數(shù)學(xué)的由來(lái)三十字以?xún)?nèi)
數(shù)學(xué)是科學(xué)的后盾。很明顯，數(shù)學(xué)為科學(xué)研究提供了保障，這些包括數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)推理和計(jì)算、數(shù)學(xué)的演繹化體系等都為科學(xué)提供了具體的和形式上的幫助。下面小編收集數(shù)學(xué)的由來(lái)級(jí)相關(guān)內(nèi)容，一起來(lái)了解一下吧。
數(shù)學(xué)的由來(lái)三十字以?xún)?nèi)
數(shù)學(xué)最初是從結(jié)繩記事開(kāi)始的。大約在三百萬(wàn)年前,人們的活動(dòng)是集體性質(zhì)的,打獵捕食都是在一起,所以“產(chǎn)品”也就必須平均分配,這樣人們漸漸產(chǎn)生了數(shù)量的概念,然后用繩子記數(shù),然后產(chǎn)生了。
數(shù)學(xué)的起源
埃及是數(shù)學(xué)的古國(guó),被人們認(rèn)為是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的最早國(guó)家之一。因此,在研究數(shù)學(xué)歷史的時(shí)候,必須提及埃及的數(shù)學(xué)。
埃及數(shù)學(xué)產(chǎn)生的社會(huì)背景
埃及位于尼羅河岸,在古代分為兩個(gè)王國(guó),把夾在兩個(gè)高原中間的狹長(zhǎng)谷地叫做上埃及,把處于尼羅河三角洲地帶叫做下埃及。這兩個(gè)王國(guó)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)期的斗爭(zhēng),在公元前3200年實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一,并建都于下游的孟斐斯（Memphis）。
尼羅河經(jīng)常 泛濫,淹沒(méi)良田,而統(tǒng)治者需要征收,重新丈量土地。實(shí)際上,埃及的幾何學(xué)就起源于此。希臘的歷史學(xué)家希羅多德（Herodotus約公元前484 —424）在《歷史》一書(shū)中明確指出：“塞索特拉斯Sesostris）① 在全體埃及及居民中間把埃及的土地作了一次劃分。他把同樣大小的正方形的土地分配給所有的人,而要土地持有者每年向他繳納租金,作為他的主要稅收。如果河水泛濫,國(guó)王便派人調(diào)量損失地段的面積。這樣,他的租金就要按照減少后的土地的面積來(lái)征收了。我想,正是由于有了這樣的做法,埃及才第一次有了幾何學(xué)�！�
數(shù)學(xué)的起源
一、“什么是數(shù)學(xué)？”
數(shù)學(xué)本身是一個(gè)歷史的概念，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵隨著時(shí)代的變化而變化，給數(shù)學(xué)下一個(gè)一勞永逸的定義是不可能的。我們?cè)谶@里就從歷史的角度來(lái)談?wù)劇笆裁词菙?shù)學(xué)”這個(gè)問(wèn)題。
公元前6世紀(jì)前，數(shù)學(xué)主要是關(guān)于“數(shù)”的研究。這一時(shí)期在古埃及、巴比倫、印度與中國(guó)等地區(qū)發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)，主要是計(jì)數(shù)、初等算術(shù)與算法，幾何學(xué)則可以看作是應(yīng)用算術(shù)。從公元前6世紀(jì)開(kāi)始，希臘數(shù)學(xué)的興起，突出了對(duì)“形”的研究。數(shù)學(xué)于是成為了關(guān)于數(shù)與形的研究。
公元前4世紀(jì)的希臘哲學(xué)家亞里士多德將數(shù)學(xué)定義為“數(shù)學(xué)是量的科學(xué)�！保ㄆ渲小傲俊钡暮x是模糊的，不能單純理解為“數(shù)量”。）
直到16世紀(jì)，英國(guó)哲學(xué)家培根將數(shù)學(xué)分為“純粹數(shù)學(xué)”與“混合數(shù)學(xué)”。在17世紀(jì)，笛卡兒認(rèn)為：“凡是以研究順序和度量為目的科學(xué)都與數(shù)學(xué)有關(guān)�！痹�19世紀(jì)，根據(jù)恩格斯的論述， 數(shù)學(xué)可以定義為：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)�！�
從20世紀(jì)80年代開(kāi)始，學(xué)者們將數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單的定義為關(guān)于“模式”的科學(xué)：“數(shù)學(xué)這個(gè)領(lǐng)域已被稱(chēng)為模式的科學(xué)， 其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察到的結(jié)構(gòu)和對(duì)稱(chēng)性�！�
二、數(shù)與形的概念的產(chǎn)生
人類(lèi)在蒙昧?xí)r代就已具有識(shí)別事物多寡的能力。原始人在采集、狩獵等生產(chǎn)活動(dòng)中首先注意到一只羊與許多羊、一頭狼與整群狼在數(shù)量上的差異。通過(guò)一只羊與許多羊、一頭狼與整群狼的比較，就逐漸看到了一只羊、一頭狼、一條魚(yú)、一棵樹(shù)等等之間存在著某種共通的東西（即它們的單位性）。當(dāng)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)變得越來(lái)越明確時(shí)，人們感到有必要以某種方式來(lái)表達(dá)事物的這一屬性，于是導(dǎo)致了記數(shù)。
古代的記數(shù)方法：
1、 手指計(jì)數(shù)：利用兩只手的十個(gè)手指。亞里士多德指出：十進(jìn)制的廣泛采用，只不過(guò)是我們絕大多數(shù)人生來(lái)具有10個(gè)手指這一事實(shí)的結(jié)果。
2、 石子記數(shù)：在地上擺小石子，但記數(shù)的石子堆很難長(zhǎng)久保存。
3、結(jié)繩記數(shù)：在一根繩子上打結(jié)來(lái)表示事物的多少。比如今天獵到五頭羊，就以在繩子上打五個(gè)結(jié)來(lái)表示；約定三天后再見(jiàn)面，就在繩子上打三個(gè)結(jié)，過(guò)一天解一個(gè)結(jié)；等等。
秘魯?shù)挠〖幼迦耍ㄓ〉诎踩酥械囊徊糠郑┕艜r(shí)（公元前1500年前）每收進(jìn)一捆莊稼，就在繩上打個(gè)結(jié)，用來(lái)記錄收獲的多少。
中國(guó)古代文獻(xiàn)《周易 系辭下》有“上古結(jié)繩而治”之說(shuō)�！敖Y(jié)繩而治”即結(jié)繩記數(shù)或結(jié)繩記事。
結(jié)繩記數(shù)這種方法，不但在遠(yuǎn)古時(shí)候使用，而且一直在某些民族中沿用下來(lái)。宋朝人在一本書(shū)中說(shuō)：“韃靼無(wú)文字，每調(diào)發(fā)軍馬，即結(jié)草為約，使人傳達(dá)，急于星火�！边@是用結(jié)草來(lái)調(diào)發(fā)軍馬，傳達(dá)要調(diào)的人數(shù)。
其他如藏族、彝族等，雖都有文字，但在一般不識(shí)字的人中間都還長(zhǎng)期使用這種方法。中央民族大學(xué)就收藏著一副高山族的結(jié)繩，由兩條繩子組成：每條上有兩個(gè)結(jié)，再把兩條繩結(jié)在一起。
4、刻痕記數(shù)：1937年在維斯托尼斯（摩拉維亞）發(fā)現(xiàn)一根40萬(wàn)年前的幼狼前肢骨，7英寸長(zhǎng)，上面有55道很深的刻痕。這是已發(fā)現(xiàn)的用刻痕方法計(jì)數(shù)的最早資料。直到今天，在歐、亞、非大陸的某些地方，仍然有一些牧人用在棒上刻痕的方法來(lái)計(jì)算他們的牲畜。
直到距今大約五千年前，終于出現(xiàn)了書(shū)寫(xiě)記數(shù)以及相應(yīng)的記數(shù)系統(tǒng)。我們介紹幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)。（按時(shí)代順序）
1、古埃及的象形數(shù)字（公元前3400年左右）
2、巴比倫楔形文字（公元前2400年左右）
3、 中國(guó)甲骨文數(shù)字（公元前1600年左右）
4、 希臘阿提卡數(shù)字（公元前500年左右）
5、 中國(guó)籌算數(shù)碼（公元前500年左右）
6、 印度婆羅門(mén)數(shù)字（公元前300年左右）
7、 瑪雅數(shù)字（？）
而我們現(xiàn)代廣泛使用的是阿拉伯?dāng)?shù)字。其實(shí)，這些阿拉伯?dāng)?shù)字并不是阿拉伯人發(fā)明創(chuàng)造的，而是發(fā)源于古印度，后來(lái)被阿拉伯人掌握、改進(jìn)，并傳到了西方，西方人便將這些數(shù)字稱(chēng)為阿拉伯?dāng)?shù)字。以后，以訛傳訛，世界各地都認(rèn)同了這個(gè)說(shuō)法。
與數(shù)的概念形成一樣，人類(lèi)最初的幾何知識(shí)也是他們從對(duì)形的直覺(jué)中萌發(fā)出來(lái)的，例如，不同種族的人都注意到了圓月和挺拔的松樹(shù)在形象上的區(qū)別。幾何學(xué)便是建立在對(duì)這類(lèi)從自然界提取出來(lái)的“形”的總結(jié)的基礎(chǔ)之上。例如，一個(gè)平面只不過(guò)是一片平地的表面，而一條直線(xiàn)則是拉緊了的一段繩子，來(lái)自希臘文的英文Hypotenuse（斜邊、弦）原先的意思就是“拉緊”。同樣，三角形、圓、正方形、長(zhǎng)方形等一系列幾何形式的概念也來(lái)自于人們的觀察和實(shí)踐。
在不同的地區(qū)，幾何學(xué)的這種實(shí)踐來(lái)源方向不盡相同。
1、 古埃及幾何學(xué)：正如古羅馬歷史學(xué)家希羅多德所指出的，埃及的幾何學(xué)是“尼羅河的饋贈(zèng)”。一年一度的尼羅河洪水沖毀了某個(gè)人的土地，那么他就必須向法老報(bào)告所受的損失。法老會(huì)派專(zhuān)人來(lái)測(cè)量所失去的土地，再按相應(yīng)的比例減稅。這樣一來(lái)，幾何學(xué)就產(chǎn)生并發(fā)展起來(lái)了。這類(lèi)專(zhuān)門(mén)負(fù)責(zé)測(cè)量事物的人有專(zhuān)門(mén)的名稱(chēng)，叫做“司繩”。
2、巴比倫人的幾何學(xué)：也是源于實(shí)際的測(cè)量，它的重要特征是其算術(shù)性質(zhì)，至少在公元前1600年，他們就已熟悉長(zhǎng)方形、直角三角形和等腰三角形和某些梯形的面積計(jì)算。
3、 古印度幾何學(xué)：起源與宗教實(shí)踐密切相關(guān)，公元前8世紀(jì)至5世紀(jì)形成的所謂“繩法經(jīng)”，便是關(guān)于祭壇與寺廟建造中的幾何問(wèn)題及其求解法則的記載。
4、 古代中國(guó)幾何學(xué)：起源更多地與天文觀測(cè)相聯(lián)系。中國(guó)最早的數(shù)學(xué)經(jīng)典《周髀算經(jīng)》（至晚在公元前2世紀(jì)成書(shū)）事實(shí)上是一部討論西周初年天文測(cè)量中所用數(shù)學(xué)方法的著作。
數(shù)學(xué)的由來(lái)
數(shù)學(xué)，我國(guó)古代叫算術(shù)，后來(lái)叫算學(xué)，又叫數(shù)學(xué)。近幾十年來(lái)才確定統(tǒng)一叫做數(shù)學(xué)。古代“算”字有三種寫(xiě)法：籌、笄、算。從字形的結(jié)構(gòu)，可以看到事物演變的一些痕跡。
許慎《說(shuō)文解字》對(duì)這幾個(gè)字作如下解釋?zhuān)骸绑恰�，“長(zhǎng)六寸，計(jì)歷數(shù)者，從竹從弄言常弄乃不誤也”�！八悖瑪�(shù)也，從竹上具，讀若”�！笆臼尽�，或“算”原來(lái)都一種竹制的工具，是幾寸長(zhǎng)的竹簽，也叫籌碼。用來(lái)記數(shù)、計(jì)算或卜卦。擺弄這些“算”，有一套技術(shù)基學(xué)問(wèn)，自然就叫做“算術(shù)”或“算學(xué)”。
我國(guó)盛產(chǎn)竹子，是世界上最善于利用竹子的國(guó)家。用竹子做計(jì)算工具，使我國(guó)古代數(shù)學(xué)帶有許多和西方不同的特色�！笆臼尽庇蓛蓚�(gè)“示”字合成�！墩f(shuō)文》解釋“示”字說(shuō)：“示，神事也�！薄岸笔枪盼牡纳献�，三豎(后來(lái)寫(xiě)成一豎兩點(diǎn))是日、月、星。古人以為天上有神靈，神的表示是從上面下來(lái)的。矯同時(shí)也用來(lái)占筮，因此“示示”字帶有迷信色彩，是不奇怪的。
“算”字是什么時(shí)候開(kāi)始使用的?李約瑟認(rèn)為在甲骨文或金文中從未發(fā)現(xiàn)過(guò)這個(gè)算字，因此它出現(xiàn)的年代不可能早于公元前3世紀(jì)。無(wú)論如何，“算術(shù)”這個(gè)名稱(chēng)在漢代已經(jīng)通行。正式使用，是在《九章算術(shù)》一書(shū)中。它的涵義是指當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)，和現(xiàn)代算術(shù)的意義不同。宋、元兩代，我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展居世界前列。那時(shí)“算學(xué)”和“數(shù)學(xué)”這兩個(gè)詞是并用的。
算學(xué)、數(shù)學(xué)并用的情況，一直延續(xù)了幾百年，1935年“中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)名詞審查委員會(huì)”仍主張兩詞并用。直到1939年6月，為了劃一起見(jiàn)，才確定用“數(shù)學(xué)”，而不用“算學(xué)”。
數(shù)學(xué)小知識(shí)之?dāng)?shù)學(xué)的由來(lái)介紹
人們?cè)谏钪薪?jīng)常會(huì)遇到各種相反意義的量。比如,在記賬時(shí)有余有虧;在計(jì)算糧倉(cāng)存米時(shí),有時(shí)要記進(jìn)糧食,有時(shí)要記出糧食。為了方便，人們就考慮了相反意義的'數(shù)來(lái)表示。于是人們引入了正負(fù)數(shù)這個(gè)概念，把余錢(qián)進(jìn)糧食記為正，把虧錢(qián)、出糧食記為負(fù)。可見(jiàn)正負(fù)數(shù)是生產(chǎn)實(shí)踐中產(chǎn)生的。
據(jù)史料記載，早在兩千多年前,我國(guó)就有了正負(fù)數(shù)的概念，掌握了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。人們計(jì)算的時(shí)候用一些小竹棍擺出各種數(shù)字來(lái)進(jìn)行計(jì)算。比如，356擺成||| ，3056擺成等等。這些小竹棍叫做“算籌”算籌也可以用骨頭和象牙來(lái)制作。
我國(guó)三國(guó)時(shí)期的學(xué)者劉徽在建立負(fù)數(shù)的概念上有重大貢獻(xiàn)。劉徽首先給出了正負(fù)數(shù)的定義，他說(shuō)：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。”意思是說(shuō)，在計(jì)算過(guò)程中遇到具有相反意義的量，要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)區(qū)分它們。
劉徽第一次給出了正負(fù)區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法。他說(shuō)：“正算赤，負(fù)算黑；否則以邪正為異”意思是說(shuō)，用紅色的小棍擺出的數(shù)表示正數(shù)，用黑色的小棍擺出的數(shù)表示負(fù)數(shù)；也可以用斜擺的小棍表示負(fù)數(shù)，用正擺的小棍表示正數(shù)。
我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》（成書(shū)于公元一世紀(jì)）中，最早提出了正負(fù)數(shù)加減法的法則：“正負(fù)數(shù)曰：同名相除，異名相益，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之；其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之�！边@里的“名”就是“號(hào)”，“除”就是“減”，“相益”、“相除”就是兩數(shù)的絕對(duì)值“相加”、“相減”，“無(wú)”就是“零”。
用現(xiàn)在的話(huà)說(shuō)就是：“正負(fù)數(shù)的加減法則是：同符號(hào)兩數(shù)相減，等于其絕對(duì)值相減，異號(hào)兩數(shù)相減，等于其絕對(duì)值相加。零減正數(shù)得負(fù)數(shù)，零減負(fù)數(shù)得正數(shù)。異號(hào)兩數(shù)相加，等于其絕對(duì)值相減，同號(hào)兩數(shù)相加，等于其絕對(duì)值相加。零加正數(shù)等于正數(shù)，零加負(fù)數(shù)等于負(fù)數(shù)�！�
這段關(guān)于正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的敘述是完全正確的，與現(xiàn)在的法則完全一致！負(fù)數(shù)的引入是我國(guó)數(shù)學(xué)家杰出的貢獻(xiàn)之一。
用不同顏色的數(shù)表示正負(fù)數(shù)的習(xí)慣，一直保留到現(xiàn)在。現(xiàn)在一般用紅色表示負(fù)數(shù)，報(bào)紙上登載某國(guó)經(jīng)濟(jì)上出現(xiàn)赤字，表明支出大于收入，財(cái)政上虧了錢(qián)。
負(fù)數(shù)是正數(shù)的相反數(shù)。在實(shí)際生活中，我們經(jīng)常用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)表示意義相反的兩個(gè)量。夏天武漢氣溫高達(dá)42°C，你會(huì)想到武漢的確象火爐，冬天哈爾濱氣溫-32°C一個(gè)負(fù)號(hào)讓你感到北方冬天的寒冷。
在現(xiàn)今的中小學(xué)教材中，負(fù)數(shù)的引入，是通過(guò)算術(shù)運(yùn)算的方法引入的：只需以一個(gè)較小的數(shù)減去一個(gè)較大的數(shù)，便可以得到一個(gè)負(fù)數(shù)。這種引入方法可以在某種特殊的問(wèn)題情景中給出負(fù)數(shù)的直觀理解。而在古代數(shù)學(xué)中，負(fù)數(shù)常常是在代數(shù)方程的求解過(guò)程中產(chǎn)生的。對(duì)古代巴比倫的代數(shù)研究發(fā)現(xiàn)，巴比倫人在解方程中沒(méi)有提出負(fù)數(shù)根的概念，即不用或未能發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)根的概念。3世紀(jì)的希臘學(xué)者丟番圖的著作中，也只給出了方程的正根。然而，在中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，已較早形成負(fù)數(shù)和相關(guān)的運(yùn)算法則。
除《九章算術(shù)》定義有關(guān)正負(fù)運(yùn)算方法外，東漢末年劉烘（公元206年）、宋代揚(yáng)輝（1261年）也論及了正負(fù)數(shù)加減法則，都與九章算術(shù)所說(shuō)的完全一致。特別值得一提的是，元代朱世杰除了明確給出了正負(fù)數(shù)同號(hào)異號(hào)的加減法則外，還給出了關(guān)于正負(fù)數(shù)的乘除法則。他在算法啟蒙中，負(fù)數(shù)在國(guó)外得到認(rèn)識(shí)和被承認(rèn)，較之中國(guó)要晚得多。在印度，數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多于公元628年才認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)可以是二次方程的根。而在歐洲14世紀(jì)最有成就的法國(guó)數(shù)學(xué)家丘凱把負(fù)數(shù)說(shuō)成是荒謬的數(shù)。直到十七世紀(jì)荷蘭人日拉爾（1629年）才首先認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)解決幾何問(wèn)題。
與中國(guó)古代數(shù)學(xué)家不同，西方數(shù)學(xué)家更多的是研究負(fù)數(shù)存在的合理性。16、17世紀(jì)歐洲大多數(shù)數(shù)學(xué)家不承認(rèn)負(fù)數(shù)是數(shù)。帕斯卡認(rèn)為從0減去4是純粹的胡說(shuō)。帕斯卡的朋友阿潤(rùn)德提出一個(gè)有趣的說(shuō)法來(lái)反對(duì)負(fù)數(shù)，他說(shuō)（-1）：1=1：（-1），那么較小的數(shù)與較大的數(shù)的比怎么能等于較大的數(shù)與較小的數(shù)比呢？直到1712年，連萊布尼茲也承認(rèn)這種說(shuō)法合理。英國(guó)數(shù)學(xué)家瓦里承認(rèn)負(fù)數(shù)，同時(shí)認(rèn)為負(fù)數(shù)小于零而大于無(wú)窮大（1655年）。他對(duì)此解釋到：因?yàn)閍＞0時(shí)，英國(guó)著名代數(shù)學(xué)家德?摩根 在1831年仍認(rèn)為負(fù)數(shù)是虛構(gòu)的。他用以下的例子說(shuō)明這一點(diǎn)：“父親56歲，其子29歲。問(wèn)何時(shí)父親年齡將是兒子的二倍？”他列方程56+x=2（29+x），并解得x=-2。他稱(chēng)此解是荒唐的。當(dāng)然，歐洲18世紀(jì)排斥負(fù)數(shù)的人已經(jīng)不多了。隨著19世紀(jì)整數(shù)理論基礎(chǔ)的建立，負(fù)數(shù)在邏輯上的合理性才我國(guó)在《九章算術(shù)》《方程》章中就引入了負(fù)數(shù)（negative number）的概念和正負(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則。在某些問(wèn)題中，以賣(mài)出的數(shù)目為正（因是收入），買(mǎi)入的數(shù)目為負(fù)（因是付款）；余錢(qián)為正，不足錢(qián)為負(fù)。在關(guān)于糧谷計(jì)算中，則以加進(jìn)去的為正，減掉的為負(fù)�！罢薄ⅰ柏�(fù)”這一對(duì)術(shù)語(yǔ)從這時(shí)起一直沿用到現(xiàn)在。
在《方程》章中，引入的正負(fù)數(shù)加法法則稱(chēng)為“正負(fù)術(shù)”。正負(fù)數(shù)的乘除法則出現(xiàn)得比較晚，在1299 年朱世杰編寫(xiě)的《算學(xué)啟蒙》中，《明正負(fù)術(shù)》一項(xiàng)講了正負(fù)數(shù)加減法法則，一共八條，比《九章算術(shù)》更加明確。在“明乘除段”中有“同名相乘為正，異名相乘為負(fù)”之句，也就是(±a)×(±b)=+ab，(±a)×( b)=-ab，這樣的正負(fù)數(shù)乘法法則，是我國(guó)最早的記載。宋末李冶還創(chuàng)用在算籌上加斜劃表示負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)概念的引入是中國(guó)古代數(shù)學(xué)最杰出的創(chuàng)造之一。
印度人最早提出負(fù)數(shù)的是628年左右的婆羅摩笈多（約598-665）。他提出了負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，并用小點(diǎn)或小圈記在數(shù)字上表示負(fù)數(shù)。在歐洲初步認(rèn)識(shí)提出負(fù)數(shù)概念，最早要算意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（1170-1250）。他在解決一個(gè)盈利問(wèn)題時(shí)說(shuō)∶我將證明這個(gè)問(wèn)題不可能有解，除非承認(rèn)這個(gè)人可以負(fù)債。15世紀(jì)的舒開(kāi)（1445?-1510?）和16世紀(jì)的史提非（1553）雖然他們都發(fā)現(xiàn)了負(fù)數(shù)，但又都把負(fù)數(shù)說(shuō)成是荒謬的數(shù)，卡當(dāng)（1545）給出了方程的負(fù)根，但他把它說(shuō)成是“假數(shù)”。韋達(dá)知道負(fù)數(shù)的存在，但他完全不要負(fù)數(shù)。笛卡兒部分地接受了負(fù)數(shù)，他把方程的負(fù)根叫假根，因它比“無(wú)”更小。
哈雷奧特（1560-1621）偶然地把負(fù)數(shù)單獨(dú)地寫(xiě)在方程的一邊，并用“－”表示它們，但他并不接受負(fù)數(shù)。邦別利（1526-1572）給出了負(fù)數(shù)的明確定義。史提文在方程里用了正、負(fù)系數(shù)，并接受了負(fù)根�；拢�1595-1629）把負(fù)數(shù)與正數(shù)等量齊觀、并用減號(hào)“-”表示負(fù)數(shù)�？傊�16、17世紀(jì)，歐洲人雖然接觸了負(fù)數(shù)，但對(duì)負(fù)數(shù)的接受的進(jìn)展是緩慢的。
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