關(guān)于巧用三角函數(shù)求解物理量極值問題

　　三角函數(shù)求物理量的極值，往往是求出與被求物理量相關(guān)的三角函數(shù)表達式，經(jīng)過三角函數(shù)的相關(guān)知識化簡，再利用三角函數(shù)的有界性或不等式等知識進行處理得出結(jié)論.下面我們就來看幾例利用三角函數(shù)求解物理極值的問題，以求在教學中能對培養(yǎng)學生的這方面能力有所幫助.

　　1 利用兩角和（差）公式及三角函數(shù)有界性求解

　　解析 根據(jù)質(zhì)點受力情況和牛頓第二定律，可知質(zhì)點在光滑斜軌道上的加速度

　　a=FM=gcosα，

　　在△APB中，∠APB=∠CPB-∠CPA=θ-α，

　　由幾何知識有PA=s=PBcos（θ-α）=hcos（θ-α）.

　　則質(zhì)點沿PA做v0=0的勻加速直線運動的時間為

　　t=2sa=2hgcos（θ-α）cosα.

　　令y=cos（θ-α）cosα，則由“積化和差”公式：

　　cosβcosα =12，

　　得y=12，

　　此時時間的最小值t=2hgymax=2hg（cosθ+1）.

　　本題不用“積化和差”公式而用其他辦法也可求極值，但比較麻煩.另外此題結(jié)論可用“等時圓”加以驗證.

　　2 利用“化一”法求三角函數(shù)極值

　　對于較為復(fù)雜的三角函數(shù)，例如y=asinθ+bcosθ，要求極值時，先需要把不同名的三角函數(shù)sinθ和cosθ，變成同名的三角函數(shù)，這個工作叫做“化一”.

　　因為 y=asinθ+bcosθ

　　=a2+b2（aa2+b2sinθ+ba2+b2cosθ）

　　=a2+b2（cossinθ+sincosθ）

　　=a2+b2sin（θ+），

　　其中tan=bal，故y的極大值為a2+b2.

　　例2 如圖2所示，在豎直放置的光滑絕緣圓環(huán)上，有一帶負電可以滑動的.小球m套在環(huán)的頂端，整個裝置在圖示的正交的勻強磁場中，磁場與圓環(huán)的圓面垂直，若小球所受的電場力和重力大小相等，則當小球沿著環(huán)相對圓心滑過的角度多大時，它所受的洛倫茲力最大？

　　解析 因小球運動的v總與B垂直，故洛倫茲力表達式為：f=Bqv，只要速度達最大，洛倫茲力即最大，則由動能定理知當合外力做功WE+WG最大時滿足條件，設(shè)小球從圖示位置轉(zhuǎn)過θ角，則

　　WE+WG=Eqrsinθ+mgr（1-cosθ）

　　=mgr（sinθ-cosθ+1）

　　=mgr2sin（θ-45°）+1.

　　由上式知當θ=145°時合外力做功最大.即物體獲得速度最大，滿足條件.

　　3 利用基本不等式與三角函數(shù)結(jié)合來處理

　　如果a，b，c為正數(shù)，則有a+b+c≥3abc，當且僅當a=b=c時，上式取“=”號.

　　推論：

　�、偃齻�正數(shù)的積一定時，三數(shù)相等時，其和最小；

　　②三個正數(shù)的和一定時，三數(shù)相等時，其積最大.

　　例3 如圖3所示的帶等量同種電荷的兩個點電荷A、B所帶電量均為Q，相距2a，則在它們連線的中垂線上，哪一點的電場強度最大？最大值為多少？

　　解析 設(shè)在點電荷A、B的連線的中垂線上有一點P，且AP與中垂線夾角為θ，則

　　將（3）式左右都平方，并整理成

　　=427（2kQa2）2，

　　所以E≤43kQ9a2.

　　就是說，當θ=arctan2（差不多是55°）時，P點的電場強度最大：

　　Emax=43kQ9a2.

　　4 利用導(dǎo)數(shù)法求解三角函數(shù)極值問題

　　若物理量曲線的切線的斜率為零時，說明這個時候物理量的變化率為零，這時，該物理量一定具有極值，可能是最大值，也可能是最小值，也可能是變化過程中的極值.這為我們求物理量的最大值和最小值提供了方法.

　　例4 一輕繩一端固定在O點，另一端拴著一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速的釋放，如圖所示，小球在運動至輕繩達到垂直位置過程中，小球所受重力功率的最大值？

　　解析 設(shè)小球運動到與水平方向成α角，則速度v和重力mg之間的夾角也為α，小球從A到C由動能定理

　　由功率定義式P=mgvcosa=mg2gRsinαcos2α，對功率P求導(dǎo)：

　　P′=mg2gR（cos3α-2sin2αcosα）2sinαcosα

　　解得sinα=33時P具有極值，再求P在sinα=33處的二階導(dǎo)數(shù)，p″=-mg2gRcosαsinα

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