數(shù)學(xué)解題方法
解題之同一法
互逆的兩個(gè)命題未必等效.但是，當(dāng)一個(gè)命題條件和結(jié)論都唯一存在，它們所指的概念是同一概念時(shí)，這個(gè)命題和它的逆命題等效.這個(gè)道理通常稱為同一原理.
對(duì)于符合同一原理的命題，當(dāng)直接證明有困難時(shí)，可以改證和它等效的逆命題，只要它的逆命題正確，這個(gè)命題就成立.這種證明方法叫做同一法.
同一法常用于證明符合同一原理的幾何命題.應(yīng)用同一法解題，一般包括下面幾個(gè)步驟：
第一步：作出符合命題結(jié)論的圖形.
第二步：證明所作圖形符合已知條件.
第三步：根據(jù)唯一性，確定所作的圖形與已知圖形重合.
第四步：斷定原命題的真實(shí)性.
解題之?dāng)?shù)學(xué)模型法
例(哥尼斯堡七橋問題)18世紀(jì)東普魯士哥尼斯堡有條普萊格河，這條河有兩個(gè)支流，在城中心匯合后流入波羅的海.市內(nèi)辦有七座各具特色的大橋，連接島區(qū)和兩岸.每到傍晚或節(jié)假日，許多居民來這里散步，觀賞美麗的風(fēng)光.年長日久，有人提出這樣的問題：能否從某地出發(fā)，經(jīng)過每一座橋一次且僅一次，然后返回出發(fā)地?
數(shù)學(xué)模型法，是指把所考察的實(shí)際問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究，使實(shí)際問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法.
利用數(shù)學(xué)模型法解答實(shí)際問題(包括數(shù)學(xué)應(yīng)用題)，一般要做好三方面的工作：
(1)建模.
根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.從總體上說，建模的基本手段，是數(shù)學(xué)抽象方法.建模的具體過程，大體包括以下幾個(gè)步驟：
1、考察實(shí)際問題的基本情形.分析問題所及的量的關(guān)系，弄清哪些是常量，哪些是變量，哪些是已知量，哪些是未知量;了解其對(duì)象與關(guān)系結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性，確定問題所及的具體系統(tǒng).
2、分析系統(tǒng)的矛盾關(guān)系.從實(shí)際問題的特定關(guān)系和具體要求出發(fā)，根據(jù)有關(guān)學(xué)科理論，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的關(guān)系.
3、進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象.對(duì)事物對(duì)象及諸對(duì)象間的關(guān)系進(jìn)行抽象，并用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)和表達(dá)式去刻畫事物對(duì)象及其關(guān)系.如果現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不夠用，可以根據(jù)實(shí)際情況，建立新的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法去表現(xiàn)數(shù)學(xué)模型.
(2)推理、演算.
在所得到的數(shù)學(xué)模型上，進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)果.
(3)評(píng)價(jià)、解釋.
對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)和解釋，返回到原來的實(shí)際問題中去，形成最終的解答.
例1：把一根直徑為的圓木，加工成橫截面為矩形的柱子，問何鋸法可使廢棄的木料最少?
例2：有一隧道處于交通擁擠、事故易發(fā)地段，為了保證安全，交通部門規(guī)定，隧道內(nèi)的車距d正比于車速v(千米/時(shí))的平方與車身長(米)的積，且車距不得小于半個(gè)車身長.假定車身長為l(米)，當(dāng)車速為60(千米/時(shí))時(shí)，車距為1.44個(gè)車身長，在交通繁忙時(shí)，應(yīng)規(guī)定臬的車速成，可使隧道的車流量最大?
例3、(1998年保送生綜合試題)漁場(chǎng)中魚群的最大養(yǎng)殖為m噸.為保證魚群生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知魚群的年增長量y噸和實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空閑的乘積成正比，比例系數(shù)為K(K>0)，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域.求魚群年增長量的最大值.
解題之?dāng)?shù)形結(jié)合法
數(shù)形結(jié)合，是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)基本觀點(diǎn)，對(duì)于溝通代數(shù)、三角與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，具有重要的指導(dǎo)意義.理解并掌握數(shù)形結(jié)合法，有助于增強(qiáng)人們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析問題和解決問題的能力.
數(shù)和形這兩個(gè)基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石.數(shù)學(xué)就是圍繞這兩個(gè)概念發(fā)展起來的.在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化.
數(shù)形結(jié)合的基本思想，是在研究問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案.
中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合法包含兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是運(yùn)用代數(shù)、三角知識(shí)，通過對(duì)數(shù)量關(guān)系的討論，去處理幾何圖形問題;二是運(yùn)用幾何知識(shí)，通過對(duì)圖形性質(zhì)的研究，去解決數(shù)量關(guān)系的問題.就具體方法而論，前者常用的方法有解析法、三角法、復(fù)數(shù)法、向量法等;后者常用的方法主要是圖解法.
解題之判別式法
實(shí)系數(shù)一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0) ①
的判別式△=b2-4ac具有以下性質(zhì)：
>0，當(dāng)且僅當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
△ =0，當(dāng)且僅當(dāng)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
<0，當(dāng)且僅當(dāng)方程②沒有實(shí)數(shù)根.
對(duì)于二次函數(shù)
y=ax2+bx+c (a≠0)②
它的判別式△=b2-4ac具有以下性質(zhì)：
>0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線②與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn);
△ =0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線②與x軸有一個(gè)公共點(diǎn);
<0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線②與x軸沒有公共點(diǎn).
利用判別式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要方法，在探求某些實(shí)變數(shù)之間的關(guān)系，研究方程的`根和函數(shù)的性質(zhì)，證明不等式，以及研究圓錐曲線與直線的關(guān)系等方面，都有著廣泛的應(yīng)用.
在具體運(yùn)用判別式時(shí)，①②中的系數(shù)都可以是含有參數(shù)的代數(shù)式.
解題之換元法
“換元”的思想和方法，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，靈活運(yùn)用換元法解題，有助于數(shù)量關(guān)系明朗化，變繁為簡，化難為易，給出簡便、巧妙的解答.
在解題過程中，把題中某一式子如f(x)，作為新的變量y或者把題中某一變量如x，用新變量t的式子如g(t)替換，即通過令f(x)=y或x=g(t)進(jìn)行變量代換，得到結(jié)構(gòu)簡單便于求解的新解題方法，通常稱為換元法或變量代換法.
用換元法解題，關(guān)鍵在于根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，選擇能以簡馭繁，化難為易的代換f(x)=y或x=g(t).就換元的具體形式而論，是多種多樣的，常用的有有理式代換，根式代換，指數(shù)式代換，對(duì)數(shù)式代換，三角式代換，反三角式代換，復(fù)變量代換等，宜在解題實(shí)踐中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，掌握有關(guān)的技巧.
例如，用于求解代數(shù)問題的三角代換，在具體設(shè)計(jì)時(shí)，宜遵循以下原則：(1)全面考慮三角函數(shù)的定義域、值域和有關(guān)的公式、性質(zhì);(2)力求減少變量的個(gè)數(shù)，使問題結(jié)構(gòu)簡單化;(3)便于借助已知三角公式，建立變量間的內(nèi)在聯(lián)系.只有全面考慮以上原則，才能謀取恰當(dāng)?shù)娜谴鷵Q.
換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，在多項(xiàng)式的因式分解，代數(shù)式的化簡計(jì)算，恒等式、條件等式或不等式的證明，方程、方程組、不等式、不等式組或混合組的求解，函數(shù)表達(dá)式、定義域、值域或最值的推求，以及解析幾何中的坐標(biāo)替換，普通方程與參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等問題中，都有著廣泛的應(yīng)用.
解題之分析法與綜合法
分析法和綜合法源于分析和綜合，是思維方向相反的兩種思考方法，在解題過程中具有十分重要的作用.
在數(shù)學(xué)中，又把分析看作從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的一種思維方法，而綜合被看成是從原因推導(dǎo)到由原因產(chǎn)生的結(jié)果的另一種思維方法.通常把前者稱為分析法，后者稱為綜合法.
具體的說，分析法是從題目的等證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步的探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件;綜合法則是從題目的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論或需求問題.
解題之分類法
分類法是數(shù)學(xué)中的一種基本方法，對(duì)于提高解題能力，發(fā)展思維的縝密性，具有十分重要的意義.
不少數(shù)學(xué)問題，在解題過程中，常常需要借助邏輯中的分類規(guī)則，把題設(shè)條件所確定的集合，分成若干個(gè)便于討論的非空真子集，然后在各個(gè)非空真子集內(nèi)進(jìn)行求解，直到獲得完滿的結(jié)果.這種把邏輯分類思想移植到數(shù)學(xué)中來，用以指導(dǎo)解題的方法，通常稱為分類或分域法.
用分類法解題，大體包含以下幾個(gè)步驟：
第一步：根據(jù)題設(shè)條件，明確分類的對(duì)象，確定需要分類的集合A;
第二步：尋求恰當(dāng)?shù)姆诸惛鶕?jù)，按照分類的規(guī)則，把集合A分為若干個(gè)便于求解的非空真子集A1，A2，…An;
第三步：在子集A1，A2，…An內(nèi)逐類討論;
第四步：綜合子集內(nèi)的解答，歸納結(jié)論.
以上四個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，尋求分類的根據(jù)，是其中的一項(xiàng)關(guān)鍵性的工作.從總體上說，分類的主要依據(jù)有：分類敘述的定義、定理、公式、法則，具有分類討論位置關(guān)系的幾何圖形，題目中含有某些特殊的或隱含的分類討論條件等.在實(shí)際解題時(shí)，僅憑這些還不夠，還需要有較強(qiáng)的分類意識(shí)，需要思維的靈活性和縝密性，特別要善于發(fā)掘題中隱含的分類條件. 例1：求方程 的實(shí)數(shù)解，其中a為實(shí)參數(shù).
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