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　　羅素悖論的提出是基于這樣的一個(gè)事例：設(shè)想有這樣一群理發(fā)師，他們只給不給自己理發(fā)的人理發(fā)。假設(shè)其中一個(gè)理發(fā)師符合上述的條件，不給自己理發(fā)；然而按照要求，他必須要給自己理發(fā)。但是在這個(gè)集合中沒有人會(huì)給自己理發(fā)。（如果這樣的話，這個(gè)理發(fā)師必定是給別人理發(fā)還要給自己理發(fā)）

　　1901年，伯特蘭·羅素悖論的發(fā)現(xiàn)打擊了他其中的一個(gè)數(shù)學(xué)家同事。在19世紀(jì)后期，弗雷格嘗試發(fā)展一個(gè)基本原理以便數(shù)學(xué)上能使用符號(hào)邏輯。他確立了形式表達(dá)式（如：x =2）和數(shù)學(xué)特性（如偶數(shù)）之間的聯(lián)系。按照弗雷格理論的發(fā)展，我們能自由的用一個(gè)特性去定義更多更深遠(yuǎn)的特性。

　　1903年，發(fā)表在《數(shù)學(xué)原理》上的`羅素悖論從根本上揭示了弗雷格這種集合系統(tǒng)的局限性。就現(xiàn)在而言，這種類型的集合系統(tǒng)能很好的用俗稱集的結(jié)構(gòu)式來描述。例如，我們可以用 x代表整數(shù)，通過n來表示并且n大于3小于7，來表示4，5,6這樣一個(gè)集合。這種集合的書寫形勢(shì)就是：x={n：n是整數(shù)，3<n<7}。集合中的對(duì)象并不一定是數(shù)字。我們也可讓y={x：x是美國(guó)的一個(gè)男性居民}。

　　表面上看，似乎任何一個(gè)關(guān)于x的描述都有一個(gè)符合要求的空間。但是，羅素（和策梅洛一起）發(fā)現(xiàn)x={a：a不再a中}導(dǎo)致一個(gè)矛盾，就像對(duì)一群理發(fā)師的描述一樣。x它本身是在x的集合中嗎？否定的答案導(dǎo)致了矛盾的出現(xiàn)。

　　當(dāng)羅素發(fā)現(xiàn)了悖論，弗雷格立即就發(fā)現(xiàn)悖論對(duì)他的理論有致命的打擊。盡管這樣，他還不能解決這個(gè)問題,并且上世紀(jì)有很多的嘗試，去解決這個(gè)問題（但沒有成功）。

　　羅素自己對(duì)這個(gè)悖論的回答促進(jìn)了類型理論的形成。他解釋說，悖論的問題在于我們混淆了數(shù)集和數(shù)集的集合。所以，羅素介紹了對(duì)象的分級(jí)系統(tǒng)：數(shù)、數(shù)集、數(shù)集的集合等等。這個(gè)系統(tǒng)為形式化數(shù)學(xué)的形成奠定了基礎(chǔ)，至今它還應(yīng)用于哲學(xué)研究和計(jì)算機(jī)科學(xué)分支。 策梅洛對(duì)于羅素悖論的解決方法用新的公理：對(duì)于任意公式A（x）和任意集合b，都會(huì)有一個(gè)集合滿足y={x：x既在b中又滿足A（x）}取代了以前的公理：對(duì)于任意公式A（x），都會(huì)有一個(gè)集合滿足y={x：x滿足A（x）}。

　　究竟是什么樣的努力使數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)得以發(fā)展？現(xiàn)在數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到這個(gè)領(lǐng)域可以用所謂的策梅洛-弗蘭克爾集合論來定義。形式化的語言包含符號(hào)，例如e表示“其中一個(gè)數(shù)”，=表示等于，□代表集合中沒有任何元素。那么可以寫下一個(gè)公式B（x）：如果如果y e x，而y是空集。在集的結(jié)構(gòu)式中我們可以這樣書寫：y={x：x=□}，或者更簡(jiǎn)單y={□}。羅素悖論就成這樣：y={x：x不在x中}，那么y是否在y中？

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