物理學知識如何建構求解數(shù)學問題舉例論文
［摘要］數(shù)學與物理學聯(lián)系密切，通常使用數(shù)學知識求解物理學問題。筆者從相反的視角，以例題的方式闡述巧妙使用物理學知識建構求解數(shù)學問題，可使復雜的數(shù)學問題迎刃而解，達到事半功倍的效果。
［關鍵詞］物理學知識；數(shù)學解題
我們應強調(diào)各學科相互交叉滲透融合求解問題的思維和方法。筆者以例題的方式闡述巧妙借助物理學知識建構求解一些數(shù)學問題，以達到加強學科間知識滲透，培養(yǎng)和提高學生數(shù)學解題能力的目的。
1以物理模型為基礎建構求解數(shù)學題
數(shù)學是解決物理學科的工具，即將一個具體的物理問題抽象成為一個純粹的數(shù)學問題進行解決。相反，求解數(shù)學題也常用物理學中的方法和原理，通過建立物理模型進行求解。題目：在銳角ΔABC的三邊上各找一點，連成三角形，使ΔABC的周長最短。分析：利用物理學中的`光行最速原理建模求解。如圖1所示，設想AB、BC、CA表示三塊兩兩相交的平面鏡，AB面上有一點光源位于點X處，向BC面發(fā)出光線XY，在點Y反射后到達CA面的點Z處，最后光線回到AB面上的光點位于點P處。一般情況下，X和P不重合，但可以調(diào)整X的位置及XY的方向，總能使X和P重合，構成光線三角形。根據(jù)物理學中光行速原理，可以知道在ΔABC的所有內(nèi)接三角形中，以光線三角形的周長最短。解答：如圖2所示，設ΔXYZ為ΔABC的內(nèi)接光線三角形，則根據(jù)光的反射原理，設∠XYB＝∠ZYC＝α，∠YZC＝∠XZA＝β，∠ZXA＝∠YXB＝γ，則容易求得α+β+γ＝π，∠A＝α，∠B＝β，∠C＝γ。連接AY、BZ、CX，由∠YXB＝∠A可知X、Y、C、A四點共圓。同理，可得Y、Z、A、B四點共圓，Z、X、B、C四點共圓，易證AY⊥BC、BZ⊥CA、CX⊥AB，即ΔXYZ為ΔABC的垂足三角形。因此，我們只須作ΔABC三邊的高，三個垂足就是所求的點。題目：給出一內(nèi)角均小于23π的三角形，求作一點，使該點到該三角形的各頂點距離之和最小。分析：對物理系統(tǒng)的熱能分析求解該問題。解答：如圖3所示，在ΔABC的三個頂點A、B、C處安裝三個光滑滑輪，取有公共端點X的三條等長細繩，使其分別繞過三個滑輪，在末端系有相同質(zhì)量的法碼，放手直至系統(tǒng)靜止。此時，系統(tǒng)的熱能最低，即P、Q、R三點都盡可能的低，即AP、BQ、CR盡可能的長，從而AP+BQ+CR最長。此時，AX+BX+CX最短。研究發(fā)現(xiàn)，當∠AXB＝∠BXC＝∠CXA＝23π時，AX+BX+CX最短。此時，點X即為所求的點。
2以物理學物理量矢量性建構求解數(shù)學題
題目：設三個不為零的復數(shù)Z1、Z2、Z3滿足Z1+Z2+Z3＝0，|Z1|＝|Z2|＝|Z3|，試判斷由Z1、Z2、Z3對應的點可以組成怎樣的三角形。分析：該題涉及數(shù)學復數(shù)知識，可以與物理學力的矢量性聯(lián)系進行求解。解答：如圖4所示，把復數(shù)Z1、Z2、Z3分別看成物理中的三個力F1、F2、F3，由于|Z1|＝|Z2|＝|Z3|，則力的大小|F1|＝|F2|＝|F3|，由Z1+Z2+Z3＝0，可得合力F1+F2+F3＝0。由力的合成與分解平行四邊形法則可知三個大小相等的力作用于一個質(zhì)點A，若要保持該質(zhì)點的平衡，只要這三個力兩兩之間的夾角均為23π即可，因此由Z1、Z2、Z3對應的點可以組成一個等邊三角形。
3以物理學的一些原理建構求解數(shù)學題
題目：一個球從100m高處自由落下，每次著地后，又跳回到原高度的一半再落下。假定球與地面每次碰撞過程中沒有能量損失，空氣平均阻力大小不變，問等到球停止運動，停留在地面上時，球總共經(jīng)過的距離為多少米？分析：此題是數(shù)學中的一個求無窮等比數(shù)列各項和的問題，如果用數(shù)學知識來計算求解比較復雜，現(xiàn)利用物理學中功能原理則容易求解。解答：設球的質(zhì)量為m（kg），空氣平均阻力大小為f（N），g為重力加速度，s為球總共經(jīng)過的距離。球從100m高處自由落下，著地后只回到50m處，說明球的重力勢能（E＝mgh）減少了，減少的原因是克服空氣阻力做功，有fd＝ΔE，代入數(shù)值得f×（100+50）＝100mg-50mg，求得f＝13mg，同理，由功能原理有fs＝13mgs＝100mg，解得s＝300。因此球總共經(jīng)過的距離為300m。
4以物理學物理量某一特性建構求解數(shù)學題
題目：有一列隊伍長100m，通信員站在隊尾。由于要傳遞某一要令，他勻速跑向隊首，然后又以速度大小不變返回到隊尾。假定隊伍勻速前進并恰好行進了100m，問通信員的跑步距離是多少？分析：本題是數(shù)學應用題，如果僅僅用數(shù)學思想，忽視通信員、隊伍速率和時間這幾個物理學上的量來求解有一定難度。反過來，若以物理學中時間這個不變量建構得到方程，可以快速解答。解答：設通訊員的跑步距離為Sm，其速率為V1，隊伍速率為V2，則通訊員從隊尾跑到隊首所花時間T1＝100/（V1-V2）。然后通訊員從隊首跑到隊尾所花時間T2＝100/（V1+V2），隊伍前進100m所花時間T＝100/V2。因為通訊員往返時間等于隊伍前進所花時間，即T＝T1+T2，抓住時間不變建構數(shù)學方程100/（V1-V2）+100/（V1+V2）＝100/V2，解得V1/V2＝1+2。故通訊員的跑步距離S＝V1T＝V1×（100/V2）＝100×（V1/V2）＝100×（1+2）m。
5以物理學實驗數(shù)據(jù)處理方法“線性內(nèi)插法”為基礎建構求解數(shù)學題
物理學實驗已測量第一次數(shù)據(jù)數(shù)值（x1，y1），第二次測量數(shù)據(jù)數(shù)值（x2，y2），待測物理量數(shù)值結果（x，y）可能出在第一次與第二次測量數(shù)值區(qū)間。
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