考研數(shù)學(xué)證明題解題的方法
我們?cè)跍?zhǔn)備考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)時(shí)，面對(duì)證明題的題型，我們需要找到解題的方法。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)證明題解題的秘訣，歡迎大家前來(lái)閱讀。
考考研數(shù)學(xué)證明題解題的技巧
縱觀近十年考研數(shù)學(xué)真題，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)：幾乎每一年的試題中都會(huì)有一個(gè)證明題，而且基本上都是應(yīng)用中值定理來(lái)解決問(wèn)題的。但是要參加碩士入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)一考試的同學(xué)所學(xué)專業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學(xué)們?cè)诖髮W(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候?qū)τ谶壿嬐评矸矫娴挠?xùn)練大多是不夠的，這就導(dǎo)致數(shù)學(xué)考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，以致簡(jiǎn)單的證明題得分率卻極低。除了個(gè)別考研輔導(dǎo)書中有一些證明思路之外，大多數(shù)考研輔導(dǎo)書在這一方面沒(méi)有花太大力氣，本人自認(rèn)為在推理證明方面有不凡的效績(jī)，在此給大家簡(jiǎn)單介紹一些解決數(shù)學(xué)證明題的入手點(diǎn)，希望對(duì)有此隱患的同學(xué)有所幫助。
一、結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。
知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對(duì)定理理解的深入程度)不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒(méi)有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單，只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則，該問(wèn)題就能輕松解決，因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來(lái)說(shuō)，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。
二、借助幾何意義尋求證明思路
一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及 y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過(guò)程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無(wú)法完滿解決問(wèn)題的話，轉(zhuǎn)第三步。
三、逆推
從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問(wèn)題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè) F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要證的不等式。
對(duì)于那些經(jīng)常使用如上方法的同學(xué)來(lái)說(shuō)，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分，但對(duì)于從心理上就不自信能解決證明題的同學(xué)來(lái)說(shuō)，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學(xué)請(qǐng)按“證明三步走”來(lái)建立自信心，以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。
考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)
要對(duì)題目有感覺(jué)
學(xué)習(xí)過(guò)程中，考生總是會(huì)遇到各種題型，方法多樣，大家光理解了方法不可以，還必須能夠?qū)︻}目有感覺(jué)，在以后的學(xué)習(xí)中如果還遇到相同的題型，要能反映到用什么方法。這就需要大家對(duì)于解題方法的'沉淀。建議考生準(zhǔn)備歸納本，把相關(guān)題型整理在一個(gè)集合中，這樣慢慢下來(lái)，就容易發(fā)現(xiàn)題目有何特點(diǎn)的時(shí)候采用什么方法。這對(duì)于今后的復(fù)習(xí)也是極有幫助的。其實(shí)同學(xué)們從復(fù)習(xí)初期就應(yīng)該開(kāi)始為自己準(zhǔn)備兩個(gè)筆記本，一本用于專門整理自己在復(fù)習(xí)當(dāng)中遇到過(guò)的不懂的知識(shí)點(diǎn)，并且將一些容易出錯(cuò)、容易發(fā)生混淆的概念、公式、定理內(nèi)容記錄在筆記本上，定期拿出來(lái)看一下，定會(huì)留下非常深刻的印象，避免遺忘出錯(cuò);另一本用來(lái)整理錯(cuò)題，同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)全程中會(huì)遇到許多許多不同類型的題目，對(duì)自己曾經(jīng)不會(huì)做的、做錯(cuò)了的題目不要看過(guò)標(biāo)準(zhǔn)答案后就輕易放過(guò)，應(yīng)當(dāng)及時(shí)地把它們整理一下，在正確解答過(guò)程的后面簡(jiǎn)單標(biāo)注一下自己出錯(cuò)的原因、不會(huì)做的癥結(jié)，以后再回頭看的時(shí)候一定會(huì)起到很大的幫助，這也是循序漸進(jìn)穩(wěn)步提高解題能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。 考研 教育網(wǎng)
答題要有層次
考研數(shù)學(xué)題目有三種題型：選擇題、填空題、解答題。選擇題可供選用的方法有：排除法，特殊值法，反例法，直接求解法等。一般來(lái)說(shuō)，前三種方法會(huì)比直接求解簡(jiǎn)單快速，但這依賴于考生對(duì)所考查知識(shí)的熟悉程度及錯(cuò)誤選項(xiàng)的干擾性強(qiáng)度。填空題只需得到最終結(jié)果，與計(jì)算過(guò)程及所用方法無(wú)關(guān)，題目難度與運(yùn)算量也不太大，無(wú)需注重過(guò)程，但計(jì)算中力求準(zhǔn)確無(wú)誤，以免出現(xiàn)方法對(duì)而結(jié)果錯(cuò)失分的風(fēng)險(xiǎn)。解答題注重方法與運(yùn)算、推理步驟，對(duì)于可選有多種途徑解題的情況下，優(yōu)先選擇易敘述清楚、過(guò)程簡(jiǎn)潔、運(yùn)算量小的一種。因?yàn)榻獯痤}按步得分，對(duì)每一步推理或運(yùn)算，必須寫清所用原理或推理因果關(guān)系。在做題時(shí)要注意不同的題目按照不同的方法去做。
預(yù)祝全體考生復(fù)習(xí)順利，金榜題名!
考研數(shù)學(xué)考試命題的層次解析
縱觀歷年考研數(shù)學(xué)試題，總體來(lái)講命題的核心是考查兩個(gè)層次的問(wèn)題，一個(gè)是基本概念、基本理論、基本方法，另一個(gè)是知識(shí)的運(yùn)用能力。
第一個(gè)層次—扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)。對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，按照考試大綱的要求進(jìn)行系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，這時(shí)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是基本概念、基本理論和基本方法。
第二個(gè)層次——知識(shí)的靈活運(yùn)用。如果僅是依靠教材，很難把這種考試命題的特點(diǎn)歸納總結(jié)出來(lái)，因此要了解考試必須熟悉歷年考試真題，通過(guò)真題的分析幫助自己真正的歸納總結(jié)一些題型，再針對(duì)每一類問(wèn)題去分析。在分析過(guò)程中，要注意有沒(méi)有一些可能的變化情況，這些變化情況到目前為止考到了哪一些，那么這些就是我們下一步復(fù)習(xí)重點(diǎn)所在。如果復(fù)習(xí)都能夠這樣去歸納、總結(jié)，那么下一步的復(fù)習(xí)就更有針對(duì)性了。
不管進(jìn)行哪個(gè)層次的復(fù)習(xí)，都必須保證一定的題量。不通過(guò)一定的題量練習(xí)穩(wěn)固知識(shí)基礎(chǔ)，也很難把握知識(shí)的靈活運(yùn)用，所以建議大家找一些典型的題做一些訓(xùn)練，通過(guò)這種練習(xí)來(lái)反饋我們知識(shí)的把握情況，同時(shí)還能更好的掌握這些相關(guān)的知識(shí)。
根據(jù)考試命題層次，給大家?guī)c(diǎn)建議，希望能更好的指導(dǎo)大家的復(fù)習(xí)!
首先，仔細(xì)研讀考試大綱。
考研學(xué)生們經(jīng)常會(huì)有這樣的疑問(wèn)，究竟大綱在考研備考中起到什么作用?我們要如何利用大綱呢?實(shí)際上，考試大綱是針對(duì)每年的考試形勢(shì)，由考試中心發(fā)布，對(duì)考試范圍和考試要求做出明確規(guī)定，并對(duì)近三年的考試真題進(jìn)行出題角度、解題思路、易犯錯(cuò)誤、得分率等多方面的分析，對(duì)考生的復(fù)習(xí)起到了提綱挈領(lǐng)的作用�？梢哉f(shuō)，有綱可循，才能讓復(fù)習(xí)進(jìn)行地有的放矢。總體來(lái)看，近幾年考題在難易程度上基本沒(méi)有太大的浮動(dòng)。根據(jù)這幾年數(shù)學(xué)考題來(lái)看，重點(diǎn)是考察基本概念、基本理論、基本方法，如果只追求難題技巧題，方向就錯(cuò)了。
其次，考研數(shù)學(xué)備考要注意以下幾點(diǎn)：
(1)復(fù)習(xí)順序的選擇問(wèn)題：現(xiàn)階段建議20年的考生們對(duì)高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這三門學(xué)科同時(shí)復(fù)習(xí)，每周七天中都要將這幾門學(xué)科復(fù)習(xí)一部分內(nèi)容，這樣三門課就不會(huì)被長(zhǎng)期的擱置以致再進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)需要花費(fèi)更多的精力來(lái)回憶這門課程的重要知識(shí)點(diǎn)。
(2)注意基本概念、基本方法和基本定理的復(fù)習(xí)掌握：結(jié)合考研輔導(dǎo)書和大綱，先吃透基本概念、基本方法和基本定理。只有對(duì)基本概念深入理解，對(duì)基本定理和公式牢牢記住，才能找到解題的突破口和切入點(diǎn)。分析表明，考生失分的一個(gè)重要原因就是對(duì)基本概念、基本定理理解不準(zhǔn)確，基本做題方法沒(méi)有掌握。因此，老師建議考生復(fù)習(xí)必須在掌握和理解數(shù)學(xué)基本概念、基本定理、重要數(shù)學(xué)原理、重要數(shù)學(xué)結(jié)論等數(shù)學(xué)基本要素上下足功夫，如果這個(gè)基礎(chǔ)打不牢，其他一切都是空中樓閣。
(3)加強(qiáng)聯(lián)系、重視總結(jié)、歸納解題思路、方法和技巧：數(shù)學(xué)考試的所有任務(wù)就是解題，基本概念、公式、結(jié)論等也只有在反復(fù)練習(xí)中才能真正理解和鞏固。試題千變?nèi)f化，但其知識(shí)結(jié)構(gòu)卻基本相同，題型也相對(duì)固定，一般存在相應(yīng)的解題規(guī)律。通過(guò)大量的訓(xùn)練可以切實(shí)提高數(shù)學(xué)的解題能力，做到面對(duì)任何試題都能有條不紊地分析和計(jì)算。
(4)不要依賴答案：學(xué)習(xí)的過(guò)程中，一定要力求全部理解和掌握知識(shí)點(diǎn)，做題的過(guò)程中先不要看答案，如果題目確實(shí)做不出來(lái)，可以先看答案，看明白之后再拋棄答案自己把題目獨(dú)立地做一遍。不要以為看明白就會(huì)了，只有自己真正做一遍，印象才能深刻。
很多同學(xué)在進(jìn)行考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)，總是陷入到題海戰(zhàn)術(shù)的誤導(dǎo)中，雖然做題是在備考數(shù)學(xué)的過(guò)程中占據(jù)著重要的地位，但是如果沒(méi)有一定的技巧，合適的方法，那么無(wú)用功的成分就會(huì)很大，事倍功半。
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