經(jīng)典的排列與組合小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)題及答案
問(wèn)題：小明所在的班級(jí)要選出4名中隊(duì)長(zhǎng)，要求每位同學(xué)在選票上寫上名字，也可以寫自己的名字。結(jié)果全班的每位同學(xué)都在自己的選票上寫了4個(gè)互不相同的名字。當(dāng)小明把同學(xué)們的選票收集后發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：就是任意取出2張選票，一定有且只有一個(gè)人的名字同時(shí)出現(xiàn)在2張選票上。請(qǐng)問(wèn)：小明所在的班級(jí)共有多少人?
總體邏輯思路：首先，假設(shè)題目所說(shuō)的情況存在。然后，得出班級(jí)人數(shù)。最后，構(gòu)造出一個(gè)例子，說(shuō)明確實(shí)存在這種情況。
我們先來(lái)證明這個(gè)班每個(gè)人都恰好都被選了4次。
思路簡(jiǎn)介：我們首先用反證法證明沒(méi)有人被選了4次以上。由于平均每人被選了4次，既然沒(méi)有人被選了4次以上，肯定也不存在被選了4次以下的人。所以，可以得到每個(gè)人恰好被選了4次。
首先證明沒(méi)有人被選了4次以上，我們用反證法。
假設(shè)有一個(gè)人被選了4次以上(由于很容易證明這個(gè)班的人數(shù)肯定不少于7人，所以我們可以假設(shè)有一個(gè)人被選了4次以上)，我們?cè)O(shè)這個(gè)人為A同學(xué)。接下來(lái)我們來(lái)證明這種情況不存在。
把所有選擇A同學(xué)的選票集中到一起，有5張或5張以上。方便起見(jiàn)，我們把這些選票編號(hào)，記為A1選票，A2選票，A3選票，A4選票，A5選票，…。意思就是選擇A同學(xué)的第1張選票，選擇A同學(xué)的第2張選票，…。
這些選票都選擇了A同學(xué)。由于任意2張選票有且只有1個(gè)人相同，所以這些選票上除了A同學(xué)外，其他都是不同的.人。
我們還可以證明，這些并不是全部的選票，不是太難，就不證明了。
既然這些(所有選A同學(xué)的選票)不是全部的選票，我們?cè)倌靡粡垱](méi)有選擇A同學(xué)的選票。方便起見(jiàn)，稱之為B選票。
根據(jù)任意2張選票有且只有1個(gè)人相同，A1選票上必有一個(gè)人和B選票上的一個(gè)人是相同的，而且這個(gè)人不是A同學(xué)。
同樣道理，第A2、A3、A4、A5、…上也必有一個(gè)人和B選票上的一個(gè)人是相同的，而且這個(gè)人不是A同學(xué)。
由于B選票上只有4個(gè)不同的人，而A1、A2、…，的數(shù)量大于4.所以，A1、A2、A3、…選票中至少有2張選票，除了A同學(xué)外還有一個(gè)共同的候選人。根據(jù)任意2張選票有且只有1個(gè)人相同，我們知道這是不可以的。
所以，沒(méi)有人被選了4次以上。
由于平均每人被選4次，既然沒(méi)有人被選4次以上，當(dāng)然也就不可能有人被選4次以下。
所以，每個(gè)人恰好被選了4次!
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