數(shù)學(xué)題解析特殊化方法
您現(xiàn)在正在閱讀的小學(xué)數(shù)學(xué)解題策略——特殊化方法文章內(nèi)容由收集!本站將為您提供更多的精品教學(xué)資源!小學(xué)數(shù)學(xué)解題策略——特殊化方法數(shù)學(xué)大師希爾伯特曾講:“在討論數(shù)學(xué)問題時(shí),我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用。我們尋找一個(gè)答案而未能成功的原因就在于這樣的事實(shí)，即有一些比手頭的問題更簡(jiǎn)單、更容易的問題沒有完全解決，這一切都有賴于找出這些比較容易的問題，并且用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來解決它們�！庇纱丝梢姡�(dāng)我們遇到帶有一般性問題的題目感到束手無策時(shí)，采用特殊化策略就是一個(gè)較好的選擇。
1 特殊化的基本思想
特殊化策略即視原問題為一般，構(gòu)造其特殊問題，通過對(duì)特殊問題的解決而獲得原問題的解決。特殊化作為化歸策略，基本思想就是：相對(duì)于“一般”而言，“特殊”問題往往顯得簡(jiǎn)單、直觀和具體，容易解決，并且在特殊問題的解決過程中，常常孕育著一般問題的解決。因此，人們?cè)趯?duì)某個(gè)一般性的數(shù)學(xué)問題解決有困難時(shí)，常常會(huì)想到先解決它的特殊情況，然后再把解決特殊情況的方法或結(jié)果應(yīng)用或推廣到一般問題之上，而獲得一般性問題的解決。正如波利亞所說：“特殊化是從考慮一組給定的對(duì)象集合過渡到考慮該集合的一個(gè)較小的子集或僅僅一個(gè)對(duì)象�！币虼�，特殊化常表現(xiàn)為范圍的收縮或限制，即從較大范圍的問題向較小范圍的問題過渡，或從某類問題向其子類問題的過渡。較為理想的特殊是其自身容易解決，且從其解決過程中又易發(fā)現(xiàn)或得到一般性問題的解法。所以，特殊化策略的關(guān)鍵是能否找到一個(gè)最佳的特殊化問題。
2 特殊化的具體運(yùn)用
特殊化策略是一種“退”的策略，所謂“退”，可以從一般退到特殊，多數(shù)退到少數(shù)，空間退到平面，抽象退到具體……，正如華羅庚先生所說：“善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，把簡(jiǎn)單的、特殊的問題搞清楚了，并從這些簡(jiǎn)單的問題的解決中，或者獲得解題思路，或者提示解題方向，或者發(fā)現(xiàn)一般問題的結(jié)論，或者得到化歸為簡(jiǎn)單問題的途徑，從而再‘進(jìn)’到一般性問題上來。”
讓我們通過一些具體的例子來體會(huì)特殊化策略。
例1：某地民兵預(yù)備役組織越野賽，需從總部將38件障礙物運(yùn)往距總部3千米處，并從該處向前每隔500米，放置一件障礙物，已知一輛車一次能運(yùn)4件障礙物，若用一輛車全部運(yùn)完返回總部，則所運(yùn)行的全部路程至少是多少千米？
分析與解：此題要運(yùn)送的障礙物較多，要想很快找到一輛車在運(yùn)完所有障礙物的同時(shí)走的路程又最少的.辦法很難。此時(shí)，我們不妨先“退”到“不失去重要性的地方”，將問題簡(jiǎn)單化，題中38不能為4整除，依此情境，我們不妨假設(shè)若障礙物為5件，怎樣運(yùn)才能完成任務(wù)又使走的路程最少呢？由于要運(yùn)的障礙物較少，通過計(jì)算不難得出：若一輛車裝滿后按順序?qū)⒄系K物送出放置并按此思路將障礙物放完，最后返回總部要行：(3+0.5×3)×2+(3+0.5×4)×2=19(千米)；而若此輛車裝滿后先將障礙物直接送至距總部最遠(yuǎn)處再回頭按順序放置，并按此思路將障礙物放完最后返回總部則要行：(3+0.5×4)×2+(3+0.5)×2=17(千米)，顯然后者比前者要少行0.5×2×2=2(千米)，再與其它運(yùn)法相比較，不難得出：17千米的路程的確為最少。
至此，原題的解題思路已變得相當(dāng)明朗了：對(duì)于38件障礙物，一輛車勢(shì)必至少要運(yùn)10次，第一次先將4件障礙物送至距總部最遠(yuǎn)處放置再回到總部需行：[3+0.5×(38－1)]×2=43(千米)，以后每次比前次要少行0.5×4×2=4(千米)，直至第十次此輛車只裝2件障礙物送出放置好并回總部要行：(3+0.5)×2=7(千米)，至此一輛車全部運(yùn)完障礙物并返回總部所運(yùn)行的全部路程至少應(yīng)為：43+39+35+31+27+23+19+15+11+7=250(千米)。
例2 在平面上畫出100條直線，這些直線最多可把平面分成多少個(gè)小區(qū)域？
分析與解：一下子看出本題的計(jì)算方法或者結(jié)果都是很難的，我們不妨“退”到最簡(jiǎn)單的情況進(jìn)行觀察，逐步找到規(guī)律，然后得出答案來。
平面上如果沒有直線，則整個(gè)平面就只有1個(gè)區(qū)域；如果畫出第1條直線，則平面被分成2個(gè)區(qū)域，比剛才增加了1個(gè)區(qū)域；如果再畫1條直線，則共有2條直線，平面最多可以被分成4個(gè)區(qū)域（要想使分成的區(qū)域盡可能多，就應(yīng)該使所畫的直線與前面已畫的直線既不平行又無三線共點(diǎn)的情況發(fā)生），比剛才又增加了2個(gè)區(qū)域；如果再畫第3條直線，則平面最多可以被分成7個(gè)區(qū)域，又比剛才又增加了3個(gè)區(qū)域，……，依此類推，當(dāng)畫出第k條直線時(shí)，平面將最多可以增加k個(gè)區(qū)域，這樣觀察得出的規(guī)律正確嗎？
顯然，如果要使分得的區(qū)域盡可能的多，畫的這些直線應(yīng)滿足兩個(gè)條件：（1）任何兩條直線都不平行；（2）任何三條直線都不經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，即沒有三條共點(diǎn)的情況出現(xiàn)。
事實(shí)上，當(dāng)平面上已經(jīng)有了（k－1）條直線時(shí)，如果再畫出第k條直線，則直線將與前面畫出的（k－1）條直線都相交且無三線共點(diǎn)，于是這條直線被前（k－1）條直線分成了k段，由于每段都把它所經(jīng)過的平面區(qū)域分成了兩個(gè)區(qū)域，所以共計(jì)增加了k個(gè)區(qū)域。故在平面上畫出100條直線，這些直線最多可以把平面分成1+1+2+3+…+100=5051（個(gè)）區(qū)域。
例3 有一個(gè)繁華的商場(chǎng)，一天之中接待的顧客數(shù)以千計(jì)，川流不息。如果商場(chǎng)有一個(gè)重要廣告，想使所有的顧客都能聽到；又已知當(dāng)天任意的三個(gè)顧客中，至少有兩個(gè)在商場(chǎng)里相遇。問商場(chǎng)至少廣播幾次，就能使這一天到過商場(chǎng)的所有顧客都能聽到。
分析與解：顧客人數(shù)為n=1，2時(shí)，不能提供一般情況的啟示，因?yàn)樽畋举|(zhì)的條件“任意3個(gè)顧客中，至少有兩個(gè)在商場(chǎng)里相遇”沒有用上。考慮n=3。
當(dāng)?shù)谝粋�(gè)顧客到來時(shí)，為了使廣播的次數(shù)少一些，可以先不忙開廣播，一直等到有人要離開商場(chǎng)時(shí)，則必須開播�？梢姷谝淮螐V播應(yīng)在第一個(gè)顧客將離而未離商場(chǎng)之前。
第一次開播時(shí)，第二、三位顧客可能到了也可能未到，考慮最壞的情況，他們還未進(jìn)來或還未全進(jìn)來，那么第二次開播應(yīng)在第三個(gè)顧客進(jìn)來之后。
現(xiàn)在的問題是，第二個(gè)顧客會(huì)不會(huì)在第一個(gè)顧客離去之后才進(jìn)來，而又在第三個(gè)顧客進(jìn)來之前就離開，若這樣，他就沒有聽到任何一次廣播了。但這是不會(huì)發(fā)生的，根據(jù)“當(dāng)天任意的三個(gè)顧客中，至少有兩個(gè)在商場(chǎng)里相遇”，他一定會(huì)在第一個(gè)顧客離開之前進(jìn)來，或在第三個(gè)顧客進(jìn)來之后才離開，因此，他一定聽到廣播。
所以，商場(chǎng)只要廣播兩次就夠了：第一次開播在第一個(gè)顧客即離開之時(shí)，第二次開播在最后一個(gè)顧客進(jìn)來之時(shí)。
這個(gè)思路對(duì)任意的n≥3也成立。設(shè)第一個(gè)離去的顧客為A，最后一個(gè)進(jìn)來的顧客為B，若按上述方法廣播兩次之后，仍有顧客C沒有聽見，則C必在A離去之后才進(jìn)來，且在B進(jìn)來之前就離去，于是C與A、B均未相遇。這與已知條件矛盾。所以，商場(chǎng)兩次廣播之后，全體顧客都聽到了。
由以上三例可以看出，運(yùn)用特殊化策略解題，可采用從簡(jiǎn)單化、特殊化入手，化歸為簡(jiǎn)單情形、特殊情形，通過對(duì)簡(jiǎn)單情形、特殊情形的分析、觀察與處理，從而獲得對(duì)復(fù)雜問題、一般問題的解決。
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