七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
目錄
第七章 平面圖形的認(rèn)識(shí)(二) 1
第八章 冪的運(yùn)算 2
第九章 整式的乘法與因式分解 3
第十章 二元一次方程組 4
第十一章 一元一次不等式 4
第十二章 證明 9
第七章 平面圖形的認(rèn)識(shí)(二)
一、知識(shí)點(diǎn)：
1、“三線八角”
�、� 如何由線找角：一看線，二看型。
同位角是“F”型;
內(nèi)錯(cuò)角是“Z”型;
同旁內(nèi)角是“U”型。
�、� 如何由角找線：組成角的三條線中的公共直線就是截線。
2、平行公理：
如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。
簡(jiǎn)述：平行于同一條直線的兩條直線平行。
補(bǔ)充定理：
如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線也平行。
簡(jiǎn)述：垂直于同一條直線的兩條直線平行。
3、平行線的判定和性質(zhì)：
判定定理 性質(zhì)定理
條件 結(jié)論 條件 結(jié)論
同位角相等 兩直線平行 兩直線平行 同位角相等
內(nèi)錯(cuò)角相等 兩直線平行 兩直線平行 內(nèi)錯(cuò)角相等
同旁內(nèi)角互補(bǔ) 兩直線平行 兩直線平行 同旁內(nèi)角互補(bǔ)
4、圖形平移的性質(zhì)：
圖形經(jīng)過平移，連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所得的線段互相平行(或在同一直線上)并且相等。
5、三角形三邊之間的關(guān)系：
三角形的任意兩邊之和大于第三邊;
三角形的任意兩邊之差小于第三邊。
若三角形的三邊分別為a、b、c，
則
6、三角形中的主要線段：
三角形的高、角平分線、中線。
注意：①三角形的高、角平分線、中線都是線段。
�、诟摺⒔瞧椒志�、中線的應(yīng)用。
7、三角形的內(nèi)角和：
三角形的3個(gè)內(nèi)角的和等于180°;
直角三角形的兩個(gè)銳角互余;
三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;
三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角。
8、多邊形的內(nèi)角和：
n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°;
任意多邊形的外角和等于360°。
第八章 冪的運(yùn)算
冪(power)指乘方運(yùn)算的結(jié)果。an指將a自乘n次(n個(gè)a相乘)。把a(bǔ)n看作乘方的結(jié)果，叫做a的n次冪。
對(duì)于任意底數(shù)a,b，當(dāng)m，n為正整數(shù)時(shí)，有
aman=am+n (同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加)
am÷an=am-n (同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減)
(am)n=amn (冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘)
(ab)n=anan (積的乘方,把積的每一個(gè)因式乘方,再把所得的冪相乘)
a0=1(a≠0) (任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1)
a-n=1/an (a≠0) (任何不等于0 的數(shù)的-n次冪等于這個(gè)數(shù)的n次冪的倒數(shù))
科學(xué)記數(shù)法:把一個(gè)絕對(duì)值大于10(或者小于1)的整數(shù)記為a×10n的形式(其中1≤|a|<10),這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.
復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)：
1.乘方的概念
求n 個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在 中，a 叫做底數(shù)，n 叫做指數(shù)。
2.乘方的性質(zhì)
(1)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)。
(2)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。
第九章 整式的乘法與因式分解
一、整式乘除法
單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘,把它們的系數(shù),相同字母分別相乘,對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.ac5bc2=(ab)(c5c2)=abc5+2=abc7 注：運(yùn)算順序先乘方，后乘除，最后加減
單項(xiàng)式相除,把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式,只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注：不重不漏，按照順序，注意常數(shù)項(xiàng)、負(fù)號(hào) .本質(zhì)是乘法分配律。
多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的商相加.
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
乘法公式：平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式:兩數(shù)和[或差]的平方,等于它們的平方和,加[或減]它們積的2倍. (a±b)2=a2±2ab+b2
因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.
因式分解方法:
1、提公因式法. 關(guān)鍵:找出公因式
公因式三部分：①系數(shù)(數(shù)字)一各項(xiàng)系數(shù)最大公約數(shù);②字母--各項(xiàng)含有的相同字母;③指數(shù)--相同字母的最低次數(shù);步驟：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng).
注意：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”;②如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.
2、公式法.①a2-b2=(a+b)(a-b)兩個(gè)數(shù)的平方差,等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積a、b可以是數(shù)也可是式子②a2±2ab+b2=(a±b)2 完全平方兩個(gè)數(shù)平方和加上或減去這兩個(gè)數(shù)的積的2倍,等于這兩個(gè)數(shù)的和[或差]的平方.
�、踴3-y3=(x-y)(x2+xy+y2) 立方差公式
3、十字相乘(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
因式分解三要素：(1)分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式(2)因式分解必須是恒等變形;(3)因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.
弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系:互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差
添括號(hào)法則：如括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)，如括號(hào)前是負(fù)號(hào)各項(xiàng)都得改符號(hào)。用去括號(hào)法則驗(yàn)證
第十章 二元一次方程組
1、含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程(linear equations of two unknowns) 。
2、含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的方程組叫做二元一次方程組。
3、二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組的解。
4、代入消元法：把二元一次方程中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再帶入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。
5、加減消元法：當(dāng)方程中兩個(gè)方程的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊相加或相減來消去這個(gè)未知數(shù)，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.
6、二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即：
(1)審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù);
(2)找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系;
(3)列：根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組;
(4)解：解這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值;
(5)答：在對(duì)求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案.
第十一章 一元一次不等式
一元一次不等式
重點(diǎn)：不等式的性質(zhì)和一元一次不等式的解法。
難點(diǎn)：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解決在現(xiàn)實(shí)情景下的實(shí)際問題。
知識(shí)點(diǎn)一：不等式的概念
1. 不等式：
用“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)等不等號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.
要點(diǎn)詮釋：
(1) 不等號(hào)的類型:
① “≠”讀作“不等于”，它說明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不等的，但不能明確兩個(gè)量誰大誰小;
(2) 要正確用不等式表示兩個(gè)量的不等關(guān)系，就要正確理解“非負(fù)數(shù)”、“非正數(shù)”、“不大于”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的含義。
2.不等式的解：
能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。
要點(diǎn)詮釋：
由不等式的解的定義可以知道，當(dāng)對(duì)不等式中的未知數(shù)取一個(gè)數(shù)，若該數(shù)使不等式成立，則這個(gè)數(shù)就是不等式的一個(gè)解，我們可以和方程的解進(jìn)行對(duì)比理解，一般地，要判斷一個(gè)數(shù)是否為不等式的解，可將此數(shù)代入不等式的左邊和右邊利用不等式的概念進(jìn)行判斷。
3.不等式的解集：
一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。求不等式的解集的過程叫做解不等式。如：不等式x-4<1的解集是x<5. 不等式的解集與不等式的解的區(qū)別:解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知數(shù)的值.二者的關(guān)系是:解集包括解,所有的解組成了解集。
要點(diǎn)詮釋：
不等式的解集必須符合兩個(gè)條件：
(1)解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立;
(2)能夠使不等式成立的所有的數(shù)值都在解集中。
知識(shí)點(diǎn)二：不等式的基本性質(zhì)
基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。
符號(hào)語(yǔ)言表示為：如果 ，那么 。
基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。
符號(hào)語(yǔ)言表示為：如果 ，并且 ，那么 (或 )。
基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。
符號(hào)語(yǔ)言表示為：如果 ，并且 ，那么 (或 )
要點(diǎn)詮釋：
(1)不等式的基本性質(zhì)1的學(xué)習(xí)與等式的性質(zhì)的`學(xué)習(xí)類似，可對(duì)比等式的性質(zhì)掌握;
(2)要理解不等式的基本性質(zhì)1中的“同一個(gè)整式”的含義不僅包括相同的數(shù)，還有相同的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式;
(3)“不等號(hào)的方向不變”，指的是如果原來是“>”，那么變化后仍是“>”;如果原來是“≤”，那么變化后仍是“≤”;“不等號(hào)的方向改變”指的是如果原來是“>”，那么變化后將成為“<”;如果原來是“≤”，那么變化后將成為“≥”;
(4)運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，要特別注意性質(zhì)3，在乘(除)同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須先弄清這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，要記住不等號(hào)的方向一定要改變。
知識(shí)點(diǎn)三：一元一次不等式的概念
只含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不為0.這樣的不等式，叫做一元一次不等式。
要點(diǎn)詮釋：
(1)一元一次不等式的概念可以從以下幾方面理解：
�、僮笥覂蛇叾际钦�(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式); ②只含有一個(gè)未知數(shù);
�、畚粗獢�(shù)的最高次數(shù)為1。
(2)一元一次不等式和一元一次方程可以對(duì)比理解。
相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)都是1，左右兩邊都是整式;不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系(用“>”、“<”、“≥”、“≤”連接)，一元一次方程表示相等關(guān)系(用“=”連接)。
知識(shí)點(diǎn)四：一元一次不等式的解法
1.解不等式：
求不等式解的過程叫做解不等式。
2.一元一次不等式的解法：
與一元一次方程的解法類似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，解一元一次不等式的一般步驟為：(1)去分母;(2)去括號(hào);(3)移項(xiàng);(4)合并同類項(xiàng);(5)系數(shù)化為1.
要點(diǎn)詮釋：
(1)在解一元一次不等式時(shí)，每個(gè)步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問題靈活運(yùn)用
(2)解不等式應(yīng)注意：①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng);②移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào);③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào);④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變。
3.不等式的解集在數(shù)軸上表示：
在數(shù)軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來，能形象地說明不等式有無限多個(gè)解，它對(duì)以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助。
要點(diǎn)詮釋：
在用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要確定邊界和方向：
(1)邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無等號(hào)的是空心圓圈;(2)方向：大向右，小向左
規(guī)律方法指導(dǎo)(包括對(duì)本部分主要題型、思想、方法的總結(jié))
1、不等式的基本性質(zhì)是解不等式的主要依據(jù)。(性質(zhì)2、3要倍加小心)
2、檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)值是不是已知不等式的解，只要把這個(gè)數(shù)代入不等式，然后判斷不等式是否成立，若成立，就是不等式的解;若不成立，則就不是不等式的解。
3、解一元一次不等式是一個(gè)有目的、有根據(jù)、有步驟的不等式變形，最終目的是將原不等式變?yōu)?或 的形式，其一般步驟是：(1)去分母;(2)去括號(hào);(3)移項(xiàng);(4)合并同類項(xiàng);(5)化未知數(shù)的系數(shù)為1。這五個(gè)步驟根據(jù)具體題目，適當(dāng)選用，合理安排順序。但要注意，去分母或化未知數(shù)的系數(shù)為1時(shí)，在不等式兩邊同乘以(或除以)同一個(gè)非零數(shù)時(shí)，如果是個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，如果是個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變。
解一元一次不等式的一般步驟及注意事項(xiàng)
變形名稱 具體做法 注意事項(xiàng)
去分母 在不等式兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù) (1)不含分母的項(xiàng)不能漏乘
(2)注意分?jǐn)?shù)線有括號(hào)作用，去掉分母后，如分子是多項(xiàng)式，要加括號(hào)
(3)不等式兩邊同乘以的數(shù)是個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變。
去括號(hào) 根據(jù)題意，由內(nèi)而外或由外而內(nèi)去括號(hào)均可
(1)運(yùn)用分配律去括號(hào)時(shí)，不要漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)
(2)如果括號(hào)前是“—”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)要變號(hào)
移項(xiàng) 把含未知數(shù)的項(xiàng)都移到不等式的一邊(通常是左邊)，不含未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式的另一邊 移項(xiàng)(過橋)變號(hào)
合并同類項(xiàng) 把不等式兩邊的同類項(xiàng)分別合并，把不等式化為 或 的形式
合并同類項(xiàng)只是將同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)不變。
系數(shù)化1 在不等式兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù) ，若 且 ，則不等式的解集為 ;若 且 ，則不等式的解集為 ;若 且 ，則不等式的解集為 ;若 且 ，則不等式的解集為 ;
(1)分子、分母不能顛倒
(2)不等號(hào)改不改變由系數(shù) 的正負(fù)性決定。
(3)計(jì)算順序：先算數(shù)值后定符號(hào)
4、將一元一次不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)，要注意的是“三定”：一是定邊界點(diǎn)，二是定方向，三是定空實(shí)。
5、用一元一次不等式解答實(shí)際問題，關(guān)鍵在于尋找問題中的不等關(guān)系，從而列出不等式并求出不等式的解集，最后解決實(shí)際問題。
6、常見不等式的基本語(yǔ)言的意義：
(1) ，則x是正數(shù); (2) ，則x是負(fù)數(shù);
(3) ，則x是非正數(shù); (4) ，則x是非負(fù)數(shù);
(5) ，則x大于y; (6) ，則x小于y;
(7) ，則x不小于y; (8) ，則x不大于y;
(9) 或 ，則x，y同號(hào);(10) 或 ，則x，y異號(hào);
(11)x，y都是正數(shù)，若 ，則 ;若 ，則 ;
(12)x，y都是負(fù)數(shù)，若 ，則 ;若 ，則
第十二章 證明
教學(xué)目標(biāo)：
1.掌握定義、命題、定理、逆命題、互逆命題等概念，知道一個(gè)命題是真命 題，它的逆命題不一定是真命題。
2.基本事實(shí)是其真實(shí)性不加證明的真命題，弄清真命題與定理的區(qū)別。
3.會(huì)用舉反例說明一個(gè)命題是假命題;掌握三角形內(nèi)角和定理的證明。
重點(diǎn)：定義、命題、定理、逆命題、互逆命題等概念的理解與運(yùn)用
難點(diǎn)：會(huì)用舉反例說明一個(gè)命題是假命題;掌握三角形內(nèi)角和定理的證明。
內(nèi)容：
1.以基本事實(shí)：“同位角相等，兩直線平行”證明： (1)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”、“平行于同一條直線的兩條直線平行”
2.基本事實(shí)：“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”
“兩直線平行，同位角相等”
證明：
(1)兩只相平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
(2)兩只相平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
(3)三角形內(nèi)角和定理”
(4)直角三角形的兩個(gè)銳角互余
(5)有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形
(6)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)外角的和
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