最短路徑的算法

        小河邊有兩個村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水，若要使廠部到A，B村的距離相等，則應選擇在哪建廠?要回答出這個問題，我們就要了解一下最短路徑的相關知識。以下是小編與大家分享最短路徑的知識。

　　最短路徑

　　最短路徑，是指用于計算一個節(jié)點到其他所有節(jié)點的最短的線路。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。Dijkstra算法能得出最短路徑的最優(yōu)解，但由于它遍歷計算的節(jié)點很多，所以效率低。最短路徑問題是圖論研究中的一個經(jīng)典算法問題， 旨在尋找圖(由結點和路徑組成的)中兩結點之間的最短路徑。

　　最短路徑問題

　　最短路徑問題是圖論研究中的一個經(jīng)典算法問題， 旨在尋找圖(由結點和路徑組成的)中兩結點之間的最短路徑。 算法具體的形式包括：

　　確定起點的最短路徑問題- 即已知起始結點，求最短路徑的問題。適合使用Dijkstra算法。

　　確定終點的最短路徑問題- 與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同于把所有路徑方向反轉(zhuǎn)的確定起點的問題。

　　確定起點終點的最短路徑問題- 即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。

　　全局最短路徑問題- 求圖中所有的最短路徑。適合使用Floyd-Warshall算法。

　　Dijkstra算法

　　1.定義概覽

　　Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的單源最短路徑算法，用于計算一個節(jié)點到其他所有節(jié)點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路徑算法，在很多專業(yè)課程中都作為基本內(nèi)容有詳細的介紹，如數(shù)據(jù)結構，圖論，運籌學等等。注意該算法要求圖中不存在負權邊。

　　問題描述：在無向圖 G=(V,E) 中，假設每條邊 E[i] 的長度為 w[i]，找到由頂點 V0 到其余各點的最短路徑。(單源最短路徑)

　　2.算法描述

　　1)算法思想：設G=(V,E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點集合(用S表示，初始時S中只有一個源點，以后每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到全部頂點都加入到S中，算法就結束了)，第二組為其余未確定最短路徑的頂點集合(用U表示)，按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大于從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點為中間頂點的當前最短路徑長度。

　　2)算法步驟：

　　a.初始時，S只包含源點，即S={v}，v的距離為0。U包含除v外的其他頂點，即:U={其余頂點}，若v與U中頂點u有邊，則正常有權值，若u不是v的出邊鄰接點，則權值為∞。

　　b.從U中選取一個距離v最小的頂點k，把k，加入S中(該選定的距離就是v到k的最短路徑長度)。

　　c.以k為新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離;若從源點v到頂點u的距離(經(jīng)過頂點k)比原來距離(不經(jīng)過頂點k)短，則修改頂點u的距離值，修改后的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。

　　d.重復步驟b和c直到所有頂點都包含在S中。

　　Floyd算法

　　1.定義概覽

　　Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用于計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時間復雜度為O(N3)，空間復雜度為O(N2)。

　　2.算法描述

　　1)算法思想原理：

　　Floyd算法是一個經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃算法。用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態(tài)規(guī)劃的角度看問題，我們需要為這個目標重新做一個詮釋(這個詮釋正是動態(tài)規(guī)劃最富創(chuàng)造力的精華所在)

　　從任意節(jié)點i到任意節(jié)點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j，2是從i經(jīng)過若干個節(jié)點k到j。所以，我們假設Dis(i,j)為節(jié)點u到節(jié)點v的最短路徑的距離，對于每一個節(jié)點k，我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短，我們便設置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來，當我們遍歷完所有節(jié)點k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j的最短路徑的距離。

　　2).算法描述：

　　a.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大。

　　b.對于每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。

　　3).Floyd算法過程矩陣的計算----十字交叉法

　　方法：兩條線，從左上角開始計算一直到右下角 如下所示

　　給出矩陣，其中矩陣A是鄰接矩陣，而矩陣Path記錄u,v兩點之間最短路徑所必須經(jīng)過的點

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