2018屆河南省高三數(shù)學(xué)文科模擬試題及答案
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2018屆河南省高三數(shù)學(xué)文科模擬試題題目
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
2.已知向量 ， ，若 ，則正實(shí)數(shù) 的值為( )
A.2 B.3 C.3或-2 D.-3或2
3.設(shè) 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)為( )
A. B. C. D.
4.已知命題 “ ”，命題 “ ”，若命題“ ”是真命題，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 為( )
A. B. C. D.
6.設(shè) 為公比為 的等比數(shù)列，若 和 是方程 的兩根，則 ( )
A. 18 B.10 C. 25 D.9
7.如圖，在 中， ， 是 上的一點(diǎn)，若 ，則實(shí)數(shù) 的值為( )
A. B. C. D.
8.設(shè)變量 滿足 ，則 的最大值為( )
A. 55 B. 35 C. 45 D.20
9.在球 內(nèi)任取一點(diǎn) ，則 點(diǎn)在球 的內(nèi)接正四面體中的概率是( )
A. B. C. D.
10.已知下列命題：
�、倜}“ ”的否定是“ ”
�、谝阎� 為兩個(gè)命題，若“ ”為假命題，則“ ”為真命題
�、�“ ”是“ ”的充分不必要條件
�、�“若 ，則 且 ”的逆否命題為真命題
其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A. 3個(gè) B. 2個(gè) C. 1個(gè) D.0個(gè)
11.已知四棱錐 的底面是中心為 的正方形，且 底面 ， ，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為( )
A. 1 B.2 C. D.3
12.設(shè)函數(shù) ， ，若數(shù)列 是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)
13.若 是直角三角形的三邊( 為斜邊)，則圓 被直線 所截得的弦長(zhǎng)等于 .
14.一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為 .
15.已知 ，則 的最小值為 .
16.已知函數(shù) 若對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù) 都有 恒成立，則 的取值范圍是 .
三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
17. 在 中，設(shè)角 所對(duì)的邊分別為 ，向量 ， ，且 .
(1)求角 的大小;
(2)若 ， ，求 的面積.
18. 某校高三(1)班的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見(jiàn)部分如下，據(jù)此解答如下問(wèn)題：
(1)求全班人數(shù)及分?jǐn)?shù)在 之間的頻數(shù);
(2)估計(jì)該班的平均分?jǐn)?shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中 間的矩形的高;
(3)若要從分?jǐn)?shù)在 之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分?jǐn)?shù)在 之間的概率.
19. 如圖，在底面是菱形的四棱柱 中， ， ， ，點(diǎn) 在 上.
(1)證明： 平面 ;
(2)當(dāng) 為何值時(shí)， 平面 ，并求出此時(shí)直線 與平面 之間的距離.
20. 已知橢圓 的右焦點(diǎn)為 ， 為橢圓的上頂點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 是等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線 交橢圓于 兩點(diǎn)，且使 為 的垂心(垂心：三角形三條高的交點(diǎn))?若 存在，求出直線 的方程;若 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
21. 已知 ，其中 .
(1)求函數(shù) 的極大值點(diǎn);
(2)當(dāng) 時(shí)，若在 上至少存在一點(diǎn) ，使 成立，求 的取值范圍.
請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系 中，曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)，以 軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為 .
(1)求曲線 的普通方程和曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)若 與 交于 兩點(diǎn)，點(diǎn) 的極坐標(biāo)為 ，求 的值.
23.選修4-5：不等式選講
已知函數(shù) ， .
(1)解不等式 ;
(2) ， ，使得 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
2018屆河南省高三數(shù)學(xué)文科模擬試題答案
一、選擇題
1～5 ABCDD 6～10 ADACC 11～12 BB
二、填空題
13. 2 14. 15. 16. [1,+∞)
三、解答題
17. 解：(Ⅰ)
=
∵ ∴ ，
又∵0< < ， ∴ < < ，∴ =0，
(Ⅱ)∵ ∴
∴ ，又∵0< < ∴
∴△ABC為等腰直角三角形，
18.(本小題滿分12分)
解：(1)由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在[50,60)之間的`頻數(shù)為2，
頻率為0.008×10=0.08
全班人數(shù) =25
所以分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的頻數(shù)為25-2-7-10-2=4
(2)分?jǐn)?shù)在[50,60)之間的總分?jǐn)?shù)為56+58=114
分?jǐn)?shù)在[60,70)之間的總分?jǐn)?shù)為60×7+2+3+3+5+6+8+9=456
分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的總分?jǐn)?shù)為70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747
分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的總分?jǐn)?shù)為85×4=340
分?jǐn)?shù)在[90,100]之間的總分?jǐn)?shù)為95+98=193
所以，該班的平均分?jǐn)?shù)為
估計(jì)平均分?jǐn)?shù)時(shí)，以下解法也給分：
分?jǐn)?shù)在[50,60)之間的頻率為 =0.08
分?jǐn)?shù)在[60,70)之間的頻率為 =0.28
分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的頻率為 =0.40
分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的頻率為 =0.16
分?jǐn)?shù)在[90,100]之間的頻率為 =0.08
所以該班的平均分?jǐn)?shù)約為55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08
=73.8
所以頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高為 ÷10=0.016
(3)將[80,90)之間的4個(gè)分?jǐn)?shù)編號(hào)為1,2,3,4，[90,100]之間的2個(gè)分?jǐn)?shù)編號(hào)為5,6，
在[80,100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15個(gè).
其中，至少有一份在[90,100]之間的基本事件有9個(gè)，故至少有一份分?jǐn)?shù)在[90,100]之間的概率是 =0.6
19、(1)證明：因?yàn)榈酌?是菱形， 所以 ，在 中，
由 知 ，同理， 又因?yàn)?于點(diǎn)A，
所以 平面
(2)當(dāng) 時(shí)， 平面
證明如下：連接 交 于 ，當(dāng) ，即點(diǎn)E為A1D的中點(diǎn)時(shí)，
連接OE，則 ，所以 平面
直線 與平面 之間的距離等于點(diǎn)A1到平面ACE的距離，因?yàn)镋為A1D的中點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為D到平面ACE的距離， ，設(shè)AD的中點(diǎn)為F，連接EF，則 ，所以 平面 ，且 ，可求得 ，
所以
又 ， ， ， ， ( 表示點(diǎn)D到平面ACE的距離)， ，所以直線 與平面 之間的距離為
20.解：(1)由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a =
故橢圓方程為
(2)假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且使F為△PQM的垂心
設(shè)P( , ),Q( , )
因?yàn)镸(0,1)，F(xiàn)(1,0)，故 ，故直線l的斜率
于是設(shè)直線l的方程為
由 得
由題意知△>0，即 <3，且
由題意應(yīng)有 ，又
故
解得 或
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) 時(shí)，△PQM不存在，故舍去 ;
當(dāng) 時(shí)，所求直線 滿足題意
綜上，存在直線l，且直線l的方程為
21.解：(1)由已知 = ， >0
當(dāng) -1≤0，即 ≤1時(shí)， 在(0,1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，無(wú)極大值
當(dāng)0< -1<1，即1< <2時(shí) 在(0, -1)上遞增，在( -1，1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，所以 在 處取極大值
當(dāng) -1=1時(shí)，即 =2時(shí)， 在(0,+∞)上遞增，無(wú)極大值
當(dāng) -1>1時(shí)，即 >2時(shí)， 在(0,1)上遞增，在(1， -1)上遞減，在( -1,+∞)上遞增，故 在 處取極大值
綜上所述，當(dāng) ≤1或 =2時(shí)， 無(wú)極大值;當(dāng)1< <2時(shí) 的極大值點(diǎn)位 ;當(dāng) >2時(shí) 的極大值點(diǎn)為
(2)在 上至少存在一點(diǎn) ，使 > 成立，
等價(jià)于當(dāng) 時(shí)， >
由(1)知，①當(dāng) ≤ 時(shí)，
函數(shù) 在 上遞減，在 上遞增
∴
∴要使 > 成立，必須使 > 成立或 > 成立
由 > ， <
由 > 解得 <1
∵ <1，∴ <1
�、诋�(dāng) ≥ 時(shí)，函數(shù) 在 上遞增，在 上遞減
∴ ≤ <
綜上所述，當(dāng) <1時(shí)，在 上至少存在一點(diǎn) ，使 > 成立
22.(1)曲線 的普通方程為
曲線 的直角坐標(biāo)方程為: .
(2) 的參數(shù)方程 為參數(shù))代入 得
設(shè) 是 對(duì)應(yīng)的參數(shù),則
23.(1) 2分
等價(jià)于
綜上,原不等式的解集為
(2)
由(Ⅰ)知
所以 ，
實(shí)數(shù) 的取值范圍是
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