如何證明幾何余弦定理范文
余弦定理是幾何的定理，那該怎么證明呢?余弦定理證明哪個(gè)方法才好呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的如何證明余弦定理內(nèi)容，希望大家喜歡。
證明余弦定理方法一
步驟1.
在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步驟2.
證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O于D.
連接DA.
因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
a/SinA=BC/SinD=BD=2R
類似可證其余兩個(gè)等式。
證明余弦定理方法二
在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b
則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。
過(guò)A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a
由勾股定理得：
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2
所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*CD
因?yàn)閏osC=CD/b
所以CD=b*cosC
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
題目中^2表示平方。
談?wù)�、余弦定理�?多種證法
正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過(guò)于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過(guò)運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.
定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則
(1)(正弦定理) = = ;
(2)(余弦定理)
c2=a2+b2-2abcos C,
b2=a2+c2-2accos B,
a2=b2+c2-2bccos A.
一、正弦定理的證明
證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有
AD=b•sin∠BCA，
BE=c•sin∠CAB，
CF=a•sin∠ABC。
所以S△ABC=a•b•csin∠BCA
=b•c•sin∠CAB
=c•a•sin∠ABC.
證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有
AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，
BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。
證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓
的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。
證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。
因?yàn)锳B=AC+CB，
所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.
因?yàn)閖•AC=0，
j•CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，
j•AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA .
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