關(guān)于圓數(shù)學(xué)思想方法題目
圓數(shù)學(xué)思想方法
一、分類討論思想
例1 已知兩相交圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長(zhǎng)為6cm，求這兩圓的圓心距.
分析：已知兩圓相交，求兩圓圓心距。
解：分兩種情況：
(1)如圖1，設(shè)⊙O1的半徑為r1=5cm，⊙O2的半徑為r2=4cm.
圓心Ol，02在公共弦的異側(cè).
∵O1 O2垂直平分AB，AD= AB=3cm.
連O1A、 O2A，則 .
(cm).
(2)如圖2，圓心Ol，02在公共弦AB的同側(cè)，同理可求
二、方程思想
例2 如圖，AB是⊙O的直徑，弦CDAB于E，弦CD，AF相交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AF的延
長(zhǎng)線于M，且 .
(1)在圖中找出相等的線段(直接在橫線上填寫，所寫結(jié)論至少3組，所添輔助線段除外，不寫推理過(guò)程)：.
(2)連結(jié)AD，AF(請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整)，若 ，求AC∶DF的值.
【分析】(1)利用垂徑定理易知：CE=DE，而由 可知CAG.
AG=CG.
根據(jù)相似可求得 CGDG=AGGF，可得DG=FG.
(2) 先根據(jù)相似求出CE，得CD，AF，又GD=GF，設(shè)EG=x，則AG可用x表示，再用Rt△AEG建立x的方程，求出x，用△AGC∽△DGF得AC與DF的比.
解：(1)CE=DE，AG=CG，DG=FG.
(2)連接AC. ∵ ABCD，
EC=ED，AC=AD.
由相交弦定理，得 AEBE=CE2 .
CE=3. CD=AF=6.
又∵ GDF=GFD，
GD=GF.
設(shè)EG=x，則AG=6-(3-x)=3+x.
在Rt△AEG中，
【小結(jié)】本題是一道垂徑定理，圓周角定理，相交弦定理，切割線定理合為一體的綜合題，第(1)問(wèn)有開放性和探索性，第(2)問(wèn)運(yùn)用了方程思想，全面考查了對(duì)圓相關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí).
三、代數(shù)思想
例3 如圖所示，⊙O的直徑ABCD，E為OD的中點(diǎn)，AE交⊙O于點(diǎn)G，CG交OB于點(diǎn)F.求證：OB=3OF.
【分析】 確定兩條線段之間的倍數(shù)關(guān)系，一般采用尋找等分點(diǎn)的直接證法和借助中間量的間接證法.根據(jù)本題的已知條件，可依據(jù)三角形相似比的關(guān)系，借助系數(shù)k尋求OB、OF的關(guān)系.
證明：設(shè)半徑OA=2k，則OE=ED=k，AB=2OA=4k，OA=OC=OB=2k.
連結(jié)DG、BG.
四、運(yùn)動(dòng)的思想
例4 已知：如圖，⊿ABC的外部有一動(dòng)點(diǎn)P(不能在直線BC上)，分別連結(jié)PB、PC，試確定BPC與BAC的大小關(guān)系.
分析：BPC與BAC之間沒(méi)有聯(lián)系，要確定BPC與BAC的大小關(guān)系，必須找恰當(dāng)?shù)妮d體，作為它們之間的橋梁，這道橋梁就是圓，通過(guò)構(gòu)造⊿ABC的外接圓，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.
解：如圖弧BAC和弧BMC是包含圓周角等于BAC 的兩段弧(BMC=BAC)，1.當(dāng)點(diǎn)P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直線BC上時(shí)，2.當(dāng)點(diǎn)P在弧BAC和弧BMC上時(shí)，BPC=3.當(dāng)點(diǎn)P在弓形BAC和弓形BMC內(nèi)且在⊿ABC和⊿MBC外時(shí)，BAC.
證明：1.當(dāng)點(diǎn)P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直線BC上時(shí)，如圖1，連結(jié)BD，根據(jù)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，BDC，又∵BDC=BAC，BAC，(若點(diǎn)P在BC下側(cè)的弓形BAC和弓形BMC外時(shí)，同法可證出BMC即2.當(dāng)點(diǎn)P在弧BAC和弧BMC上時(shí)，如圖2，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，BPC=BAC(若點(diǎn)P在弧BMC上時(shí)，同法也可證得BPC=BMC=3.當(dāng)點(diǎn)P在弓形BAC和弓形BMC內(nèi)且在⊿ABC和⊿MBC外時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BP交⊿ABC外接圓于點(diǎn)D，連結(jié)CD，BDC，又∵BDC=BAC，BAC，(若點(diǎn)P在弓形BMC內(nèi)且在⊿MBC外時(shí)，同法也可證出BMC即BAC).
五、割補(bǔ)思想
例5 如圖，將半徑為2cm的⊙O分割成十個(gè)區(qū)域，其中弦AB、CD關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，EF、GH關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，連接PM，則圖中陰影部分的面積是_____cm2(結(jié)果用表示).
解析：如圖，根據(jù)對(duì)稱性可知：S1=S2，S3=S3，S5=S6，S7=S8，因此陰影部分的面積占整個(gè)圓面積的 ，應(yīng)為： (cm2).
點(diǎn)評(píng) 把所求不規(guī)則圖形，通過(guò)已知的分割線把原圖形分割成的圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合，轉(zhuǎn)化為可求面積的圖形.
分類思想在圓中的應(yīng)用
例1 已知兩圓半徑之比是5:3，如果兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于6，問(wèn)當(dāng)兩圓的圓心距分別是24、5、20、0時(shí)，相應(yīng)兩圓的位置關(guān)系如何?
選題意圖：考查兩圓五種位置關(guān)系.
解：設(shè)大圓半徑R=5x
∵兩圓半徑之比為5: 3，小圓半徑r=3x，
∵兩圓內(nèi)切時(shí)圓心距等于6，5x-3x=6，x=3，
大圓半徑R=15，小圓半徑r=9，
當(dāng)兩圓圓心距dl=24時(shí)，有dl=R+r，此時(shí)兩圓外切;
當(dāng)兩圓圓心距d2=5時(shí)，有d2
當(dāng)兩圓圓心距d3=20時(shí)， 有R-r
例2 已知兩相交圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長(zhǎng)為6cm，求這兩圓的圓心距.
選題意圖：已知兩圓相交，求兩圓圓心距。
解：分兩種情況：
(1)如圖1，設(shè)⊙O1的半徑為r1=5cm，⊙O2的半徑為r2=4cm.
圓心Ol，02在公共弦的異側(cè).
∵O1 O2垂直平分AB，AD= AB=3cm.
連O1A、 O2A，則 (cm).
(2)如圖2，圓心Ol，02在公共弦AB的同側(cè)，同理可求
例3 已知：如圖，⊙O和⊙O1內(nèi)切于A，直線OO1交⊙O于另一點(diǎn)B，交⊙O1于另一點(diǎn)F，過(guò)B點(diǎn)作⊙O1的切線，切點(diǎn)為D，交⊙O于C點(diǎn)，DEAB垂足為E.
求證：
(1)CD=DE;
(2)若將兩圓內(nèi)切改為外切，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否成立?
請(qǐng)證明你的結(jié)論.
選題意圖：主要應(yīng)用如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上
這一結(jié)論解決的綜合題
證明：(1)連結(jié)DF、AD，
∵AF為⊙O1的直徑，F(xiàn)DAD，又DEAB，
DFE=EDA，
∵BC為⊙O1的切線，CDA=DFE，
CDA=EDA，
連結(jié)AC，∵AB為⊙O的直徑，
ACBC，又AD公共，
Rt△EDA≌Rt△CDA，
CD=DE.
(2)當(dāng)兩圓外切時(shí)，其他條件不變，(1)中的結(jié)論仍成立.證法同(1).
例4 如圖，⊙O經(jīng)過(guò)⊙O的圓心，E、F是兩圓的交點(diǎn)，直線OO交⊙O于點(diǎn)Q、D，交⊙O于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)C且EF=2 ，sinP= .
(1)求證：PE是⊙O的切線;
(2)求⊙O和⊙O的半徑的長(zhǎng);
(3)點(diǎn)A在劣弧 上運(yùn)動(dòng)(與點(diǎn)Q、F不重合)，連結(jié)PA交 于點(diǎn)B，連結(jié)BC并延長(zhǎng)交⊙O 于點(diǎn)G，設(shè)CG=x，PA=y.求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
選題意圖：主要考查切線的判定、兩圓相交的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、切割線定理及相似形等知識(shí)的綜合題。
證明：(1)連結(jié)OE，∵OP是⊙O的直徑，
OEP=90，PE是⊙O的切線.
(2)設(shè)⊙O、⊙O的半徑分別r、r.
∵⊙O與⊙O交于E、F，
EFOO，EC= EF= .
在Rt△EOC、Rt△POE中，OEC=OPE.
sinOEC= sinOPE= ，
sinOEC= ，即OC= r，
r2- r=15，得r=4.
在Rt△POE中，sinOPE= ，r=8.
(3)按題意畫圖，連結(jié)OA，∵OEP=90，CEOP，
PE2=PCPO.又∵PE是⊙O的切線，PE2=PBPA，PCPO=PBPA，
即 ，又∵CPO=APO，△CPB∽△APO， ，
BC=60/PA.由相交弦定理得BCCG=ECCF，BC=15/CG，
PA=4CG，即y=4x(
例5 兩圓的半徑分別是方程 的兩根且兩圓的圓心距等于3，則兩圓的位置關(guān)系是( )
(A)外離(B)外切 (C)內(nèi)切(D)相交
解：∵方程 的兩根分別為1和2，而兩圓的'圓心距是3，
兩圓的半徑之和等于圓心距，
(1)兩圓外離 ;
(2)兩圓外切 ;
(3)兩圓相交 ;
(4)兩圓內(nèi)切 ;
(5)兩圓內(nèi)含 .
巧用整體思想求面積
化零為整，化分散為集中的整體策略是數(shù)學(xué)解題的重要方法，利用整體思想，把一些看似彼此獨(dú)立，實(shí)質(zhì)上緊密相連的量作為整體進(jìn)行處理，不僅會(huì)使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
例1 如圖1，⊙A、⊙B、⊙C兩兩不相交，且半徑都為 ，則圖中陰影部分的面積之和為( ).
A. B. C. D.
析解：圖中陰影部分為三個(gè)扇形，所以只要求出扇形的面積即可。但求扇形的面積必須知道圓心角的度數(shù)，如何求出這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)呢?顯然是比較困難的，因?yàn)檫@是一個(gè)普通的三角形。我們觀察到三個(gè)圓的半徑相同，于是考慮將三個(gè)圓心角拼在一起，這樣就可以利用三角形的內(nèi)角和定理來(lái)解決了。三個(gè)扇形圓心角的度數(shù)之和為三個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)周角的度數(shù)之和減去三角形的內(nèi)角和，即 ，所以陰影部分的面積之和為： = ，
故選B.
例2 如圖2所示，已知⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)四個(gè)圓心得到四邊形ABCD，則圖形中四個(gè)扇形(陰影部分)的面積之和為( ).
A. B. C. D.
析解：利用整體思想的方法，四個(gè)扇形的圓心角之和為四邊形ABCD的內(nèi)角之和，又因?yàn)樗膫�(gè)圓的半徑都是1，所以陰影部分的面積之和為： 故選B.
例3 有六個(gè)等圓拼成甲、乙、丙三種形狀擺放，使相鄰兩圓均互相外切，如圖3所示的圓心的連線(虛線)分別構(gòu)成正六邊形、平行四邊形和正三角形，將圓心連線外側(cè)的6個(gè)扇形(陰影部分)的面積之和依次記為S、P、Q，則( ).
A.SQ B.SP C.SP且P=Q D.S=P=Q
分析：要想比較各個(gè)圖形中陰影部分的面積，由于若逐一計(jì)算，顯然有些麻煩，但考慮將六個(gè)扇形的圓心角合為一個(gè)整體，則可以利用多邊形內(nèi)角和定理，分別求得六個(gè)圓心角之和，這樣就可以通過(guò)扇形面積公式從整體上求解。
解：因?yàn)閳D甲是六邊形，即六個(gè)圓心角之和為 =720圖乙六個(gè)圓心角之和為平行四邊形的內(nèi)角和加上兩個(gè)半圓的圓心角，即 ;圖丙中六個(gè)圓心角之和為三角形內(nèi)角和加上三個(gè)半圓的圓心角，即： 。因此可見(jiàn)，這三個(gè)圖形中的六個(gè)扇形的面積之和是相等的，即陰影部分的面積為： .故外側(cè)扇形面積S=P=Q，應(yīng)選D.
由以上三道例題我可以明顯地感悟到：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。因此，我們?cè)谌粘５臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解題時(shí)要細(xì)心觀察給出的圖形,探尋進(jìn)行轉(zhuǎn)化的途徑和方法是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵,而扇形的面積應(yīng)用在其中的作用是不可低估的。
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