提高數(shù)學(xué)成績的方法
試卷是我們學(xué)習(xí)成果的直接體現(xiàn)，那么總結(jié)試卷就是對我們?nèi)秉c(diǎn)的直接呈現(xiàn)，如何提高數(shù)學(xué)成績？請讓小編帶你學(xué)數(shù)學(xué)�！ �
總結(jié)試卷 提高數(shù)學(xué)成績
文章摘要：我在高一高二的時(shí)候，數(shù)學(xué)成績并不突出，總是120多分，很少上130分。我也一度為此十分苦惱，因?yàn)樽约侯}沒少做，成績卻始終難以提高。我想會(huì)有很多人和我有相似的經(jīng)歷。到了高三，我開始總結(jié)試卷。我把專題復(fù)習(xí)的卷子和綜合復(fù)習(xí)的卷子分門別類，每一份試卷都進(jìn)行認(rèn)真細(xì)致的總結(jié)，挑出其中含金量最高的題，同時(shí)，“…
侯艷麗（北京大學(xué)外國語學(xué)院）道：數(shù)學(xué)這一學(xué)科是重頭戲，也是令很多學(xué)生最頭痛的。數(shù)學(xué)成績突出，無疑會(huì)占據(jù)絕對優(yōu)勢。?
我在高一高二的時(shí)候，數(shù)學(xué)成績并不突出，總是120多分，很少上130分。我也一度為此十分苦惱，因?yàn)樽约侯}沒少做，成績卻始終難以提高。我想會(huì)有很多人和我有相似的經(jīng)歷。到了高三，我開始總結(jié)試卷。我把專題復(fù)習(xí)的卷子和綜合復(fù)習(xí)的卷子分門別類，每一份試卷都進(jìn)行認(rèn)真細(xì)致的總結(jié)，挑出其中含金量最高的題，同時(shí)，“旁征博引”，把曾經(jīng)遇到過的相關(guān)的題目總結(jié)到一起，一道也不放過。長期下來，感覺自己對各類題型都能夠了如指掌，對出題者的出題角度也有了準(zhǔn)確的把握。同時(shí)也得出一個(gè)結(jié)論，好多題其實(shí)大同小異，所考查的知識點(diǎn)是一樣的，只不過是換了一種形式。通過對上百份試卷的細(xì)致歸納總結(jié)，使我在接下來的數(shù)學(xué)綜合考試中有一種“輕車熟路”的感覺，而且每次考試我都十分自信，也不再像以前考數(shù)學(xué)那樣緊張慌亂了。我的數(shù)學(xué)成績也由原來的120多分上到了140多分，有幾次還是滿分。
希望大家能從我這個(gè)方法中有所借鑒。另外需要強(qiáng)調(diào)的是在總結(jié)試卷的過程中一定要深入下去，千萬不能走形式，只有深入方能有所收獲。在深入的過程中不要在乎時(shí)間，有時(shí)候，你在總結(jié)一道大題時(shí)，會(huì)把相關(guān)的題型總結(jié)到一起，這項(xiàng)工作其實(shí)是相當(dāng)繁雜的，絕不等同于弄懂一道題。而你做這項(xiàng)工作的收益也將是巨大的。所以，即使用一個(gè)晚上來做這件事也非常值得。千萬不要心情急躁，看見別人一道接一道的做題而不安。
以上是我在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中最有心得的一個(gè)方法，高考數(shù)學(xué)隨著改革的深入，已經(jīng)突破了偏、難、怪的誤區(qū)，更加注重考查對基礎(chǔ)知識的全面掌握和靈活運(yùn)用。對此，我覺得平時(shí)的學(xué)習(xí)要注意以下幾點(diǎn)：
1.按部就班。數(shù)學(xué)是環(huán)環(huán)相扣的一門學(xué)科，哪一個(gè)環(huán)節(jié)脫節(jié)都會(huì)影響整個(gè)學(xué)習(xí)的進(jìn)程。所以，平時(shí)學(xué)習(xí)不應(yīng)貪快，要一章一章過關(guān)，不要輕易留下自己不明白或者理解不深刻的問題。?
2.強(qiáng)調(diào)理解。概念、定理、公式要在理解的基礎(chǔ)上記憶。我的經(jīng)驗(yàn)是，每新學(xué)一個(gè)定理，便嘗試先不看答案，做一次例題，看是否能正確運(yùn)用新定理；若不行，則對照答案，加深對定理的理解。?
3.基本訓(xùn)練。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是不能缺少訓(xùn)練的，平時(shí)多做一些難度適中的練習(xí)，當(dāng)然莫要陷入死鉆難題的誤區(qū)，要熟悉高考的題型，訓(xùn)練要做到有的放矢。
4.重視平時(shí)考試出現(xiàn)的錯(cuò)誤。訂一個(gè)錯(cuò)題本，專門搜集自己的錯(cuò)題，這些往往就是自己的薄弱之處。復(fù)習(xí)時(shí)，這個(gè)錯(cuò)題本也就成了寶貴的復(fù)習(xí)資料。?
最后想談?wù)剶?shù)學(xué)這一科目的應(yīng)試技巧。概括說來，就是“先易后難”。我們常常有這樣的體會(huì)，頭腦清醒的時(shí)候，本來一些較難的題也會(huì)輕易做出來；相反，頭腦混沌的時(shí)候，一些簡單的題也會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間�？荚嚂r(shí)，遇到攔路虎是不可避免的，停下來有兩種可能，一是費(fèi)了九牛二虎之力終于做出來，但由于耗費(fèi)了大量時(shí)間，接下來或者不夠時(shí)間做完題目，或者擔(dān)心時(shí)間不夠，內(nèi)心焦急，一時(shí)連簡單的題也做不出來了；二是還是沒有做出來，結(jié)果不僅浪費(fèi)了時(shí)間，而且連后面的題也沒做完。而先易后難，則是愈做愈有信心，頭腦始終保持清醒的狀態(tài)，或者最后把難題做出，或者至少保證了會(huì)做的題不丟分。
源自生活的有趣數(shù)學(xué)定理
文章摘要：定理是經(jīng)過受邏輯限制的證明為真的敘述，在數(shù)學(xué)中，證明定理是數(shù)學(xué)的中心活動(dòng)。相信為真但未被證明的數(shù)學(xué)敘述為猜想，當(dāng)它經(jīng)過證明后便是定理，它是定理的來源，但并非唯一來源。
【編者按】定理是經(jīng)過受邏輯限制的證明為真的敘述，在數(shù)學(xué)中，證明定理是數(shù)學(xué)的中心活動(dòng)。相信為真但未被證明的數(shù)學(xué)敘述為猜想，當(dāng)它經(jīng)過證明后便是定理，它是定理的來源，但并非唯一來源。一個(gè)從其他定理引伸出來的數(shù)學(xué)敘述可以不經(jīng)過成為猜想的過程，成為定理。下面就讓我們看看三個(gè)歡樂且有趣的數(shù)學(xué)定理。
你在這里
定理陳述：把一張地圖平鋪在地上，總能在地圖上找到一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)下面的地方正好就是它在地圖上所表示的位置。
1912年，荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾證明了這樣一個(gè)定理：假設(shè)D是某個(gè)圓盤中的點(diǎn)集，f是一個(gè)從D到它自身的連續(xù)函數(shù)，則一定有一個(gè)點(diǎn)x，使f（x）=x。換句話說，讓一個(gè)圓盤里的所有點(diǎn)做連續(xù)的運(yùn)動(dòng)，則總有一個(gè)點(diǎn)可以正好回到運(yùn)動(dòng)之前的位置。這個(gè)定理叫做布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理。
在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石。這個(gè)定理也可以擴(kuò)展到三維空間中去：當(dāng)你攪拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一個(gè)點(diǎn)，它在攪拌前后的位置相同，雖然這個(gè)點(diǎn)在攪拌過程中可能到過別的地方。
建立布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是布勞威爾的突出貢獻(xiàn)。這個(gè)定理表明：在二維球面上，任意映到自身的連續(xù)映射，必定至少有一個(gè)點(diǎn)是不變的。布勞威爾把這一定理推廣到高維球面，尤其是在n維球內(nèi)映到自身的任意連續(xù)映射至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。在定理證明的過程中，布勞威爾引進(jìn)了從一個(gè)復(fù)形到另一個(gè)復(fù)形的映射類，以及一個(gè)映射的映射度等概念。有了這些概念，布勞威爾就能第一次處理一個(gè)流形上的向量場的奇點(diǎn)。
酒鬼總能找到家
定理陳述：喝醉的酒鬼總能找到回家的路，喝醉的小鳥卻可能永遠(yuǎn)也回不了家。
如果一個(gè)酒鬼在街道上隨機(jī)游走，假設(shè)整個(gè)城市的街道呈網(wǎng)格狀分布，酒鬼每走到一個(gè)十字路口，都會(huì)概率均等地選擇一條路（包括自己來時(shí)的那條路）繼續(xù)走下去。那么他最終能夠回到出發(fā)點(diǎn)的概率是100%。
醉酒的小鳥就沒這么幸運(yùn)了。假如小鳥飛行時(shí)，每次都從上、下、左、右、前、后概率均等地選擇一個(gè)方向，那么它很有可能永遠(yuǎn)也回不到出發(fā)點(diǎn)。也就是說，在三維網(wǎng)格中隨機(jī)游走，最終能回到出發(fā)點(diǎn)的概率只有大約34%。
這個(gè)定理是著名數(shù)學(xué)家波利亞在1921年證明的。隨著維度的增加，回到出發(fā)點(diǎn)的概率將變得越來越低。在四維網(wǎng)格中隨機(jī)游走，最終能回到出發(fā)點(diǎn)的概率是19.3%，而在八維空間中，這個(gè)概率只有7.3%。
不能撫平的毛球
定理陳述：你永遠(yuǎn)不能理順椰子上的毛。
想象一個(gè)表面長滿毛的球體，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像雞冠一樣的一撮毛或者像頭發(fā)一樣的旋嗎?拓?fù)鋵W(xué)告訴你，這是辦不到的。
這就是毛球定理，也是由布勞威爾首先證明的。用數(shù)學(xué)語言來說就是，在一個(gè)球體表面，不可能存在連續(xù)的單位向量場。這個(gè)定理可以推廣到更高維的空間：對于任意一個(gè)偶數(shù)維的球面，連續(xù)的單位向量場都是不存在的。
毛球定理在氣象學(xué)上有一個(gè)有趣的應(yīng)用：由于地球表面的風(fēng)速和風(fēng)向都是連續(xù)的，因此地球上總會(huì)有一個(gè)風(fēng)速為0的地方，也就是說氣旋和風(fēng)眼是不可避免的。
【人教版】初中數(shù)學(xué)八年級知識點(diǎn)總結(jié)：18勾股定理
文章摘要：勾股定理是直角三角形具備的重要性質(zhì)，同時(shí)也是初中數(shù)學(xué)考試的常考點(diǎn)和重點(diǎn)。本章要求學(xué)生在理解勾股定理的前提下，學(xué)會(huì)利用這個(gè)定理解決實(shí)際問題�？梢酝ㄟ^自主學(xué)習(xí)的方式體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識的.愉快感受�！�
【編者按】勾股定理是直角三角形具備的重要性質(zhì)，同時(shí)也是初中數(shù)學(xué)考試的�？键c(diǎn)和重點(diǎn)。本章要求學(xué)生在理解勾股定理的前提下，學(xué)會(huì)利用這個(gè)定理解決實(shí)際問題�？梢酝ㄟ^自主學(xué)習(xí)的方式體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識的愉快感受。
一、目標(biāo)與要求
1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理。
2.培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識和能力。
3.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算。
4.樹立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想。
5.體會(huì)勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。
6.探究勾股定理的逆定理的證明方法。
7.理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。
8.應(yīng)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形。
9.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。
10.進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識。
二、知識框架
小學(xué)數(shù)學(xué)知識總結(jié)——定義定理
文章摘要：鑒于學(xué)生處在小學(xué)階段時(shí)各方面總結(jié)、歸納、分析能力不強(qiáng)的特點(diǎn)，我們數(shù)學(xué)頻道編輯部特別把小學(xué)數(shù)學(xué)一年級到六年級所有知識點(diǎn)的概念、定義定理和計(jì)算公式統(tǒng)統(tǒng)的予以了整理和總結(jié)，為的就是讓小學(xué)生讀者把更多的時(shí)間用在問題的思考上，取得更好的學(xué)習(xí)成績。…
【編者按】鑒于學(xué)生處在小學(xué)階段時(shí)各方面總結(jié)、歸納、分析能力不強(qiáng)的特點(diǎn)，我們數(shù)學(xué)頻道編輯部特別把小學(xué)數(shù)學(xué)一年級到六年級所有知識點(diǎn)的概念、定義定理和計(jì)算公式統(tǒng)統(tǒng)的予以了整理和總結(jié)，為的就是讓小學(xué)生讀者把更多的時(shí)間用在問題的思考上，取得更好的學(xué)習(xí)成績。
1.加法交換律：兩數(shù)相加交換加數(shù)的位置，和不變。
2.加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或先把后兩個(gè)數(shù)相加，再同第三個(gè)數(shù)相加，和不變。
3.乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。
4.乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第三個(gè)數(shù)相乘，它們的積不變。
5.乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和同一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別同這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積相加，結(jié)果不變。如：（2+4）×5=2×5+4×5.
6.除法的性質(zhì)：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮�。┫嗤谋稊�(shù)，商不變。0除以任何不是0的數(shù)都得0.
7.等式：等號左邊的數(shù)值與等號右邊的數(shù)值相等的式子叫做等式。
等式的基本性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)相同的數(shù)，等式仍然成立。
8.方程式：含有未知數(shù)的等式叫方程式。
9.一元一次方程式：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次 數(shù)是一次的等式叫做一元一次方程式。
學(xué)會(huì)一元一次方程式的例法及計(jì)算。即例出代有χ的算式并計(jì)算。
10.分?jǐn)?shù)：把單位"1"平均分成若干份，表示這樣的一份或幾分的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。
11.分?jǐn)?shù)的加減法則：同分母的分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分?jǐn)?shù)相加減，先通分，然后再加減。
12.分?jǐn)?shù)大小的比較：同分母的分?jǐn)?shù)相比較，分子大的大，分子小的小。
異分母的分?jǐn)?shù)相比較，先通分然后再比較；若分子相同，分母大的反而小。
13.分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變。
14.分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作為分母。
15.分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外），等于分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。
16.真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。
17.假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1.
18.帶分?jǐn)?shù)：把假分?jǐn)?shù)寫成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)的形式，叫做帶分?jǐn)?shù)。
19.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。
20.一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于這個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。
21.甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。
小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之幾何公理、定理或性質(zhì)[1]
文章摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之幾何公理、定理或性質(zhì)，只有真正的理解和掌握了這些幾何公理、定理和性質(zhì)才能更高效的解決幾何問題。
【直線公理】經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。
【直線性質(zhì)】根據(jù)直線的公理，可以推出下面的性質(zhì)：
兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)。
【線段公理】在所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短。（或者說：兩點(diǎn)之間線段最短。）
【垂線性質(zhì)】
�。�1）經(jīng)過一點(diǎn)，有一條而且只有一條直線垂直于已知直線。
�。�2）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短。（也可以簡單地說成：垂線段最短。）
【平行公理】經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有一條而且只有一條直線和這條直線平行。
【平行公理推論】如果兩條直線都和第三條直線平行，那么，這兩條直線也相互平行。
【有關(guān)平行線的定理】
�。�1）如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行。
�。�2）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么，這條直線也和另一條垂直。
【三角形的特性】三角形有不變形的特性，一般稱其為三角形的穩(wěn)定性。由于三角形有這一特性，所以在實(shí)踐中它有廣泛的應(yīng)用。
【三角形的性質(zhì)】三角形的性質(zhì)（或定理及定理的推論），一般有：
�。�1）三角形任意兩邊的和大于第三邊;三角形任意兩邊的差小于第三邊。
�。�2）三角形三內(nèi)角之和等于180°。
由三角形上述第（2）條性質(zhì)，還可以推出下面的兩條性質(zhì)：
�、偃切蔚囊粋�(gè)外角，等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。如圖1.1，∠4=∠1+∠2.
�、谌切蔚囊粋�(gè)外角，大于任何一個(gè)同它不相鄰的內(nèi)角。如圖1.1，
∠4>∠1，∠4>∠2.
【勾股定理】在直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。
用字母表達(dá)就是a2+b2=c2。（a、b表直角邊長，c表斜邊長。）
我國古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一條直角邊叫做“股”，另一條直角邊叫做“勾”，斜邊叫做“弦”。所以我國將這一定理稱為“勾股定理”。
勾股定理是我國最先發(fā)現(xiàn)的一條數(shù)學(xué)定理。而古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）較早地證明了這個(gè)定理。因此，國外常稱它為“畢達(dá)哥拉斯定理”。
【平行四邊形的性質(zhì)】
�。�1）平行四邊形的對邊相等。
�。�2）平行四邊形的對角相等。
�。�3）平行四邊形鄰角的和是180°.如圖1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°.
�。�4）平行四邊形的對角線互相平分。如圖1.2，AO=CO，BO=DO。
平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)是對稱中心。
【長方形的性質(zhì)】
長方形除具有平行四邊形的性質(zhì)以外，還具有下列性質(zhì)：
�。�1）長方形四個(gè)角都是直角。
（2）長方形對角線相等。
長方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。它每一組對邊中點(diǎn)的連線，都是它的對稱軸。
【菱形的性質(zhì)】菱形除具有平行四邊形的性質(zhì)以外，還具有下列性質(zhì)：
�。�1）菱形的四條邊都相等。
�。�2）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。例如圖1.3，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。
菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，它每一條對角線都是它的對稱軸。
【正方形的性質(zhì)】正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。
文章摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之幾何公理、定理或性質(zhì)，只有真正的理解和掌握了這些幾何公理、定理和性質(zhì)才能更高效的解決幾何問題。
【多邊形內(nèi)角和定理】n邊形的內(nèi)角的和，等于（n-2）·180°.（又稱“求多邊形內(nèi)角和”的公式。）
例如三角形（三邊形）的內(nèi)角和是
�。�3-2）×180°=180°；
四邊形的內(nèi)角和是
（4-2）×180°=360°.
【多邊形內(nèi)角和定理的推論】
�。�1）任意多邊形的外角和等于360°.
這是因?yàn)槎噙呅蚊恳粋�(gè)內(nèi)角與它的一個(gè)鄰補(bǔ)角（多邊形外角）的和為180°，所以，n邊形n個(gè)外角的和等于n·180°-（n-2）·180°=360°.
（2）如果一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。
例如圖1.4，∠1的兩邊分別垂直于∠A的兩邊，則∠1+∠A=180°，即∠1與∠A互補(bǔ)。
又∠2、∠3、∠4的兩邊也分別垂直于∠A的兩邊，則∠3和∠A也互補(bǔ)，而∠2=∠A，∠4=∠A。
【圓的一些性質(zhì)或定理】
�。�1）半徑相等的兩個(gè)圓是等圓;同圓或等圓的半徑相等。
�。�2）不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。
�。�3）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。
�。�4）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。
（5）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
【軸對稱圖形的性質(zhì)】軸對稱圖形具有下面的性質(zhì)：
�。�1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對應(yīng)點(diǎn)的連結(jié)線段被對稱軸垂直平分。
例如圖1.5，圖中的AA′對稱點(diǎn)連結(jié)線段，被對稱軸L垂直且平分，即L⊥AA′，AP=PA′。
�。�2）兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或其延長線相交，那么，交點(diǎn)在對稱軸上。
例如圖1.5中，BA與B′A′的延長線相交，交點(diǎn)M在對稱軸L上。
�。�3）兩個(gè)關(guān)于某直線對稱的圖形，一定是全等形。
例如，圖1.5中△ABC與△A′B′C′全等。
【中心對稱圖形的性質(zhì)】如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，它和另一個(gè)圖形重合，那么，這兩個(gè)圖形就是關(guān)于這個(gè)點(diǎn)的“中心對稱圖形”。
中心對稱圖形具有以下性質(zhì)：
�。�1）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。
例如，圖1.6中對稱點(diǎn)A與A′，B與B′，C與C′，它們的連線都經(jīng)過O（對稱中心），并且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′。
�。�2）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。
已被證明成立的數(shù)學(xué)猜想：四色猜想[1]
文章摘要：四色問題又稱四色猜想、四色定理，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一�！八纳珕栴}”的被證明不僅解決了一個(gè)歷時(shí)100多年的難題，而且成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn)。在“四色問題”的研究過程中，不少新的數(shù)學(xué)理論隨之產(chǎn)生，也發(fā)展了很多數(shù)學(xué)計(jì)算技巧�！�
四色問題又稱四色猜想、四色定理，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。
四色問題的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色�！庇脭�(shù)學(xué)語言表示，即“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字之一來標(biāo)記，而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字�！边@里所指的相鄰區(qū)域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)，就不叫相鄰的。因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會(huì)引起混淆。
四色猜想的誕生
四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯·格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。”這個(gè)現(xiàn)象能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢?他和在大學(xué)讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒有進(jìn)展。
1852年10月23日，他的弟弟就這個(gè)問題的證明請教了他的老師、著名數(shù)學(xué)家德·摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個(gè)問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密頓爵士請教。漢密爾頓接到摩爾根的信后，對四色問題進(jìn)行論證。但直到1865年漢密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。
解決難題的歷程
四色問題的提出：1872年，英國當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普（Alfred Kempe）和泰勒（Peter Guthrie Tait）兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了。
肯普的證明是這樣的：首先指出如果沒有一個(gè)國家包圍其他國家，或沒有三個(gè)以上的國家相遇于一點(diǎn)，這種地圖就說是“正規(guī)的”。如為正規(guī)地圖，否則為非正規(guī)地圖。一張地圖往往是由正規(guī)地圖和非正規(guī)地圖聯(lián)系在一起，但非正規(guī)地圖所需顏色種數(shù)一般不超過正規(guī)地圖所需的顏色，如果有一張需要五種顏色的地圖，那就是指它的正規(guī)地圖是五色的，要證明四色猜想成立，只要證明不存在一張正規(guī)五色地圖就足夠了。
肯普是用歸謬法來證明的，大意是如果有一張正規(guī)的五色地圖，就會(huì)存在一張國數(shù)最少的“極小正規(guī)五色地圖”，如果極小正規(guī)五色地圖中有一個(gè)國家的鄰國數(shù)少于六個(gè)，就會(huì)存在一張國數(shù)較少的正規(guī)地圖仍為五色的，這樣一來就不會(huì)有極小五色地圖的國數(shù)，也就不存在正規(guī)五色地圖了。這樣肯普就認(rèn)為他已經(jīng)證明了“四色問題”，但是后來人們發(fā)現(xiàn)他錯(cuò)了。
不過肯普的證明闡明了兩個(gè)重要的概念，對以后問題的解決提供了途徑。第一個(gè)概念是“構(gòu)形”。他證明了在每一張正規(guī)地圖中至少有一國具有兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)或五個(gè)鄰國，不存在每個(gè)國家都有六個(gè)或更多個(gè)鄰國的正規(guī)地圖，也就是說，由兩個(gè)鄰國，三個(gè)鄰國、四個(gè)或五個(gè)鄰國組成的一組“構(gòu)形”是不可避免的，每張地圖至少含有這四種構(gòu)形中的一個(gè)。
證明Np=[（7+√1+48p）/2].數(shù)學(xué)家用了78年。
肯普提出的另一個(gè)概念是“可約”性�！翱杉s”這個(gè)詞的使用是來自肯普的論證。他證明了只要五色地圖中有一國具有四個(gè)鄰國，就會(huì)有國數(shù)減少的五色地圖。自從引入“構(gòu)形”，“可約”概念后，逐步發(fā)展了檢查構(gòu)形以決定是否可約的一些標(biāo)準(zhǔn)方法，能夠?qū)で罂杉s構(gòu)形的不可避免組，是證明“四色問題”的重要依據(jù)。但要證明大的構(gòu)形可約，需要檢查大量的細(xì)節(jié)，這是相當(dāng)復(fù)雜的。
11年后，即1890年，在牛津大學(xué)就讀的年僅29歲的赫伍德以自己的精確計(jì)算指出了肯普在證明上的漏洞。他指出肯普說沒有極小五色地圖能有一國具有五個(gè)鄰國的理由有破綻。不久，泰勒的證明也被人們否定了。人們發(fā)現(xiàn)他們實(shí)際上證明了一個(gè)較弱的命題——五色定理。就是說對地圖著色，用五種顏色就夠了。后來，越來越多的數(shù)學(xué)家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認(rèn)識到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。
文章摘要：四色問題又稱四色猜想、四色定理，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一�！八纳珕栴}”的被證明不僅解決了一個(gè)歷時(shí)100多年的難題，而且成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn)。在“四色問題”的研究過程中，不少新的數(shù)學(xué)理論隨之產(chǎn)生，也發(fā)展了很多數(shù)學(xué)計(jì)算技巧�！�
進(jìn)入20世紀(jì)以來，科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。1913年，美國著名數(shù)學(xué)家、哈佛大學(xué)的伯克霍夫利用肯普的想法，結(jié)合自己新的設(shè)想;證明了某些大的構(gòu)形可約。后來美國數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進(jìn)到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了50國�？磥磉@種推進(jìn)仍然十分緩慢。
計(jì)算機(jī)證明四色問題
高速數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)明，促使更多數(shù)學(xué)家對“四色問題”的研究。從1936年就開始研究四色猜想的海克，公開宣稱四色猜想可用尋找可約圖形的不可避免組來證明。他的學(xué)生丟雷寫了一個(gè)計(jì)算程序，�？瞬粌H能用這程序產(chǎn)生的數(shù)據(jù)來證明構(gòu)形可約，而且描繪可約構(gòu)形的方法是從改造地圖成為數(shù)學(xué)上稱為“對偶”形著手。
他把每個(gè)國家的首都標(biāo)出來，然后把相鄰國家的首都用一條越過邊界的鐵路連接起來，除首都（稱為頂點(diǎn)）及鐵路（稱為弧或邊）外，擦掉其他所有的線，剩下的稱為原圖的對偶圖。到了六十年代后期，�？艘M(jìn)一個(gè)類似于在電網(wǎng)絡(luò)中移動(dòng)電荷的方法來求構(gòu)形的不可避免組。在�？说难芯恐械谝淮我灶H不成熟的形式出現(xiàn)的“放電法”，這對以后關(guān)于不可避免組的研究是個(gè)關(guān)鍵，也是證明四色定理的中心要素。
電子計(jì)算機(jī)問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進(jìn)程。美國伊利諾大學(xué)哈肯在1970年著手改進(jìn)“放電過程”，后與阿佩爾合作編制一個(gè)很好的程序。就在1976年6月，他們在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明，轟動(dòng)了世界。
這是一百多年來吸引許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的大事，當(dāng)兩位數(shù)學(xué)家將他們的研究成果發(fā)表的時(shí)候，當(dāng)?shù)氐泥]局在當(dāng)天發(fā)出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。
“四色問題”的被證明僅解決了一個(gè)歷時(shí)100多年的難題，而且成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn)。在“四色問題”的研究過程中，不少新的數(shù)學(xué)理論隨之產(chǎn)生，也發(fā)展了很多數(shù)學(xué)計(jì)算技巧。如將地圖的著色問題化為圖論問題，豐富了圖論的內(nèi)容。不僅如此，“四色問題”在有效地設(shè)計(jì)航空班機(jī)日程表，設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)的編碼程序上都起到了推動(dòng)作用。
不過不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡捷明快的書面證明方法。直到現(xiàn)在，仍有不少數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者在尋找更簡潔的證明方法。
垂徑定理
【垂徑定理】
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧，如圖：
圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸.
【垂徑定理的推論】
推論1：
(1)平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條��；
(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條��；
(3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條�。普�2圓的兩條平行弦所夾的弧相等．
【提高數(shù)學(xué)成績的方法】相關(guān)文章：
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