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高中幾何證明練習題及參考答案

時間:2022-08-03 20:29:47 證明大全 我要投稿
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高中幾何證明練習題及參考答案

  高中幾何不是好學的科目,關于這些的證明題該怎么解答呢?高中的幾何學習方法是哪些呢?下面就是學習啦小編給大家整理的高中幾何證明內容,希望大家喜歡。

高中幾何證明練習題及參考答案

  高中幾何證明題1

  已知平行四邊形ABCD,過ABC三點的圓O1,分別交AD.BD于E.F、過CDF三點的`圓O2交AD于G 。設圓O1.O2半徑分別為R,r。

  1.求證AC^2=AG*AD

  2.AD:EG=R^2:r^2

  連接AC、GC。利用兩個圓轉化角的關系,

  ∠AGC = 180 - ∠DGC = 180 - ∠DFC = ∠BFC = ∠BAC = ∠ACD

  于是兩個三角形ACG和ADC相似。第一問由此立得。

  同樣利用上述相似,∠GCA = ∠ADC = ∠ABC。于是由“弦切角等于圓周角”,說明GC與圓O1相切。于是GC^2 = GE*GA。

  在兩個圓中利用正弦定理,不難發(fā)現R/r = BC/CD = AD/CD。此時

  AD/EG = AG*AD/AG*EG = AC^2/GC^2 = (AC/GC)^2 = (AD/CD)^2

  最后一個等式仍然源于前述相似

  高中幾何證明題2

  因為不能上傳圖片,,所以口敘述一下,,高手們都可以想象出來吧

  在一個圓的圓上選不重合的四點,,,連接成一個非平行四邊形非梯形的四邊形,,也就是內切四邊形吧,,然后延長其中兩條邊,,交于點A,,再延長另外兩條邊交于點B,,然后過A點做圓的兩條切線,,切線交圓于點C和D,,怎樣證明B,C,D共線?

  用調和點列的方法較為容易 但方法的掌握不在高中的要求內

  下面采用簡單的.定理來證明 比較麻煩

  首先,設圓內接四邊形為四邊形ABCD,AB與DC交于點P,AD與BC交于點Q,過點Q做圓O的兩條切線,切點分別為點E和點F.

  再設AC與BD交于點R,下面來證明一個更強的結論:P、F、R、E共線.

  設OQ交EF于L,PR交AQ于M,EF交AQ于點M',連結OF、OE、AL、OA、OD,并延長AL到S.

  由Menelaus定理,

  AB/BP×PC/CD×DQ/QA=1 -------------------------------------------------------------------------------1

  由Ceva定理,

  AB/BP×PC/CD×DM/MA=1 -------------------------------------------------------------------------------2

  由1、2,

  DM/MA=DQ/QA --------------------------------------------------------------------------------*

  另一方面,

  由射影定理,

  QE^2=QL×QO ----------------------------------------------------------------------------------------------3

  由切割線定理,

  QE^2=QD×QA ----------------------------------------------------------------------------------------------4

  由3,4,

  QL*QO=QD*QA

  所以O,L,D,A四點共圓

  高中數學幾何學習方法

  (一)對于直線及其方程部分,首先我們要從總體上把握住兩突破點:①明確基本的概念。在直線部分,最主要的概念就是直線的斜突破率和傾斜角了以及斜率和傾斜角之間的關系。傾斜角α的取值范圍是突破[0,π),當傾斜角不等于90°的時候,斜率k=tanα;當傾斜角=90°的時候,斜率不存在。②直線的方程有不同的形式,同學們應該從不突破同的角度去歸類總結。角度一:以直線的斜率是否存在進行歸類,可以將直線的方程分為兩類。角度二:從傾斜角α分別在[0,π/2)、α=π/2和(π/2,π)的范圍內,認識直線的特點。以此為基礎突破,將直線方程的五種不同的形式套入其中。直線方程的不同形式突破需要滿足的條件以及局限性是不同的,我們也要加以總結。

  (二)對于線性規(guī)劃部分,首先我們要看得懂線性規(guī)劃方程組所表示的區(qū)域。在這里我們可以采用原點法,如果滿足條件,那么區(qū)域包含原點;如果原點帶入不滿足條件,那么代表的`區(qū)域不包含原點。

  (三)對于圓及其方程,我們要熟記圓的標準方程和一般方程分別代表的含義。對于圓部分的學習,我們要拓展初中學過的一切與圓有關的知識,包括三角形的內切圓、外切圓、圓周角、圓心角等概念以及點與圓的位置關系、圓與圓的位置關系、圓的內切正多邊形的特征等。只有這樣,才能更加完整的掌握與圓有關的所有的知識。

  (四)對于橢圓、拋物線、雙曲線,我們要分別從其兩種不同突破的定義出發(fā),明白焦點的來源、準線方程以及相關的焦距、頂點、突破離心率、通徑的概念。每種圓錐曲線存在焦點在X軸和Y軸上的情況,要分別進行掌握。


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