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正定名校高二上學期數(shù)學期末考試題及答案
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一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.
1. 已知集合 ，則 ( )
A. B. C. D.
2.復數(shù) ( )
A. B. C. D.
3.拋物線 的焦點到準線的距離為( )
A. B. C. D.
4. ( )
A. B. C.0 D.
5.曲線 在 處的切線平行于直線 ，則 點坐標為( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知函數(shù) ，若將函數(shù) 的圖像向左平移 個單位后所得圖像對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù) ( )
A. B. C. D.
7.已知 是不等式組 表示的平面區(qū)域內的一點， ，O為坐標原點，則 的最大值( )
A. B. C. D.
8.分配 名水暖工去 個不同的居民家里檢查暖氣管道. 要求 名水暖工都分配出去，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
9. 已知 展開式中各項系數(shù)和為625，則展開式中含 項的系數(shù)為( )
A. B. C. D.
10. 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A. B.
C. D.
11.已知雙曲線 的左、右焦點分別為 ， ，過 的直線與雙曲線 的右支相交于 兩點，若 ，且 ，則雙曲線的離心率 ( )
A. B. C. D.
12.已知數(shù)列 滿足： ，則 ( )
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.
13.在正項等比數(shù)列 中，前 項和為 ___________.
14.設向量 與 的夾角為 ,且 ,則 ___________.
15.在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施 個程序，其中程序 只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序 和 在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有 ___________種(用數(shù)字作答).
16.已知函數(shù) 的導函數(shù)為 ，若使得 成立的 ，則實數(shù) 的取值范圍為___________.
三、解答題: (本大題共6小題，共70分.)
17.(本題滿分10分)等差數(shù)列 中,
(1)求 的通項公式;
(2)設
18.(本題滿分12分)在 中，已知角 、 、 的對邊分別為 ，且 。
(1)求 的大小;
(2)若 ，試判斷 的形狀.
19.(本題滿分12分)某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取 名學生，將其數(shù)學成績(均為整數(shù))分成六組 ， ，…， 后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：
(1)求分數(shù)在 內的頻率;
(2)估計本次考試的平均分;
(3)用分層抽樣的方法在分數(shù)段為 的學生中抽取一個容量為 的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取 人，求至多有 人在分數(shù)段 內的概率.
20.(本題滿分12分)如圖：四棱錐 中，底面 是平行四邊形， ，平面 平面 ， ， , 分別為線段 和 的中點.
(1) 求證： 平面 ;
(2)在線段 上是否存在一點 ，使得平面 和平面 所成二面角的大小為 ?若存在，試確定 的位置;若不存在，請說明理由.
21. (本題滿分12分)已知兩點 ，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為 .
(1)求點M的軌跡方程;
(2)記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，過點P且斜率互為相反數(shù)的兩條直線分別交曲線C于Q、R，求△OQR的面積的最大值(其中點O為坐標原點).
22.(本題滿分12分)
設 為實數(shù)，函數(shù)
(1)當 時，求 在 上的最大值;
(2)設函數(shù) ，當 有兩個極值點 時，總有 ，求實數(shù) 的值.
答案
一BACCC DDCAA DB
二13. 14. 15. 96 16.
三17.解(Ⅰ)設等差數(shù)列 的公差為d,則
因為 ,所以 .
解得, .
所以 的通項公式為 .
(Ⅱ) ,
所以 .
18.解：(1)
(2)
又
又 是等邊三角形
19.解：(1)分數(shù)在[120，130)內的頻率為
1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3.
(2)估計平均分為
=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.
(3)由題意，[110，120)分數(shù)段的人數(shù)為60×0.15=9(人).
在[120，130)分數(shù)段的人數(shù)為60×0.3=18(人).
∵用分層抽樣的方法在分數(shù)段為[110，130)的學生中抽取一個容量為6的樣本，∴需在[110，120)分數(shù)段內抽取2人，并分別記為m，n;
在[120，130)分數(shù)段內抽取4人，并分別記為a，b，c，d;設“從樣本中任取2人，至多有1人在分數(shù)段[120，130)內”為事件A，則基本事件共有{m，n}，{m，a}，…，{m，d}，{n，a}，…，{n，d}，{a，b}，…，{c，d}，共15個.
則事件A包含的基本事件有{m，n}，{m，a}，{m，b}，{m，c}，{m，d}，{n，a}，{n，b}，{n，c}，{n，d}，共9個.
∴P(A)= = .
20.(1)取PA中點為H，連結CE、HE、FH，
因為H、E分別為PA、PD的中點，所以HE∥AD, ,
因為ABCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點
所以FC∥AD,
所以HE∥FC, 四邊形FCEH是平行四邊形 所以EC∥HF
又因為
所以CE∥平面PAF ……………4分
(2)因為四邊形ABCD為平行四邊形且∠ACB=90°，
所以CA⊥AD 又由平面PAD⊥平面ABCD可得
CA⊥平面PAD 所以CA⊥PA
由PA=AD=1，PD= 可知，PA⊥AD…………5分
所以可建立如圖所示的平面直角坐標系A-xyz
因為PA=BC=1，AB= 所以AC=1
所以
假設BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC
所成二面角的大小為60°，
設點G的坐標為(1，a，0)，
所以
設平面PAG的法向量為
則 令
所以
又
設平面PCG的法向量為
則 令 所以
因為平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，所以
所以 又 所以
所以線段BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°點G即為B點.
21.解：(1)設點 ，
整理得點M所在的曲線C的方程： ( )
(2)由題意可得點P( )
直線PQ與直線PR的斜率互為相反數(shù)
設直線PQ的方程為 ，
與橢圓方程聯(lián)立消去 ，得：
，
由于 1是方程的一個解，
所以方程的另一解為 同理
故直線RQ的斜率為 =
把直線RQ的方程 代入橢圓方程，消去 整理得
所以
原點O到直線RQ的距離為
.
22.(1)當 時， ，
則 ，
∴當 時， ，這時 單調遞增，
當 時， ，這時 單調遞減，
∴ 在 的極大值是 .
(2)由題意可知 ，則 .
根據(jù)題意，方程 有兩個不同的實根 ，
∴ ，即 ，且 .
由 ，其中 ，
可得 ，
注意到 ，
∴上式化為 ，
即不等式 對任意的 恒成立，
(i)當 時，不等式 恒成立， ;
(ii)當 時， 恒成立，即 ，
令函數(shù) ，顯然， 是 上的減函數(shù)，
∴當 時， ，∴ ，
(iii)當 時， 恒成立，即 ，
由(ii)，當 時， 即 ，
綜上所述， .
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