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復(fù)變函數(shù)總結(jié)
總結(jié)是對取得的成績、存在的問題及得到的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)等方面情況進(jìn)行評(píng)價(jià)與描述的一種書面材料，它能夠給人努力工作的動(dòng)力，不妨讓我們認(rèn)真地完成總結(jié)吧。那么總結(jié)有什么格式呢？下面是小編整理的復(fù)變函數(shù)總結(jié)，希望能夠幫助到大家。
復(fù)變函數(shù)總結(jié)1
若C是一個(gè)逆時(shí)針的閉合曲線，假設(shè) f(z) 在C內(nèi)及C上是全純的`（處處可微），則對于C內(nèi)任一點(diǎn) z_0 ,f(z_0)=frac{1}{2pi i}int_{C}^{}frac{f(z)}{z-z_0}mathrm dz .
柯西積分公式暗示著：只需知道函數(shù)在邊界上C的值，就足夠求函數(shù)在任一點(diǎn)的值，這也是一種表示定理。
證明：令 z=z_0+varepsilon e^{i heta} , heta subseteq [0,2pi] ,則：
frac{1}{2pi i}int_{C}^{}frac{f(z)}{z-z_0} mathrm dz=frac{1}{2pi i}int_{0}^{2 pi}frac{f(z_0+varepsilon e^{i heta})}{varepsilon e^{i heta}}ivarepsilon e^{i heta} mathrm d heta
=frac{1}{2pi }int_{0}^{2 pi}f(z_0+varepsilon e^{i heta}) mathrm d heta .
觀察上式為一個(gè)“平均值”,目的是讓此“平均值”等于 f(z_0)。設(shè)法做差，讓其絕對值等于0即可：
left| frac{1}{2pi }int_{0}^{2 pi}f(z_0+varepsilon e^{i heta}) d heta - f(z_0) ight|
=left| frac{1}{2pi }int_{0}^{2 pi}[f(z_0+varepsilon e^{i heta})- f(z_0) ]mathrm d heta ight|
leq frac{1}{2pi }int_{0}^{2 pi}left| [f(z_0+varepsilon e^{i heta})- f(z_0) ] ight| mathrm d heta ightarrow 0, varepsilon ightarrow 0^{+}
原式得證。
復(fù)變函數(shù)總結(jié)2
求瑕積分時(shí)，此定理在處理極點(diǎn)在實(shí)部軸上時(shí)非常好用。
若 f(z) 在 z=z_0 處為simple pole，則f(z)繞著 z=z_0 ，當(dāng)半徑 varepsilon 趨近于0時(shí)，則：
int_{P}^{}f(z)mathrm dz=i heta_0Res(f,z_0) .
注意：這與留數(shù)定理是統(tǒng)一的，不同之處在于此處要求半徑 varepsilon 趨于0。
證明：
f(z)=b_1(z-z_0)^{-1}+a_0+a_1(z-z_0)^1+... ,令 z=z_0+varepsilon e^{i heta} , dz=ivarepsilon e^{i heta}mathrm d heta ,int_{P}^{}f(z)mathrm dz=int_{0}^{ heta_0}f(z)ivarepsilon e^{i heta}mathrm d heta
=int_{0}^{ heta_0}left{ b_1frac{1}{varepsilon e^{i heta}} +a_0+a_1varepsilon e^{i heta} + ... ight}ivarepsilon e^{i heta}mathrm d heta
=b_1i heta_0+int_{0}^{ heta_0}sum_{k=0}^{infty}{ia_kvarepsilon^{k+1}e^{i(k+1) heta}}mathrm d heta
其中， int_{0}^{ heta_0}sum_{k=0}^{infty}{ia_kvarepsilon^{k+1}e^{i(k+1) heta}}mathrm d heta= left. sum_{k=0}^{infty}{frac{a_k}{k+1}varepsilon^{k+1}e^{i(k+1) heta}} ight|_{ heta=0}^{ heta= heta_0}
=0, (varepsilon ightarrow 0).
原式得證。
復(fù)變函數(shù)總結(jié)3
第三章復(fù)變函數(shù)的積分
能力要求
會(huì)通過轉(zhuǎn)化成兩個(gè)實(shí)變函數(shù)第一型曲線積分的方法來計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分。
知道復(fù)變函數(shù)積分的四條性質(zhì)，特別注意前三條線性性質(zhì)。
知道在什么時(shí)候可以用實(shí)變函數(shù)中的牛頓萊布尼茨公式計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分。
會(huì)用柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式(n=1,2,……)計(jì)算積分。會(huì)用復(fù)合閉路原理和閉路變形原理簡化積分計(jì)算。會(huì)判定一個(gè)復(fù)變函數(shù)是不是某一區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。會(huì)用偏積分法和不定積分法求共軛調(diào)和函數(shù)。
重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)講解
一、復(fù)變函數(shù)積分的基本計(jì)算法
復(fù)變函數(shù)的積分是轉(zhuǎn)化成實(shí)變函數(shù)的第一型曲線積分來計(jì)算的，因此我們要先回顧第一型曲線積分的計(jì)算步驟。例題：沿計(jì)算積分的值第一步：化參數(shù)
積分路徑是一條拋物線，它在復(fù)平面上的方程是，則。
第二步：把原積分式中的x、y和dz都代掉。注意積分上下限的變化。
二、積分的性質(zhì)
最重要的是積分的.線性性質(zhì)（書P74性質(zhì)前三條），第四條估值不等式能力要求稍高。
三、用性質(zhì)、定理計(jì)算積分、定理回顧
柯西-古薩基本定理
如果函數(shù)在單連通域B內(nèi)處處解析，那么函數(shù)沿B內(nèi)任何一條封閉曲線C域B內(nèi)處處解析，那么函數(shù)沿B內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零。
關(guān)鍵詞：處處解析封閉曲線積分為零注意：該定理中的C可以不是簡單曲線。閉路變形原理
在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)不解析的點(diǎn)。
關(guān)鍵詞：解析函數(shù)連續(xù)變形不經(jīng)過不解析點(diǎn)基本定理的推廣復(fù)合閉路定理
設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡單閉曲線，C1，C2，……，Cn是在C內(nèi)部的簡單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以C，C1，C2，……，Cn為邊界的區(qū)域全含于D。如果在D內(nèi)解析，那么
i)，其中C及Ck均取正方向；
ii)積分路徑為C及Ck所組成的符合閉路，C取逆時(shí)針，Ck取順時(shí)針。復(fù)合閉路定理告訴了我們被積函數(shù)在積分路徑所圍區(qū)域內(nèi)存在奇點(diǎn)的情況下積分的計(jì)算方法：圍繞每個(gè)奇點(diǎn)畫一個(gè)小圓作為積分路徑，把原積分拆成多個(gè)積分的和。雖然書上那一部分要求我們用73頁上的那個(gè)結(jié)果，但其實(shí)我們完全可以用后面的柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式來解決，那是更具一般性的。
柯西積分公式
如果在區(qū)域D內(nèi)處處解析，C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)處解析，C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部完全含于D，為C內(nèi)的任一點(diǎn)，那么|f(z0)1f(z)dz2iCzz0關(guān)鍵詞：處處解析正向簡單閉曲線
柯西積分公式的功效是把一個(gè)復(fù)變函數(shù)的積分和它在積分路徑所圍區(qū)域內(nèi)話的次序不可顛倒！
接下來重點(diǎn)講共軛調(diào)和函數(shù)的兩種求法。
1、偏積分法
求解過程（以知v求u為例）：
�、偾蟪龊�
②由柯西-黎曼方程中的得到，這就是偏積分。當(dāng)然，也可以用，對y求偏積分。
�、鄞�，確定。求積分過程中出現(xiàn)的常數(shù)c則要根據(jù)題給信息確定。
2、不定積分法求解過程：
�、俑鶕�(jù)復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)公式（見P42）寫出的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。
�、诎阉�原成z的函數(shù)，得到與。
�、蹖⑺鼈儗積分，即得到
當(dāng)已知實(shí)部時(shí)可用上一式，已知虛部時(shí)可用下一式。
題目講解
1、，C為正向圓周|z|=2.解：
柯西積分公式2、求
高階導(dǎo)數(shù)公式3、求解：
復(fù)變函數(shù)總結(jié)4
1.利用定義求積分
例1、計(jì)算積分xyix2dz，積分路徑C是連接由0到1i的直線段.
c解：yx0x1為從點(diǎn)0到點(diǎn)1i的直線方程，于是
xyixdz2cxyixdxiy
201ixxixdxix
20xx011iixdx1i3.
2.利用柯西積分定理求積分
柯西積分定理：設(shè)fz在單連通區(qū)域
D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一條周線，則
fzdzc0.
D柯西積分定理的等價(jià)形式：設(shè)C是一條周線，
DDC上解析，則fzdz0.
c為C之內(nèi)部，fz在閉域
例2、求coszzidz，其中C為圓周z3i1，
c解：圓周C為z3z1，被積函數(shù)的奇點(diǎn)為i，在C的'外部，
于是，
coszzi在以C為邊界的閉圓z3i1上解析，
coszzidz0.
故由柯西積分定理的等價(jià)形式得c如果D為多連通區(qū)域，有如下定理：
設(shè)D是由復(fù)周線CC0C1C2Cn所構(gòu)成的有界多連通區(qū)域，fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則fzdz0.
c例3.計(jì)算積分dzz16z3z1.
1分析：被積函數(shù)Fzz3z1在C上共有兩個(gè)奇點(diǎn)z0和z，在z1內(nèi)
31作兩個(gè)充分小圓周，將兩個(gè)奇點(diǎn)挖掉，新區(qū)域的新邊界就構(gòu)成一個(gè)復(fù)周線，可應(yīng)用上定理.
解：顯然，
1z3z11z33z1
為心，充分小半徑r16任作以z0與以z12:zr313的圓周1:zr及，將二奇點(diǎn)挖去，新邊界構(gòu)成復(fù)周線C12C:z1.
dzz3z1z1z3z12dz
12z3z1z3z1
1dzdzdzz13dz3z11dzz2z3dz3z12
dzdzz1dz1z31dz221z30.
3.利用柯西積分公式求積分
設(shè)區(qū)域D的邊界是周線或復(fù)周線C，函數(shù)fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則有fz12icfz2dzD，即fcd2ifz.
z例4.計(jì)算積分2zz1z1cdz的值，其中C:z2
解：因?yàn)閒z2z2z1在z2上解析，
z1z2，由柯西積分公式得2zz1z22z12dz2i2zz1.
設(shè)區(qū)域D的邊界是周線或復(fù)周線C，函數(shù)fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則函數(shù)fz在區(qū)域D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，并且有fnzdn12iczn!fzDn1,2即c例5.計(jì)算積分coszdzdn1zf2in!fnz.
czi3，其中C是繞i一周的周線.
解：因?yàn)閏osz在z平面上解析，
所以e1coszczii.
dz32i2!cosz|ziicosi
e2例6.求積分c921d，其中C為圓周2.
解：
c921didc92
5
另外,若a為周線C內(nèi)部一點(diǎn)，則dzdz2icza
zacn0（n1，且n為整數(shù)）.
4.應(yīng)用留數(shù)定理求復(fù)積分
fz在復(fù)周線或周線C所圍的區(qū)域D內(nèi)，除a1,a2,an外解析，在閉域DDC上除a1,a2,an外連續(xù)，則fzdz2iResfz.
ck1zakn設(shè)a為fz的n階極點(diǎn)，fzzzan，其中z在點(diǎn)a解析，a0，則
Resfzzaa.
n1!5z2z2n1例7.計(jì)算積分zz12dz
解：被積函數(shù)fz5z2zz12在圓周z2的內(nèi)部只有一階極點(diǎn)z0及z1，
Resfzz05z2z22|z02
25z2Resfz||2z12z1z1zz因此，由留數(shù)定理可得
5z2z2zz12dz2i220.
例8.計(jì)算積分解：fzz13coszz1z3dz.
cosz只以z0為三階極點(diǎn)，
12Resfzz02!coszz0
由留數(shù)定理得coszz1z31dz2ii.
25.用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分
某些實(shí)的定積分可應(yīng)用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算，尤其是對原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分，常是一個(gè)有效的辦法，其要點(diǎn)是將它劃歸為復(fù)變函數(shù)的周線積分.5.1計(jì)算Rcos,sind型積分
02令ze，則cos2izz21，sinzz2i1，ddziz，
此時(shí)有0zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.例9.2dacos0a1
12解：令zei，則cosI2izz，d1dziz，
zzz1dz，其中aa21，aa21，
1,1,1，
應(yīng)用留數(shù)定理得I2a12.
若Rcos,sin為的偶函數(shù)，則Rcos,sind之值亦可用上述方法求之，
0因?yàn)榇藭r(shí)Rcos,sind01Rcos,sind，仍然令ze.2i例10.計(jì)算taniad（a為實(shí)數(shù)且a0）
0分析：因?yàn)閠ania1eie2iai2iai11，
直接令e2iaiz，則dze2iai2id，
于是tania解：I11z1iz1.
iz12izcz11dz1dz2zz1cz1應(yīng)用留數(shù)定理，當(dāng)a0時(shí)，Ii當(dāng)a0時(shí)，Ii.5.2計(jì)算PxQxdx型積分
例11.計(jì)算xdx423xz24.
23424解：函數(shù)fz2323z在上半平面內(nèi)只有zi一個(gè)四階極點(diǎn)，
令ia，zat則fzz3444z4223z44
zaza
ta44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att
211tt4423t168a32aResfzza1332a43
i5766即Resfzz23i133242i33
故
xdx423x242ii57662886.
復(fù)變函數(shù)總結(jié)5
《復(fù)變函數(shù)與積分變換》是電氣技術(shù)、自動(dòng)化及信號(hào)處理等工科專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，也是重要的工具性課程。本課程包括兩部分內(nèi)容：復(fù)變函數(shù)和積分變換。復(fù)變函數(shù)與積分變換的學(xué)習(xí)是為以后學(xué)習(xí)工程力學(xué)、電工學(xué)、電磁學(xué)、振動(dòng)力學(xué)及無線電技術(shù)等奠定基礎(chǔ)。
二、教學(xué)過程、方法及教學(xué)效果
1、命題分析
命題符合教學(xué)大綱基本要求，知識(shí)點(diǎn)覆蓋面廣，難易適中。重點(diǎn)考查了學(xué)生的基本概念、基本理論和技能的掌握程度以及綜合運(yùn)用能力。命題表述簡明、準(zhǔn)確，題量適中。
2、答題分析
絕大多數(shù)同學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度較好、學(xué)習(xí)積極性較高，能認(rèn)真?zhèn)淇�，掌握了相關(guān)的基本知識(shí)點(diǎn)，和相關(guān)題目的運(yùn)算。從學(xué)生的考試情況來看，總體來說效果是比較好的。
3、成績分析
學(xué)生總數(shù)104平均分
4、教學(xué)效果
總體情況比較理想，同學(xué)們普遍感覺對該課程的相關(guān)理論有了一定的了解，基本掌握了本課程的`相關(guān)知識(shí)。
三、存在的不足及改進(jìn)措施
在今后的教學(xué)中，尤其要加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)相結(jié)合，使學(xué)生更有興趣學(xué)習(xí)這門課程，對教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚�，調(diào)整講解順序，抓住關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，在課堂上加大對學(xué)生訓(xùn)練的力度。課后及時(shí)批改學(xué)生作業(yè)，及時(shí)講評(píng)并解答學(xué)生的各種疑難問題。
四、教改建議
學(xué)時(shí)相對較少，概念和理論不能深入展開講解；應(yīng)適當(dāng)增加學(xué)時(shí)，以增加習(xí)題課的教學(xué)，使學(xué)生能夠更牢固掌握該門課程。
90～100分(優(yōu))80～89分(良)167226優(yōu)秀率70～79分(中)1315%60～69分(及)0～59分(不及)35及格率1487%
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