數(shù)學(xué)是怎么來的？

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　　數(shù)學(xué)是怎么來的？

　　數(shù)學(xué)，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科，從某種角度看屬于形式科學(xué)的一種。數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家對數(shù)學(xué)的確切范圍和定義有一系列的看法。

　　而在人類歷史發(fā)展和社會生活中，數(shù)學(xué)也發(fā)揮著不可替代的作用，也是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具。

　　發(fā)展歷史

　　數(shù)學(xué)，其有學(xué)習(xí)、學(xué)問、科學(xué)之意。古希臘學(xué)者視其為哲學(xué)之起點(diǎn)，“學(xué)問的基礎(chǔ)”。另外，還有個(gè)較狹隘且技術(shù)性的意義——“數(shù)學(xué)研究”。即使在其語源內(nèi)，其形容詞意義凡與學(xué)習(xí)有關(guān)的，亦會被用來指數(shù)學(xué)的。

　　其在英語的復(fù)數(shù)形式，及在法語中的復(fù)數(shù)形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性復(fù)數(shù)（Mathematica），由西塞羅譯自希臘文復(fù)數(shù)τα μαθηματικ（ta mathēmatiká）．

　　在中國古代，數(shù)學(xué)叫作算術(shù)，又稱算學(xué)，最后才改為數(shù)學(xué)．中國古代的算術(shù)是六藝之一（六藝中稱為“數(shù)”）．

　　數(shù)學(xué)起源于人類早期的生產(chǎn)活動，古巴比倫人從遠(yuǎn)古時(shí)代開始已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)知識，并能應(yīng)用實(shí)際問題．從數(shù)學(xué)本身看，他們的數(shù)學(xué)知識也只是觀察和經(jīng)驗(yàn)所得，沒有綜合結(jié)論和證明，但也要充分肯定他們對數(shù)學(xué)所做出的貢獻(xiàn)．

　　基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識與運(yùn)用是個(gè)人與團(tuán)體生活中不可或缺的一部分．其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達(dá)米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學(xué)文本內(nèi)便可觀見．從那時(shí)開始，其發(fā)展便持續(xù)不斷地有小幅度的進(jìn)展．但當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)長久以來仍處于獨(dú)立的狀態(tài)．

　　代數(shù)學(xué)可以說是最為人們廣泛接受的“數(shù)學(xué)”．可以說每一個(gè)人從小時(shí)候開始學(xué)數(shù)數(shù)起，最先接觸到的數(shù)學(xué)就是代數(shù)學(xué)．而數(shù)學(xué)作為一個(gè)研究“數(shù)”的學(xué)科，代數(shù)學(xué)也是數(shù)學(xué)最重要的組成部分之一．幾何學(xué)則是最早開始被人們研究的數(shù)學(xué)分支．

　　直到16世紀(jì)的文藝復(fù)興時(shí)期，笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，將當(dāng)時(shí)完全分開的代數(shù)和幾何學(xué)聯(lián)系到了一起．從那以后，我們終于可以用計(jì)算證明幾何學(xué)的定理；同時(shí)也可以用圖形來形象的表示抽象的代數(shù)方程．而其后更發(fā)展出更加精微的微積分．

　　現(xiàn)時(shí)數(shù)學(xué)已包括多個(gè)分支．創(chuàng)立于二十世紀(jì)三十年代的法國的布爾巴基學(xué)派則認(rèn)為：數(shù)學(xué)，至少純數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論．結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)．他們認(rèn)為，數(shù)學(xué)有三種基本的母結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)（群，環(huán)，域，格……）、序結(jié)構(gòu)（偏序，全序……）、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（鄰域，極限，連通性，維數(shù)……）．

　　數(shù)學(xué)被應(yīng)用在很多不同的領(lǐng)域上，包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等．?dāng)?shù)學(xué)在這些領(lǐng)域的應(yīng)用一般被稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)，有時(shí)亦會激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，并促成全新數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)家也研究純數(shù)學(xué)，也就是數(shù)學(xué)本身，而不以任何實(shí)際應(yīng)用為目標(biāo)．雖然有許多工作以研究純數(shù)學(xué)為開端，但之后也許會發(fā)現(xiàn)合適的應(yīng)用．

　　具體的，有用來探索由數(shù)學(xué)核心至其他領(lǐng)域上之間的連結(jié)的子領(lǐng)域：由邏輯、集合論（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）、至不同科學(xué)的經(jīng)驗(yàn)上的數(shù)學(xué)（應(yīng)用數(shù)學(xué)）、以較近代的對于不確定性的研究（混沌、模糊數(shù)學(xué)）．

　　就縱度而言，在數(shù)學(xué)各自領(lǐng)域上的探索亦越發(fā)深入．

　　圖中數(shù)字為國家二級學(xué)科編號．

　　定義

　　亞里士多德把數(shù)學(xué)定義為“數(shù)量科學(xué)”，這個(gè)定義直到18世紀(jì)。從19世紀(jì)開始，數(shù)學(xué)研究越來越嚴(yán)格，開始涉及與數(shù)量和量度無明確關(guān)系的群論和投影幾何等抽象主題，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家開始提出各種新的定義。這些定義中的一些強(qiáng)調(diào)了大量數(shù)學(xué)的演繹性質(zhì)，一些強(qiáng)調(diào)了它的抽象性，一些強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)中的某些話題。今天，即使在專業(yè)人士中，對數(shù)學(xué)的定義也沒有達(dá)成共識。數(shù)學(xué)是否是藝術(shù)或科學(xué)，甚至沒有一致意見。許多專業(yè)數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的定義不感興趣，或者認(rèn)為它是不可定義的。有些只是說，“數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家做的。”

　　數(shù)學(xué)定義的三個(gè)主要類型被稱為邏輯學(xué)家，直覺主義者和形式主義者，每個(gè)都反映了不同的哲學(xué)思想學(xué)派。都有嚴(yán)重的問題，沒有人普遍接受，沒有和解似乎是可行的。

　　數(shù)學(xué)邏輯的早期定義是本杰明·皮爾士（Benjamin Peirce）的“得出必要結(jié)論的科學(xué)”（1870）。在Principia Mathematica，Bertrand Russell和Alfred North Whitehead提出了被稱為邏輯主義的哲學(xué)程序，并試圖證明所有的數(shù)學(xué)概念，陳述和原則都可以用符號邏輯來定義和證明。數(shù)學(xué)的邏輯學(xué)定義是羅素的“所有數(shù)學(xué)是符號邏輯”（1903）。

　　直覺主義定義，從數(shù)學(xué)家L。E。J。 Brouwer，識別具有某些精神現(xiàn)象的數(shù)學(xué)。直覺主義定義的一個(gè)例子是“數(shù)學(xué)是一個(gè)接著一個(gè)進(jìn)行構(gòu)造的心理活動”。直觀主義的特點(diǎn)是它拒絕根據(jù)其他定義認(rèn)為有效的一些數(shù)學(xué)思想。特別是，雖然其他數(shù)學(xué)哲學(xué)允許可以被證明存在的對象，即使它們不能被構(gòu)造，但直覺主義只允許可以實(shí)際構(gòu)建的數(shù)學(xué)對象。

　　正式主義定義用其符號和操作規(guī)則來確定數(shù)學(xué)。 Haskell Curry將數(shù)學(xué)簡單地定義為“正式系統(tǒng)的科學(xué)”。[33]正式系統(tǒng)是一組符號，或令牌，還有一些規(guī)則告訴令牌如何組合成公式。在正式系統(tǒng)中，公理一詞具有特殊意義，與“不言而喻的真理”的普通含義不同。在正式系統(tǒng)中，公理是包含在給定的正式系統(tǒng)中的令牌的組合，而不需要使用系統(tǒng)的規(guī)則導(dǎo)出。

　　結(jié)構(gòu)

　　許多如數(shù)、函數(shù)、幾何等的數(shù)學(xué)對象反應(yīng)出了定義在其中連續(xù)運(yùn)算或關(guān)系的內(nèi)部結(jié)構(gòu)．?dāng)?shù)學(xué)就研究這些結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，例如：數(shù)論研究整數(shù)在算數(shù)運(yùn)算下如何表示．此外，不同結(jié)構(gòu)卻有著相似的性質(zhì)的事情時(shí)常發(fā)生，這使得通過進(jìn)一步的抽象，然后通過對一類結(jié)構(gòu)用公理描述他們的.狀態(tài)變得可能，需要研究的就是在所有的結(jié)構(gòu)里找出滿足這些公理的結(jié)構(gòu)．因此，我們可以學(xué)習(xí)群、環(huán)、域和其他的抽象系統(tǒng)．把這些研究（通過由代數(shù)運(yùn)算定義的結(jié)構(gòu)）可以組成抽象代數(shù)的領(lǐng)域．由于抽象代數(shù)具有極大的通用性，它時(shí)常可以被應(yīng)用于一些似乎不相關(guān)的問題，例如一些古老的尺規(guī)作圖的問題終于使用了伽羅理論解決了，它涉及到域論和群論．代數(shù)理論的另外一個(gè)例子是線性代數(shù)，它對其元素具有數(shù)量和方向性的向量空間做出了一般性的研究．這些現(xiàn)象表明了原來被認(rèn)為不相關(guān)的幾何和代數(shù)實(shí)際上具有強(qiáng)力的相關(guān)性．組合數(shù)學(xué)研究列舉滿足給定結(jié)構(gòu)的數(shù)對象的方法．

　　空間

　　空間的研究源自于歐式幾何．三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有非常著名的勾股定理、三角函數(shù)等�，F(xiàn)今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓?fù)鋵W(xué)．?dāng)?shù)和空間在解析幾何、微分幾何和代數(shù)幾何中都有著很重要的角色．在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計(jì)算等概念．在代數(shù)幾何中有著如多項(xiàng)式方程的解集等幾何對象的描述，結(jié)合了數(shù)和空間的概念；亦有著拓?fù)淙旱难芯�，結(jié)合了結(jié)構(gòu)與空間．李群被用來研究空間、結(jié)構(gòu)及變化．

　　基礎(chǔ)

　　為了弄清楚數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)邏輯和集合論等領(lǐng)域被發(fā)展了出來．德國數(shù)學(xué)家康托爾（1845—1918）首創(chuàng)集合論，大膽地向“無窮大”進(jìn)軍，為的是給數(shù)學(xué)各分支提供一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而它本身的內(nèi)容也是相當(dāng)豐富的，提出了實(shí)無窮的思想，為以后的數(shù)學(xué)發(fā)展作出了不可估量的貢獻(xiàn)．

　　集合論在20世紀(jì)初已逐漸滲透到了各個(gè)數(shù)學(xué)分支，成為了分析理論，測度論，拓?fù)鋵W(xué)及數(shù)理科學(xué)中必不可少的工具．20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家希爾伯特在德國傳播了康托爾的思想，把集合論稱為“數(shù)學(xué)家的樂園”和“數(shù)學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物”．英國哲學(xué)家羅素把康托的工作譽(yù)為“這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”

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