[集合]高中數(shù)學教案模板15篇

　　作為一位優(yōu)秀的人民教師，時常要開展教案準備工作，教案是教學活動的總的組織綱領和行動方案。教案要怎么寫呢？下面是小編整理的高中數(shù)學教案模板，歡迎大家分享。

高中數(shù)學教案模板1

　　教學目標

　　(1)使學生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題;

　　(2)使學生掌握組合數(shù)的計算公式;

　　(3)通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力;

　　教學重點難點

　　重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式;

　　難點是解組合的應用題.

　　教學過程設計

　　(-)導入新課

　　(教師活動)提出下列思考問題，打出字幕.

　　[字幕]一條鐵路線上有6個火車站，(1)需準備多少種不同的普通客車票?(2)有多少種不同票價的普通客車票?上面問題中，哪一問是排列問題?哪一問是組合問題?

　　(學生活動)討論并回答.

　　答案提示：(1)排列;(2)組合.

　　[評述]問題(1)是從6個火車站中任選兩個，并按一定的順序排列，要求出排法的種數(shù)，屬于排列問題;(2)是從6個火車站中任選兩個并成一組，兩站無順序關系，要求出不同的組數(shù)，屬于組合問題.這節(jié)課著重研究組合問題.

　　設計意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的上面設計的問題目的是從排列知識中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題.

　　(二)新課講授

　　[提出問題 創(chuàng)設情境]

　　(教師活動)指導學生帶著問題閱讀課文.

　　[字幕]1.排列的定義是什么?

　　2.舉例說明一個組合是什么?

　　3.一個組合與一個排列有何區(qū)別?

　　(學生活動)閱讀回答.

　　(教師活動)對照課文，逐一評析.

　　設計意圖：激活學生的思維，使其將所學的知識遷移過渡，并盡快適應新的環(huán)境.

　　【歸納概括 建立新知】

　　(教師活動)承接上述問題的回答，展示下面知識.

　　[字幕]模型：從 個不同元素中取出 個元素并成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合.如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個組合.

　　組合數(shù)：從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數(shù)，稱之，用符號 表示，如從6個元素中取出2個元素的組合數(shù)為 .

　　[評述]區(qū)分一個排列與一個組合的關鍵是：該問題是否與順序有關，當取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題;若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題.

　　(學生活動)傾聽、思索、記錄.

　　(教師活動)提出思考問題.

　　[投影] 與 的關系如何?

　　(師生活動)共同探討.求從 個不同元素中取出 個元素的'排列數(shù) ，可分為以下兩步：

　　第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數(shù)為 ;

　　第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數(shù)為 .根據分步計數(shù)原理，得到

　　[字幕]公式1：

　　公式2：

　　(學生活動)驗算 ，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票.

　　設計意圖：本著以認識概念為起點，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去.

　　【例題示范 探求方法】

　　(教師活動)打出字幕，給出示范，指導訓練.

　　[字幕]例1 列舉從4個元素 中任取2個元素的所有組合.

　　例2 計算：(1) ;(2) .

　　(學生活動)板演、示范.

　　(教師活動)講評并指出用兩種方法計算例2的第2小題.

　　[字幕]例3 已知 ，求 的所有值.

　　(學生活動)思考分析.

　　解 首先，根據組合的定義，有

　�、�

　　其次，由原不等式轉化為

　　即

　　解得 ②

　　綜合①、②，得 ，即

　　[點評]這是組合數(shù)公式的應用，關鍵是公式的選擇.

　　設計意圖：例題教學循序漸進，讓學生鞏固知識，強化公式的應用，從而培養(yǎng)學生的綜合分析能力.

　　【反饋練習 學會應用】

　　(教師活動)給出練習，學生解答，教師點評.

　　[課堂練習]課本P99練習第2，5，6題.

　　[補充練習]

　　[字幕]1.計算：

　　2.已知 ，求 .

　　(學生活動)板演、解答.

　　設計意圖：課堂教學體現(xiàn)以學生為本，讓全體學生參與訓練，深刻揭示排列數(shù)公式的結構、特征及應用.

　　(三)小結

　　(師生活動)共同小結.

　　本節(jié)主要內容有

　　1.組合概念.

　　2.組合數(shù)計算的兩個公式.

　　(四)布置作業(yè)

　　1.課本作業(yè)：習題10 3第1(1)、(4)，3題.

　　2.思考題：某學習小組有8個同學，從男生中選2人，女生中選1人參加數(shù)學、物理、化學三種學科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學各有多少人?

　　3.研究性題：

　　在 的 邊上除頂點 外有 5個點，在 邊上有 4個點，由這些點(包括 )能組成多少個四邊形?能組成多少個三角形?

　　(五)課后點評

　　在學習了排列知識的基礎上，本節(jié)課引進了組合概念，并推導出組合數(shù)公式，同時調控進行訓練，從而培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.

高中數(shù)學教案模板2

　　=

　　=425a0b0=425.

　　點評：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負指數(shù)冪的定義把負指數(shù)化成正指數(shù)，另一個方法是采用分式的基本性質把負指數(shù)化成正指數(shù)。

　　(3)5-26+7-43-6-42

　　=(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2

　　=3-2+2-3-2+2=0.

　　點評：考慮根號里面的數(shù)是一個完全平方數(shù)，千萬注意方根的性質的運用。

　　例3 已知 ，n∈正整數(shù)集，求(x+1+x2)n的值。

　　活動：學生思考，觀察題目的特點，從整體上看，應先化簡，然后再求值，要有預見性， 與 具有對稱性，它們的積是常數(shù)1，為我們解題提供了思路，教師引導學生考慮問題的思路，必要時給予提示。

　　= 。

　　這時應看到1+x2= ，這樣先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可。

　　解：將 代入1+x2，得1+x2= ，所以(x+1+x2)n=

　　=

　　= =5.

　　點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關鍵，要深刻理解這種做法。

　　知能訓練

　　課本習題2.1A組　3.

　　利用投影儀投射下列補充練習：

　　1、化簡： 的結果是（　�。�

　　A. B.

　　C. D.

　　解析：根據本題的特點，注意到它的整體性，特別是指數(shù)的規(guī)律性，我們可以進行適當?shù)淖冃巍?/p>

　　因為 ，所以原式的分子分母同乘以 。

　　依次類推，所以 。

　　答案：A

　　2、計算2790.5+0.1-2+ -3π0+9-0.5+490.5×2-4.

　　解：原式=

　　=53+100+916-3+13+716=100.

　　3、計算a+2a-1+a-2a-1(a≥1)。

　　解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+|a-1-1|(a≥1)。

　　本題可以繼續(xù)向下做，去掉絕對值，作為思考留作課下練習。

　　4、設a>0， ，則(x+1+x2)n的值為__________.

　　解析：1+x2= 。

　　這樣先算出1+x2，再算出1+x2，將 代入1+x2，得1+x2= 。

　　所以(x+1+x2)n=

　　= =a.

　　答案：a

　　拓展提升

　　參照我們說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，請你說明無理數(shù)指數(shù)冪 的意義。

　　活動：教師引導學生回顧無理數(shù)指數(shù)冪 的意義的過程，利用計算器計算出3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據這些近似值計算 的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出” 的意義，學生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結果。

　　解：3=1.732 050 80…，取它的過剩近似值和不足近似值如下表。

　　3的過剩近似值

　　的過剩近似值

　　3的不足近似值

　　的不足近似值

　　1.8 3.482 202 253 1.7 3.249 009 585

　　1.74 3.340 351 678 1.73 3.317 278 183

　　1.733 3.324 183 446 1.731 3.319 578 342

　　1.732 1 3.322 110 36 1.731 9 3.321 649 849

　　1.732 06 3.322 018 252 1.732 04 3.321 972 2

　　1.732 051 3.321 997 529 1.732 049 3.321 992 923

　　1.732 050 9 3.321 997 298 1.732 050 7 3.321 996 838

　　1.732 050 81 3.321 997 091 1.732 050 79 3.321 997 045

　　… … … …

　　我們把用2作底數(shù)，3的不足近似值作指數(shù)的各個冪排成從小到大的.一列數(shù)

　　21.7,21.72,21.731,21.731 9，…，同樣把用2作底數(shù)，3的過剩近似值作指數(shù)的各個冪排成從大到小的一列數(shù)：

　　21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，不難看出3的過剩近似值和不足近似值相同的位數(shù)越多，即3的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數(shù)的冪2α會越來越趨近于同一個數(shù)，我們把這個數(shù)記為 ，即21.7<21.73<21.731<21.731 9<…< <…<21.732 1<21.733<21.74<21.8.

　　也就是說 是一個實數(shù)， =3.321 997 …也可以這樣解釋：

　　當3的過剩近似值從大于3的方向逼近3時，23的近似值從大于 的方向逼近 ；

　　當3的不足近似值從小于3的方向逼近3時，23的近似值從小于 的方向逼近 。

　　所以 就是一串有理指數(shù)冪21.7,21.73,21.731,21.731 9，…，和另一串有理指數(shù)冪21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述規(guī)律變化的結果，即 ≈3.321 997.

　　課堂小結

　�。�1）無理指數(shù)冪的意義。

　　一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0，α是無理數(shù)） 是一個確定的實數(shù)。

　�。�2）實數(shù)指數(shù)冪的運算性質：

　　對任意的實數(shù)r，s，均有下面的運算性質：

　�、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。

　�、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。

　�、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。

　�。�3）逼近的思想，體會無限接近的含義。

　　作業(yè)

　　課本習題2.1 B組　2.

　　設計感想

　　無理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充， 教學中要讓學生通過多媒體的演示，理解無理數(shù)指數(shù)冪的意義，教學中也可以讓學生自己通過實際情況去探索，自己得出結論，加深對概念的理解，本堂課內容較為抽象，又不能進行推理，只能通過多媒體的教學手段，讓學生體會，特別是逼近的思想、類比的思想，多作練習，提高學生理解問題、分析問題的能力。

　　備課資料

　　【備用習題】

　　1、以下各式中成立且結果為最簡根式的是（　�。�

　　A.a?5a3a?10a7=10a4

　　B.3xy2(xy)2=y?3x2

　　C.a2bb3aab3=8a7b15

　　D.(35-125)3=5+125125-235?125

　　答案：B

　　2、對于a>0，r，s∈Q，以下運算中正確的是（　　）

　　A.ar?as=ars B.(ar)s=ars

　　C.abr=ar?bs D.arbs=(ab)r+s

　　答案：B

　　3、式子x-2x-1=x-2x-1成立當且僅當（　�。�

　　A.x-2x-1≥0 B.x≠1 C.x<1 D.x≥2

　　解析：方法一：

　　要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-1>0，x-2≥0，即x≥2.

　　若x≥2，則式子x-2x-1=x-2x-1成立。

　　故選D.

　　方法二：

　　對A，式子x-2x-1≥0連式子成立也保證不了，尤其x-2≤0，x-1<0時式子不成立。

　　對B，x-1<0時式子不成立。

　　對C，x<1時x-1無意義。

　　對D正確。

　　答案：D

　　4、化簡b-(2b-1)(1

　　解：b-(2b-1)=(b-1)2=b-1(1

　　5、計算32+5+32-5.

　　解：令x=32+5+32-5，兩邊立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5)，即x3=4-3x，x3+3x-4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0.

　　∵x2+x+4=x+122+154>0，∴x-1=0，即x=1.

　　∴32+5+32-5=1.

高中數(shù)學教案模板3

　　1.課題

　　填寫課題名稱（高中代數(shù)類課題）

　　2.教學目標

　�。�1）知識與技能：

　　通過本節(jié)課的學習，掌握。.。.。.知識，提高學生解決實際問題的能力；

　�。�2）過程與方法：

　　通過。.。.。.（討論、發(fā)現(xiàn)、探究），提高。.。.。.（分析、歸納、比較和概括）的能力；

　�。�3）情感態(tài)度與價值觀：

　　通過本節(jié)課的學習，增強學生的學習興趣，將數(shù)學應用到實際生活中，增加學生數(shù)學學習的樂趣。

　　3.教學重難點

　�。�1）教學重點：本節(jié)課的知識重點

　�。�2）教學難點：易錯點、難以理解的知識點

　　4、教學方法（一般從中選擇3個就可以了）

　�。�1）討論法

　　（2）情景教學法

　　（3）問答法

　�。�4）發(fā)現(xiàn)法

　　（5）講授法

　　5、教學過程

　　（1）導入

　　簡單敘述導入課題的方式和方法（例：復習、類比、情境導出本節(jié)課的課題）

　�。�2）新授課程（一般分為三個小步驟）

　�、俸唵沃v解本節(jié)課基礎知識點（例：奇函數(shù)的`定義）。

　�、跉w納總結該課題中的重點知識內容，尤其對該注意的一些情況設置易錯點，進行強調。可以設計分組討論環(huán)節(jié)（分組判斷幾組函數(shù)圖像是否為奇函數(shù)，并歸納奇函數(shù)圖像的特點。設置定義域不關于原點對稱的函數(shù)是否為奇函數(shù)的易錯點）。

　�、弁卣寡由欤瑢⑺鶎W知識拓展延伸到實際題目中，去解決實際生活中的問題。

　　（在新授課里面一定要表下出講課的大體流程，但是不必太過詳細。）

　�。�3）課堂小結

　　教師提問，學生回答本節(jié)課的收獲。

　�。�4）作業(yè)提高

　　布置作業(yè)（盡量與實際生活相聯(lián)系，有所創(chuàng)新）。

　　6、教學板書

　　2.高中數(shù)學教案格式

　　一．課題（說明本課名稱）

　　二．教學目的（或稱教學要求，或稱教學目標，說明本課所要完成的教學任務）

　　三．課型（說明屬新授課，還是復習課）

　　四．課時（說明屬第幾課時）

　　五．教學重點（說明本課所必須解決的關鍵性問題）

　　六．教學難點（說明本課的學習時易產生困難和障礙的知識傳授與能力培養(yǎng)點）

　　七．教學方法要根據學生實際，注重引導自學，注重啟發(fā)思維

　　八．教學過程（或稱課堂結構，說明教學進行的內容、方法步驟）

　　九．作業(yè)處理（說明如何布置書面或口頭作業(yè)）

　　十．板書設計（說明上課時準備寫在黑板上的內容）

　　十一．教具（或稱教具準備，說明輔助教學手段使用的工具）

　　十二．教學反思：（教者對該堂課教后的感受及學生的收獲、改進方法）

高中數(shù)學教案模板4

　　教學目標

　　1．了解映射的概念，象與原象的概念，和一一映射的概念．

　　（1）明確映射是特殊的對應即由集合 ，集合 和對應法則f三者構成的一個整體，知道映射的特殊之處在于必須是多對一和一對一的對應；

　�。�2）能準確使用數(shù)學符號表示映射， 把握映射與一一映射的區(qū)別；

　　（3）會求給定映射的指定元素的象與原象，了解求象與原象的方法．

　　2．在概念形成過程中，培養(yǎng)學生的觀察，比較和歸納的能力．

　　3．通過映射概念的學習，逐步提高學生對知識的探究能力．

　　教學建議

　　教材分析

　�。�1）知識結構

　　映射是一種特殊的對應，一一映射又是一種特殊的映射，而且函數(shù)也是特殊的映射，它們之間的關系可以通過下圖表示出來，如圖：

　　由此我們可從集合的包含關系中幫助我們把握相關概念間的區(qū)別與聯(lián)系．

　　（2）重點，難點分析

　　本節(jié)的教學重點和難點是映射和一一映射概念的形成與認識．

　�、儆成涞母拍钍潜容^抽象的概念，它是在初中所學對應的基礎上發(fā)展而來．教學中應特別強調對應集合 B中的唯一這點要求的理解；

　　映射是學生在初中所學的對應的基礎上學習的，對應本身就是由三部分構成的整體，包括集 合A和集合B及對應法則f，由于法則的不同，對應可分為一對一，多對一，一對多和多對多． 其中只有一對一和多對一的能構成映射，由此可以看到映射必是“對B中之唯一”，而只要是對應就必須保證讓A中之任一與B中元素相對應，所以滿足一對一和多對一的對應就能體現(xiàn)出“任一對唯一”．

　�、诙�一一映射又在映射的基礎上增加新的要求，決定了它在學習中是比較困難的．

　　教法建議

　�。�1）在映射概念引入時，可先從學生熟悉的對應入手， 選擇一些具體的生活例子，然后再舉一些數(shù)學例子，分為一對多、多對一、多對一、一對一四種情況，讓學生認真觀察，比較，再引導學生發(fā)現(xiàn)其中一對一和多對一的對應是映射，逐步歸納概括出映射的基本特征，讓學生的認識從感性認識到理性認識．

　�。�2）在剛開始學習映射時，為了能讓學生看清映射的構成，可以選擇用圖形表示映射，在集合的選擇上可選擇能用列舉法表示的有限集，法則盡量用語言描述，這樣的表示方法讓學生可以比較直觀的認識映射，而后再選擇用抽象的數(shù)學符號表示映射，比如：

　�。�3）對于學生層次較高的學�？梢栽诮o出定義后讓學生根據自己的理解舉出映射的例子，教師也給出一些映射的例子，讓學生從中發(fā)現(xiàn)映射的特點，并用自己的語言描述出來，最后教師加以概括，再從中引出一一映射概念；對于學生層次較低的學校，則可以由教師給出一些例子讓學生觀察，教師引導學生發(fā)現(xiàn)映射的特點，一起概括．最后再讓學生舉例，并逐步增加要求向一一映射靠攏，引出一一映射概念．

　�。�4）關于求象和原象的問題，應在計算的過程中總結方法，特別是求原象的方法是解方程或方程組，還可以通過方程組解的.不同情況(有唯一解，無解或有無數(shù)解)加深對映射的認識．

　�。�5）在教學方法上可以采用啟發(fā)，討論的形式，讓學生在實例中去觀察，比較，啟發(fā)學生尋找共性，共同討論映射的特點，共同舉例，計算，最后進行小結，教師要起到點撥和深化的作用．

　　教學設計方案

　　2.1映射

　　教學目標(1)了解映射的概念，象與原象及一一映射的概念．

　　(2)在概念形成過程中，培養(yǎng)學生的觀察，分析對比，歸納的能力．

　　(3)通過映射概念的學習，逐步提高學生的探究能力．

　　教學重點難點：:映射概念的形成與認識．

　　教學用具：實物投影儀

　　教學方法：啟發(fā)討論式

　　教學過程：

　　一、引入

　　在初中，我們已經初步探討了函數(shù)的定義并研究了幾類簡單的常見函數(shù)．在高中，將利用前面集合有關知識，利用映射的觀點給出函數(shù)的定義．那么映射是什么呢?這就是我們今天要詳細的概念．

　　二、新課

　　在前一章集合的初步知識中，我們學習了元素與集合及集合與集合之間的關系，而映射是重點研究兩個集合的元素與元素之間的對應關系．這要先從我們熟悉的對應說起(用投影儀打出一些對應關系，共6個)

　　我們今天要研究的是一類特殊的對應，特殊在什么地方呢?

　　提問1：在這些對應中有哪些是讓A中元素就對應B中唯一一個元素?

　　讓學生仔細觀察后由學生回答，對有爭議的，或漏選，多選的可詳細說明理由進行討論．最后得出(1)，(2)，(5)，(6)是符合條件的(用投影儀將這幾個集中在一起)

　　提問2：能用自己的語言描述一下這幾個對應的共性嗎？

　　經過師生共同推敲，將映射的定義引出．(主體內容由學生完成，教師做必要的補充)

高中數(shù)學教案模板5

　　教學準備

　　教學目標

　　掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，通項公式與前n項和公式，等差中項與等比中項的概念，并能運用這些知識解決一些基本問題。

　　教學重難點

　　掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，通項公式與前n項和公式，等差中項與等比中項的`概念，并能運用這些知識解決一些基本問題。

　　教學過程

　　等比數(shù)列性質請同學們類比得出。

　　【方法規(guī)律】

　　1、通項公式與前n項和公式聯(lián)系著五個基本量，“知三求二”是一類最基本的運算題。方程觀點是解決這類問題的基本數(shù)學思想和方法。

　　2、判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，常用的方法使用定義。特別地，在判斷三個實數(shù)

　　a,b,c成等差（比)數(shù)列時，常用(注：若為等比數(shù)列，則a,b,c均不為0）

　　3、在求等差數(shù)列前n項和的最大(小)值時，常用函數(shù)的思想和方法加以解決。

　　【示范舉例】

　　例1：

　　（1）設等差數(shù)列的前n項和為30，前2n項和為100，則前3n項和為。

　�。�2）一個等比數(shù)列的前三項之和為26，前六項之和為728，則a1=，q=。

　　例2：四數(shù)中前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項之和為21，中間兩項之和為18，求此四個數(shù)。

　　例3：項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，求該數(shù)列的中間項。

高中數(shù)學教案模板6

　　整體設計

　　教學分析

　　我們在初中的學習過程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運算性質。從本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上，類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分數(shù)指數(shù)。進而推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實數(shù)指數(shù)，并將冪的運算性質由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪。

　　教材為了讓學生在學習之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題。前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數(shù)指數(shù)冪，也讓學生感受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價值。后一個問題讓學生體會其中的函數(shù)模型的同時，激發(fā)學生探究分數(shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊。

　　本節(jié)安排的內容蘊涵了許多重要的數(shù)學思想方法，如推廣的思想（指數(shù)冪運算律的推廣）、類比的思想、逼近的思想（有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪）、數(shù)形結合的思想（用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質）等，同時，充分關注與實際問題的結合，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值。

　　根據本節(jié)內容的特點，教學中要注意發(fā)揮信息技術的力量，盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設教學情境，為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持。

　　三維目標

　　1、通過與初中所學的知識進行類比，理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，進而學習指數(shù)冪的性質。掌握分數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握分數(shù)指數(shù)冪的運算性質。培養(yǎng)學生觀察分析、抽象類比的能力。

　　2、掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉化”的數(shù)學思想。通過運算訓練，養(yǎng)成學生嚴謹治學，一絲不茍的學習習慣，讓學生了解數(shù)學來自生活，數(shù)學又服務于生活的哲理。

　　3、能熟練地運用有理指數(shù)冪運算性質進行化簡、求值，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S和科學正確的計算能力。

　　4、通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數(shù)冪的運算性質。展示函數(shù)圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數(shù)函數(shù)的性質，讓學生體驗數(shù)學的簡潔美和統(tǒng)一美。

　　重點難點

　　教學重點

　�。�1）分數(shù)指數(shù)冪和根式概念的理解。

　�。�2）掌握并運用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質。

　�。�3）運用有理指數(shù)冪的性質進行化簡、求值。

　　教學難點

　　（1）分數(shù)指數(shù)冪及根式概念的理解。

　�。�2）有理指數(shù)冪性質的靈活應用。

　　課時安排

　　3課時

　　教學過程

　　第1課時

　　作者：路致芳

　　導入新課

　　思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發(fā)展與進化，又怎樣判斷它們所處的年代？（考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發(fā)展與進化的，第二個問題我們不太清楚）考古學家是按照這樣一條規(guī)律推測生物所處的年代的。教師板書本節(jié)課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運算。

　　思路2.同學們，我們在初中學習了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運算。

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　（1）什么是平方根？什么是立方根？一個數(shù)的平方根有幾個，立方根呢？

　　（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根據上面的結論我們又能得到什么呢？

　�。�3）根據上面的結論我們能得到一般性的結論嗎？

　�。�4）可否用一個式子表達呢？

　　活動：教師提示，引導學生回憶初中的時候已經學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結論進行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時啟發(fā)學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維。

　　討論結果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，如：4的平方根為±2，負數(shù)沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數(shù)的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.

　�。�2）類比平方根、立方根的定義，一個數(shù)的四次方等于a，則這個數(shù)叫a的四次方根。一個數(shù)的五次方等于a，則這個數(shù)叫a的五次方根。一個數(shù)的六次方等于a，則這個數(shù)叫a的六次方根。

　　（3）類比(2)得到一個數(shù)的n次方等于a，則這個數(shù)叫a的n次方根。

　�。�4）用一個式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根。

　　教師板書n次方根的意義：

　　一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數(shù)集。

　　可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

　　提出問題

　�。�1）你能根據n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。

　�、�4的平方根；②±8的立方根；③16的'4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。

　�。�2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特點？4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應什么性質 的數(shù)，有什么特點？

　�。�3）問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負，還有零，結論有一個的，也有兩個的，你能否總結一般規(guī)律呢？

　�。�4）任何一個數(shù)a的偶次方根是否存在呢？

　　活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數(shù)a的n次方根，就是求出的那個數(shù)的n次方等于a，及時點撥學生，從數(shù)的分類考慮，可以把具體的數(shù)寫出來，觀察數(shù)的 特點，對問題(2)中的結論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路。

　　討論結果：(1)因為±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所 以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

　　（2）方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點是有奇數(shù)和偶數(shù)。總的來看，這些數(shù)包括正數(shù)，負數(shù)和零。

　�。�3）一個數(shù)a的奇次方根只有一個，一個正數(shù)a的偶次方根有兩個，是互為相反數(shù)。0的任何次方根都是0.

　�。�4）任何一個數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負數(shù)的偶次方根就不存在，因為沒有一個數(shù)的偶次方是一個負數(shù)。

　　類比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質：

　　①當n為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負數(shù)，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。

　�、趎為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示。

　�、圬摂�(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是零。

　　上面的文字語言可用下面的式子表示：

　　a為正數(shù)：n為奇數(shù)，　a的n次方根有一個為na，n為偶數(shù)，　a的n次方根有兩個為±na.

　　a為負數(shù)：n為奇數(shù)，　a的n次方根只有一個為na，n為偶數(shù)，　a的n次方根不存在。

　　零的n次方根為零，記為n0=0.

　　可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質是n次方根的性質的特例。

　　思考

　　根據n次方根的性質能否舉例說明上述幾種情況？

　　活動：教師提示學生對方根的性質要分類掌握，即正數(shù)的奇偶次方根，負數(shù)的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數(shù)，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題。

　　解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現(xiàn)在我們給式子na一個名稱——根式。

　　根式的概念：

　　式子na叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù)。

　　如3-27中，3叫根指數(shù)，-27叫被開方數(shù)。

　　思考

　　nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等于什么？

　　活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論。教師點撥，注意歸納整理。

　　〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。

　　解答：根據n次方根的意義，可得：(na)n=a.

　　通過探究得到：n為奇數(shù)，nan=a.

　　n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　因此我們得到n次方根的運算性質：

　　①(na)n=a.先開方，再乘方（同次），結果為被開方數(shù)。

　�、趎為奇數(shù)，nan=a.先奇次乘方，再開方（同次），結果為被開方數(shù)。

　　n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開方（同次），結果為被開方數(shù)的絕對值。

　　應用示例

　　思路1

　　例 求下列各式的值：

　　（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。

　　活動：求某些式子的值，首先考慮的應是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識，關鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個題目仔細分析。觀察學生的解題情況，讓學生展示結果，抓住學生在解題過程中出現(xiàn)的問題并對癥下藥。求下列各式的值實際上是求數(shù)的方根，可按方根的運算性質來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數(shù)的符號定準，然后看根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，如果是奇數(shù)，無需考慮符號，如果是偶數(shù)，開方的結果必須是非負數(shù)。

　　解：(1)3(-8)3=-8;

　�。�2）(-10)2=10;

　�。�3)4(3-π）4=π-3;

　　（4）(a-b)2=a-b(a>b)。

　　點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響 ，是導致問題出現(xiàn)的一個重要原因，要在理解的基礎上，記準，記熟，會用，活用。

　　變式訓練

　　求出下列各式的值：

　　(1)7(-2)7;

　　(2)3(3a-3)3(a≤1)；

　　(3)4(3a-3)4.

　　解：(1)7(-2)7=-2，(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，(3)4(3a-3)4=

　　點評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解。

　　思路2

　　例1 下列各式中正確的是（　　）

　　A.4a4=a

　　B.6(-2)2=3-2

　　C.a0=1

　　D.10(2-1)5=2-1

　　活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質，應首先考慮根據方根的意義和運算性質來解，既要考慮被開方數(shù)，又要考慮根指數(shù)，嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的實質，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答。

　　解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質，當n為偶數(shù)時，應先寫nan=|a|，故A項錯。

　　(2)6(-2)2=3-2，本質上與上題相同，是一個正數(shù)的偶次方根，根據運算順序也應如此，結論為6(-2)2=32，故B項錯。

　　(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯。

　　(4)D項是一個正數(shù)的偶次方根，根據運算順序也應如此，故D項正確。所以答案選D.

　　答案：D

　　點評：本題由于考查n次方根的運算性質與運算順序，有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬要細心。

　　例2 3+22+3-22=__________.

　　活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內容與本節(jié)無關，但仔細一想，我們學習的內容是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據方根的運算求出結果是解題的關鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關鍵，教師提示，引導學生解題的思路。

　　解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，所以3+22+3-22=22.

　　答案：22

　　點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式。

　　思考

　　上面的例2還有別的解法嗎？

　　活動：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮并交流討論，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號后，相加正好抵消。同時借助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。

　　另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

　　點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解。

　　變式訓練

　　若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍。

　　解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，即a-1≥0，所以a≥1.

　　點評：利用方根的運算性質轉化為去絕對值符號，是解題的關鍵。

　　知能訓練

　�。ń處熡枚嗝襟w顯示在屏幕上）

　　1、以下說法正確的是（　　）

　　A.正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)

　　B.負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)

　　C.0的n次方根是零

　　D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整數(shù)集）

　　答案：C

　　2、化簡下列各式：

　　(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

　　答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。

　　3、計算7+40+7-40=__________.

　　解析：7+40+7-40

　　=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

　　=(5+2)2+(5-2)2

　　=5+2+5-2

　　=25.

　　答案：25

　　拓展提升

　　問題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個是恒等式，為什么？請舉例說明。

　　活動：組織學生結合前面的例題及其解答，進行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義。

　　通過歸納，得出問題結果，對a是正數(shù)和零，n為偶數(shù)時，n為奇數(shù)時討論一下。再對a是負數(shù)，n為偶數(shù)時，n為奇數(shù)時討論一下，就可得到相應的結論。

　　解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。

　　如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數(shù)或偶數(shù)，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恒成立。

　　例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.

　　(2)nan=a|a|，當n為奇數(shù)，當n為偶數(shù)。

　　當n為奇數(shù)時，a∈R，nan=a恒成立。

　　例如：525=2，5(-2)5=-2.

　　當n為偶數(shù)時，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的。

　　點評：實質上是對n次方根的概念、性質以及運算性質的深刻理解。

　　課堂小結

　　學生仔細交流討論后，在筆記上寫出本節(jié)課的學習收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上。

　　1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數(shù)集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數(shù)，n叫根指數(shù)。

　　（1）當n為偶數(shù)時，a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負數(shù)，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。

　　(2)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示。

　　（3）負數(shù)沒有偶次方根。0的任何次方根都是零。

　　2、掌握兩個公式：n為奇數(shù)時，(na)n=a，n為偶數(shù)時，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　作業(yè)

　　課本習題2.1A組　1.

　　補充作業(yè)：

　　1、化簡下列各式：

　　(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

　　解：(1)681=634=332=39;

　　(2)15-32=-1525=-32;

　　(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.

　　2、若5

　　解析：因為5

　　答案：2a-13

　　3.5+26+5-26=__________.

　　解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，不難看出5+26=(3+2)2=3+2.

　　同理5-26=(3-2)2=3-2.

　　所以5+26+5-26=23.

　　答案：23

　　設計感想

　　學生已經學習了數(shù)的平方根和立方根，根式的內容是這些內容的推廣，本節(jié)課由于方根和根式的概念和性質難以理解，在引入根式的概念時，要結合已學內容，列舉具體實例，根式na的講解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來進行，每種情況又分a>0，a<0，a=0三種情況，并結合具體例子講解，因此設計了大量的類比和練習題目，要靈活處理這些題目，幫助學生加以理解，所以需要用多媒體信息技術服務教學。

　　第2課時

　　作者：郝云靜

　　導入新課

　　思路1.碳14測年法。原來宇宙射線在大氣層中能夠產生放射性碳14，并與氧結合成二氧化碳后進入所有活組織，先為植物吸收，再為動物吸收，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地吸收碳14在機體內保持一定的水平。而當有機體死亡后，即會停止吸收碳14，其組織內的碳14便以約5 730年的半衰期開始衰變并消失。對于任何含碳物質只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代（半衰期：經過一定的時間，變?yōu)樵瓉淼囊话耄�。引出本�?jié)課題：指數(shù)與指數(shù)冪的運算之分數(shù)指數(shù)冪。

　　思路2.同學們，我們在初中學習了整數(shù)指數(shù)冪及其運算性質，那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢？答案是肯定的。這就是本節(jié)的主講內容，教師板書本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)冪的運算之分數(shù)指數(shù)冪。

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　�。�1）整數(shù)指數(shù)冪的運算性質是什么？

　�。�2）觀察以下式子，并總結出規(guī)律：a>0 ，① ；

　　②a8=(a4)2=a4= ，；

　�、�4a12=4(a3)4=a3= ；

　�、�2a10=2(a5)2=a5= 。

　�。�3）利用(2)的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？

　　， ， ， (x>0，m，n∈正整數(shù)集，且n>1)。

　�。�4）你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？

　�。�5）你能推廣到一般的情形嗎？

　　活動：學生回顧初中學習的整數(shù)指數(shù)冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數(shù)之間的關系，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發(fā)學生類比(2)的規(guī)律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵提示。

　　討論結果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無意義；

　　a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

　�。�2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實質上①5a10= ，②a8= ，③4a12= ，④2a10= 結果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質沒變。

　　根據4個式子的最后結果可以總結：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)作為指數(shù)的形式（分數(shù)指數(shù)冪形式）。

　�。�3）利用(2)的規(guī)律，453= ，375= ，5a7= ，nxm= 。

　　(4)53的四次方根是 ，75的三次方根是 ，a7的五次方根是 ，xm的n次方根是 。

　　結果表明方根的結果和分數(shù)指數(shù)冪是相通的。

　　（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam= ，即 =nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)。

　　綜上所述，我們得到正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義，教師板書：

　　規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是 =nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)。

　　提出問題

　�。�1）負整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的？

　�。�2）你能得出負分數(shù)指數(shù)冪的意義嗎？

　　（3）你認為應怎樣規(guī)定零的分數(shù)指數(shù)冪的意義？

　�。�4）綜合上述，如何規(guī)定分數(shù)指數(shù)冪的意義？

　�。�5）分數(shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a>0，去掉這個規(guī)定會產生什么樣的后果？

　�。�6）既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢？

　　活動：學生回想初中學習的情形，結合 自己的學習體會回答，根據零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負整數(shù)指數(shù)冪的意義來類比，把正分數(shù)指數(shù)冪的意義與負分數(shù)指數(shù)冪的意義融合起來，與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明a>0的必要性，教師及時作出評價。

　　討論結果：(1)負整數(shù)指數(shù)冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。

　�。�2）既然負整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義。

　　規(guī)定：正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是 = =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。

　�。�3）規(guī)定：零的分數(shù)指數(shù)冪的意義是：零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。

　�。�4）教師板書分數(shù)指數(shù)冪的意義。分數(shù)指數(shù)冪的意義就是：

　　正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是 =nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是 = =1nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。

　�。�5）若沒有a>0這個條件會怎樣呢？

　　如 =3-1=-1， =6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現(xiàn)了截然不同的結果，這只說明分數(shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時是無意義的。因此在把根式化成分數(shù)指數(shù)時，切記要使底數(shù)大于零，如無a>0的條件，比如式子3a2= ，同時負數(shù)開奇次方是有意義的，負數(shù)開奇次方時，應把負號移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分數(shù)指數(shù)冪，也就是說，負分數(shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù)，而不是負數(shù)，負數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上。

　�。�6）規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。

　　有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質：對任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質：

　�、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

　　我們利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質可以解決一些問題，來看下面的例題。

　　應用示例

　　例1 求值：(1) ；(2) ；(3)12-5;(4) 。

　　活動：教師引導學生考慮解題的方法，利用冪的運算性質計算出數(shù)值或化成最簡根式，根據題目要求，把底數(shù)寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數(shù)冪的運算性質可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來。

　　解：(1) =22=4;

　　（2） =5-1=15;

　　(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

　�。�4） =23-3=278.

　　點評：本例主要考查冪值運算，要按規(guī)定來解。在進行冪值運算時，要首先考慮轉化為指數(shù)運算，而不是首先轉化為熟悉的根式運算，如 =382=364=4.

　　例2 用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式。

　　a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。

　　活動：學生觀察、思考，根據解題的順序，把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由冪的運算性質來運算，根式化為分數(shù)指數(shù)冪時，要由里往外依次進行，把握好運算性質和順序，學生討論交流自己的解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵學生注意總結。

　　解：a3?a=a3? = ；

　　a2?3a2=a2? = ；

　　a3a= 。

　　點評：利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數(shù)指數(shù) 冪，再由冪的運算性質來運算。對于計算的結果，不強求統(tǒng)一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分數(shù)指數(shù)冪的形式來表示，但結果不能既有分數(shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負指數(shù)。

　　例3 計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）。

　　（1） ；

　�。�2） 。

　　活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內的，整數(shù)冪的運算性質及運算規(guī)律擴充到分數(shù)指數(shù)冪后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進行計算，熟悉后可以簡化步驟。

　　解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;

　�。�2） =m2n-3=m2n3.

　　點評：分數(shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法。有了分數(shù)指數(shù)冪，就可把根式轉化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則進行運算了。

　　本例主要是指數(shù)冪的運算法則的綜合考查和應用。

　　變式訓練

　　求值：(1)33?33?63;

　　(2)627m3125n64.

　　解：(1)33?33?63= =32=9;

　　(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.

　　例4 計算下列各式：

　�。�1）(325-125)÷425;

　　(2)a2a?3a2(a>0)。

　　活動：先由學生觀察以上兩個式子的特 征，然后分析，化為同底。利用分數(shù)指數(shù)冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數(shù)指數(shù)冪再計算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉化為分數(shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算，最后寫出解答。

　　解：(1)原式=

　　= =65-5;

　　(2)a2a?3a2= =6a5.

　　知能訓練

　　課本本節(jié)練習　1,2,3

　　【補充練習】

　　教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答，教師巡視，啟發(fā)，對做得好的同學給予表揚鼓勵。

　　1、(1)下列運算中，正確的是（　�。�

　　A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2

　　C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6

　　（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是（　�。�

　　A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④

　�。�3）(34a6)2?(43a6)2等于（　�。�

　　A.a B.a2 C.a3 D.a4

　　（4）把根式-25(a-b)-2改寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式為（　�。�

　　A. B.

　　C. D.

　�。�5）化簡 的結果是（　�。�

　　A.6a B.-a C.-9a D.9a

　　2、計算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.

　�。�2）設5x=4,5y=2，則52x-y=__________.

　　3、已知x+y=12，xy=9且x

　　答案：1.(1)D　(2)B　(3)B　(4)A　(5)C　2.(1)19　(2)8

　　3、解： 。

　　因為x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

　　又因為x

　　所以原式= =12-6-63=-33.

　　拓展提升

　　1、化簡： 。

　　活動：學生觀察式子特點，考慮x的指數(shù)之間的關系可以得到解題思路，應對原式進行因式分解，根據本題的特點，注意到：

　　x-1= -13= ；

　　x+1= +13= ；

　　。

　　構建解題思路教師適時啟發(fā)提示。

　　解：

　　=

　　=

　　=

　　= 。

　　點撥：解這類題目，要注意運用以下公式，=a-b，=a± +b，=a±b.

　　2、已知 ，探究下列各式的值的求法。

　　(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。

　　解：(1)將 ，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;

　�。�2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47;

　�。�3）由于 ，所以有 =a+a-1+1=8.

　　點撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值。

　　課堂小結

　　活動：教師，本節(jié)課同學們有哪些收獲？請把你的學習收獲記錄在你的筆記本上，同學們之間相互交流。同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點：

　�。�1）分數(shù)指數(shù)冪的意義就是：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是 =nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是 = =1nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。

　�。�2）規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。

　�。�3）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質：對任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質：

　�、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

　�。�4）說明兩點：

　�、俜謹�(shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性，其中沒有推出關系。

　　②整數(shù)指數(shù)冪的運算性質對任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用。因而分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化，也可以利用 =am來計算。

　　作業(yè)

　　課本習題2.1A組　2,4.

　　設計感想

　　本節(jié)課是分數(shù)指數(shù)冪的意義的引出及應用，分數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充，要讓學生反復理解分數(shù)指數(shù)冪的意義，教學中可以通過根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術的手段來完成大容量的課堂教學任務。

　　第3課時

　　作者：鄭芳鳴

　　導入新課

　　思路1.同學們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分數(shù)到負分數(shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理數(shù)指數(shù)冪呢？回顧數(shù)的擴充過程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分數(shù)（有理數(shù)），有理數(shù)到實數(shù)。并且知道，在有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程中，增添的數(shù)是無理數(shù)。對無理數(shù)指數(shù)冪，也是這樣擴充而來。既然如此，我們這節(jié)課的主要內容是：教師板書本堂課的課題〔指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)〕之無理數(shù)指數(shù)冪。

　　思路2.同學們，在初中我們學習了函數(shù)的知識，對函數(shù)有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數(shù)的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發(fā)展，社會的進步，我們還要學習許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學習指數(shù)函數(shù)的知識，我們必須學習實數(shù)指數(shù)冪的運算性質，為此，我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學習：指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)之無理數(shù)指數(shù)冪，教師板書本節(jié)課的課題。

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　�。�1）我們知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？

　�。�2）多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律？

　　2的過剩近似值

　　的近似值

　　1.5 11.180 339 89

　　1.42 9.829 635 328

　　1.415 9.750 851 808

　　1.414 3 9.739 872 62

　　1.414 22 9.738 618 643

　　1.414 214 9.738 524 602

　　1.414 213 6 9.738 518 332

　　1.414 213 57 9.738 517 862

　　1.414 213 563 9.738 517 752

　　… …

　　的近似值

　　2的不足近似值

　　9.518 269 694 1.4

　　9.672 669 973 1.41

　　9.735 171 039 1.414

　　9.738 305 174 1.414 2

　　9.738 461 907 1.414 21

　　9.738 508 928 1.414 213

　　9.738 516 765 1.414 213 5

　　9.738 517 705 1.414 213 56

　　9.738 517 736 1.414 213 562

　　… …

　�。�3）你能給上述思想起個名字嗎？

　�。�4）一個正數(shù)的無理數(shù)次冪到底是一個什么性質的數(shù)呢？如 ，根據你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？

　�。�5）借助上面的結論你能說出一般性的結論嗎？

　　活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內容：

　　問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向。

　　問題(2)對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關聯(lián)。

　　問題(3)上述方法實際上是無限接近，最后是逼近。

　　問題(4)對問題給予大膽猜測，從數(shù)軸的觀點加以解釋。

　　問題(5)在(3)(4)的基礎上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。

　　討論結果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數(shù)都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數(shù)都大于2，稱2的過剩近似值。

　�。�2）第一個表：從大于2的方向逼近2時， 就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于 的方向逼近 。

　　第二個表：從小于2的方向逼近2時， 就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于 的方向逼近 。

　　從另一角度來看這個問題，在數(shù)軸上近似地表示這些點，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面 從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于 的方向接近 ，而另一方面 從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于 的方向接近 ，可以說從兩個方向無限地接近 ，即逼近 ，所以 是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規(guī)律變化的結果，事實上表示這些數(shù)的點從兩個方向向表示 的點靠近，但這個點一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結論是 一定是一個實數(shù)，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5.

　　充分表明 是一個實數(shù)。

　　（3）逼近思想，事實上里面含有極限的思想，這是以后要學的知識。

　　（4）根據(2)(3)我們可以推斷 是一個實數(shù)，猜測一個正數(shù)的無理數(shù)次冪是一個實數(shù)。

　　（5）無理數(shù)指數(shù)冪的意義：

　　一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0，α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)。

　　也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結果是一個實數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴充過程中，我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪的意義，知道它是一個確定的實數(shù)，結合前面的有理數(shù)指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪。

　　提出問題

　　（1）為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？

　�。�2）無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則相通呢？

　�。�3）你能給出實數(shù)指數(shù)冪的運算法則嗎？

　　活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導他們用反例說明問題，注意類比，歸納。

　　對問題(1)回顧我們學習分數(shù)指數(shù)冪的意義時對底數(shù)的規(guī)定，舉例說明。

　　對問題（2)結合有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，既然無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)，那么無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則應當與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則類似，并且相通。

　　對問題(3)有了有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則和無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，實數(shù)的運算法則自然就得到了。

　　討論結果：(1)底數(shù)大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無理數(shù)指數(shù)冪aα是一個確定的實數(shù)，就不會再造成混亂。

　�。�2）因為無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)，所以能進行指數(shù)的運算，也能進行冪的運算，有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪。類比有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則：

　�、賏r?as=ar+s（a>0，r，s都是無理數(shù)）。

　�、冢╝r)s=ars(a>0，r，s都是無理數(shù)）。

　�、郏╝?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無理數(shù)）。

　�。�3）指數(shù)冪擴充到實數(shù)后，指數(shù)冪的運算性質也就推廣到了實數(shù)指數(shù)冪。

　　實數(shù)指數(shù)冪的運算性質：

　　對任意的實數(shù)r，s，均有下面的運算性質：

　�、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。

　�、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。

　�、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。

　　應用示例

　　例1 利用函數(shù)計算器計算。（精確到0.001）

　　(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3) ；(4) 。

　　活動：教師教會學生利用函數(shù)計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數(shù)，算出數(shù)值，對于(1)，可先按底數(shù)0.3，再按xy鍵，再按冪指數(shù)2.1，最后按=，即可求得它的值；

　　對于(2)，先按底數(shù)3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最后按=即可；

　　對于(3)，先按底數(shù)3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可；

　　對于(4)，這種無理指數(shù)冪，可先按底數(shù)3，其次按xy鍵，再按　鍵，再按3，最后按=鍵。有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算。

　　學生可以相互交流，挖掘計算器的用途。

　　解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.

　　點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現(xiàn)代技術的威力，逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會；用四舍五入法求近似值，若保留小數(shù)點后n位，只需看第(n+1)位能否進位即可。

　　例2 求值或化簡。

　　(1)a-4b23ab2(a>0，b>0)；

　�。�2） (a>0，b>0)；

　　(3)5-26+7-43-6-42.

　　活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，若不能化為常數(shù)則應使所化式子達到最簡，對既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式的式子，應該把根式統(tǒng)一化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由里向外把根式化成分數(shù)指數(shù)冪，要緊扣分數(shù)指數(shù)冪的意義和運算性質，對(2)既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式，應當統(tǒng)一起來，化為分數(shù)指數(shù)冪，對(3)有多重根號的式子，應先去根號，這里是二次根式，被開方數(shù)應湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對學生作及時的評價，注意總結解題的方法和規(guī)律。

　　解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。

　　點評：根式的運算常常化成冪的運算進行，計算結果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示。

高中數(shù)學教案模板7

　　教學目標：

　　(1)了解坐標法和解析幾何的意義，了解解析幾何的基本問題.

　　(2)進一步理解曲線的方程和方程的曲線.

　　(3)初步掌握求曲線方程的方法.

　　(4)通過本節(jié)內容的教學，培養(yǎng)學生分析問題和轉化的能力.

　　教學重點、難點：求曲線的方程.

　　教學用具：計算機.

　　教學方法：啟發(fā)引導法，討論法.

　　教學過程：

　　【引入】

　　1.提問：什么是曲線的方程和方程的曲線.

　　學生思考并回答.教師強調.

　　2.坐標法和解析幾何的意義、基本問題.

　　對于一個幾何問題，在建立坐標系的基礎上，用坐標表示點;用方程表示曲線，通過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質，這一研究幾何問題的方法稱為坐標法，這門科學稱為解析幾何.解析幾何的兩大基本問題就是：

　　(1)根據已知條件，求出表示平面曲線的方程.

　　(2)通過方程，研究平面曲線的性質.

　　事實上，在前邊所學的直線方程的理論中也有這樣兩個基本問題.而且要先研究如何求出曲線方程，再研究如何用方程研究曲線.本節(jié)課就初步研究曲線方程的求法.

　　【問題】

　　如何根據已知條件，求出曲線的方程.

　　【實例分析】

　　例1：設、兩點的坐標是、(3，7)，求線段的垂直平分線的方程.

　　首先由學生分析：根據直線方程的知識，運用點斜式即可解決.

　　解法一：易求線段的中點坐標為(1，3)，

　　由斜率關系可求得l的斜率為

　　于是有

　　即l的方程為

　�、�

　　分析、引導：上述問題是我們早就學過的，用點斜式就可解決.可是，你們是否想過①恰好就是所求的嗎?或者說①就是直線的方程?根據是什么，有證明嗎?

　　(通過教師引導，是學生意識到這是以前沒有解決的問題，應該證明，證明的依據就是定義中的兩條).

　　證明：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解.

　　設是線段的垂直平分線上任意一點，則

　　即

　　將上式兩邊平方，整理得

　　這說明點的坐標是方程的解.

　　(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

　　設點的坐標是方程①的任意一解，則

　　到、的距離分別為

　　所以，即點在直線上.

　　綜合(1)、(2)，①是所求直線的方程.

　　至此，證明完畢.回顧上述內容我們會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：在證明(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解中，設是線段的垂直平分線上任意一點，最后得到式子，如果去掉腳標，這不就是所求方程嗎?可見，這個證明過程就表明一種求解過程，下面試試看：

　　解法二：設是線段的垂直平分線上任意一點，也就是點屬于集合

　　由兩點間的距離公式，點所適合的條件可表示為

　　將上式兩邊平方，整理得

　　果然成功，當然也不要忘了證明，即驗證兩條是否都滿足.顯然，求解過程就說明第一條是正確的(從這一點看，解法二也比解法一優(yōu)越一些);至于第二條上邊已證.

　　這樣我們就有兩種求解方程的方法，而且解法二不借助直線方程的理論，又非常自然，還體現(xiàn)了曲線方程定義中點集與對應的思想.因此是個好方法.

　　讓我們用這個方法試解如下問題：

　　例2：點與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)求點的軌跡方程.

　　分析：這是一個純粹的幾何問題，連坐標系都沒有.所以首先要建立坐標系，顯然用已知中兩條互相垂直的直線作坐標軸，建立直角坐標系.然后仿照例1中的解法進行求解.

　　求解過程略.

　　【概括總結】通過學生討論，師生共同總結：

　　分析上面兩個例題的求解過程，我們總結一下求解曲線方程的大體步驟：

　　首先應有坐標系;其次設曲線上任意一點;然后寫出表示曲線的點集;再代入坐標;最后整理出方程，并證明或修正.說得更準確一點就是：

　　(1)建立適當?shù)淖鴺讼�，用有序實�?shù)對例如表示曲線上任意一點的坐標;

　　(2)寫出適合條件的點的集合

　　;

　　(3)用坐標表示條件，列出方程;

　　(4)化方程為最簡形式;

　　(5)證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

　　一般情況下，求解過程已表明曲線上的點的坐標都是方程的解;如果求解過程中的轉化都是等價的，那么逆推回去就說明以方程的解為坐標的點都是曲線上的點.所以，通常情況下證明可省略，不過特殊情況要說明.

　　上述五個步驟可簡記為：建系設點;寫出集合;列方程;化簡;修正.

　　下面再看一個問題：

　　例3：已知一條曲線在軸的上方，它上面的每一點到點的'距離減去它到軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程.

　　【動畫演示】用幾何畫板演示曲線生成的過程和形狀，在運動變化的過程中尋找關系.

　　解：設點是曲線上任意一點，軸，垂足是(如圖2)，那么點屬于集合

　　由距離公式，點適合的條件可表示為

　�、�

　　將①式移項后再兩邊平方，得

　　化簡得

　　由題意，曲線在軸的上方，所以，雖然原點的坐標(0，0)是這個方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程應為，它是關于軸對稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點，如圖2中所示.

　　【練習鞏固】

　　題目：在正三角形內有一動點，已知到三個頂點的距離分別為、 、，且有，求點軌跡方程.

　　分析、略解：首先應建立坐標系，以正三角形一邊所在的直線為一個坐標軸，這條邊的垂直平分線為另一個軸，建立直角坐標系比較簡單，如圖3所示.設、的坐標為、，則的坐標為，的坐標為.

　　根據條件，代入坐標可得

　　化簡得

　　①

　　由于題目中要求點在三角形內，所以，在結合①式可進一步求出、的范圍，最后曲線方程可表示為

　　【小結】師生共同總結：

　　(1)解析幾何研究研究問題的方法是什么?

　　(2)如何求曲線的方程?

　　(3)請對求解曲線方程的五個步驟進行評價.各步驟的作用，哪步重要，哪步應注意什么?

　　【作業(yè)】課本第72頁練習1，2，3;

高中數(shù)學教案模板8

　　一、什么是教學案例

　　教學案例是真實而又典型且含有問題的事件。簡單地說，一個教學案例就是一個包含有疑難問題的實際情境的描述，是一個教學實踐過程中的故事，描述的是教學過程中“意料之外，情理之中的事”。

　　這可以從以下幾個層次來理解：

　　教學案例是事件：教學案例是對教學過程中的一個實際情境的描述。它講述的是一個故事，敘述的是這個教學故事的產生、發(fā)展的歷程，它是對教學現(xiàn)象的動態(tài)性的把握。

　　教學案例是含有問題的事件：事件只是案例的基本素材，并不是所有的教學事件都可以成為案例。能夠成為案例的事件，必須包含有問題或疑難情境在內，并且也可能包含有解決問題的方法在內。正因為這一點，案例才成為一種獨特的研究成果的表現(xiàn)形式。

　　案例是真實而又典型的事件：案例必須是有典型意義的，它必須能給讀者帶來一定的啟示和體會。案例與故事之間的根本區(qū)別是：故事是可以杜撰的，而案例是不能杜撰和抄襲的，它所反映的是真是發(fā)生的事件，是教學事件的真實再現(xiàn)。是對“當前”課堂中真實發(fā)生的實踐情景的描述。它不能用“搖擺椅子上杜撰的事實來替代”，也不能從抽象的、概括化的理論中演繹的事實來替代。

　　二、如何進行教學案例研究

　　教學案例是教師教學行為真實、典型的記錄，也是教師教學理念和教學思想的真實體現(xiàn)。因此它是教育教學研究的寶貴資源，也是教師之間交流的重要媒介。進行教學案例的研究是教師不斷反思、改進自己教學的一種方法，能促使教師更為深刻地認識到自己工作中的重點和難點。這個過程就是教師自我教育和成長的過程。

　　那么如何進行教學案例研究呢?一般情況下，案例研究的程序基本有以下兩個環(huán)節(jié)：案例研究的準備及實施、案例研究報告的撰寫與反思。

　　(一)案例研究的準備與實施

　　1.研究主題的選擇

　　案例研究都要有研究的重點和主題，這個主題常與教學改革的核心理念、常見的疑難問題和困惑事件相關，一般來說可以從教學的各個方面確定研究的主題，如從教師教學行為確定主題——教學材料的選擇、教學中的提問、教學媒體的使用、教學評價語言、課堂教學調控行為等;也可以從學生的學習方式確定主題——探究性學習、問題解決學習、合作學習、實踐性活動等。另外從學科特點、教學內容等都可以確定研究的主題。

　　研究者要了解當前教學的大背景，教改的大方向，要熟悉相關的《課程標準》和有針對性地作一些理論準備。還要通過有關的調查，搜集詳盡的材料(如閱讀教師的教學設計，進行訪談等)，同時初步確定案例研究的方向、研究任務，即初步確定案例的內容是關于教學策略、學生行為或是教學技能的研究。

　　一般來說，案例研究主題的確定往往需要思考下面一些問題：即研究的事件是否對于自我發(fā)現(xiàn)更有潛力?選擇的事件對學生是否有較大的情感影響(心靈是否受到震撼)?關鍵事件再現(xiàn)了前人(或自己)過去成功的行為嗎?事件呈現(xiàn)的是一個你不能確定怎樣解決的問題?事件需要你做出困難的選擇嗎?事件使得你必須以一種感覺不熟悉的方式或是仍在思考的方式回答嗎?事件暗示一個與道德或道義上相關的問題嗎?研究的主題如果反映以上的一些內容，那么這樣的案例研究在自我學習、內省和深層次理解方面就可能更加富有成效。

　　高中數(shù)學教學案例研究的主題內容主要集中在三方面：(1)學科特點的體現(xiàn)：如數(shù)學思想方法的教學、數(shù)學思維品質的培養(yǎng)、本質屬性的抽象、數(shù)學結論的推廣等;(2)學生數(shù)學學習規(guī)律的探究：如數(shù)學學習習慣、解決問題的思維方式、獨立思考與合作學習等;(3)教師專業(yè)知識的提升：如數(shù)學板書與電子屏幕的展示對學生思維的影響、數(shù)學語言的訓練對人們思維的影響、數(shù)學知識模式化教學的優(yōu)劣等。

　　2.案例研究的基本方法

　　(1)課堂觀察。觀察方法是指研究者按照一定的目的和計劃，在課堂教學活動的.自然狀態(tài)下，用自己的感官和輔助工具對研究對象進行觀察研究的一種方法。它可以是教師自己對教學對象——學生，在課堂活動中的片斷進行觀察，也可以由其他教師來實施觀察，這兩種觀察的目的都是為了掌握課堂教學中的第一手資料。課堂觀察方法不限于用肉眼觀察、耳聽手記，還可利用各種工具如照相、錄音、攝像等作為輔助觀察的手段，以提高觀察的效果。對觀察的資料，可以逐字逐句整理成課堂教學實錄、教學程序表、提問技巧水平檢核表、提問行為類型頻次表、課堂教學時間分配表等，以便以后繼續(xù)分析案例提供翔實的原始材料。

　　(2)訪談與調查。對一些課堂教學不能觀察到的師生內心活動，如教師教學的目的、教學程序的意圖、教學手段的運用以及教學達標的成效等一些需要進一步了解的問題，可以通過與執(zhí)教教師的交談以及和學生的座談，以豐富和充實課堂教學觀察的材料;對學生在課堂教學活動中回答問題的心理狀態(tài)、解題思路等問題，也可以在課后做一些問卷調查;對學生達標的成度、效度，也可以作一些測試調查。從這些訪談、調查的材料中，再分析課堂教學的現(xiàn)象，不難發(fā)現(xiàn)造成各種課堂現(xiàn)象與教師教學行為之間的因果關系，然后再具體尋找在哪個教學環(huán)節(jié)中出現(xiàn)問題，從中提煉出解決問題的對策。

　　(3)文獻分析。文獻分析是通過查閱文獻資料，從過去和現(xiàn)在的有關研究成果中受到啟發(fā)，從中找到課堂教學現(xiàn)象的理論依據，從而增強案例分析的說服力。當然，對廣大第一線教師而言，這里所運用的文獻分析方法，并不是為了論證新教育理論，也不是去歸納教育的宏觀現(xiàn)象，而是通過有關教育理論文獻的查閱，去進一步解讀課堂教學的活動，挖掘案例中的教育思想。如在數(shù)學教學中，我們常常通過學生的動手操作來獲得有關的數(shù)學概念、法則與公式，那么，為什么要這樣做呢?就可以帶著問題，查閱、分析有關文獻資料，從學習中提高研究者自身的理論水平。

　　(二)案例研究報告的撰寫

　　1.常見的案例報告格式

　　撰寫教學案例，結構可以靈活多樣，并非要千篇一律、一個模式，而是可以有不同的表現(xiàn)形式，如“案例背景——案例描述——案例分析”、“案例過程——案例反思”、“課例——問題——分析”、“主題與背景——情景描述——問題討論——詮釋與研究”等。當前，國內外課堂教學案例編寫的格式有多種多樣。但不管何種編寫格式，它們都有兩個共同的特點：一是對案例的客觀描述;二是對案例中所述問題、關鍵教學事件等的分析。

　　下面介紹兩種常用的案例編寫的格式：

　　(1)“描述+分析”式

　　此格式的特點是將整個案例分為兩大部分，前半部分主要為描述課堂教學活動的情景，后半部分主要針對情景中的一個問題進行理論分析并獲得結論。案例的描述一般是把課堂教學活動中的某一片斷像講故事一樣原原本本地、具體生動地描繪出來。描述的形式可以是一串問答式的課堂對話，也可以概括式地敘述，主要是提供一個或一連串課堂教學疑難的問題，并把教育理論、教育思想隱藏在描述之中。案例的分析部分是針對描述的情景發(fā)表個人或多人的感受，同時加以理論的分析與說明。分析方法可以是對描述中提出的一個問題，從幾個方面加以分析：也可以是對描述中的幾個問題，集中從一個方面加以分析。分析的目的是要從描述的情景中提煉問題的本質，講述理論的解釋，明確正確的方法，最終獲得對關鍵教學事件的正確把握。

　　(2)“背景+描述+問題+詮釋”式

　　此格式是一種要求比較高的編寫格式，而且，它在實際教學中的作用也更大。通常它將整個案例分為四個部分：

　　A.主題與背景

　　主題是關鍵教學事件中所反映的案例主要觀點，也是整篇案例的核心思想。背景主要敘述案例發(fā)生的地點、時間、人物的一些基本情況。當然，這部分的內容不宜很長，只需提綱挈領敘述清楚即可。

　　B.情景描述

　　與“描述+分析”式中的描述相同，主要突出主題所反映的課堂教學活動。

　　C.問題討論

　　這是根據主題要求與情景描述，進行的分析、歸納、總結與提煉，包括學科知識的要點、教學法和情景特點以及案例的說明與注意事項。這部分內容主要是為案例教學服務的，目的是提高教師的認識水平與學生主動學習的能力。不同的教學觀念，不同的教學手段，所提出的問題也不同。對案例中所提出的主題以及情景描述中提出的問題闡述自己的見解。

　　D.詮釋與研究

　　這部分主要是用教育理論對案例情景作多角度的解讀。它包括對課堂教學行為的技術資料、課堂教學實錄以及教學活動背后的故事等作理論上的分析。例如，在課堂教學中，我們�？吹竭@樣的現(xiàn)象，課堂教學的效果高于預期的目標，反之教師期望的目標學生沒有達到或有所偏離，教學內容呈現(xiàn)的先后與學生理解的程度、教學方法運用與學生內在動機的激發(fā)等環(huán)節(jié)存在著矛盾，這些事件的背后，必然隱含著豐富的教育思想。所以，通過詮釋，挖掘這些事件背后的內在思想，揭示其教育規(guī)律就顯得十分的必要。

　　2.案例報告撰寫的關鍵

　　(1)掌握四個原則。要寫好教學案例，除了平時多積累素材，學習他人的案例作品以提高寫作技巧外，還應把握以下四點：

　　A.主題性原則：要有捕捉關鍵教學事件的意識，以此確定案例研究的主題。為此要注意了解新的課程改革的動向、把握適合時代要求的數(shù)學教育方式、明確學生數(shù)學學習的難點和重點，尋找數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展的途徑與規(guī)律。報告圍繞主題進行情景描述和獲得解決問題的策略。這種描述不是簡單的教學活動實錄，要反映事件發(fā)生的過程，重點描述反映關鍵教學事件的變化和戲劇化的情境，猶如記敘文寫作，突出主題，詳寫重點，雕刻高潮。

　　案例鮮明的主題通常關系到教學的核心理念、常見問題、處理方法等等，可以說，主題就是案例的靈魂。而主題的最佳表現(xiàn)形式就是文題直接體現(xiàn)主題。因此，設計主題就要有新意、有時代感，通俗地說就是與眾不同，要有獨特見解、獨家發(fā)現(xiàn)。來源于實踐的教學案例并非都有同等價值，關鍵要看撰寫者對實踐的發(fā)展與理論的升華程度，包括對題目的推敲。如有的教學案例重點描述了有戲劇性的情節(jié)，用了“細節(jié)決定成敗”的題目，給人耳目一新，一下子揪住了讀者的心。再如，一些有創(chuàng)意的題目《“導之有方”方能“導之有效”》、《跳出數(shù)學教數(shù)學》、《在數(shù)學的疑難處悟成長》、《捕捉資源因勢利導》等等，讓人一看題目就有閱讀的欲望。實踐證明，在寫作案例時，選擇有感悟、有新意的內容，在明確主題，恰當擬題后再動筆，才能寫出高質量的案例。

　　B.理論性原則：解決問題的策略中應當蘊含一定的教育基本原理和教育思想。實際是將自己對教育理念以及教育基本原理的理解滲透于描述的字里行間，比如學生做了什么，參與程度，投入程度如何，教師如何引導點撥，師生心理、行為變化情況等，無不體現(xiàn)教師的教學思想和教育基本原理。

　　C.敘事性原則：案例報告的書寫方式是敘事式，它不同于論述式。敘事方式必須以課堂教學生動的事實為主要情節(jié)，可以夾敘夾議，也可以選擇情景片段，可以是一節(jié)課中的情景，也可以是圍繞一個主題的幾節(jié)課的情景片段。

　　D.學科性原則：數(shù)學案例報告一定要體現(xiàn)學科的特征，要有較深刻的理性思考，要反映數(shù)學的基本思想與方法，要符合課程標準，滿足教材內容的呈現(xiàn)方法，積極培養(yǎng)良好的思維習慣。就是撰寫者的教育思想和教育理念在教學實踐中具體體現(xiàn)。

　　(2)用好四種表述。教學案例的表述方法很多，可以歸納為以下四種方法：

　　A.故事式陳述法：就是教學全程或某一精彩教學片段實錄，包括教師和學生的一言一行。陳述時，根據操作程序作一點“簡評”，最后作“總評”。

　　B.以案說理：對教學過程進行陳述時，舍去與文題不相關或不重要的部分，并強化與主題相關的重要情節(jié)，尤其是引發(fā)高潮的關鍵行為，然后有較長篇幅的理性思考。

　　C.圖表展示法：用圖表進行統(tǒng)計的形式體現(xiàn)撰寫者的教育思想，給人以一目了然的感覺，幫助讀者迅速了解撰寫者的寫作意圖，是常用的一種案例撰寫方法。比如，描述學生的參與人數(shù)，投入程度，解決問題的質量等多個問題，都可以在一張或數(shù)張圖表上用百分比或個(次)數(shù)進行統(tǒng)計。在每一張圖表后，應有一段“分析”或“結論”，將撰寫者的教學理念進行理性闡述，亦可在圖表展示后，總的提出自己對案例的分析和建議。

　　D.分析討論法：在撰寫時，應汲取分析討論中最精彩的部分做深入、細致的全面記錄，最后撰寫者還必須對討論情況做一分析，或提出一些值得今后進一步思考的問題。

　　3.優(yōu)秀案例的特征

　　(1)時代性：一個好的案例描述的是現(xiàn)實生活場景——案例的敘述要把事件置于一個時空框架之中，應該以關注今天所面臨的疑難問題為著眼點，至少應該是近年發(fā)生的事情，展示的整個事實材料應該與整個時代及教學背景相照應，這樣的案例讀者更愿意接觸。一個好的案例可以使讀者有身臨其境的感覺，并對案例所涉及的人產生移情作用。

　　(2)真實性：一個好的案例應該包括從案例所反映的對象那里引述的材料——案例寫作必須持一種客觀的態(tài)度，因此可引述一些口頭的或書面的、正式的或非正式的材料，如對話、筆記、信函等，以增強案例的真實感和可讀性。重要的事實性材料應注明資料來源。

　　(3)適用性：一個好的案例需要針對面臨的疑難問題提出解決辦法——案例不能只是提出問題，它必須提出解決問題的主要思路、具體措施，并包含著解決問題的詳細過程，這應該是案例寫作的重點。如果一個問題可以提出多種解決辦法的話，那么最為適宜的方案，就應該是與特定的背景材料相關最密切的那一個。如果有包治百病、普遍適用的解決問題的辦法，那么案例這種形式就不必要存在了。

　　(4)反思性：一個好的案例需要有對已經做出的解決問題的決策的評價——評價是為了給新的決策提供參考點�？稍诎咐�的開頭或結尾寫下案例作者對自己解決問題策略的評論，以點明案例的基本論點及其價值。

　　三、案例研究過程中需注意的問題

　　1.選材面過窄。從內容上看，多數(shù)案例是關于課堂教學甚至局限于一節(jié)課的研究，往往不能說明問題，或者在一節(jié)課中，也只會從簡單的對話分析問題，做不到全方位、多角度。這說明教師對教學情境的豐富性、復雜性和聯(lián)系性認識不夠。

　　2.缺乏典型性。有的案例對教學實踐沒有挖掘與反思，隨意摘取一些教學片段泛泛而談、人云亦云，沒有實用價值。不能夠通過對某一事件現(xiàn)象的分析、處理、詮釋，達到舉一反三的效果，這樣的案例對他人沒什么借鑒作用。

　　3.主題不明確。主要體現(xiàn)為：

　　(1)主題渙散。有的案例象記流水帳，沒有根據需要進行恰當?shù)娜∩�，看不出作者要反映、探討什么問題，缺乏指導性、創(chuàng)新性和參考性。

　　(2)定題過于隨意。有的案例直接用案例研究依據的文題為題目，如《“三角函數(shù)”教學案例》、《“拋物線”教學案例》等，題目不鮮明、不形象，影響讀者的選讀和案例的傳播。

　　4.結構不合理。案例作為一種文體，有它自己的寫作結構，只有優(yōu)化案例的結構，才能增強案例的可讀性和指導性。如寫成一般的教學設計，一般包括“備課思路、教學目標、教學重點、教學方法、課前準備、教學內容、教學過程”等內容;寫成教學實錄，把一堂課從頭到尾詳盡地記錄下來，再寫上作者的看法;重記錄輕分析，過程描述多，評析少等等。沒有創(chuàng)新，平淡無趣，看不出案例研究和反映的問題。

　　5.描述與分析脫節(jié)。有的案例描述與分析矛盾，讓人不知所云;有時反映的是一種觀點，分析闡明的是另一種觀點，雖然不矛盾，但聯(lián)系不緊密;有的分析中熱衷于抄錄教育理論的一些條條，脫離案例描述的事件而空談理論，顯得空泛無物。

高中數(shù)學教案模板9

　　【使用說明】 1、復習教材P124-P127頁，40分鐘時間完成預習學案

　　2、有余力的學生可在完成探究案中的部分內容。

　　【學習目標】

　　知識與技能：理解兩角差的余弦公式的推導過程及其結構特征并能靈活運用。

　　過程與方法：應用已學知識和方法思考問題，分析問題，解決問題的能力。

　　情感態(tài)度價值觀： 通過公式推導引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和學習數(shù)學的`興趣。

　　�！局攸c】通過探索得到兩角差的余弦公式以及公式的靈活運用

　　【難點】兩角差余弦公式的推導過程

　　預習自學案

　　一、知識鏈接

　　1、 寫出 的三角函數(shù)線 ：

　　2、 向量 ， 的數(shù)量積，①定義：

　�、谧鴺诉\算法則：

　　3、 ， ，那么 是否等于 呢？

　　下面我們就探討兩角差的余弦公式

　　二、教材導讀

　　1、、兩角差的余弦公式的推導思路

　　如圖，建立單位圓O

　�。�1）利用單位圓上的三角函數(shù)線

　　設

　　則

　　又OM=OB+BM

　　=OB+CP

　　=OA_____ +AP_____

　　=

　　從而得到兩角差的余弦公式：

　　____________________________________

　�。�2）利用兩點間距離公式

　　如圖，角 的終邊與單位圓交于A( )

　　角 的終邊與單位圓交于B( )

　　角 的終邊與單位圓交于P( )

　　點T( )

　　AB與PT關系如何？

　　從而得到兩角差的余弦公式：

　　____________________________________

　�。�3） 利用平面向量的知識

　　用 表示向量 ，=（ ， ） =（ ， ）

　　則 。 =

　　設 與 的夾角為

　�、佼� 時:

　　=

　　從而得出

　　②當 時顯然此時 已經不是向量 的夾角，在 范圍內，是向量夾角的補角。我們設夾角為 ，則 + =

　　此時 =

　　從而得出

　　2、兩角差的余弦公式

　　____________________________

　　三、預習檢測

　　1、 利用余弦公式計算 的值。

　　2、 怎樣求 的值

　　你的疑惑是什么？

　　________________________________________________________

　　______________________________________________________

　　探究案

　　例1. 利用差角余弦公式求 的值。

　　例2.已知 ， 是第三象限角，求 的值。

　　訓練案

　　一、 基礎訓練題

　　1、

　　2、

　　3、

　　二、綜合題

高中數(shù)學教案模板10

　　教學目的：

　�。�1）使學生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及記法

　�。�2）使學生初步了解“屬于”關系的意義

　�。�3）使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義

　　教學重點：集合的基本概念及表示方法

　　教學難點：運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合

　　授課類型：新授課

　　課時安排：1課時

　　教 具：多媒體、實物投影儀

　　內容分析：

　　集合是中學數(shù)學的一個重要的基本概念 在小學數(shù)學中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進一步應用集合的語言表述一些問題 例如，在代數(shù)中用到的有數(shù)集、解集等；在幾何中用到的有點集 至于邏輯，可以說，從開始學習數(shù)學就離不開對邏輯知識的掌握和運用，基本的邏輯知識在日常生活、學習、工作中，也是認識問題、研究問題不可缺少的工具 這些可以幫助學生認識學習本章的意義，也是本章學習的基礎把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數(shù)學的最開始，是因為在高中數(shù)學中，這些知識與其他內容有著密切聯(lián)系，它們是學習、掌握和使用數(shù)學語言的基礎 例如，下一章講函數(shù)的概念與性質，就離不開集合與邏輯。

　　本節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結合實例對集合的概念作了說明 然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子。

　　這節(jié)課主要學習全章的引言和集合的基本概念 學習引言是引發(fā)學生的學習興趣，使學生認識學習本章的意義 本節(jié)課的教學重點是集合的基本概念集合是集合論中的原始的、不定義的概念 在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例，對概念有一個初步認識 教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集 ”這句話，只是對集合概念的描述性說明。

　　教學過程：

　　一、復習引入：

　　1、簡介數(shù)集的發(fā)展，復習最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，質數(shù)與和數(shù)；

　　2、教材中的章頭引言；

　　3、集合論的創(chuàng)始人——康托爾（德國數(shù)學家）（見附錄）；

　　4．“物以類聚”，“人以群分”；

　　5．教材中例子（P4）

　　二、講解新課：

　　閱讀教材第一部分，問題如下：

　�。�1）有那些概念？是如何定義的？

　�。�2）有那些符號？是如何表示的？

　�。�3）集合中元素的特性是什么？

　�。ㄒ唬┘�合的有關概念：

　　由一些數(shù)、一些點、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的。我們說，每一組對象的全體形成一個集合，或者說，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集。集合中的每個對象叫做這個集合的元素。

　　定義：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合．

　　1、集合的概念

　　（1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合（簡稱集）

　�。�2）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素

　　2、常用數(shù)集及記法

　�。�1）非負整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負整數(shù)的集合 記作N，（2）正整數(shù)集：非負整數(shù)集內排除0的集 記作N*或N+

　　（3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合 記作Z ，（4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合 記作Q ，（5）實數(shù)集：全體實數(shù)的集合 記作R

　　注：（1）自然數(shù)集與非負整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0

　　（2）非負整數(shù)集內排除0的集 記作N*或N+ Q、Z、R等其它數(shù)集內排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內排除0的集，表示成Z*

　　3、元素對于集合的隸屬關系

　　（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A

　　（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作

　　4、集合中元素的'特性

　�。�1）確定性：按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可

　�。�2）互異性：集合中的元素沒有重復

　�。�3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序寫出）

　　5、⑴集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

　�、啤啊省钡拈_口方向，不能把a∈A顛倒過來寫

　　三、練習題：

　　1、教材P5練習1、2

　　2、下列各組對象能確定一個集合嗎？

　�。�1）所有很大的實數(shù) （不確定）

　　（2）好心的人 （不確定）

　�。�3）1，2，2，3，4，5．（有重復）

　　3、設a，b是非零實數(shù)，那么 可能取的值組成集合的元素是_—2，0，2__

　　4、由實數(shù)x，－x，｜x｜， 所組成的集合，最多含（ A ）

　�。ˋ）2個元素 （B）3個元素 （C）4個元素 （D）5個元素

　　5、設集合G中的元素是所有形如a＋b （a∈Z， b∈Z）的數(shù)，求證：

　　（1） 當x∈N時， x∈G；

　　（2） 若x∈G，y∈G，則x＋y∈G，而 不一定屬于集合G

　　證明（1）：在a＋b （a∈Z， b∈Z）中，令a=x∈N，b=0，則x= x＋0* = a＋b ∈G，即x∈G

　　證明（2）：∵x∈G，y∈G，∴x= a＋b （a∈Z， b∈Z），y= c＋d （c∈Z， d∈Z）

　　∴x+y=（ a＋b ）+（ c＋d ）=（a+c）+（b+d）

　　∵a∈Z， b∈Z，c∈Z， d∈Z

　　∴（a+c） ∈Z， （b+d） ∈Z

　　∴x+y =（a+c）+（b+d） ∈G，又∵ ＝且 不一定都是整數(shù)，∴ ＝ 不一定屬于集合G

　　四、小結：本節(jié)課學習了以下內容：

　　1、集合的有關概念：（集合、元素、屬于、不屬于）

　　2、集合元素的性質：確定性，互異性，無序性

　　3、常用數(shù)集的定義及記法

高中數(shù)學教案模板11

　　教學準備

　　教學目標

　　1、數(shù)學知識：掌握等比數(shù)列的概念，通項公式，及其有關性質；

　　2、數(shù)學能力：通過等差數(shù)列和等比數(shù)列的類比學習，培養(yǎng)學生類比歸納的能力；

　　歸納——猜想——證明的數(shù)學研究方法；

　　3、數(shù)學思想：培養(yǎng)學生分類討論，函數(shù)的數(shù)學思想。

　　教學重難點

　　重點：等比數(shù)列的概念及其通項公式，如何通過類比利用等差數(shù)列學習等比數(shù)列；

　　難點：等比數(shù)列的性質的探索過程。

　　教學過程

　　教學過程：

　　1、問題引入：

　　前面我們已經研究了一類特殊的數(shù)列——等差數(shù)列。

　　問題1：滿足什么條件的數(shù)列是等差數(shù)列？如何確定一個等差數(shù)列？

　�。▽W生口述，并投影）：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

　　要想確定一個等差數(shù)列，只要知道它的首項a1和公差d。

　　已知等差數(shù)列的首項a1和d，那么等差數(shù)列的通項公式為：（板書）an=a1+(n-1)d。

　　師：事實上，等差數(shù)列的關鍵是一個“差”字，即如果一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

　�。ǖ谝淮晤惐龋╊愃频模�我們提出這樣一個問題。

　　問題2：如果一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它的前一項的……等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做……數(shù)列。

　�。ㄟ@里以填空的形式引導學生發(fā)揮自己的想法，對于“和”與“積”的情況，可以利用具體的例子予以說明：如果一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它的前一項的“和”（或“積”）等于同一個常數(shù)的話，這個數(shù)列是一個各項重復出現(xiàn)的“周期數(shù)列”，而與等差數(shù)列最相似的是“比”為同一個常數(shù)的情況。而這個數(shù)列就是我們今天要研究的等比數(shù)列了。）

　　2、新課：

　　1)等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做公比。

　　師：這就牽涉到等比數(shù)列的通項公式問題，回憶一下等差數(shù)列的通項公式是怎樣得到的？類似于等差數(shù)列，要想確定一個等比數(shù)列的通項公式，要知道什么？

　　師生共同簡要回顧等差數(shù)列的通項公式推導的方法：累加法和迭代法。

　　公式的推導：（師生共同完成）

　　若設等比數(shù)列的公比為q和首項為a1，則有：

　　方法一：（累乘法）

　　3)等比數(shù)列的性質：

　　下面我們一起來研究一下等比數(shù)列的性質

　　通過上面的研究，我們發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列和等差數(shù)列之間似乎有著相似的地方，這為我們研究等比數(shù)列的性質提供了一條思路：我們可以利用等差數(shù)列的性質，通過類比得到等比數(shù)列的性質。

　　問題4：如果{an}是一個等差數(shù)列，它有哪些性質？

　　(根據學生實際情況，可引導學生通過具體例子，尋找規(guī)律，如：

　　3、例題鞏固：

　　例1、一個等比數(shù)列的第二項是2，第三項與第四項的和是12，求它的第八項的值。

　　答案：1458或128。

　　例2、正項等比數(shù)列{an}中，a6·a15+a9·a12=30，則log15a1a2a3…a20=_10____.

　　例3、已知一個等差數(shù)列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，能否在這個數(shù)列中取出一些項組成一個新的數(shù)列{cn}，使得{cn}是一個公比為2的等比數(shù)列，若能請指出{cn}中的第k項是等差數(shù)列中的第幾項？

　�。ū绢}為開放題，沒有唯一的答案，如對于{cn}：2，4，8，16，……，2n，……，則ck=2k=2×2k-1，所以{cn}中的第k項是等差數(shù)列中的第2k-1項。關鍵是對通項公式的理解）

　　1、小結：

　　今天我們主要學習了有關等比數(shù)列的概念、通項公式、以及它的性質，通過今天的學習

　　我們不僅學到了關于等比數(shù)列的有關知識，更重要的是我們學會了由類比——猜想——證明的科學思維的過程。

　　2、作業(yè)：

　　P129：1，2，3

　　思考題：在等差數(shù)列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，中取出一些項：6，12，24，48，……，組成一個新的數(shù)列{cn}，{cn}是一個公比為2的等比數(shù)列，請指出{cn}中的第k項是等差數(shù)列中的第幾項？

　　教學設計說明：

　　1、教學目標和重難點：首先作為等比數(shù)列的第一節(jié)課，對于等比數(shù)列的概念、通項公式及其性質是學生接下來學習等比數(shù)列的基礎，是必須要落實的；其次，數(shù)學教學除了要傳授知識，更重要的是傳授科學的研究方法，等比數(shù)列是在等差數(shù)列之后學習的因此對等比數(shù)列的學習必然要和等差數(shù)列結合起來，通過等比數(shù)列和等差數(shù)列的類比學習，對培養(yǎng)學生類比——猜想——證明的科學研究方法是有利的。這也就成了本節(jié)課的重點。

　　2、教學設計過程：本節(jié)課主要從以下幾個方面展開：

　　1)通過復習等差數(shù)列的定義，類比得出等比數(shù)列的定義；

　　2)等比數(shù)列的通項公式的推導；

　　3)等比數(shù)列的性質；

　　有意識的`引導學生復習等差數(shù)列的定義及其通項公式的探求思路，一方面使學生回顧舊

　　知識，另一方面使學生通過聯(lián)想，為類比地探索等比數(shù)列的定義、通項公式奠定基礎。

　　在類比得到等比數(shù)列的定義之后，再對幾個具體的數(shù)列進行鑒別，旨在遵循“特殊——一般——特殊”的認識規(guī)律，使學生體會觀察、類比、歸納等合情推理方法的應用。培養(yǎng)學生應用知識的能力。

　　在得到等比數(shù)列的定義之后，探索等比數(shù)列的通項公式又是一個重點。這里通過問題3的設計，使學生產生不得不考慮通項公式的心理傾向，造成學生認知上的沖突，從而使學生主動完成對知識的接受。

　　通過等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的比較使學生初步體會到等差和等比的相似性，為下面類比學習等比數(shù)列的性質，做好鋪墊。

　　等比性質的研究是本節(jié)課的高潮，通過類比

　　關于例題設計：重知識的應用，具有開放性，為使學生更好的掌握本節(jié)課的內容。

高中數(shù)學教案模板12

　　教學目標

　　1、明確等差數(shù)列的定義。

　　2、掌握等差數(shù)列的通項公式，會解決知道中的三個，求另外一個的問題

　　3、培養(yǎng)學生觀察、歸納能力。

　　教學重點

　　1、 等差數(shù)列的概念；

　　2、 等差數(shù)列的通項公式

　　教學難點

　　等差數(shù)列“等差”特點的理解、把握和應用

　　教具準備

　　投影片1張

　　教學過程

　　(I)復習回顧

　　師：上兩節(jié)課我們共同學習了數(shù)列的定義及給出數(shù)列的.兩種方法通項公式和遞推公式。這兩個公式從不同的角度反映數(shù)列的特點，下面看一些例子。（放投影片）

　　(Ⅱ)講授新課

　　師：看這些數(shù)列有什么共同的特點？

　　1，2，3，4，5，6; ①

　　10，8，6，4，2，…； ②

　　生：積極思考，找上述數(shù)列共同特點。

　　對于數(shù)列①(1≤n≤6)；(2≤n≤6)

　　對于數(shù)列②-2n(n≥1)(n≥2)

　　對于數(shù)列③(n≥1)(n≥2)

　　共同特點：從第2項起，第一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)。

　　師：也就是說，這些數(shù)列均具有相鄰兩項之差“相等”的特點。具有這種特點的數(shù)列，我們把它叫做等差數(shù)。

　　一、定義：

　　等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與空的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。

　　如：上述3個數(shù)列都是等差數(shù)列，它們的公差依次是1，-2， 。

　　二、等差數(shù)列的通項公式

　　師：等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關系而得。若一等差數(shù)列的首項是，公差是d，則據其定義可得：

　　若將這n-1個等式相加，則可得：

　　即：即：即：……

　　由此可得：師：看來，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。

　　如數(shù)列①(1≤n≤6)

　　數(shù)列②：(n≥1)

　　數(shù)列③：(n≥1)

　　由上述關系還可得：即：則：=如：三、例題講解

　　例1：(1)求等差數(shù)列8，5，2…的第20項

　　(2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？

　　解：(1)由n=20，得(2)由得數(shù)列通項公式為：由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。

　　(Ⅲ)課堂練習

　　生：（口答）課本P118練習3

　�。〞�面練習）課本P117練習1

　　師：組織學生自評練習（同桌討論）

　　(Ⅳ)課時小結

　　師：本節(jié)主要內容為：①等差數(shù)列定義。

　　即(n≥2)

　　②等差數(shù)列通項公式 (n≥1)

　　推導出公式：

　　(V)課后作業(yè)

　　一、課本P118習題3.2 1，2

　　二、1.預習內容：課本P116例2P117例4

　　2、預習提綱：

　　①如何應用等差數(shù)列的定義及通項公式解決一些相關問題？

　�、诘炔顢�(shù)列有哪些性質？

高中數(shù)學教案模板13

　　一、教學目標

　　1、知識與能力目標

　　①使學生理解數(shù)列極限的概念和描述性定義。

　�、谑箤W生會判斷一些簡單數(shù)列的極限，了解數(shù)列極限的“e—N"定義，能利用逐步分析的方法證明一些數(shù)列的極限。

　　③通過觀察運動和變化的過程，歸納總結數(shù)列與其極限的特定關系，提高學生的數(shù)學概括能力和抽象思維能力。

　　2、過程與方法目標

　　培養(yǎng)學生的極限的思想方法和獨立學習的能力。

　　3、情感、態(tài)度、價值觀目標

　　使學生初步認識有限與無限、近似與精確、量變與質變的辯證關系，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點。

　　二、教學重點和難點

　　教學重點：數(shù)列極限的概念和定義。

　　教學難點：數(shù)列極限的“ε―N”定義的理解。

　　三、教學對象分析

　　這節(jié)課是數(shù)列極限的第一節(jié)課，足學生學習極限的入門課，對于學生來說是一個全新的內容，學生的思維正處于由經驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡階段，在《立體幾何》內容求球的表面積和體積時對極限思想已有接觸，而學生在以往的數(shù)學學習中主要接觸的是關于“有限”的問題，很少涉及“無限”的問題。極限這一抽象概念能夠使他們做基于直觀的理解，并引導他們作出描述性定義“當n無限增大時，數(shù)列｛an｝中的項an無限趨近于常數(shù)A，也就是an與A的差的絕對值無限趨近于0”，并能用這個定義判斷一些簡單數(shù)列的極限。但要使他們在一節(jié)課內掌握“ε—N”語言求極限要求過高。因此不宜講得太難，能夠通過具體的幾個例子，歸納研究一些簡單的數(shù)列的極限。使學生理解極限的基本概念，認識什么叫做數(shù)列的極限以及數(shù)列極限的定義即可。

　　四、教學策略及教法設計

　　本課是采用啟發(fā)式講授教學法，通過多媒體課件演示及學生討論的方法進行教學。通過學生比較熟悉的一個實際問題入手，引起學生的注意，激發(fā)學生的學習興趣。然后通過具體的兩個比較簡單的數(shù)列，運用多媒體課件演示向學生展示了數(shù)列中的各項隨著項數(shù)的增大，無限地趨向于某個常數(shù)的過程，讓學生在觀察的基礎上討論總結出這兩個數(shù)列的特征，從而得出數(shù)列極限的一個描述性定義。再在教師的引導下分析數(shù)列極限的各種不同情況。從而對數(shù)列極限有了直觀上的認識，接著讓學生根據數(shù)列中各項的情況判斷一些簡單的數(shù)列的極限。從而達到深化定義的效果。最后進行練習鞏固，通過這樣的.一個完整的教學過程，由觀察到分析、由定量到定性，由直觀到抽象，并借助于多媒體課件的演示，使得學生逐步地了解極限這個新的概念，為下節(jié)課的極限的運算及應用做準備，為以后學習高等數(shù)學知識打下基礎。在整個教學過程中注意突出重點，突破難點，達到教學目標的要求。

　　五、教學過程

　　1、創(chuàng)設情境

　　課件展示創(chuàng)設情境動畫。

　　今天我們將要學習一個很重要的新的知識。

　　情境

　�。�1）我國古代數(shù)學家劉徽于公元263年創(chuàng)立“割圓術”，“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣”。

　　情境

　　（2）我國古代哲學家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。也就是說拿一根木棒，將它切成一半，拿其中一半來再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之？如此下去，無限次地切，每次都切一半，問是否會切完？

　　大家都知道，這是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原來的少了一半，也就是說木棒的長度越來越短，但永遠不會變成零。從而引出極限的概念。

　　2、定義探究

　　展示定義探索（一）動畫演示。

　　問題1：請觀察以下無窮數(shù)列，當n無限增大時，a，I的變化趨勢有什么特點？

　�。�1）1/2，2/3，3/4，n/n—1

　�。�2）0.9，0.99，0.999，0.9999，1—1/10n

　　問題2：觀察課件演示，請分析以上兩個數(shù)列隨項數(shù)n的增大項有那些特點？

　　師生一起歸納總結出以下結論：數(shù)列（1）項數(shù)n無限增大時，項無限趨近于1；數(shù)列（2）項數(shù)n無限增大時，項無限趨近于1。

　　那么就把1叫數(shù)列（1）的極限，1叫數(shù)列（2）的極限。這兩個數(shù)列只是形式不同，它們都是隨項數(shù)n的無限增大，項無限趨近于某一確定常數(shù)，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的極限。

　　那么，什么叫數(shù)列的極限呢？對于無窮數(shù)列an，如果當n無限增大時，an無限趨向于某一個常數(shù)A，則稱A是數(shù)列an的極限。

　　提出問題3：怎樣用數(shù)學語言來定量描述呢？怎樣用數(shù)學語言來描述上述數(shù)列的變化趨勢？

　　展示定義探索（二）動畫演示。

　　師生共同總結發(fā)現(xiàn)在數(shù)軸上兩點間距離越小，項與1越趨近，因此可以借助兩點間距離無限小的方式來描述項無限趨近常數(shù)。無論預先指定多么小的正數(shù)e，如取e=O—1，總能在數(shù)列中找到一項am，使得an項后面的所有項與1的差的絕對值都小于ε，若取￡=0.0001，則第6項后面的所有項與1的差的絕對值都小于ε，即1是數(shù)列（1）的極限。最后，師生共同總結出數(shù)列的極限定義中應包含哪量（用這些量來描述數(shù)列1的極限）。

　　數(shù)列的極限為：對于任意的ε>0，如果總存在自然數(shù)N，當n>N時，不等式｜an—A｜n的極限。

　　課件可以實現(xiàn)任意輸入一個n值，可以計算出相應的數(shù)列第n項的值，并且動畫演示數(shù)列的變化過程。如圖1所示是課件運行時的一個畫面。

　　定義探索動畫（二）課件可以實現(xiàn)任意輸入一個n值，可以計算出相應的數(shù)列第n項的值和Ian一1I的值，并且動畫演示出第an項和1之間的距離。如圖2所示是課件運行時的一個畫面。

　　3、知識應用

　　這里舉了3道例題，與學生一塊思考，一起分析作答。

　　例1、已知數(shù)列：

　　1，—1/2，1/3，—1/4，1/5，（—1）n+11/n，（1）計算an—0（2）第幾項后面的所有項與0的差的絕對值都小于0.017都小于任意指定的正數(shù)。

　�。�3）確定這個數(shù)列的極限。

　　例2、已知數(shù)列：

　　已知數(shù)列：3/2，9/4，15/8，2+（—1/2）n。

　　猜測這個數(shù)列有無極限，如果有，應該是什么數(shù)？并求出從第幾項開始，各項與這個極限的差都小于0.1，從第幾項開始，各項與這個極限的差都小于0.017

　　例3、求常數(shù)數(shù)列一7，一7，一7，一7，的極限。

　　4、知識小結

　　這節(jié)課我們研究了數(shù)列極限的概念，對數(shù)列極限有了初步的認識。數(shù)列極限研究的是無限變化的趨勢，而通過對數(shù)列極限定義的探討，我們看到這一過程又是通過有限來把握的，有限與無限、近似與精確、量變與質變之間的辯證關系在這里得到了充分的體現(xiàn)。

　　課后練習：

　�。�1）判斷下列數(shù)列是否有極限，如果有的話請求出它的極限值。①an=4n+l/n；②an=4—（1/3）m；③an=（—1）n/3n；④aan=—2；⑤an=n；⑥an=（—1）n。

　　（2）課本練習1，2。

　　5、探究性問題

　　設計研究性學習的思考題。

　　提出問題：

　　芝諾悖論：阿基里斯是《荷馬史詩》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永遠也無法超過在他前面慢慢爬行的烏龜，因為當阿基里斯到達烏龜?shù)钠鹋茳c時，烏龜已經走在前面一小段路了，阿基里斯又必須趕過這一小段路，而烏龜又向前走了。這樣，阿基里斯可無限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是烏龜速度的10倍，阿基里斯與烏龜賽跑的路程是1公里。如果讓烏龜先跑0.1公里，當阿基里斯追到O。1公里的地方，烏龜又向前跑了0.01公里。當阿基里斯追到0.01公里的地方，烏龜又向前跑了0.001公里這樣一直追下去，阿基里斯能追上烏龜嗎？

　　這里是研究性學習內容，以學生感興趣的悖論作為課后作業(yè)，鞏固本節(jié)所學內容，進一步提高了學生學習數(shù)列的極限的興趣。同時也為學生創(chuàng)設了課下交流與討論的情境，逐步培養(yǎng)學生相互合作、交流和討論的習慣，使學生感受到了數(shù)學來源于生活，又服務于生活的實質，逐步養(yǎng)成用數(shù)學的知識去解決生活中遇到的實際問題的習慣。

高中數(shù)學教案模板14

　　教學準備

　　教學目標

　　數(shù)列求和的綜合應用

　　教學重難點

　　數(shù)列求和的綜合應用

　　教學過程

　　典例分析

　　3、數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-7n-8,（1）求{an}的通項公式

　�。�2）求{|an|}的前n項和Tn

　　4、等差數(shù)列{an}的公差為，S100=145，則a1+a3+a5+…+a99=

　　5、已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則|m-n|=

　　6、數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2,a1+a2+a3=12

　　（1）求{an}的通項公式

　�。�2）令bn=anxn,求數(shù)列{bn}前n項和公式

　　7、四數(shù)中前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項之和為21，中間兩項之和為18，求此四個數(shù)

　　8、在等差數(shù)列{an}中，a1=20，前n項和為Sn，且S10=S15，求當n為何值時，Sn有最大值，并求出它的最大值

　　。已知數(shù)列{an}，an∈N，Sn=(an+2)2

　�。�1）求證{an}是等差數(shù)列

　�。�2）若bn=an-30,求數(shù)列{bn}前n項的最小值

　　0、已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N)

　�。�1）設f(x)的圖象的頂點的橫坐標構成數(shù)列{an}，求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列

　　(2設f(x)的圖象的頂點到x軸的距離構成數(shù)列{dn}，求數(shù)列{dn}的前n項和sn.

　　11、購買一件售價為5000元的商品，采用分期付款的辦法，每期付款數(shù)相同，購買后1個月第1次付款，再過1個月第2次付款，如此下去，共付款5次后還清，如果按月利率0.8%，每月利息按復利計算（上月利息要計入下月本金），那么每期應付款多少？（精確到1元）

　　12、某商品在最近100天內的價格f(t)與時間t的.

　　函數(shù)關系式是f(t)=銷售量g(t)與時間t的函數(shù)關系是g(t)=-t/3+109/3(0≤t≤100)

　　求這種商品的日銷售額的最大值

　　注：對于分段函數(shù)型的應用題，應注意對變量x的取值區(qū)間的討論；求函數(shù)的最大值，應分別求出函數(shù)在各段中的最大值，通過比較，確定最大值

高中數(shù)學教案模板15

　　【教學目標】

　　1、知識與技能

　�。�1）理解等差數(shù)列的定義，會應用定義判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列：

　�。�2）賬務等差數(shù)列的通項公式及其推導過程：

　�。�3）會應用等差數(shù)列通項公式解決簡單問題。

　　2、過程與方法

　　在定義的理解和通項公式的推導、應用過程中，培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認知規(guī)律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數(shù)與方程的思想。

　　3、情感、態(tài)度與價值觀

　　通過教師指導下學生的自主學習、相互交流和探索活動，培養(yǎng)學生主動探索、用于發(fā)現(xiàn)的求知精神，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中，使學生養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結的良好習慣。

　　【教學重點】

　�、俚炔顢�(shù)列的概念；

　�、诘炔顢�(shù)列的通項公式

　　【教學難點】

　�、倮斫獾炔顢�(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義；

　�、诘炔顢�(shù)列的通項公式的推導過程。

　　【學情分析】

　　我所教學的學生是我校高一(7)班的學生（平行班學生），經過一年的高中數(shù)學學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎較弱，學習數(shù)學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。

　　【設計思路】

　　1、教法

　　①啟發(fā)引導法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。

　�、诜纸M討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調動學生的積極性。

　　③講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。

　　2、學法

　　引導學生首先從三個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點，推導出等差數(shù)列的通項公式；可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。

　　【教學過程】

　　一、創(chuàng)設情境，引入新課

　　1、從0開始，將5的倍數(shù)按從小到大的順序排列，得到的數(shù)列是什么？

　　2、水庫管理人員為了保證優(yōu)質魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚。如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位（單位：m）組成一個什么數(shù)列？

　　3、我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×存期）。按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內各年末的本利和（單位：元）組成一個什么數(shù)列？

　　教師：以上三個問題中的數(shù)蘊涵著三列數(shù)。

　　學生：

　�、�0，5，10，15，20，25，…。

　�、�18，15.5，13，10.5，8，5.5.

　�、�10072，10144，10216，10288，10360.

　　(設置意圖：從實例引入，實質是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實背景，目的是讓學生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)學模型。通過分析，由特殊到一般，激發(fā)學生學習探究知識的自主性，培養(yǎng)學生的歸納能力。

　　二、觀察歸納，形成定義

　�、�0，5，10，15，20，25，…。

　�、�18，15.5，13，10.5，8，5.5.

　�、�10072，10144，10216，10288，10360.

　　思考1上述數(shù)列有什么共同特點？

　　思考2根據上數(shù)列的共同特點，你能給出等差數(shù)列的一般定義嗎？

　　思考3你能將上述的文字語言轉換成數(shù)學符號語言嗎？

　　教師：引導學生思考這三列數(shù)具有的共同特征，然后讓學生抓住數(shù)列的特征，歸納得出等差數(shù)列概念。

　　學生：分組討論，可能會有不同的答案：前數(shù)和后數(shù)的差符合一定規(guī)律；這些數(shù)都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定。

　　教師引導歸納出：等差數(shù)列的定義；另外，教師引導學生從數(shù)學符號角度理解等差數(shù)列的定義。

　　（設計意圖：通過對一定數(shù)量感性材料的.觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性；使學生體會到等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點；一開始抓�。骸皬牡诙�項起，每一項與它的前一項的差為同一常數(shù)”，落實對等差數(shù)列概念的準確表達。）

　　三、舉一反三，鞏固定義

　　1、判定下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，指出公差d.

　　(1)1,1,1,1,1;

　　(2)1,0,1,0,1;

　　(3)2,1,0,-1,-2;

　　(4)4,7,10,13,16.

　　教師出示題目，學生思考回答。教師訂正并強調求公差應注意的問題。

　　注意：公差d是每一項（第2項起）與它的前一項的差，防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒，而且公差可以是正數(shù)，負數(shù)，也可以為0.

　�。ㄔO計意圖：強化學生對等差數(shù)列“等差”特征的理解和應用）。

　　2、思考4:設數(shù)列{an}的通項公式為an=3n+1，該數(shù)列是等差數(shù)列嗎？為什么？

　�。ㄔO計意圖：強化等差數(shù)列的證明定義法）

　　四、利用定義，導出通項

　　1、已知等差數(shù)列：8，5，2，…，求第200項？

　　2、已知一個等差數(shù)列{an｝的首項是a1，公差是d，如何求出它的任意項an呢？

　　教師出示問題，放手讓學生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示。根據學生在課堂上的具體情況進行具體評價、引導，總結推導方法，體會歸納思想以及累加求通項的方法；讓學生初步嘗試處理數(shù)列問題的常用方法。

　�。ㄔO計意圖：引導學生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學生合理的推理能力。學生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點評，并及時肯定、贊揚學生善于動腦、勇于創(chuàng)新的品質，激發(fā)學生的創(chuàng)造意識。鼓勵學生自主解答，培養(yǎng)學生運算能力）

　　五、應用通項，解決問題

　　1、判斷100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項？如果是，是第幾項？

　　2、在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

　　3、求等差數(shù)列3,7,11，…的第4項和第10項

　　教師：給出問題，讓學生自己操練，教師巡視學生答題情況。

　　學生：教師叫學生代表總結此類題型的解題思路，教師補充：已知等差數(shù)列的首項和公差就可以求出其通項公式

　�。ㄔO計意圖：主要是熟悉公式，使學生從中體會公式與方程之間的聯(lián)系。初步認識“基本量法”求解等差數(shù)列問題。）

　　七、歸納總結：

　　1、一個定義：

　　等差數(shù)列的定義及定義表達式

　　2、一個公式：

　　等差數(shù)列的通項公式

　　3、二個應用：

　　定義和通項公式的應用

　　教師：讓學生思考整理，找?guī)讉�代表發(fā)言，最后教師給出補充

　　（設計意圖：引導學生去聯(lián)想本節(jié)課所涉及到的各個方面，溝通它們之間的聯(lián)系，使學生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念，并靈活運用基本概念。）

　　【設計反思】

　　本設計從生活中的數(shù)列模型導入，有助于發(fā)揮學生學習的主動性，增強學生學習數(shù)列的興趣。在探索的過程中，學生通過分析、觀察，歸納出等差數(shù)列定義，然后由定義導出通項公式，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力。本節(jié)課教學采用啟發(fā)方法，以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率。

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