2018屆江西百所重點(diǎn)高中高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷及答案
在高考的復(fù)習(xí)備考過程中，理科考生多做理科數(shù)學(xué)模擬試題是十分重要的，只有多做題積累才能真正有效提高成績(jī)，下面是小編為大家精心推薦的2018屆江西百所重點(diǎn)高中高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷，希望能夠?qū)δ兴鶐椭?/p>
2018屆江西百所重點(diǎn)高中高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合A={x|x2﹣x﹣6≥0}，B={x|﹣3≤x≤3}，則A∩B等于( )
A. B. C.∪{3} D.∪{﹣3}
2.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R，b>0)，且 ，則z的虛部為( )
A. B. C. D.
3.若sin(α+β)=2sin(α﹣β)= ，則sinαcosβ的值為( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中，D，E分別為BC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，若 ，AB=2AC=2，則 的值為( )
A. B. C. D.
5.如圖是函數(shù)y=f(x)求值的程序框圖，若輸出函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)�，則輸入函數(shù)y=f(x)的定義域不可能為( )
A. B. D.∪{2}
6.函數(shù)f(x)=sin(πx+θ)(|θ|< )的部分圖象如圖，且f(0)=﹣ ，則圖中m的值為( )
A.1 B. C.2 D. 或2
7.在公差大于0的等差數(shù)列{an}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比數(shù)列，則數(shù)列{(﹣1)n﹣1an}的前21項(xiàng)和為( )
A.21 B.﹣21 C.441 D.﹣441
8.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷第五“商功”共收錄28個(gè)題目，其中一個(gè)題目如下：今有城下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，問積幾何?其譯文可用三視圖來解釋：某幾何體的三視圖如圖所示(其中側(cè)視圖為等腰梯形，長(zhǎng)度單位為尺)，則該幾何體的體積為( )
A.3795000立方尺 B.2024000立方尺
C.632500立方尺 D.1897500立方尺
9.已知k≥﹣1，實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件 ，且 的最小值為k，則k的值為( )
A. B. C. D.
10.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線 (a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得∠F1PF2=60°，|OP|=3b(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
11.體積為 的正三棱錐A﹣BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內(nèi)部，且R：BC=2：3，點(diǎn)E為線段BD上一點(diǎn)，且DE=2EB，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是( )
A. B. C. D.
12.定義在(0，+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足 ，則下列不等式中，一定成立的是( )
A.f(9)﹣1
二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)
13.若公比為2的等比數(shù)列{an}滿足a7=127a ，則{an}的前7項(xiàng)和為 .
14.(x﹣2)3(x+1)4的展開式中x2的系數(shù)為 .
15.已知圓C過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，且圓心在此拋物線的準(zhǔn)線上，若圓C的圓心不在x軸上，且與直線x+ y﹣3=0相切，則圓C的半徑為 .
16.已知函數(shù)f(x)= ，若函數(shù)g(x)=f(x)﹣ax﹣1有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知atanB=2bsinA.
(1)求B;
(2)若b= ，A= ，求△ABC的面積.
18.某地區(qū)擬建立一個(gè)藝術(shù)搏物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo).現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)總是中隨機(jī)抽取3個(gè)總題，已知這6個(gè)招標(biāo)問題中，甲公司可正確回答其中4道題目，而乙公司能正面回答每道題目的概率均為 ，甲、乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相獨(dú)立，互不影響的.
(1)求甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率;
(2)請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大?
19.如圖，在三棱錐ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，△A1AC為等邊三角形，AC⊥A1B.
(1)求證：AB=BC;
(2)若∠ABC=90°，求A1B與平面BCC1B1所成角的'正弦值.
20.已知橢圓C： + =1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2，且函數(shù)y=x2﹣ 的圖象與橢圓C僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)P為線段MN的中垂線與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，求△PMN面積的最小值，并求此時(shí)直線l的方程.
21.已知函數(shù)f(x)=ex﹣1+ax，a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若∀x∈
22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，直線C2的方程為y= ，以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，
(1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求 + .
23.已知函數(shù)f(x)=|x|+|x﹣3|.
(1)求不等式f( )<6的解集;
(2)若k>0且直線y=kx+5k與函數(shù)f(x)的圖象可以圍成一個(gè)三角形，求k的取值范圍.
2018屆江西百所重點(diǎn)高中高考理科數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合A={x|x2﹣x﹣6≥0}，B={x|﹣3≤x≤3}，則A∩B等于( )
A. B. C.∪{3} D.∪{﹣3}
【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算.
【分析】根據(jù)題意，解不等式|x2﹣x﹣6≥0求出集合A，進(jìn)而由交集的意義計(jì)算可得答案.
【解答】解：根據(jù)題意，x2﹣x﹣6≥0⇒x≤﹣2或x≥3，
即A={x|x2﹣x﹣6≥0}=(﹣∞，﹣2]∪;
A∩B=∪{3};
故選：C.
2.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R，b>0)，且 ，則z的虛部為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、虛部的定義即可得出.
【解答】解：復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R，b>0)，且 ，
∴a﹣bi=a2﹣b2+2abi.
∴a=a2﹣b2，﹣b=2ab.
解得a=﹣ ，b= .
則z的虛部為 .
故選：C.
3.若sin(α+β)=2sin(α﹣β)= ，則sinαcosβ的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】GI：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值.
【分析】利用兩角和與差公式打開化簡(jiǎn)，即可得答案.
【解答】解：由sin(α+β)=2sin(α﹣β)= ，可得sinαcosβ+cosαsinβ= …①
sinαcosβ﹣cosαsinβ= …②
由①②解得：sinαcosβ= ，
故選：A.
4.在△ABC中，D，E分別為BC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，若 ，AB=2AC=2，則 的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算即可.
【解答】解：如圖所示，
△ABC中，D，E分別為BC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，
，且AB=2AC=2，
∴ =( + )•
=(﹣ + )• ( + )
=﹣ ﹣ • +
=﹣ ×12﹣ ×(﹣1)+ ×22
= .
故選：B.
5.如圖是函數(shù)y=f(x)求值的程序框圖，若輸出函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)�，則輸入函數(shù)y=f(x)的定義域不可能為( )
A. B. D.∪{2}
【考點(diǎn)】EF：程序框圖.
【分析】模擬程序的運(yùn)行過程知該程序的功能是
求分段函數(shù)y= 在某一區(qū)間上的值域問題;
對(duì)題目中的選項(xiàng)分析即可.
【解答】解：模擬程序的運(yùn)行過程知，該程序的功能是
求分段函數(shù)y= 在某一區(qū)間上的值域問題;
x∈時(shí)，y=2﹣x∈=，滿足題意，A正確;
x∈=(4，8]，
x=2時(shí)，y=x2=4，
∴x∈，滿足題意，B正確;
x∈時(shí)，若x∈，則y=x2∈，不滿足題意，C錯(cuò)誤;
同理x∈∪{2}時(shí)，y∈，滿足題意，D正確.
故選：C.
6.函數(shù)f(x)=sin(πx+θ)(|θ|< )的部分圖象如圖，且f(0)=﹣ ，則圖中m的值為( )
A.1 B. C.2 D. 或2
【考點(diǎn)】HK：由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.
【分析】f(0)=﹣ ，則sinθ=﹣ ，求出θ，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性，即可得出結(jié)論.
【解答】解：f(0)=﹣ ，則sinθ=﹣ ，
∵|θ|< ，∴θ=﹣ ，
∴πx﹣ =2kπ+ ，∴x=2k+ ，
∴ = ，∴m= ，
故選B.
7.在公差大于0的等差數(shù)列{an}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比數(shù)列，則數(shù)列{(﹣1)n﹣1an}的前21項(xiàng)和為( )
A.21 B.﹣21 C.441 D.﹣441
【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和.
【分析】設(shè)公差為d(d>0)，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得首項(xiàng)為1，再由等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得公差d，進(jìn)而得到等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)，再由并項(xiàng)求和即可得到所求和.
【解答】解：公差d大于0的等差數(shù)列{an}中，2a7﹣a13=1，
可得2a1+12d﹣(a1+12d)=1，即a1=1，
a1，a3﹣1，a6+5成等比數(shù)列，
可得(a3﹣1)2=a1(a6+5)，
即為(1+2d﹣1)2=1+5d+5，
解得d=2(負(fù)值舍去)
則an=1+2(n﹣1)=2n﹣1，n∈N*，
數(shù)列{(﹣1)n﹣1an}的前21項(xiàng)和為a1﹣a2+a3﹣a4+…+a19﹣a20+a21=1﹣3+5﹣7+…+37﹣39+41
=﹣2×10+41=21.
故選：A.
8.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷第五“商功”共收錄28個(gè)題目，其中一個(gè)題目如下：今有城下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，問積幾何?其譯文可用三視圖來解釋：某幾何體的三視圖如圖所示(其中側(cè)視圖為等腰梯形，長(zhǎng)度單位為尺)，則該幾何體的體積為( )
A.3795000立方尺 B.2024000立方尺
C.632500立方尺 D.1897500立方尺
【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積.
【分析】由三視圖可得，直觀圖為底面為側(cè)視圖是直棱柱，利用圖中數(shù)據(jù)求出體積.
【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為底面為側(cè)視圖，是直棱柱，體積為 =1897500立方尺，
故選D.
9.已知k≥﹣1，實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件 ，且 的最小值為k，則k的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.
【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線斜率公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.
【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D(0，﹣1)的斜率，
由圖象知AD的斜率最小，
由 得 ，得A(4﹣k，k)，
則AD的斜率k= ，整理得k2﹣3k+1=0，
得k= 或 (舍)，
故選：C
10.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線 (a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得∠F1PF2=60°，|OP|=3b(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】利用雙曲線的定義與余弦定理可得到a2與c2的關(guān)系，從而可求得該雙曲線的離心率.
【解答】解：設(shè)該雙曲線的離心率為e，依題意，||PF1|﹣|PF2||=2a，
∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，
不妨設(shè)|PF1|2+|PF2|2=x，|PF1|•|PF2|=y，
上式為：x﹣2y=4a2，①
∵∠F1PF2=60°，
∴在△F1PF2中，
由余弦定理得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|•cos60°=4c2，②
即x﹣y=4c2，②
又|OP|=3b， + =2 ，
∴ 2+ 2+2| |•| |•cos60°=4| |2=36b2，
即|PF1|2+|PF2|2+|PF1|•|PF2|=36b2，
即x+y=36b2，③
由②+③得：2x=4c2+36b2，
①+③×2得：3x=4a2+72b2，
于是有12c2+108b2=8a2+144b2，
∴ = ，
∴e= = .
故選：D.
11.體積為 的正三棱錐A﹣BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內(nèi)部，且R：BC=2：3，點(diǎn)E為線段BD上一點(diǎn)，且DE=2EB，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】LR：球內(nèi)接多面體.
【分析】先求出BC與R，再求出OE，即可求出所得截面圓面積的取值范圍.
【解答】解：設(shè)BC=3a，則R=2a，
∵體積為 的正三棱錐A﹣BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，
∴ = ，∴h= ，
∵R2=(h﹣R)2+( a)2，∴4a2=( ﹣2a)2+3a2，∴a=2，
∴BC=6，R=4，
∵點(diǎn)E為線段BD上一點(diǎn)，且DE=2EB，
∴△ODB中，OD=OB=4，DB=6，cos∠ODB= ，
∴OE= =2 ，
截面垂直于OE時(shí)，截面圓的半徑為 =2 ，截面圓面積為8π，
以O(shè)E所在直線為直徑時(shí)，截面圓的半徑為4，截面圓面積為16π，
∴所得截面圓面積的取值范圍是.
故選：B.
12.定義在(0，+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足 ，則下列不等式中，一定成立的是( )
A.f(9)﹣1
【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)﹣ ，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)可判斷g(x)單調(diào)遞減，于是g(9)
【解答】解：∵ ，∴f′(x)< ，
令g(x)=f(x)﹣ ，則g′(x)=f′(x)﹣ <0，
∴g(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，
∴g(9)
∴f(9)﹣1
故選：A.
二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)
13.若公比為2的等比數(shù)列{an}滿足a7=127a ，則{an}的前7項(xiàng)和為 1 .
【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程，求出首項(xiàng)，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出數(shù)列的前7項(xiàng)和.
【解答】解：∵公比為2的等比數(shù)列{an}滿足a7=127a ，
∴ ，
解得 ，
∴{an}的前7項(xiàng)和為S7= • =1.
故答案為：1.
14.(x﹣2)3(x+1)4的展開式中x2的系數(shù)為 ﹣6 .
【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).
【分析】利用二項(xiàng)式定理展開即可得出.
【解答】解：(x﹣2)3(x+1)4=(x3﹣6x2+12x﹣8)(x4+4x3+6x2+4x+1)，
展開式中x2的系數(shù)為：﹣6﹣48+48=﹣6.
故答案為：﹣6.
15.已知圓C過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，且圓心在此拋物線的準(zhǔn)線上，若圓C的圓心不在x軸上，且與直線x+ y﹣3=0相切，則圓C的半徑為 14 .
【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程x=﹣1，設(shè)圓心坐標(biāo)(﹣1，h)，根據(jù)切線的性質(zhì)列方程解出h，從而可求得圓的半徑.
【解答】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x=﹣1，
設(shè)圓C的圓心為C(﹣1，h)，則圓C的半徑r= ，
∵直線x+ y﹣3=0與圓C相切，
∴圓心C到直線的距離d=r，即 = ，
解得h=0(舍)或h=﹣8 .
∴r= =14.
故答案為：14.
16.已知函數(shù)f(x)= ，若函數(shù)g(x)=f(x)﹣ax﹣1有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (0，1) .
【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.
【分析】由題意，a>0，a+1>1，h(x)=ax+1與y=f(x)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，x≤0，f(x)=ex與h(x)=ax+1有1個(gè)交點(diǎn)(0，1)，函數(shù)g(x)=f(x)﹣ax﹣1有4個(gè)零點(diǎn)，只需要x≤0，f(x)=ex與h(x)=ax+1有另1個(gè)交點(diǎn)，求出函數(shù)在(0，1)處切線的斜率，即可得出結(jié)論.
【解答】解：由題意，a>0，a+1>1，h(x)=ax+1與y=f(x)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
x≤0，f(x)=ex與h(x)=ax+1有1個(gè)交點(diǎn)(0，1)，
∵函數(shù)g(x)=f(x)﹣ax﹣1有4個(gè)零點(diǎn)，
∴只需要x≤0，f(x)=ex與h(x)=ax+1有另1個(gè)交點(diǎn)
x≤0，f′(x)=ex，f′(0)=1，
∴a<1，
綜上所述，0
故答案為(0，1).
三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知atanB=2bsinA.
(1)求B;
(2)若b= ，A= ，求△ABC的面積.
【考點(diǎn)】HR：余弦定理;HP：正弦定理.
【分析】(1)根據(jù)題意，將atanB=2bsinA變形可得asinB=2bsinAcosB，由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，分析可得cosB= ，由B的范圍可得答案;
(2)由三角形內(nèi)角和定理可得C的大小，進(jìn)而由正弦定理可得c= ×sinC= ，由三角形面積公式S△ABC= bcsinA計(jì)算可得答案.
【解答】解：(1)根據(jù)題意，atanB=2bsinA⇒a =2bsinA⇒asinB=2bsinAcosB，
由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，
變形可得2cosB=1，即cosB= ，
又由0
故B= ，
(2)由(1)可得：B= ，
則C=π﹣ ﹣ = ，
由正弦定理 = ，可得c= ×sinC= ，
S△ABC= bcsinA= × × × = .
18.某地區(qū)擬建立一個(gè)藝術(shù)搏物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo).現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)總是中隨機(jī)抽取3個(gè)總題，已知這6個(gè)招標(biāo)問題中，甲公司可正確回答其中4道題目，而乙公司能正面回答每道題目的概率均為 ，甲、乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相獨(dú)立，互不影響的.
(1)求甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率;
(2)請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大?
【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差;CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列.
【分析】(1)利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率.
(2)設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3.求出概率，得到X的分布列求解期望;乙公司正確完成面試的題為Y，則Y取值分別為0，1，2，3.求出概率得到分布列，求出期望即可.
【解答】解：(1)由題意可知，所求概率 .
(2)設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3. ， ， .
則X的分布列為：
X 1 2 3
P
∴ .
設(shè)乙公司正確完成面試的題為Y，則Y取值分別為0，1，2，3. ， ， ，
則Y的分布列為：
Y 0 1 2 3
P
∴ .(或∵ ，∴ ) .( )
由E(X)=D(Y)，D(X)
19.如圖，在三棱錐ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，△A1AC為等邊三角形，AC⊥A1B.
(1)求證：AB=BC;
(2)若∠ABC=90°，求A1B與平面BCC1B1所成角的正弦值.
【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角.
【分析】(1)取AC的中點(diǎn)O，連接OA1，OB，推導(dǎo)出AC⊥OA1，AC⊥A1B，從而AC⊥平面OA1B，進(jìn)而AC⊥OB，由點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，能證明AB=BC.
(2)以線段OB，OC，OA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出A1B與平面BCC1B1所成角的正弦值.
【解答】解：(1)證明：取AC的中點(diǎn)O，連接OA1，OB，
∵點(diǎn)O為等邊△A1AC中邊AC的中點(diǎn)，
∴AC⊥OA1，∵AC⊥A1B，OA1∩A1B=A1，
∴AC⊥平面OA1B，又OB⊂平面OA1B，
∴AC⊥OB，∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴AB=BC.
(2)由(1)知，AB=BC，又∠ABC=90°，故△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，
∵A1O⊥AC，側(cè)面ACC1A1O⊥底面上ABC，A1⊥底面ABC
以線段OB，OC，OA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，
設(shè)AC=2，則A(0，﹣1，0)， ，B(1，0，0)，C(0，1，0)，
∴ ， ， ，
設(shè)平面BCC1B1的一個(gè)法向量 ，
則有 ，即 ，令 ，
則 ，z0=﹣1，∴ ，
設(shè)A1B與平面BCC1B1所成角為θ，
則 .
∴A1B與平面BCC1B1所成角的正弦值為 .
20.已知橢圓C： + =1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2，且函數(shù)y=x2﹣ 的圖象與橢圓C僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)P為線段MN的中垂線與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，求△PMN面積的最小值，并求此時(shí)直線l的方程.
【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系.
【分析】(1)由題意可得：2b=2，解得b=1.聯(lián)立 +y2=1(a>1)與y=x2﹣ ，可得：x4+ x2+ =0，根據(jù)橢圓C與拋物線y=x2﹣ 的對(duì)稱性，可得：△=0，a>1，解得a.
(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，S△PMN= ;當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，S△PMN= .
�、诋�(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx，與橢圓方程聯(lián)立解得x2，y2.|MN|=2 .由題意可得：線段MN的中垂線方程為：y=﹣ x，與橢圓方程聯(lián)立可得|OP|= .利用S△PMN= |MN|×|OP|，與基本不等式的性質(zhì)即可得出.
【解答】解：(1)由題意可得：2b=2，解得b=1.聯(lián)立 +y2=1(a>1)與y=x2﹣ ，可得：x4+ x2+ =0，
根據(jù)橢圓C與拋物線y=x2﹣ 的對(duì)稱性，可得：△= ﹣4× =0，a>1，解得a=2.
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為： +y2=1.
(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，S△PMN= =2;
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，S△PMN= =2;
�、诋�(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí).
設(shè)直線l的方程為：y=kx，由 ，解得x2= ，y2= .
∴|MN|=2 =4 .
由題意可得：線段MN的中垂線方程為：y=﹣ x，
聯(lián)立 ，可得x2= ，y2= .
∴|OP|= =2 .
S△PMN= |MN|×|OP|= ≥ = ，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)△PMN的面積的最小值為 .
∵ ，∴△PMN的面積的最小值為 ，直線l的方程為：y=±x.
21.已知函數(shù)f(x)=ex﹣1+ax，a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若∀x∈
22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，直線C2的方程為y= ，以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，
(1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求 + .
【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程;QH：參數(shù)方程化成普通方程.
【分析】(1)利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可得出結(jié)論;
(2)利用極坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求 + .
【解答】解：(1)曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，直角坐標(biāo)方程為(x﹣2)2+(y﹣2)2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0
直線C2的方程為y= ，極坐標(biāo)方程為tanθ= ;
(2)直線C2與曲線C1聯(lián)立，可得ρ2﹣(2+2 )ρ+7=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1+ρ2=2+2 ，ρ1ρ2=7，
∴ + = = .
23.已知函數(shù)f(x)=|x|+|x﹣3|.
(1)求不等式f( )<6的解集;
(2)若k>0且直線y=kx+5k與函數(shù)f(x)的圖象可以圍成一個(gè)三角形，求k的取值范圍.
【考點(diǎn)】R5：絕對(duì)值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)分類討論以去掉絕對(duì)值號(hào)，即可解關(guān)于x的不等式f( )<6;
(Ⅱ)作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解.
【解答】解：(1)x≤0，不等式可化為﹣ x﹣ x+3<6，
∴x>﹣3，∴﹣3
0
x≥6，不等式可化為 x+ x﹣3<6，∴x<9，
∴6≤x<9;
綜上所述，不等式的解集為{x|﹣3
(2)f(x)=|x|+|x﹣3|.
由題意作圖如下，
k>0且直線y=kx+5k與函數(shù)f(x)的圖象可以圍成一個(gè)三角形，
由直線過(0，3)可得k= ，由直線過(3，3)可得k= ，
∴ .
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