦理論家，同時也是以保守態(tài)度而知名的數(shù)學博主Lubo? Motl曾指責理論計算機科學家不該相信“P≠NP” 猜想——這是計算領域一個未被證明的核心理論，但就這樣一個毫無合理依據(jù)的“偏見”，居然就成了包括我在內(nèi)的理論計算機領域人士的群體思維和意識形態(tài)，他認為這是不可接受的。因為持這種看法的不止Motl一人，他的指控本身并不是那么引人注目，但他走得更遠：盡管他作出了讓步，認為在更接近物理學的數(shù)學領域里，或許會存在支持某一陳述為真的客觀原因，但他聲稱，在遠離物理學的分支里，數(shù)學就會變成一堆命題的雜亂堆砌。
有一些命題碰巧得到了證明，我們也因此同意它們是對的，就像我們會同意532+193=725一樣。但如果一個命題沒能被證明或者被證偽，在Motl看來，我們甚至都沒有辦法以比50%更高的概率“猜”出它到底是真是偽。這一不知真?zhèn)蔚拿}無法與任何已經(jīng)被證明的命題建立可靠的聯(lián)系，也不能被歸入更寬泛的模式中，只能引出一個接一個不知真假的引理。
然而，我自己在研究中從未有過這種經(jīng)歷，我認識的其他任何從事數(shù)學工作的人也從未有過這種經(jīng)歷。沒錯，人們有時會感到驚訝，驚訝也是驚喜的重要來源之一。但驚訝之所以為驚訝，就在于它們的稀有，因為其他大部分時候，事情都如專家預期般發(fā)展。而驚訝為何如此稀有，本身就是一個令人驚訝的謎。數(shù)學本可能變成Motl所說的樣子：在數(shù)學領域，我們所關注的命題到底是對是錯，背后并不存在人類能夠理解的理由。但總的來說，數(shù)學并沒有變成這樣，為什么呢？
我們可以把這個問題表述得更清晰一些：在奧地利出生的.數(shù)學家?guī)鞝柼亍じ绲聽枺↘urt G?del）告訴我們，如果我們無法得到一個數(shù)學問題的答案（除了可以被歸結(jié)于有限步計算的問題，例如白棋在游戲中能否取勝），有可能是因為這個命題的解從根本上就不能用尋常的數(shù)學公理來證明或證偽。這一發(fā)現(xiàn)被稱為“哥德爾不完備性定理”，給整個數(shù)學界帶來了軒然大波。但是，85年之后，我們卻發(fā)現(xiàn)，這一定理大多數(shù)時候卻都處于休眠狀態(tài)。哥德爾的不完備定理只在特定情況下適用：只適用于某些關于整個公理系統(tǒng)的問題（通常只在你有意尋找不可證命題時才會遇到）；或是超限集合論中的某些問題（然而有人認為這些問題本來就不需要有確定的答案）；或是關于一組由0和1組成的特定字符串是否無規(guī)律的問題（這個問題好像也沒有什么普遍意義，除非你出于某種理由對某個特定的無規(guī)字符串感興趣）；或是設計超快增長函數(shù)的問題。
為什么會這樣？為什么哥德爾不完備性定理并沒有大幅破壞數(shù)學的一致性呢？數(shù)學本可以不是這個樣子：理論上，費馬大定理、龐加萊猜想和其他關于數(shù)學的命題也都可以既無法證明也無法證偽，而如果這樣，那么所有關于數(shù)學的有趣的事實就會分崩離析，成為一個個孤立的島嶼，這樣，每個島上就只剩一個問題，我們唯一需要操心的就是是否應該把它定為新的公理（而這也僅僅是個人口味問題罷了）。但情況并非如此：數(shù)學家發(fā)現(xiàn)的并不是數(shù)以百萬的孤立“島嶼”，而是一個“超大陸”，海岸外只有零星幾個“島嶼”——而大多數(shù)“島嶼”，隨著探索的深入，也最終與大陸聯(lián)系在了一起。
于是問題又來了：為什么呢？一個可能的原因是選擇效應：數(shù)學中當然有許多無規(guī)律的部分，但正因為它們無規(guī)律，人類也就對它沒有興趣了。我們教給學生、寫入教科書（或者寫入像本文一樣夸夸其談的文章里）的部分，都是最終會與“大陸”聯(lián)系起來的部分。同樣地，沒有人會驚嘆于傳記主角為什么會有如此精彩的生活，因為如果他們沒有如此精彩的人生經(jīng)歷，也就不會有人為他們寫傳記了。
在我看來，這就是答案的一部分，但并不是答案的全部，因為它并不能解釋所有數(shù)學家都會遇到的一些事情：數(shù)學中很多看似無關的概念之間經(jīng)常有著驚人相似的模式，或者有讓人意想不到的聯(lián)系，甚至是在無人能夠提前預知的情況下。
第二個可能的原因是，即使是數(shù)學中看上去脫離物理的部分，也是由我們對物理世界的經(jīng)驗間接啟發(fā)得來的——所以，由于我們所在的物理世界是內(nèi)在一致的，它們也是內(nèi)在一致的。這個答案可能會將“數(shù)學為何可以被人理解，又為何如此優(yōu)雅”的謎題推回到另一個謎題，即匈牙利出生的數(shù)學家尤金·維格納（Eugene Wigner）所說的物理科學中數(shù)學的“不合理有效性”。
第三類原因則可能在于人類大腦的獨特特征：它有一種神奇能力，天生傾向?qū)Ｗ⒂诮K將可解的數(shù)學問題，同時天生傾向于研究彼此之間能產(chǎn)生有趣聯(lián)系的概念，即使大腦并不知道自己在這么做。
我不知道到底哪種答案更接近真實，或者說還有其他完全不同的答案。不過，我依然可以自信地說，數(shù)學是神秘的——但最神秘的一點，是它為什么竟然沒有那么神秘。
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