數列知識在物理中的應用

　　方法概述

　　數學是解決物理問題的重要工具，借助數學方法可使一些復雜的物理問題顯示出明顯的規(guī)律性，能達到打通關卡、長驅直入地解決問題的目的．中學物理《考試大綱》中對學生應用數學方法解決物理問題的能力作出了明確的要求，要求考生有“應用數學處理物理問題”的能力。

　　所謂數學方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關系和過程用數學語言表達出來，并進行推導、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預測．可以說，任何物理問題的分析、處理過程，都是數學方法的運用過程．本專題中所指的數學方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有極值法、幾何法、圖象法、數學歸納推理法、微元法、等差(比)數列求和法等。

　　一、極值法

　　數學中求極值的方法很多，物理極值問題中常用的極值法有：三角函數極值法、二次函數極值法、一元二次方程的判別式法等．

　　1．利用三角函數求極值

　　y＝acos θ＋bsin θ ab＝a＋b(θsin θ) a＋ba＋bab令sin φ，cos φ＝ a＋ba＋b

　　則有：y＝a＋b(sin φcos θ＋cos φsin θ)

　　＝a＋bsin (φ＋θ)

　　π所以當φ＋θ＝y(tǒng)有最大值，且ymax＝a＋b． 2

　　2．利用二次函數求極值 2bb2b2b24ac－b22二次函數：y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x＋)＋c－＝a(x＋)＋(其中a、b、ca4a4a2a4a

　　4ac－b2b為實常數)，當x＝－ 時，有極值ym＝(若二次項系數a>0，y有極小值；若a<0，2a4a

　　y有極大值)．

　　3．均值不等式

　　對于兩個大于零的變量a、b，若其和a＋b為一定值p，則當a＝b時，其積ab取得極p2

　　大值 a、b、c，若其和a＋b＋c為一定值q，則當a＝b＝c時，4

　　q3

　　其積abc取得極大值 ． 27

　　二、幾何法

　　利用幾何方法求解物理問題時，常用到的有“對稱點的性質”、“兩點間直線距離最短”、“直角三角形中斜邊大于直角邊”以及“全等、相似三角形的特性”等相關知識，如：帶電粒子在有界磁場中的運動類問題，物體的變力分析時經常要用到相似三角形法、作圖法等．與圓有關的幾何知識在力學部分和電學部分的解題中均有應用，尤其在帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動類問題中應用最多，此類問題的難點往往在圓心與半徑的確定上，確定方法有以下幾種．

　　1．依切線的性質確定．從已給的圓弧上找兩條不平行的切線和對應的切點，過切點作

　　切線的垂線，兩條垂線的交點為圓心，圓心與切點的連線為半徑．

　　2．依垂徑定理(垂直于弦的直徑平分該弦，且平分弦所對的弧)和相交弦定理(如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項)確定．

　　2 由EB＝CE·ED

　�。紺E·(2R－CE)

　　EB2CE得：R＝＋ 2CE2

　　也可由勾股定理得：

　　R2＝(R－CE)2＋EB2

　　EB2CE解得：R＋． 2CE2

　　以上兩種求半徑的方法常用于求解“帶電粒子在勻強磁場中的運動”這類習題中．

　　三、圖象法

　　中學物理中一些比較抽象的習題常較難求解，若能與數學圖形相結合，再恰當地引入物理圖象，則可變抽象為形象，突破難點、疑點，使解題過程大大簡化．圖象法是歷年高考的熱點，因而在復習中要密切關注圖象，掌握圖象的識別、繪制等方法．

　　1．物理圖象的分類

　　整個高中教材中有很多不同類型的圖象，按圖形形狀的不同可分為以下幾類．

　　(1)直線型：如勻速直線運動的s－t圖象、勻變速直線運動的v－t 圖象、定值電阻的U－I圖象等．

　　(2)正弦曲線型：如簡諧振動的x－t圖象、簡諧波的y－x 圖象、正弦式交變電流的e－t圖象、正弦式振蕩電流的i－t 圖象及電荷量的q－t 圖象等．

　　(3)其他型：如共振曲線的A－f圖象、分子力與分子間距離的f－r圖象等．

　　下面我們對高中物理中接觸到的典型物理圖象作一綜合回顧，以期對物理圖象有個較為

　　(1)利用圖象解題可使解題過程更簡化，思路更清晰．

　　利用圖象法解題不僅思路清晰，而且在很多情況下可使解題過程得到簡化，起到比解析法更巧妙、更靈活的獨特效果．甚至在有些情況下運用解析法可能無能為力，但是運用圖象法則會使你豁然開朗，如求解變力分析中的極值類問題等．

　　(2)利用圖象描述物理過程更直觀．

　　從物理圖象上可以比較直觀地觀察出物理過程的動態(tài)特征．

　　(3)利用物理圖象分析物理實驗．

　　運用圖象處理實驗數據是物理實驗中常用的一種方法，這是因為它除了具有簡明、直觀、便于比較和減少偶然誤差的特點外，還可以由圖象求解第三個相關物理量，尤其是無法從實驗中直接得到的結論．

　　3．對圖象意義的理解

　　(1)首先應明確所給的圖象是什么圖象，即認清圖象中比縱橫軸所代表的物理量及它們的“函數關系”，特別是對那些圖形相似、容易混淆的圖象，更要注意區(qū)分．例如振動圖象與波動圖象、運動學中的 s－t 圖象和v－t圖象、電磁振蕩中的i－t圖象和q－t圖象等．

　　(2)要注意理解圖象中的“點”、“線”、“斜率”、“截距”、“面積”的物理意義．

　�、冱c：圖線上的每一個點對應研究對象的一個狀態(tài)．要特別注意“起點”、“終點”、“拐點”、“交點”，它們往往對應著一個特殊狀態(tài)．如有的速度圖象中，拐點可能表示速度由增大(減小)變?yōu)闇p小(增大)，即加速度的方向發(fā)生變化的時刻，而速度圖線與時間軸的交點則代表速度的方向發(fā)生變化的時刻．

　�、诰�：注意觀察圖線是直線、曲線還是折線等，從而弄清圖象所反映的兩個物理量之間的關系．

　　③斜率：表示縱橫坐標上兩物理量的比值．常有一個重要的物理量與之對應，用于求解定量計算中所對應的物理量的大小以及定性分析變化的快慢．如 v－t 圖象的斜率表示加速度．

　�、芙鼐啵罕硎究v橫坐標兩物理量在“邊界”條件下物理量的大小．由此往往可得到一個很有意義的物理量．

　�、菝娣e：有些物理圖象的圖線與橫軸所圍的面積往往代表一個物理量的大�。�如v－t圖象中面積表示位移．

　　4．運用圖象解答物理問題的步驟

　　(1)看清縱橫坐標分別表示的物理量．

　　(2)看圖象本身，識別兩物理量的變化趨勢，從而分析具體的物理過程．

　　(3)看兩相關量的變化范圍及給出的相關條件，明確圖線與坐標軸的交點、圖線斜率、圖線與坐標軸圍成的“面積”的物理意義．

　　四、數學歸納法

　　在解決某些物理過程中比較復雜的具體問題時，常從特殊情況出發(fā)，類推出一般情況下的猜想，然后用數學歸納法加以證明，從而確定我們的猜想是正確的．利用數學歸納法解題要注意書寫上的規(guī)范，以便找出其中的規(guī)律．

　　五、微元法

　　利用微分思想的分析方法稱為微元法．它是將研究對象(物體或物理過程)進行無限細分，再從中抽取某一微小單元進行討論，從而找出被研究對象的變化規(guī)律的一種思想方法．微元法解題的思維過程如下．

　　(1)隔離選擇恰當的微元作為研究對象．微元可以是一小段線段、圓弧或一小塊面積，也可以是一個小體積、小質量或一小段時間等，但必須具有整體對象的基本特征．

　　(2)將微元模型化(如視為點電荷、質點、勻速直線運動、勻速轉動等)，并運用相關的物理規(guī)律求解這個微元與所求物體之間的關聯(lián)．

　　(3)將一個微元的解答結果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的對稱關系、矢量方向關系、近似極限關系等，對各微元的求解結果進行疊加，以求得整體量的合理解答．

　　六、三角函數法

　　三角函數反映了三角形的邊、角之間的關系，在物理解題中有較廣泛的應用．例如：討論三個共點的平衡力組成的力的三角形時，常用正弦定理求力的大��；用函數的單調變化的臨界狀態(tài)來求取某個物理量的極值；用三角函數的“和積公式”將結論進行化簡等．

　　七、數列法

　　凡涉及數列求解的物理問題都具有過程多、重復性強的特點，但每一個重復過程均不是原來的`完全重復，而是一種變化了的重復．隨著物理過程的重復，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化．該類問題求解的基本思路為：

　　(1)逐個分析開始的幾個物理過程；

　　(2)利用歸納法從中找出物理量變化的通項公式(這是解題的關鍵)；

　　(3)最后分析整個物理過程，應用數列特點

　　和規(guī)律求解．

　　無窮數列的求和，一般是無窮遞減數列，有相應的公式可用．

　　n(a1＋an)n(n－1)等差：Sn＝＝na1＋d(d為公差)． 22

　　a(1－qn)等比：Sn＝(q為公比)． 1－q

　　八、比例法

　　比例計算法可以避開與解題無關的量，直接列出已知和未知的比例式進行計算，使解題過程大為簡化．應用比例法解物理題，要討論物理公式中變量之間的比例關系，要清楚公式的物理意義和每個量在公式中的作用，以及所要討論的比例關系是否成立．同時要注意以下幾點．

　　(1)比例條件是否滿足．物理過程中的變量往往有多個，討論某兩個量間的比例關系時要注意只有其他量為常量時才能成比例．

　　(2)比例是否符合物理意義．不能僅從數學關系來看物理公式中各量的比例關系，要注

　　U意每個物理量的意義．(如不能根據R 認定電阻與電壓成正比) I

　　(3)比例是否存在．討論某公式中兩個量的比例關系時，要注意其他量是否能認為是不

　　U2變量．如果該條件不成立，比例也不能成立．(如在串聯(lián)電路中，不能認為P＝中P與RR成反比，因為R變化的同時，U也隨之變化而并非常量)

　　m許多物理量都是用比值法來定義的，常稱之為“比值定義”．如密度ρ＝，導體的電阻V

　　UQfFR＝ C＝，接觸面間的動摩擦因數μ＝E等．它們的共IUFNq

　　同特征是：被定義的物理量是反映物體或物質的屬性和特征的，它和定義式中相比的物理量無關．對此，學生很容易把它當做一個數學比例式來處理而忽略了其物理意義，也就是說教學中還要防止數學知識在物理應用中的負遷移．

　　數學是“物理學家的思想工具”，它使物理學家能“有條理地思考”并能想象出更多的東西．可以說，正是有了數學與物理學的有機結合，才使物理學日臻完善．物理學的嚴格定量化，使得數學方法成為物理解題中一個不可或缺的工具．

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