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2015年中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案匯總
2015中考?jí)狠S題突破
訓(xùn)練目標(biāo)
熟悉題型結(jié)構(gòu)，辨識(shí)題目類(lèi)型，調(diào)用解題方法;
書(shū)寫(xiě)框架明晰，踩點(diǎn)得分(完整、快速、簡(jiǎn)潔)。
題型結(jié)構(gòu)及解題方法
壓軸題綜合性強(qiáng)，知識(shí)高度融合，側(cè)重考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，對(duì)問(wèn)題背景的研究能力以及對(duì)數(shù)學(xué)模型和套路的調(diào)用整合能力。
考查要點(diǎn) �？碱�(lèi)型舉例 題型特征 解題方法
問(wèn)題背景研究 求坐標(biāo)或函數(shù)解析式，求角度或線段長(zhǎng) 已知點(diǎn)坐標(biāo)、解析式或幾何圖形的部分信息 研究坐標(biāo)、解析式，研究邊、角，特殊圖形。
模型套路調(diào)用 求面積、周長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，并求最值 速度已知，所求關(guān)系式和運(yùn)動(dòng)時(shí)間相關(guān) 分段：動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)折分段、圖形碰撞分段;
利用動(dòng)點(diǎn)路程表達(dá)線段長(zhǎng);
設(shè)計(jì)方案表達(dá)關(guān)系式。
坐標(biāo)系下，所求關(guān)系式和坐標(biāo)相關(guān) 利用坐標(biāo)及橫平豎直線段長(zhǎng);
分類(lèi)：根據(jù)線段表達(dá)不同分類(lèi);
設(shè)計(jì)方案表達(dá)面積或周長(zhǎng)。
求線段和(差)的最值 有定點(diǎn)(線)、不變量或不變關(guān)系 利用幾何模型、幾何定理求解，如兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、三角形三邊關(guān)系等。
套路整合及分類(lèi)討論 點(diǎn)的存在性 點(diǎn)的存在滿足某種關(guān)系，如滿足面積比為9:10 抓定量，找特征;
確定分類(lèi);.
根據(jù)幾何特征或函數(shù)特征建等式。
圖形的存在性 特殊三角形、特殊四邊形的存在性 分析動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)或不變關(guān)系(如平行);
根據(jù)特殊圖形的判定、性質(zhì)，確定分類(lèi);
根據(jù)幾何特征或函數(shù)特征建等式。
三角形相似、全等的存在性 找定點(diǎn)，分析目標(biāo)三角形邊角關(guān)系;
根據(jù)判定、對(duì)應(yīng)關(guān)系確定分類(lèi);
根據(jù)幾何特征建等式求解。
答題規(guī)范動(dòng)作
試卷上探索思路、在演草紙上演草。
合理規(guī)劃答題卡的答題區(qū)域：兩欄書(shū)寫(xiě)，先左后右。
作答前根據(jù)思路，提前規(guī)劃，確保在答題區(qū)域內(nèi)寫(xiě)完答案;同時(shí)方便修改。
作答要求：框架明晰，結(jié)論突出，過(guò)程簡(jiǎn)潔。
23題作答更加注重結(jié)論，不同類(lèi)型的作答要點(diǎn)：
幾何推理環(huán)節(jié)，要突出幾何特征及數(shù)量關(guān)系表達(dá)，簡(jiǎn)化證明過(guò)程;
面積問(wèn)題，要突出面積表達(dá)的方案和結(jié)論;
幾何最值問(wèn)題，直接確定最值存在狀態(tài)，再進(jìn)行求解;
存在性問(wèn)題，要明確分類(lèi)，突出總結(jié)。
20分鐘內(nèi)完成。
實(shí)力才是考試發(fā)揮的前提。若在真題演練階段訓(xùn)練過(guò)程中，對(duì)老師所講的套路不熟悉或不知道，需要查找資源解決。下方所列查漏補(bǔ)缺資源集中訓(xùn)練每類(lèi)問(wèn)題的思路和方法，這些訓(xùn)練與真題演練階段的訓(xùn)練互相補(bǔ)充，幫學(xué)生系統(tǒng)解決壓軸題，以到中考考場(chǎng)時(shí)，不僅題目會(huì)做，而且能高效拿分。課程名稱(chēng)：
2014中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破
1、圖形運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的面積問(wèn)題
2、存在性問(wèn)題
3、二次函數(shù)綜合(包括二次函數(shù)與幾何綜合、二次函數(shù)之面積問(wèn)題、二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題)
4、2015中考數(shù)學(xué)壓軸題全面突破(包括動(dòng)態(tài)幾何、函數(shù)與幾何綜合、點(diǎn)的存在性、三角形的存在性、四邊形的存在性、壓軸題綜合訓(xùn)練)
一、圖形運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的面積問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)睛
研究_基本_圖形
分析運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：
�、儆善瘘c(diǎn)、終點(diǎn)確定t的范圍;
�、趯�(duì)t分段，根據(jù)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)畫(huà)圖，找邊與定點(diǎn)，通常是狀態(tài)轉(zhuǎn)折點(diǎn)相交時(shí)的特殊位置.
分段畫(huà)圖，選擇適當(dāng)方法表達(dá)面積.
二、精講精練
已知，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)終止)，過(guò)點(diǎn)M、N分別作邊的垂線，與△ABC的其他邊交于P、Q兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.
(1)線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，為何值時(shí)，四邊形MNQP恰為矩形?并求出該矩形的面積.
(2)線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形MNQP的面積為S，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.求四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍.
1題圖 2題圖
如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=， CD=，高CE=，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)H.平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向向點(diǎn)C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對(duì)角線AC于F、G，當(dāng)直線RQ到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩直線同時(shí)停止移動(dòng).記等腰梯形ABCD被直線MN掃過(guò)的面積為，被直線RQ掃過(guò)的面積為，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設(shè)兩直線移動(dòng)的時(shí)間為x秒.
(1)填空：∠AHB=____________;AC=_____________;
(2)若，求x.
如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿CA、CB勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線l交AB于點(diǎn)R，連接PQ、RQ，并作△PQR關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的圖形，得到△PQ'R.設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，△PQ'R與△PAR重疊部分的面積為S(cm2).
(1)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q' 恰好落在AB上?
(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍.
(3)S能否為?若能，求出此時(shí)t的值;
若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).以AP為邊向上作正方形APDE，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥BC，交AC于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，正方形APDE和梯形BCFQ重疊部分的面積為Scm2.
(1)當(dāng)t=_____s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合;
(2)當(dāng)t=_____s時(shí)，點(diǎn)D在QF上;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間(不包括Q，B兩點(diǎn))時(shí)，
求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，1)、D(-2，0)，作直線AD并以線段AD為一邊向上作正方形ABCD.
(1)填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)________.
(2)若正方形以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線DA向上平移，直至正方形的頂點(diǎn)C落在y軸上時(shí)停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為S，求S關(guān)于平移時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量t的取值范圍.
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l1：y=x與直線l2：y=-x+6相交于點(diǎn)M，直線l2與x軸相交于點(diǎn)N.
(1)求M，N的坐標(biāo).
(2)已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng).設(shè)矩形ABCD與△OMN重疊部分的面積為S，移動(dòng)的時(shí)間為t(從點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，到點(diǎn)A與點(diǎn)N重合時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束).求S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量t的取值范圍.
二、二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題
一、知識(shí)點(diǎn)睛
解決“二次函數(shù)中存在性問(wèn)題”的基本步驟：
�、佼�(huà)圖分析.研究確定圖形，先畫(huà)圖解決其中一種情形.
�、诜诸�(lèi)討論.先驗(yàn)證①的結(jié)果是否合理，再找其他分類(lèi)，類(lèi)比第一種情形求解.
�、垓�(yàn)證取舍.結(jié)合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍，畫(huà)圖或推理，對(duì)結(jié)果取舍.
二、精講精練
如圖，已知點(diǎn)P是二次函數(shù)y=-x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn). 若以AB為直角邊的△PAB與△OAB相似，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
拋物線與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱(chēng)軸BC與x軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P在拋物線上，直線PQ//BC交x軸于點(diǎn)Q，連接BQ.
(1)若含45°角的直角三角板如圖所示放置，其中一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，求直線BQ的函數(shù)解析式;
(2)若含30°角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在直線BQ上(點(diǎn)D不與點(diǎn)Q重合)，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
如圖，矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸負(fù)半軸上，且OD=10，
OB=8.將矩形的邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C恰好與x軸上的點(diǎn)A重合.
(1)若拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，求該拋物線的解析式：______________;
(2)若點(diǎn)M是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
作MN⊥x軸于點(diǎn)N.是否存在點(diǎn)M，使△AMN
與△ACD相似?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
若不存在，說(shuō)明理由.
已知拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P(1，k)在直線BC：y=x3上，若點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與直線y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)兩點(diǎn).如圖，線段MN在直線AB上移動(dòng)，且，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線與x軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)Q.以P、M、Q、N為頂點(diǎn)的四邊形否為平行四邊形?若能，請(qǐng)求出m的值;若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
三、二次函數(shù)與幾何綜合
一、知識(shí)點(diǎn)睛
“二次函數(shù)與幾何綜合”思考流程：
整合信息時(shí)，下面兩點(diǎn)可為我們提供便利：
①研究函數(shù)表達(dá)式.二次函數(shù)關(guān)注四點(diǎn)一線，一次函數(shù)關(guān)注k、b;
�、�)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)線段長(zhǎng).找特殊圖形、特殊位置關(guān)系，尋求邊和角度信息.
二、精講精練
如圖，拋物線y=ax2-5ax+4(a<0)經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC=BC.
(1)求拋物線的解析式.
(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M，使|MA-MB|最大?
若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
如圖，已知拋物線y=ax2-2ax-b(a>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1，0)，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.連接AC、CD，∠ACD=90°.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)F在拋物線上，
且以B、A、F、E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo).
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-8.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E.設(shè)△PDE的周長(zhǎng)為l，
點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值.
已知，拋物線經(jīng)過(guò)A(-1，0)，C(2，)兩點(diǎn)，
與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P為線段OB上一動(dòng)點(diǎn) (不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)Q在線段MB上移動(dòng)，且∠MPQ=45°，設(shè)線段OP=x，MQ=，求y2與x的函數(shù)關(guān)系式，
并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍.
已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A(1，0)，C(0，-3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P異于點(diǎn)A)，
�、偃鐖D1，當(dāng)△PBC的面積與△ABC的面積相等時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);
�、谌鐖D2，當(dāng)∠PCB =∠BCA時(shí)，求直線CP的解析式.
四、中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
1.如圖，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A(1，1)，B(3，1).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OA，垂足為Q.設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒(0
△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S.
(1)求經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的拋物線解析式.
(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上?若存在，直接寫(xiě)出t的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
2.如圖，拋物線與x軸交于A(-1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與過(guò)點(diǎn)C且平行于x軸的直線交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)點(diǎn)E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)過(guò)點(diǎn)P作直線CD的垂線，垂足為Q.若將△CPQ沿CP翻折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)Q′恰好在x軸上?若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
3.(11分)如圖，已知直線與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過(guò)點(diǎn)A，D，C的拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為E.
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式;
(2)若正方形以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB下滑，直至頂點(diǎn)D落在x軸上時(shí)停止，設(shè)正方形落在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)自變量t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時(shí)停止，求拋物線上C，E兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過(guò)的面積.
4.(11分)如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(-3，0)，點(diǎn)B(1，0)，交y軸于點(diǎn)E(0，-3).點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行.直線y=-x+m過(guò)點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K作x軸的垂線，交直
線CD于點(diǎn)H，交拋物線于點(diǎn)G，求線段HG長(zhǎng)度的最大值;
(3)在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以A，C，M，
N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo).
5.(11分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與
拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-8.
(1)求拋物線的解析式.
(2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E.
�、僭O(shè)△PDE的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值.
②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，
正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，
直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).
6.(11分)如圖1，點(diǎn)A為拋物線C1：的頂點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為
(1，0)，直線AB交拋物線C1于另一點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖1，平行于y軸的直線x=3交直線AB于點(diǎn)D，交拋物線C1于點(diǎn)E，平行于y軸的直線x=a交直線AB于點(diǎn)F，交拋物線C1于點(diǎn)G，若FG:DE=4:3，求a的值;
(3)如圖2，將拋物線C1向下平移m(m>0)個(gè)單位得到拋物線C2，且拋物線C2的頂點(diǎn)為P，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)M，交射線AB于點(diǎn)N，NQ⊥x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)NP平分∠MNQ時(shí)，求m的值.
附：參考答案
一、圖形運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的面積問(wèn)題
1. (1)當(dāng)t=時(shí)，四邊形MNQP恰為矩形.此時(shí)，該矩形的面積為平方厘米.
(2) 當(dāng)0
當(dāng)2
2.(1)90°;4 (2)x=2.
3.(1)當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)Q' 恰好落在AB上.
(2)當(dāng)0
(3)由(2)問(wèn)可得，當(dāng)0
當(dāng)
解得，或，此時(shí).
4.(1)1 (2)(3)當(dāng)1
當(dāng)
5.(1)(﹣1，3)，(﹣3，2) (2)當(dāng)0
當(dāng)1
6.(1)M(4，2) N(6，0)(2)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，;
當(dāng)1
當(dāng)4
當(dāng)5
當(dāng)6
二、二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題
1.解：由題意，設(shè)OA=m，則OB=2m;當(dāng)∠BAP=90°時(shí)，
△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA;
若△BAP∽△AOB，如圖1，
可知△PMA∽△AOB，相似比為2：1;則P1(5m，2m)，
代入，可知，
若△BAP∽△BOA，如圖2，
可知△PMA∽△AOB，相似比為1：2;則P2(2m，)，
代入，可知，
當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA;
若△ABP∽△AOB，如圖3，
可知△PMB∽△BOA，相似比為2：1;則P3(4m，4m)，
代入，可知，
若△ABP∽△BOA，如圖4，
可知△PMB∽△BOA，相似比為1：2;則P4(m，)，
代入，可知，
2.解：(1)由拋物線解析式可得B點(diǎn)坐標(biāo)(1，3).
要求直線BQ的函數(shù)解析式，只需求得點(diǎn)Q坐標(biāo)即可，即求CQ長(zhǎng)度.
過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥QP于點(diǎn)F.
則可證△DCG≌△DEF.則DG=DF，∴矩形DGQF為正方形.
則∠DQG=45°，則△BCQ為等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)
可得BQ解析式為y=-x+4.
(2)要求P點(diǎn)坐標(biāo)，只需求得點(diǎn)Q坐標(biāo)，然后根據(jù)橫坐標(biāo)相同來(lái)求點(diǎn)P坐標(biāo)即可.
而題目當(dāng)中沒(méi)有說(shuō)明∠DCE=30°還是∠DCE=60°，所以分兩種情況來(lái)討論.
當(dāng)∠DCE=30°時(shí)，
a)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥QP于點(diǎn)K.
則可證△DCH∽△DEK.則，
在矩形DHQK中，DK=HQ，則.
在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.則在Rt△BCQ中，∴CQ=，此時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1+,0)
則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+.代入可得縱坐標(biāo).∴P(1+,).
b)又P、Q為動(dòng)點(diǎn)，∴可能PQ在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，與上一種情形關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng).
由對(duì)稱(chēng)性可得此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(1-,)
當(dāng)∠DCE=60°時(shí)，
過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥QP于點(diǎn)N.
則可證△DCM∽△DEN.則，
在矩形DMQN中，DN=MQ，則.
在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.則在Rt△BCQ中，
∴CQ=BC=，此時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1+，0)
則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+.代入可得縱坐標(biāo).∴P(1+,).
b)又P、Q為動(dòng)點(diǎn)，∴可能PQ在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，與上一種情形關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng).
由對(duì)稱(chēng)性可得此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(1-,)
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為(1+,)，(1-,)，(1+,)或(1-,).
3.解：(1)∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A(6，0)
將A(6，0)，B(0，-8)代入拋物線表達(dá)式，得，
(2)存在：
如果△AMN與△ACD相似，則或
設(shè)M(0
假設(shè)點(diǎn)M在x軸下方的拋物線上，如圖1所示：
當(dāng)時(shí)，，
即∴∴
如圖2驗(yàn)證一下
當(dāng)時(shí)，，即
∴(舍)
2)如果點(diǎn)M在x軸上方的拋物線上：
當(dāng)時(shí)，，即 ∴ ∴M
此時(shí), ∴ ∴△AMN∽△ACD ∴M滿足要求
當(dāng)時(shí)，，即 ∴m=10(舍)
綜上M1,M2
4.解：滿足條件坐標(biāo)為：
思路分析：A、M、N、P四點(diǎn)中點(diǎn)A、點(diǎn)P為頂點(diǎn)，則AP可為平行四邊形邊、對(duì)角線;
(1)如圖，當(dāng)AP為平行四邊形邊時(shí)，平移AP;
∵點(diǎn)A、P縱坐標(biāo)差為2 ∴點(diǎn)M、N縱坐標(biāo)差為2;
∵點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為0 ∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2或-2
①當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2時(shí)
解： 得
又∵點(diǎn)A、P橫坐標(biāo)差為2 ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為： 、
�、诋�(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-2時(shí)
解： 得
又∵點(diǎn)A、P橫坐標(biāo)差為2 ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為： 、
(2)當(dāng)AP為平行四邊形邊對(duì)角線時(shí); 設(shè)M5(m,0)
MN一定過(guò)AP的中點(diǎn)(0，-1)
則N5(-m，-2)，N5在拋物線上 ∴
(負(fù)值不符合題意，舍去)
∴ ∴
綜上所述:
符合條件點(diǎn)P的坐標(biāo)為：
5.解：分析題意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，只需MP=NQ即可。由題知：，，，
故只需表達(dá)MP、NQ即可.表達(dá)分下列四種情況：
①如圖1，，，令PM=QN，
解得：(舍去)，;
②如圖2，，，令PM=QN，
解得：(舍去)，;
�、廴鐖D3，，，令PM=QN，
解得：，(舍去);
�、苋鐖D4，，，令PM=QN，
解得：，(舍去);
綜上，m的值為、、、.
三、二次函數(shù)與幾何綜合
解：(1)令x=0，則y=4， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)，
∵BC∥x軸，∴點(diǎn)B，C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
又∵拋物線y=ax2-5ax+4的對(duì)稱(chēng)軸是直線，即直線
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，4)，∴AC=BC=5，
在Rt△ACO中，OA=，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(，0)，
∵拋物線y=ax2-5ax+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∴9a+15a+4=0，解得， ∴拋物線的解析式是
(2)存在，M(，)
理由：∵B，C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴MB=MC，∴;
∴當(dāng)點(diǎn)M在直線AC上時(shí)，值最大，
設(shè)直線AC的解析式為，則，解得，∴
令，則，∴M(，)
2、解：(1)∵拋物線過(guò)點(diǎn)B(，0)，
∴a+2a-b=0，∴b=3a，∴
令y=0，則x=或x=3，∴A(3，0)，∴OA=3，
令x=0，則y=-3a，∴C(0，a)，∴OC=3a
∵D為拋物線的頂點(diǎn)，∴D(1，4a)
過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，則∠AOC=∠CMD=90°，
又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1，∠ACD=∠AOC=90°
∴∠MCD=∠1 ，∴△AOC∽△CMD，∴，
∵D(1，4a)，∴DM=1，OM=4a，∴CM=a
∴，∴，∵a>0，∴a=1
∴拋物線的解析式為：
(2)當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，則BA∥EF，并且EF= BA =4
由于對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1,∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為5或者3
將x=5代入得y=12，∴F(5，12).將x=-3代入得y=12，∴F(-3，12).
當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)F即為點(diǎn)D， ∴F(1，4).
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(5，12)，(3，12)或(1，4).
3、解：(1)對(duì)于，當(dāng)y=0，x=2;當(dāng)x=8時(shí)，y=.
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為
由拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，得
解得
(2)設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)M
當(dāng)x=0時(shí)，y=. ∴OM=.
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，∴OA=2，∴AM=
∴OM：OA：AM=3：4：5.
由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM ∽△PED.
∴DE：PE：PD=3：4：5
∵點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，
∴PD=
∴
由題意知：
4、解：(1) ∵拋物線y1=ax22axb經(jīng)過(guò)A(1，0)，C(0，)兩點(diǎn)，
∴，∴，∴拋物線的解析式為y1= x2x
(2)解法一：過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB交AB于點(diǎn)N，連接AM
由y1= x2x可知頂點(diǎn)M(1，2) ，A(1，0)，B(3，0)，N(1，0)
∴AB=4，MN=BN=AN=2，AM=MB=.
∴△AMN和△BMN為等腰直角三角形.
∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°
∴∠QPB=∠PMA
又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA
∴ 將AM=，AP=x+1，BP=3-x，BQ=代入，
可得，即.
∵點(diǎn)P為線段OB上一動(dòng)點(diǎn) (不與點(diǎn)B重合)∴0x<3
則y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2=x2x(0x<3)
解法二：
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB交AB于點(diǎn)N.
由y1= x2x易得M(1，2)，N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，MBN=45.
根據(jù)勾股定理有BM 2BN 2=PM 2PN 2. ∴…①，
又MPQ=45=MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=y22
由、得y2=x2x.
∵0x<3，∴y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2=x2x(0x<3)
5、解：(1)由題意，得，解得
∴拋物線的解析式為.
(2)①令，解得 ∴B(3， 0)
則直線BC的解析式為 當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖1，
過(guò)點(diǎn)A作直線BC的平行線交拋物線于點(diǎn)P，∴設(shè)直線AP的解析式為，
∵直線AP過(guò)點(diǎn)A(1，0)，∴直線AP的解析式為，交y軸于點(diǎn).
解方程組，得 ∴點(diǎn)
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖1，
根據(jù)點(diǎn)，可知需把直線BC向下平移2個(gè)單位，此時(shí)交拋物線于點(diǎn)，
得直線的解析式為，
解方程組，得
∴
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：
，
�、谶^(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，交CP于點(diǎn)F.如圖2，∵
∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° ∴∠CBF=∠ABC=45°
又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC ∴△ACB≌△FCB
∴BF=BA=2，則點(diǎn)F(3，-2)又∵CP過(guò)點(diǎn)F，點(diǎn)C ∴直線CP的解析式為.
四、中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練答案
1.(1);
(2);
(3)t=1或2.
2.(1)，;
(2);
(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
3.(1)，;
(2);
(3)15.
4.(1);
(2);
(3).
5.(1);
(2)①，當(dāng)時(shí)，;
�、�.
6.(1);
(2); (3).
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