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高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的幾何意義測試題
一、選擇題
1．如果復(fù)數(shù)a＋bi(a，bR)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，則()
A．a(chǎn)0，b0
B．a(chǎn)0，b0
C．a(chǎn)0，b0
D．a(chǎn)0，b0
[答案] D
[解析] 復(fù)數(shù)z＝a＋bi在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，該點(diǎn)在第二象限，需a0且b0，故應(yīng)選D.
2．(2010北京文，2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
[答案] C
[解析] 由題意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中點(diǎn)C(x，y)，則x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，
點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i，故選C.
3．當(dāng)231時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵23＜m＜1，3m－20，m－1＜0，
點(diǎn)(3m－2，m－1)在第四象限．
4．復(fù)數(shù)z＝－2(sin100－icos100)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z位于()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] C
[解析] z＝－2sin100＋2icos100.
∵－2sin1000,2cos1000，
Z點(diǎn)在第三象限．故應(yīng)選C.
5．若a、bR，則復(fù)數(shù)(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] D
[解析] a2－6a＋10＝(a－3)2＋10，－b2＋4b－5
�。剑�(b－2)2－10.所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，故應(yīng)選D.
6．設(shè)z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，tR，則以下結(jié)論中正確的是()
A．z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限
B．z一定不是純虛數(shù)
C．z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上方
D．z一定是實(shí)數(shù)
[答案] C
[解析] ∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可負(fù)、可為0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋11，排除A、B、D，選C.
7．下列命題中假命題是()
A．復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實(shí)數(shù)
B．復(fù)數(shù)等于零的充要條件是它的模等于零
C．兩個(gè)復(fù)數(shù)模相等是這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的必要條件
D．復(fù)數(shù)z1z2的充要條件是|z1|＞|z2|
[答案] D
[解析] ①任意復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、bR)的模|z|＝a2＋b20總成立．A正確；
②由復(fù)數(shù)相等的條件z＝0a＝0b＝0.|z|＝0，故B正確；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2R)
若z1＝z2，則有a1＝a2，b1＝b2，|z1|＝|z2|
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i時(shí)|z1|＝|z2|，故C正確；
④不全為零的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，但任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的模總能比較大小，D錯(cuò)．
8．已知復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()
A．－452
B．x2
C．x－45
D．x＝－45或x＝2
[答案] A
[解析] 由題意知(x－1)2＋(2x－1)210，
解之得－452.故應(yīng)選A.
9．已知復(fù)數(shù)z1＝a＋bi(a，bR)，z2＝－1＋ai，若|z1||z2|，則實(shí)數(shù)b適合的條件是()
A．b－1或b1
B．－11
C．b1
D．b0
[答案] B
[解析] 由|z1||z2|得a2＋b2a2＋1，
b21，則－11.
10．復(fù)平面內(nèi)向量OA表示的復(fù)數(shù)為1＋i，將OA向右平移一個(gè)單位后得到向量OA，則向量OA與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為()
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
[答案] C
[解析] 由題意OA＝OA，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為1＋i，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為1＋(1＋i)＝2＋i.
二、填空題
11．如果復(fù)數(shù)z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(mR)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________________．
[答案] －，－1－5232，＋
[解析] 復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限
需m2＋m－104m2－8m＋30解得：m－1－52或m32.
12．設(shè)復(fù)數(shù)z的模為17，虛部為－8，則復(fù)數(shù)z＝________.
[答案] 15－8i
[解析] 設(shè)復(fù)數(shù)z＝a－8i，由a2＋82＝17，
a2＝225，a＝15，z＝15－8i.
13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(mR)，若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于復(fù)平面上的第二象限，則m的取值范圍是________．
[答案] 35
[解析] 將復(fù)數(shù)z變形為z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i
∵復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于復(fù)平面上的第二象限
m2－8m＋150m2－m－60解得35.
14．若tR，t－1，t0，復(fù)數(shù)z＝t1＋t＋1＋tti的模的取值范圍是________．
[答案] [2，＋)
[解析] |z|2＝t1＋t2＋1＋tt22t1＋t1＋tt＝2.
|z|2.
三、解答題
15．實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝2m＋(4－m2)i的點(diǎn)
(1)位于虛軸上；
(2)位于一、三象限；
(3)位于以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓上．
[解析] (1)若復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于虛軸上，則2m＝0，即m＝0.
(2)若復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于一、三象限，則2m(4－m2)0，解得m－2或02.
(3)若對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，
則4m2＋(4－m2)2＝4
即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝2.
16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，對(duì)于任意的xR，均有|z1||z2|成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[解析] |z1|＝x4＋x2＋1，|z2|＝|x2＋a|
因?yàn)閨z1||z2|，所以x4＋x2＋1|x2＋a|
x4＋x2＋1(x2＋a)2(1－2a)x2＋(1－a2)0恒成立．
不等式等價(jià)于1－2a＝0或1－2a＝－4(1－2a)(1－a2)0
解得－112
所以a的取值范圍為－1，12.
17．已知z1＝cos＋isin2，z2＝3sin＋icos，當(dāng)為何值時(shí)
(1)z1＝z2；
(2)z1，z2對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱；
(3)|z2|2.
[解析] (1)z1＝z2cos＝3sinsin2＝cos
tan＝332sincos＝cos＝2k6(kZ)．
(2)z1與z2對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱
cos＝3sinsin2＝－cos＝k6(kZ)2sincos＝－cos
�。�2k＋76Z)．
(3)|z2|(3sin)2＋cos22
3sin2＋cos22sin212
－k4(kZ)．
18．已知復(fù)數(shù)z1＝3－i及z2＝－12＋32i.
(1)求|z1|及|z2|的值并比較大�。�
(2)設(shè)zC，滿足條件|z2||z1|的點(diǎn)Z的軌跡是什么圖形？
[解析] (1)|z1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2
|z2|＝－12－32i＝1.|z1|＞|z2|.
(2)由|z2||z1|，得12.
因?yàn)閨z|1表示圓|z|＝1外部所有點(diǎn)組成的集合．
|z|2表示圓|z|＝2內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合，
12表示如圖所示的圓環(huán)．
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