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2017九年級數(shù)學(xué)上第一次月考模擬試卷
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)
1.下列函數(shù)表達式中，一定為二次函數(shù)的是( )
A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.y=2t2+1 D.y=x2+
2.在下列二次函數(shù)中，其圖象對稱軸為x=﹣2的是( )
A.y=(x+2)2 B.y=2x2﹣2 C.y=﹣2x2﹣2 D.y=2(x﹣2)2
3.二次函數(shù)y=(x﹣1)2+2的最小值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1
4.將拋物線y=(x﹣2)2+2向左平移2個單位，再向下平移3個單位后，拋物線的解析式為( )
A.y=x2+3 B.y=x2﹣1 C.y=x2﹣3 D.y=(x+2)2﹣3
5.已知拋物線y=x2﹣x﹣2與x軸的一個交點為(m，0)，則代數(shù)式m2﹣m+2012的值為( )
A.2012 B.2013 C.2014 D.2015
6.若拋物線y=(x﹣a)2+(a﹣1)的頂點在第一象限，則a的取值范圍為( )
A.a>1 B.a>0 C.a>﹣1 D.﹣1
7.軍事演習(xí)時發(fā)射一顆炮彈，經(jīng)xs后炮彈的高度為ym，且時間x(s)與高度y(m)之間的函數(shù)關(guān)系為y=ax2+bx(a≠0)，若炮彈在第8s與第14s時的高度相等，則在下列哪一個時間的高度是最高的( )
A.第9s B.第11s C.第13s D.第15s
8.已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+3，當(dāng)x≥2時，y的取值范圍是( )
A.y≥3 B.y≤3 C.y>3 D.y<3
9.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，點C在y軸的正半軸上，且OA=OC，則( )
A.ac+1=b B.ab+1=c C.bc+1=a D.以上都不是
10.一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標系中的圖象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，滿分16分)
11.如圖所示，在同一平面直角坐標系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣ ，③y=﹣x2的圖象，則從里到外的三條拋物線對應(yīng)的函數(shù)依次是 (填序號)
12.已知二次函數(shù)y=﹣x2+4x﹣2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，則△ABC的面積為 .
13.教練對小明推鉛球的錄像進行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進高度y(m)與水平距離x(m)之間的關(guān)系為y=﹣ (x﹣4)2+3，由此可知鉛球推出的距離是 m.
14.二次函數(shù)y=x2+x+c的圖象與x軸有兩個交點A(x1，0)、B(x2，0)，且x1x2時，n>0;③當(dāng)n<0時，x10時，x
三、本大題共2小題，每小題8分，共16分
15.用配方法或公式法求二次函數(shù) 的對稱軸、頂點坐標和最值.
16.已知當(dāng)x=1時，二次函數(shù)有最大值5，且圖象過點(0，﹣3)，求此函數(shù)關(guān)系式.
四、本大題共2小題，每小題8分，共16分
17.已知拋物線y=﹣ + 與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，若點D是AB的中點，求CD的長.
18.如圖是一座拋物線拱形橋，在正常水位時，水面AB寬是20m，水位上升3m就達到警戒線CD，這是水面寬度為10m，請構(gòu)建適當(dāng)?shù)乃街苯亲鴺讼登髵佄锞�所對應(yīng)的函數(shù)表達式，并求水位到達警戒線時拱頂與水面之間的距離.
五、本大題共2小題，每小題12分，共20分
19.如圖，O，B，C三點均在二次函數(shù)y= 的圖象上，點O為坐標原點，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA=120°，試求菱形OBAC的面積.
20.已知拋物線yn=﹣(x﹣an)2+an(n為正整數(shù)，且0
(1)求a1，b1的值及拋物線y2的解析式;
(2)拋物線y3的頂點坐標為( ， );依此類推第n條拋物線yn的頂點坐標為( ， );所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關(guān)系是 .
六、本題滿分12分
21.已知二次函數(shù)y=ax2+b的圖象與直線y=x+2相交于點A(1，m)和點B(n，0).
(1)試確定二次函數(shù)的解析式;
(2)在給出的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)圖象的草圖，并結(jié)合圖象直接寫出ax2+b>x+2時x的取值范圍.
七、本題，滿分12分
22.超市市場部整理出銷售某品牌新款童裝的銷售量與銷售單價的相關(guān)信息如下：
已知該童裝的進價為每件60元，設(shè)銷售單價為x元，銷售單價不低于進價，且獲利不得高于45%，設(shè)銷售該款童裝的利潤為W元.
(1)求利潤W與銷售單價x之間的關(guān)系式，并求銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元?
(2)若超市銷售該款童裝獲得的利潤不低于500元，試確定銷售單價x的范圍.
八、本題滿分14分
23.如圖，將一塊三角板放在平面直角坐標系中，已知∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點A的坐標為(2，0).
(1)求點B的坐標;
(2)若二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過A，B，O三點，試確定此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括點O，B)上，是否存在一點C，使得△OBC的面積最大?若存在，求出這個最大值及此時點C的坐標;若不存在，請說明理由.
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)
1.下列函數(shù)表達式中，一定為二次函數(shù)的是( )
A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.y=2t2+1 D.y=x2+
【考點】二次函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)進行分析.
【解答】解：A、是一次函數(shù)，故此選項錯誤;
B、當(dāng)a≠0時，是二次函數(shù)，故此選項錯誤;
C、是二次函數(shù)，故此選項正確;
D、含有分式，不是二次函數(shù)，故此選項錯誤;
故選：C.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件.
2.在下列二次函數(shù)中，其圖象對稱軸為x=﹣2的是( )
A.y=(x+2)2 B.y=2x2﹣2 C.y=﹣2x2﹣2 D.y=2(x﹣2)2
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出各個函數(shù)的對稱軸，選出正確的選項.
【解答】解：y=(x+2)2的對稱軸為x=﹣2，A正確;
y=2x2﹣2的對稱軸為x=0，B錯誤;
y=﹣2x2﹣2的對稱軸為x=0，C錯誤;
y=2(x﹣2)2的對稱軸為x=2，D錯誤.
故選：A.
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求出二次函數(shù)圖象的對稱軸是解題的關(guān)鍵.
3.二次函數(shù)y=(x﹣1)2+2的最小值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1
【考點】二次函數(shù)的最值.
【分析】考查對二次函數(shù)頂點式的理解.拋物線y=(x﹣1)2+2開口向上，有最小值，頂點坐標為(1，2)，頂點的縱坐標2即為函數(shù)的最小值.
【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x=1時，二次函數(shù)y=(x﹣1)2+2的最小值是2.
故選：B.
【點評】求二次函數(shù)的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法.
4.將拋物線y=(x﹣2)2+2向左平移2個單位，再向下平移3個單位后，拋物線的解析式為( )
A.y=x2+3 B.y=x2﹣1 C.y=x2﹣3 D.y=(x+2)2﹣3
【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=(x﹣2)2+2的頂點坐標為(2，2)，再利用點平移的規(guī)律得到點(2，2)平移后所得對應(yīng)點的坐標為(0，﹣1)，然后利用頂點式寫出平移后拋物線的解析式.
【解答】解：拋物線y=(x﹣2)2+2的頂點坐標為(2，2)，把點(2，2)先向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度所得對應(yīng)點的坐標為(0，﹣1)，所以所得到的拋物線的解析式為y=x2﹣1.
故答案為y=x2﹣1.
故選B.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式.
5.已知拋物線y=x2﹣x﹣2與x軸的一個交點為(m，0)，則代數(shù)式m2﹣m+2012的值為( )
A.2012 B.2013 C.2014 D.2015
【考點】拋物線與x軸的交點.
【分析】把點(m，0)代入拋物線解析式求出m2﹣m，再代入代數(shù)式計算即可得解.
【解答】解：∵拋物線y=x2﹣x﹣2與x軸的一個交點為(m，0)，
∴m2﹣m﹣2=0，
解得m2﹣m=2，
∴m2﹣m+2012=2+2012=2014.
故選：C.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)函數(shù)圖象上點的坐標滿足函數(shù)解析式求出m2﹣m的值是解題的關(guān)鍵.
6.若拋物線y=(x﹣a)2+(a﹣1)的頂點在第一象限，則a的取值范圍為( )
A.a>1 B.a>0 C.a>﹣1 D.﹣1
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】求得拋物線y=(x﹣a)2+(a﹣1)的頂點在第一象限，即可得出a的取值范圍.
【解答】解：∵物線y=(x﹣a)2+(a﹣1)的頂點在第一象限，
∴ ，
∴a的取值范圍為a>1，
故選A.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握拋物線的頂點坐標的求法是解題的關(guān)鍵.
7.軍事演習(xí)時發(fā)射一顆炮彈，經(jīng)xs后炮彈的高度為ym，且時間x(s)與高度y(m)之間的函數(shù)關(guān)系為y=ax2+bx(a≠0)，若炮彈在第8s與第14s時的高度相等，則在下列哪一個時間的高度是最高的( )
A.第9s B.第11s C.第13s D.第15s
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】由于炮彈在第8s與第14s時的高度相等，即x取8和14時y的值相等，根據(jù)拋物線的對稱性可得到拋物線y=ax2+bx的對稱軸為直線x=8+ =11，然后根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題求解.
【解答】解：∵x取6和14時y的值相等，
∴拋物線y=ax2+bx的對稱軸為直線x=8+ =11，
即炮彈達到最大高度的時間是11s.
故選：B.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：先通過題意確定出二次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題;實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍.
8.已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+3，當(dāng)x≥2時，y的取值范圍是( )
A.y≥3 B.y≤3 C.y>3 D.y<3
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】先求出x=2時y的值，再求頂點坐標，根據(jù)函數(shù)的增減性得出即可.
【解答】解：當(dāng)x=2時，y=﹣4+4+3=3，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
∴當(dāng)x>1時，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x≥2時，y的取值范圍是y≤3，
故選B.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，能理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
9.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，點C在y軸的正半軸上，且OA=OC，則( )
A.ac+1=b B.ab+1=c C.bc+1=a D.以上都不是
【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【專題】數(shù)形結(jié)合.
【分析】根據(jù)圖象易得C(0，c)且c>0，再利用OA=OC可得A(﹣c，0)，然后把A(﹣c，0)代入y=ax2+bx+c即可得到a、b、c的關(guān)系式.
【解答】解：當(dāng)x=0時，y=ax2+bx+c=c，則C(0，c)(c>0)，
∵OA=OC，
∴A(﹣c，0)，
∴a(﹣c)2+b(﹣c)+c=0，
∴ac﹣b+1=0，
即ac+1=b.
故選A.
【點評】本題考查了二次項系數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a>0時，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時，拋物線向下開口;一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右.;拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.
10.一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標系中的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】二次函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷a、b的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正誤.
【解答】解：A、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得：a>0，此時二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開口向上，錯誤;
B、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得：a>0，b>0，此時二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開口向上，對稱軸x=﹣ <0，錯誤;
C、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得：a<0，b<0，此時二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開口向下，對稱軸x=﹣ <0，正確.
D、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得：a<0，b<0，此時二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開口向下，錯誤;
故選C.
【點評】應(yīng)該熟記一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標等.
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，滿分16分)
11.如圖所示，在同一平面直角坐標系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣ ，③y=﹣x2的圖象，則從里到外的三條拋物線對應(yīng)的函數(shù)依次是�、佗邰凇�(填序號)
【考點】二次函數(shù)的圖象.
【分析】拋物線的形狀與|a|有關(guān)，根據(jù)|a|的大小即可確定拋物線的開口的寬窄.
【解答】解：①y=﹣3x2，
②y=﹣ x2，
�、踶=﹣x2中，二次項系數(shù)a分別為﹣3、﹣ 、﹣1，
∵|﹣3|>|﹣1|>|﹣ ，
∴拋物線②y=﹣ x2的開口最寬，拋物線①y=﹣3x2的開口最窄.
故答案為：①③②.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象，拋物線的開口大小由|a|決定，|a|越大，拋物線的開口越窄;|a|越小，拋物線的開口越寬.
12.已知二次函數(shù)y=﹣x2+4x﹣2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，則△ABC的面積為 2 .
【考點】拋物線與x軸的交點.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點問題，通過解方程﹣x2+4x﹣2=0得到A(2﹣ ，0)，B(2+ ，0)，再計算自變量為0時的函數(shù)值得到C點坐標，然后根據(jù)三角形面積公式計算.
【解答】解：當(dāng)y=0時，﹣x2+4x﹣2=0，解得x1=2+ ，x2=2﹣ ，則A(2﹣ ，0)，B(2+ ，0)，所以AB=2+ ﹣(2﹣ )=2 ，
當(dāng)x=0時，y=﹣x2+4x﹣2=﹣2，則C(0，﹣2)，
所以△ABC的面積= ×2 ×2=2 .
故答案2 .
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.
13.教練對小明推鉛球的錄像進行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進高度y(m)與水平距離x(m)之間的關(guān)系為y=﹣ (x﹣4)2+3，由此可知鉛球推出的距離是 10 m.
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)鉛球落地時，高度y=0，把實際問題可理解為當(dāng)y=0時，求x的值即可.
【解答】解：令函數(shù)式y(tǒng)=﹣ (x﹣4)2+3中，y=0，
0=﹣ (x﹣4)2+3，
解得x1=10，x2=﹣2(舍去)，
即鉛球推出的距離是10m.
故答案為：10.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用中函數(shù)式中自變量與函數(shù)表達的實際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵.
14.二次函數(shù)y=x2+x+c的圖象與x軸有兩個交點A(x1，0)、B(x2，0)，且x1x2時，n>0;③當(dāng)n<0時，x10時，x
【考點】拋物線與x軸的交點.
【專題】數(shù)形結(jié)合.
【分析】根據(jù)題意大致畫出二次函數(shù)的圖象，如圖，利用函數(shù)圖象可對①②③④直接判斷;根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對⑤進行判斷.
【解答】解：如圖，當(dāng)點P(m，n)在第四象限內(nèi)的拋物線上時，n<0，而m>0，所以①錯誤;
當(dāng)m>x2時，點P(m，n)在x軸上方，則n>0，所以②正確;
當(dāng)n<0時，點P(m，n)在x軸下方，則x1
當(dāng)n>0時，xx2，所以④錯誤;
拋物線的對稱軸為直線x=﹣ ，所以當(dāng)m 時，n隨著m的增大而減小，所以⑤正確.
故答案為②③⑤.
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).
三、本大題共2小題，每小題8分，共16分
15.用配方法或公式法求二次函數(shù) 的對稱軸、頂點坐標和最值.
【考點】二次函數(shù)的三種形式.
【專題】配方法.
【分析】利用配方法把y=﹣ x2+3x﹣2從一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，直接利用頂點式的特點求解.
【解答】解：y=﹣ x2+3x﹣2=﹣ (x2﹣6x+9)+ ﹣2=﹣ (x﹣3)2+ ，
對稱軸為直線x=3，頂點坐標是(3， )，
當(dāng)x=3時，y有最大值 .
【點評】頂點式可直接的判斷出頂點坐標和對稱軸公式.
16.已知當(dāng)x=1時，二次函數(shù)有最大值5，且圖象過點(0，﹣3)，求此函數(shù)關(guān)系式.
【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
【專題】計算題.
【分析】由于已知拋物線的頂點坐標，則可設(shè)頂點式y(tǒng)=a(x﹣1)2+5，然后把(0，﹣3)代入求出a的值即可.
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x﹣1)2+5，
把(0，﹣3)代入得a(0﹣1)2+5=﹣3，
解得a=﹣8，
所以二次函數(shù)的解析式為y=﹣8(x﹣1)2+5.
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解;當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解;當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解.
四、本大題共2小題，每小題8分，共16分
17.已知拋物線y=﹣ + 與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，若點D是AB的中點，求CD的長.
【考點】拋物線與x軸的交點.
【分析】令y=0，則﹣ x2+ x+6=0，由此得到A、B兩點坐標，由D為AB的中點，求出OD的長，x=0時，y=6，所以O(shè)C=6，根據(jù)勾股定理求出CD即可.
【解答】解：當(dāng)y=0，即﹣ x2+ x+6=0，解得：x1=﹣3，x2=12;
設(shè)A、B兩點坐標分別為(﹣3，0)(12，0)
∵D為AB的中點，
∴D(4.5，0)，
∴OD=4.5，
當(dāng)x=0時，y=6，
∴OC=6，
由勾股定理，得：CD= .
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系和拋物線的對稱性，求出AB中點D的坐標是解決問題的關(guān)鍵.
18.如圖是一座拋物線拱形橋，在正常水位時，水面AB寬是20m，水位上升3m就達到警戒線CD，這是水面寬度為10m，請構(gòu)建適當(dāng)?shù)乃街苯亲鴺讼登髵佄锞�所對應(yīng)的函數(shù)表達式，并求水位到達警戒線時拱頂與水面之間的距離.
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】以拱橋最頂端為原點，建立直角坐標系，根據(jù)題目中所給的數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式即可.
【解答】解：解立如圖所示的平面直角坐標系，
設(shè)拋物線解析式為y=ax2，
因為拋物線關(guān)于y軸對稱，AB=20，所以點B的橫坐標為10，
設(shè)點B(10，n)，點D(5，n+3)，
由題意： ，
解得 ，
∴y=﹣ x2.
∴n+3=﹣1，
∴水位到達警戒線時拱頂與水面之間的距離為1m.
【點評】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?
五、本大題共2小題，每小題12分，共20分
19.如圖，O，B，C三點均在二次函數(shù)y= 的圖象上，點O為坐標原點，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA=120°，試求菱形OBAC的面積.
【考點】菱形的性質(zhì);二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】連接BC交OA于D，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OD= BD，設(shè)BD=t，則OD= t，B(t， t)，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征得 t2= t，解得t1=0(舍去)，t2=1，則BD=1，OD= ，然后根據(jù)菱形性質(zhì)得BC=2BD=2，OA=2OD=2 ，再利用菱形面積公式計算即可.
【解答】解：連接BC交OA于D，如圖，
∵四邊形OBAC為菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠OBA=120°，
∴∠OBD=60°，
∴OD= BD，
設(shè)BD=t，則OD= t，
∴B(t， t)，
把B(t， t)代入y= x2得 t2= t，解得t1=0(舍去)，t2=1，
∴BD=1，OD= ，
∴BC=2BD=2，OA=2OD=2 ，
∴菱形OBAC的面積= ×2×2 =2 .
故答案為2 .
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì);菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角;菱形面積= ab(a、b是兩條對角線的長度).也考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
20.已知拋物線yn=﹣(x﹣an)2+an(n為正整數(shù)，且0
(1)求a1，b1的值及拋物線y2的解析式;
(2)拋物線y3的頂點坐標為( 9 ， 9 );依此類推第n條拋物線yn的頂點坐標為( n2 ， n2 );所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關(guān)系是 y=x .
【考點】拋物線與x軸的交點.
【專題】規(guī)律型.
【分析】(1)先把A0(0，0)代入y1=﹣(x﹣a1)2+a1得﹣a12+a1=0，解得a1=1或0，加上a1>0，則a1=1，于是得到y(tǒng)1=﹣(x﹣1)2+1，再根據(jù)拋物線與x軸的交點問題，通過解方程﹣(x﹣1)2+1=0得到第1條拋物線與x軸的交點為A0(0，0)和A1(2，0)，即b1=2;接著利用y2=﹣(x﹣a2)2+a2與x軸的交點為A1(2，0)和A2(b2，0)，則﹣(2﹣a2)2+a2=0，解得a2=1或4，利用0
(2)用同樣方法得到y(tǒng)3=﹣(x﹣9)2+9，即第3條拋物線的頂點坐標為(9，9)，加上第1條拋物線的頂點坐標為(1，1)，第2條拋物線的頂點坐標為(4，4)，依此規(guī)律可得第n條拋物線yn的頂點坐標為(n2，n2)，然后利用所有拋物線的頂點的橫縱坐標相等，可判斷所有拋物線的頂點在直線y=x上.
【解答】解：(1)把A0(0，0)代入y1=﹣(x﹣a1)2+a1得﹣a12+a1=0，解得a1=1或0，
而a1>0，所以a1=1，所以y1=﹣(x﹣1)2+1，
當(dāng)y1=0，﹣(x﹣1)2+1=0，解得x1=0，x2=2，
∴第1條拋物線與x軸的交點為A0(0，0)和A1(2，0)，
∴b1=2，
∵y2=﹣(x﹣a2)2+a2與x軸的交點為A1(2，0)和A2(b2，0)，
∴﹣(2﹣a2)2+a2=0，解得a2=1或4，
而0
∴a2=4，即A2(4，0)
∴y2=﹣(x﹣4)2+4;
(2)當(dāng)y2=0時，﹣(x﹣4)2+4=0，解得x1=2，x2=6
∵拋物線y3=﹣(x﹣a3)2+a3與x軸的交點為A2(6，0)和A3(b3，0)，
∴﹣(6﹣a3)2+a3=0，解得a3=4或9，
而a2
∴a3=9，
∴y3=﹣(x﹣9)2+9，即第3條拋物線的頂點坐標為(9，9)，
而第1條拋物線的頂點坐標為(1，1)，第2條拋物線的頂點坐標為(4，4)，
∴第n條拋物線yn的頂點坐標為(n2，n2)，
∵所有拋物線的頂點的橫縱坐標相等，
∴所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關(guān)系為y=x.
故答案為9，9，n2，n2.
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和從特殊到一般解決規(guī)律型問題.
六、本題滿分12分
21.已知二次函數(shù)y=ax2+b的圖象與直線y=x+2相交于點A(1，m)和點B(n，0).
(1)試確定二次函數(shù)的解析式;
(2)在給出的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)圖象的草圖，并結(jié)合圖象直接寫出ax2+b>x+2時x的取值范圍.
【考點】二次函數(shù)與不等式(組);待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
【分析】(1)先求出AB兩點的坐標，再代入二次函數(shù)y=ax2+b求出ab的值即可得出其解析式;
(2)在同一坐標系內(nèi)畫出一次函數(shù)及二次函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象可直接得出結(jié)論.
【解答】解：(1)∵直線y=x+2經(jīng)過點A(1，m)和點B(n，0)，
∴m=1+2=3，n+2=0，即n=﹣2，
∴A(1，3)，B(﹣2，0)，
∵二次函數(shù)y=ax2+b的圖象經(jīng)過A(1，3)，B(﹣2，0)，
∴ ，解得 ，
∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+4;
(2)如圖，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)﹣2x+2.
【點評】本題考查的是二次函數(shù)與不等式，能根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集是解答此題的關(guān)鍵.
七、本題，滿分12分
22.超市市場部整理出銷售某品牌新款童裝的銷售量與銷售單價的相關(guān)信息如下：
已知該童裝的進價為每件60元，設(shè)銷售單價為x元，銷售單價不低于進價，且獲利不得高于45%，設(shè)銷售該款童裝的利潤為W元.
(1)求利潤W與銷售單價x之間的關(guān)系式，并求銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元?
(2)若超市銷售該款童裝獲得的利潤不低于500元，試確定銷售單價x的范圍.
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)先利用待定系數(shù)法求出銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=﹣x+120;再根據(jù)總利潤等于每一件的利潤乘以銷售總量得到W=(x﹣60)y，把y=﹣x+120代入得到W=(x﹣60)(﹣x+120)=﹣x2+180x﹣7200(60≤x≤87);然后配成頂點式為W=﹣(x﹣90)2+900，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)x<90時，W隨x的增大而增大，則x=87時，W有最大值，其最大值=﹣(87﹣90)2+900=891;
(2)令W=500，則﹣(x﹣90)2+900=500，解得x1=70，x2=110，而當(dāng)x<90時，W隨x的增大而增大，即可得到當(dāng)銷售單價的范圍為70(元)≤x≤87(元)時，該商場獲得利潤不低于500元.
【解答】解：(1)設(shè)銷售量為y件，由圖象知銷售量y(件)與銷售單價x(元)符合一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)，
根據(jù)題意得，
解得 ，解得 ，
∴y=﹣x+120;
∴W=(x﹣60)y
=(x﹣60)(﹣x+120)
=﹣(x﹣90)2+900，
∵拋物線開口向下，
∴當(dāng)x<90時，W隨x的增大而增大，
又∵60≤x≤60(1+45%)，即60≤x≤87，
∴x=87時，W有最大值，其最大值=﹣(87﹣90)2+900=891，
即銷售單價定為87元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是891元;
(2)令W=500，則﹣(x﹣90)2+900=500，
解得x1=70，x2=110，
∵當(dāng)x<90時，W隨x的增大而增大，
∴要使超市銷售該款童裝獲得的利潤不低于500元，銷售單價應(yīng)在70元到110元之間，而60≤x≤87，
∴銷售單價x的范圍為70≤x≤87.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：先根據(jù)實際問題得到二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)，再得到頂點式y(tǒng)=a(x+ )2+ ，當(dāng)a<0，二次函數(shù)有最大值，即x=﹣ 時，y的最大值為 ，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題.也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)的應(yīng)用.
八、本題滿分14分
23.如圖，將一塊三角板放在平面直角坐標系中，已知∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點A的坐標為(2，0).
(1)求點B的坐標;
(2)若二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過A，B，O三點，試確定此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括點O，B)上，是否存在一點C，使得△OBC的面積最大?若存在，求出這個最大值及此時點C的坐標;若不存在，請說明理由.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)在Rt△OAB中，由∠AOB=30°可以得到OB= ，過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，利用已知條件可以求出OD、BD，也就求出B的坐標;
(2)根據(jù)待定系數(shù)法把A，B，O三點坐標代入函數(shù)解析式中就可以求出解析式;
(3)設(shè)存在點C(x，﹣ x2+ x)，過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，則S△OBC=S△OCF+S△BCF，而|CF|=yC﹣yF=﹣ x2+ x﹣ x=﹣ x2+ x，這樣可以得到S△OBC=﹣ x2+ x，利用二次函數(shù)就可以求出△OBC面積最大值，也可以求出C的坐標.
【解答】解：(1)在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB= ，
過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，
則OD= cos30°= ，BD= BO= ，
∴點B的坐標為( ， );
(2)將A(2，0)、B( ， )、O(0，0)三點的坐標代入y=ax2+bx+c，
得： ，
解方程組得 .
故所求二次函數(shù)解析式是y=﹣ x2+ x;
(3)設(shè)存在點C(x，﹣ x2+ x)(其中0
過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，
則S△OBC=S△OCF+S△BCF= |CF||OE|+ |CF||ED|= |CF||OD|= |CF|，
而|CF|=yC﹣yF=﹣ x2+ x﹣ x=﹣ x2+ x，
∴S△OBC=﹣ x2+ x=﹣ (x﹣ )2+ ，
∴當(dāng)x= 時，△OBC面積最大，最大面積為 .
此時C點坐標為( ， ).
【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值等知識，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.
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