角平分線的定義是什么
三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，連結(jié)這個(gè)角的頂點(diǎn)和與對(duì)邊交點(diǎn)的線段叫做三角形的角平分線(也叫三角形的內(nèi)角平分線)。下面是百分網(wǎng)小編給大家整理的角平分線的簡(jiǎn)介，希望能幫到大家!
角平分線的定義
從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。
三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的`內(nèi)心。三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，是該三角形內(nèi)切圓的圓心。
角平分線的判定
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，都在這個(gè)角的平分線上。
因此根據(jù)直線公理。
證明：如圖，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求證：OC平分∠AOB
證明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：
OP=OP，PD=PE
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)
∴∠1=∠2
∴ OC平分∠AOB
角平分線的作法
方法一：1.以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交角AOB兩邊 于點(diǎn)M，N。
2.分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于1/2MN的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧， 兩弧交于點(diǎn)P。
3.作射線OP。
射線OP即為所求。
證明：連接PM,PN
在△POM和△PON中
∵OM=ON,PM=PN,PO=PO
∴△POM≌△PON(SSS)
∴∠POM=∠PON，即射線OP為角AOB的角平分線
當(dāng)然，角平分線的作法有很多種。下面再提供一種尺規(guī)作圖的方法供參考。
方法二：1.在兩邊OA、OB上分別截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD;
2.連接CN與DM，相交于P;
3.作射線OP。
射線OP即為所求。
角平分線性質(zhì)
在三角形中的性質(zhì)。
1.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，且到各邊的距離相等.這個(gè)點(diǎn)稱為內(nèi)心 (即以此點(diǎn)為圓心可以在三角形內(nèi)部畫(huà)一個(gè)內(nèi)切圓)。
2.三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。
如圖，若AD是△ABC的角平分線，則 BD/DC=AB/AC 。
證明：作CE∥AD交BA延長(zhǎng)線于E。
∵CE∥AD
∴△BDA∽△BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴ BA/AE=BD/DC
∵CE∥AD
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴ ∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E
即∠ACE=∠E
∴ AE=AC
又∵BA/AE=BD/DC
∴BA/AC=BD/DC
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